线性代数课件-行列式与矩阵
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第2章行列式及矩阵的秩ppt课件
a11 D
T
a21 ak1 a22 ak 2 a2 k akk
T T T a11 A11 a21 A21 ak1 Ak 1
a12 a1k
由于Ai1(i=1,2,…,k)为k-1阶行列式,由归纳法假设,有
返回
AiT 1 Ai 1 , i 1,2, k , 于是
x1 3 x2 5 例2 解二元线性方程组 4 x1 3 x2 5
解: 方程组未知量的系数所构成的二阶行列式
D
1 3 4 3 3 ( 3) 4 Nhomakorabea 15 0
1 5 4 5
方程组有唯一解.又
D1
5 3 5 3
30 , D2
15
3. n阶行列式定义 利用递推方法，可以得到n阶行列式的定义. 定义：n阶矩阵 A=(aij)nn的行列式等于第1行各元素 与其相应的代数余子式乘积之和，即
a11 a12 a1n a11 A11 a12 A12 a1n A1n . a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
1 2 2[2 (10) 4] 6 2 2 48 12 34.
例5 证明n阶行列式(下三角)
a11 0 a21 a22 an1 0 0
a11a22 ann .
an 2 ann
证：由定义，有
a22 0 a a33 11 32 左边 a11 A11 0 A12 0 A1n a11 (1)
于是方程组的解为
D1 30 D2 15 x1 2，x2 1. D 15 D 15
3 x1 x 2 x 3 26 例3 解线性方程组 2 x1 4 x 2 x 3 9 x1 2 x 2 x 3 16
T
a21 ak1 a22 ak 2 a2 k akk
T T T a11 A11 a21 A21 ak1 Ak 1
a12 a1k
由于Ai1(i=1,2,…,k)为k-1阶行列式,由归纳法假设,有
返回
AiT 1 Ai 1 , i 1,2, k , 于是
x1 3 x2 5 例2 解二元线性方程组 4 x1 3 x2 5
解: 方程组未知量的系数所构成的二阶行列式
D
1 3 4 3 3 ( 3) 4 Nhomakorabea 15 0
1 5 4 5
方程组有唯一解.又
D1
5 3 5 3
30 , D2
15
3. n阶行列式定义 利用递推方法，可以得到n阶行列式的定义. 定义：n阶矩阵 A=(aij)nn的行列式等于第1行各元素 与其相应的代数余子式乘积之和，即
a11 a12 a1n a11 A11 a12 A12 a1n A1n . a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
1 2 2[2 (10) 4] 6 2 2 48 12 34.
例5 证明n阶行列式(下三角)
a11 0 a21 a22 an1 0 0
a11a22 ann .
an 2 ann
证：由定义，有
a22 0 a a33 11 32 左边 a11 A11 0 A12 0 A1n a11 (1)
于是方程组的解为
D1 30 D2 15 x1 2，x2 1. D 15 D 15
3 x1 x 2 x 3 26 例3 解线性方程组 2 x1 4 x 2 x 3 9 x1 2 x 2 x 3 16
线性代数-行列式PPT课件
矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。
线性代数下的行列式和矩阵
线性代数下的行列式和矩阵线性方程组一般有 m 个常数项，n 个未知数，m * n 个系数。
若常数项全为 0 ，则为齐次线性方程组；若未知数全为0 ，则称为零解。
于是我们考虑的问题是：齐次方程组：1.是否存在非零解，以及存在的条件2.通解的结构与性质3.解法非齐次方程组：1.是否有解，以及有解的条件是什么2.有多少解以及对应解数量的条件是什么3.多解的结构与性质4.解法行列式二，三阶行列式行列式的初始作用是解线性方程组！例如：最简单的二元线性方程组\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{aligned} \right.\Rightarrow 消元 \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}x_1 = \frac{b_1a_{22} - b_2a_{12}}{a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21}} \\ x_1 = \frac{b_2a_{21} -b_1a_{21}}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \end{aligned} \right.可以得出结论，答案是由方程的四个系数和常数决定的。
