线性代数课件-行列式与矩阵
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第六章 行 列 式 与 矩 阵
n阶行列式的概念
行列式的性质与计算 Cramer法则
矩阵及其计算 逆矩阵与矩阵的秩
分块矩阵
矩阵的初等变换
.
1
第 一 节 n 阶行列式
学习重点
余子式与代数余子式的概念 n阶行列式的概念
.
2
●行列式的引入
引例：用加减消元法求解
二元线性方程组
aa2111
x1 x1
a12x2 a22 x2
11 22 33 44
0 0 0 a44 .
12
a11 a12 a13
a 2 1 a 2 2 a 2 3 a11a22a33a12a23a31a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
a 1 1 ( a 2 2 a 3 3 a 2 3 a 3 2 ) a 2 1 ( a 1 2 a 3 3 a 1 3 a 3百度文库2 ) a 3 1 ( a 1 2 a 2 3 a 1 3 a 2 2 )
a22 a32
a 1 1A 1 1a 1 2A 1 2a 1 3A 1 3
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a31 a32 a33
元素 a 1 2 的余子式
元素 a 1 2 的代数余子式
.
a 21 a 31
a 23 a 33
M 12
(1)12M12 A1 2
8
●余子式
a a 元素
.
15
例 计算行列式的值
1 2 30 0 0 10 3 0 01 0 1 0 2
按第一列展开
0 10
2 30
1 (1)11 0 0 1 3 (1)31 0 1 0
1 0 2
1 0 2
13411
.
16
第 二 节 行列式的性质及计算
学习重点
行列式的性质 行列式的按行按列展开定理
.
17
●行列式的几种变换
a n1 a n2
a nn
a 1 1 A 1 1 a 1 2 A 1 2 a 1 n A 1 n
n
a 1 j A1 j j1
按第一行展开
.
10
例 根据定义计算行列式的值
1 0 30 2 0 10 3 0 01 0 1 0 2
0 10
200
1 (1)11 0 0 1 3 (1)13 3 0 1
交换i, j两行 数K乘第 i 行 数K乘第 j 行后 加到第 i 行上去 交换i, j两列 数K乘第 i 列
ri r j k ri
ri k r j ci c j
1、转置变换
a11 a12
a1n
Transpose D a21 a22
a2n
行、列对掉
an1 an2
annn
ri ci
a11 a21 D a12 a22
an1
an2
或记作 D T
a1n a2n
ann
称 D T 为行列式 D 的.转置行列式
18
2、换法变换 3、倍法变换 4、消法变换
换法变换 倍法变换 消法变换
——对角线. 法则
5
●三 阶行列式
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a31 a32 a33
对角线法则
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
a 11 a 12
a 13
a 21 a 22
a 23
a 31 a 32
1 0 2
0 1 2
1325
.
11
下三角形行列式
逐次按第一行 展开
a11 0 0 0 a21 a22 0 0 a31 a32 a33 0 a41 a42 a43 a44
a11a22a33a44
下三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积
a11 0 0 0
a a a a 特别 0 a 22 0 0 0 0 a33 0
a11a a3 22 2
a a3 23 3a21a a1 32 2
a a1 33 3a31a a1 22 2
a13 a23
a 1 1A 1 1 a 2 1A 2 1 a 3 1A 3 1
三阶行列式等于
第一列所有元素与其代数余子式乘积之和
.
13
●定理
a11 a12
a1n
a 21 a22
a2n
a n1 a n2
b1 b2
当 a11a22a12a210时
方程组有唯一解
x1
b1a22 a11a22
b2a12 a12a21
x2
b2a11 a11a22
b1a21 a12a21
如果规定
a11
a21
则有
a12 a22
a11a22 a12a21
D
b1
a 12
x1
b2 a 11
a 22 a 12
D1 D
a 21
a 22
a 33
.
6
例 根据定义计算行列式的值
514 3 2 1 2 0 2
对角线 法则
522 1(1)(2) 430
42(2) 132 5(1)0
32
.
7
a11 a12 a13
a 2 1 a 2 2 a 2 3 a11a22a33a12a23a31a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
x2
.
a 11 a 21 a 11 a 21
b1
b2 D2
a 12
D
a 22
3
●二阶行列式 定义
determinant
ab ad bc
cd
a
b
c
d
.
4
例 根据定义计算行列式的值
6 2 6(3)2(5) 8
5 3
cos sin cos2(sin2) 1
sin cos
主对角线元素之积减去副对角线元素之积
的余子式
ij
M就i是j 在行列式中划掉元素
所
ij
在的行和列，余下的元素按原来的相对位置而构成
的行列式
●代数余子式 A i j
Aij (1)ijMij
三阶行列式的值等于它的第一行的所有元素与各自
的代数余子式的乘积之和
.
9
●n 阶行列式的定义（P222定义1）
a11 a12
a1n
a 21 a 22
a2n
a 1 1 ( a 2 2 a 3 3 a 2 3 a 3 2 ) a 1 2 ( a 2 1 a 3 3 a 2 3 a 3 1 ) a 1 3 ( a 2 1 a 3 2 a 2 2 a 3 1 )
a11a a3 22 2
a a3 23 3a12a a3 21 1
a a3 23 3a13a a3 21 1
a nn
a 1 1 A 1 1 a 2 1 A 2 1 a n 1 A n 1
n
a i1 A i1 i1
按第一列展开
.
14
上三角形行列式
a11 a12 a13 a14 a22 a23 a24 a33 a34 a 44
逐次按第一列 展开
a11a22a33a44
上三角形行列式的值为
主对角线上的元素之乘积
n阶行列式的概念
行列式的性质与计算 Cramer法则
矩阵及其计算 逆矩阵与矩阵的秩
分块矩阵
矩阵的初等变换
.
1
第 一 节 n 阶行列式
学习重点
余子式与代数余子式的概念 n阶行列式的概念
.
2
●行列式的引入
引例：用加减消元法求解
二元线性方程组
aa2111
x1 x1
a12x2 a22 x2
11 22 33 44
0 0 0 a44 .
12
a11 a12 a13
a 2 1 a 2 2 a 2 3 a11a22a33a12a23a31a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
a 1 1 ( a 2 2 a 3 3 a 2 3 a 3 2 ) a 2 1 ( a 1 2 a 3 3 a 1 3 a 3百度文库2 ) a 3 1 ( a 1 2 a 2 3 a 1 3 a 2 2 )
a22 a32
a 1 1A 1 1a 1 2A 1 2a 1 3A 1 3
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a31 a32 a33
元素 a 1 2 的余子式
元素 a 1 2 的代数余子式
.
a 21 a 31
a 23 a 33
M 12
(1)12M12 A1 2
8
●余子式
a a 元素
.
15
例 计算行列式的值
1 2 30 0 0 10 3 0 01 0 1 0 2
按第一列展开
0 10
2 30
1 (1)11 0 0 1 3 (1)31 0 1 0
1 0 2
1 0 2
13411
.
16
第 二 节 行列式的性质及计算
学习重点
行列式的性质 行列式的按行按列展开定理
.
17
●行列式的几种变换
a n1 a n2
a nn
a 1 1 A 1 1 a 1 2 A 1 2 a 1 n A 1 n
n
a 1 j A1 j j1
按第一行展开
.
10
例 根据定义计算行列式的值
1 0 30 2 0 10 3 0 01 0 1 0 2
0 10
200
1 (1)11 0 0 1 3 (1)13 3 0 1
交换i, j两行 数K乘第 i 行 数K乘第 j 行后 加到第 i 行上去 交换i, j两列 数K乘第 i 列
ri r j k ri
ri k r j ci c j
1、转置变换
a11 a12
a1n
Transpose D a21 a22
a2n
行、列对掉
an1 an2
annn
ri ci
a11 a21 D a12 a22
an1
an2
或记作 D T
a1n a2n
ann
称 D T 为行列式 D 的.转置行列式
18
2、换法变换 3、倍法变换 4、消法变换
换法变换 倍法变换 消法变换
——对角线. 法则
5
●三 阶行列式
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a31 a32 a33
对角线法则
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
a 11 a 12
a 13
a 21 a 22
a 23
a 31 a 32
1 0 2
0 1 2
1325
.
11
下三角形行列式
逐次按第一行 展开
a11 0 0 0 a21 a22 0 0 a31 a32 a33 0 a41 a42 a43 a44
a11a22a33a44
下三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积
a11 0 0 0
a a a a 特别 0 a 22 0 0 0 0 a33 0
a11a a3 22 2
a a3 23 3a21a a1 32 2
a a1 33 3a31a a1 22 2
a13 a23
a 1 1A 1 1 a 2 1A 2 1 a 3 1A 3 1
三阶行列式等于
第一列所有元素与其代数余子式乘积之和
.
13
●定理
a11 a12
a1n
a 21 a22
a2n
a n1 a n2
b1 b2
当 a11a22a12a210时
方程组有唯一解
x1
b1a22 a11a22
b2a12 a12a21
x2
b2a11 a11a22
b1a21 a12a21
如果规定
a11
a21
则有
a12 a22
a11a22 a12a21
D
b1
a 12
x1
b2 a 11
a 22 a 12
D1 D
a 21
a 22
a 33
.
6
例 根据定义计算行列式的值
514 3 2 1 2 0 2
对角线 法则
522 1(1)(2) 430
42(2) 132 5(1)0
32
.
7
a11 a12 a13
a 2 1 a 2 2 a 2 3 a11a22a33a12a23a31a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
x2
.
a 11 a 21 a 11 a 21
b1
b2 D2
a 12
D
a 22
3
●二阶行列式 定义
determinant
ab ad bc
cd
a
b
c
d
.
4
例 根据定义计算行列式的值
6 2 6(3)2(5) 8
5 3
cos sin cos2(sin2) 1
sin cos
主对角线元素之积减去副对角线元素之积
的余子式
ij
M就i是j 在行列式中划掉元素
所
ij
在的行和列，余下的元素按原来的相对位置而构成
的行列式
●代数余子式 A i j
Aij (1)ijMij
三阶行列式的值等于它的第一行的所有元素与各自
的代数余子式的乘积之和
.
9
●n 阶行列式的定义（P222定义1）
a11 a12
a1n
a 21 a 22
a2n
a 1 1 ( a 2 2 a 3 3 a 2 3 a 3 2 ) a 1 2 ( a 2 1 a 3 3 a 2 3 a 3 1 ) a 1 3 ( a 2 1 a 3 2 a 2 2 a 3 1 )
a11a a3 22 2
a a3 23 3a12a a3 21 1
a a3 23 3a13a a3 21 1
a nn
a 1 1 A 1 1 a 2 1 A 2 1 a n 1 A n 1
n
a i1 A i1 i1
按第一列展开
.
14
上三角形行列式
a11 a12 a13 a14 a22 a23 a24 a33 a34 a 44
逐次按第一列 展开
a11a22a33a44
上三角形行列式的值为
主对角线上的元素之乘积