所以记住四个系数作为行列式，指定行列式的值是上式的分母:\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}于是有了这么一个行列式之后，我们就可以得到：D = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \ D_1 = \begin{bmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{bmatrix} \ D_2 = \begin{bmatrix}a_{21} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{bmatrix} \\Rightarrow \\ x_1 = \frac{D_1}D, x_2 = \frac{D_2}D同理可以推广到三元线性方程组，定义三阶行列式。
线性代数讲义1矩阵与行列式
逆矩阵的求法
01
02
03
高斯-约旦消元法
通过行变换将矩阵变为行 阶梯形，然后回代求解。
伴随矩阵法
先求出矩阵的伴随矩阵， 然后利用公式$A^{-1} = frac{1}{|A|} * adj(A)$求出 逆矩阵。
分解法
将矩阵分解为若干个简单 的矩阵的乘积，然后利用 这些简单的矩阵求逆，最 后再求出原矩阵的逆。
CHAPTER
高斯消元法的原理与步骤
高斯消元法的原理是通过一系列行变 换将增广矩阵转换为上三角矩阵，从 而求解线性方程组。
步骤包括：将增广矩阵的系数矩阵进 行初等行变换，将其化为行阶梯形矩 阵，然后继续进行行变换，将其化为 上三角矩阵，最后求解未知数。
高斯消元法的应用场景
解决线性方程组
高斯消元法是解决线性方程组的 一种常用方法，适用于系数矩阵 为方阵且系数矩阵可逆的情况。
数。
01
1. r(A) ≤ min(m, n)， 其中m和n分别是矩阵A
的行数和列数。
03
3. r(A) = r(AA^T)，即 矩阵的秩等于其与自身 转置相乘后的矩阵的秩。
05
性质：矩阵的秩是唯一 的，且满足以下性质
02
2. r(A) = r(A^T)，即矩 阵的秩等于其转置矩阵
的秩。
04
秩的计算方法与性质
高斯消元法的优缺点分析
优点
高斯消元法是一种稳定可靠的方法，能够得到线性方程组的精确解。它具有较高的数值 稳定性，适用于大规模问题。此外，高斯消元法还可以用于求解特征值和特征向量等问
题。
缺点
高斯消元法需要手动操作，对于大规模问题需要消耗大量的计算资源和时间。同时，对 于病态问题或者系数矩阵接近奇异的情况，高斯消元法可能会失去数值稳定性，导致求
线性代数行列式课件
行列式与空间向量的关系
总结词
行列式可以用来表示空间向量的方向和大小。
详细描述
在三维空间中，行列式可以用来表示向量的 方向和大小。通过行列式，我们可以计算出 向量的模长以及向量的方向余弦值，从而确 定向量的方向和大小。此外，行列式还可以 用来表示向量的外积和混合积，进一步揭示 了行列式与空间向量的关系。
END
THANKS
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PART 05
行列式的应用实例
在线性方程组中的应用
总结词
行列式在解决线性方程组问题中起到关键作 用，通过克拉默法则，我们可以利用行列式 值来求解线性方程组的解。
详细描述
在解决线性方程组问题时，克拉默法则是一 个重要的工具。该法则指出，如果一个线性 方程组中的系数行列式不为零，则该方程组 有唯一解。通过计算系数行列式和将系数行 列式设置为零，我们可以找到使方程组无解
ONE
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线性代数行列式课件
目 录
• 行列式的定义与性质 • 行列式的展开定理 • 行列式的计算技巧 • 行列式在几何中的应用 • 行列式的应用实例
PART 01
行列式的定义与性质
行列式的定 义
总结词
行列式是n阶方阵所有可能的二阶子 方阵的行列式之积。
详细描述
行列式是由n阶方阵的元素构成的，按 照一定的排列顺序形成的n阶方阵，其 值是一个标量，表示n阶方阵的线性变 换对单位体积的改变量。
行列式的性 质
总结词
行列式的性质包括转置、交换、代数余子式等。
详细描述
行列式的一个重要的性质是转置，即把行列式的行变为列，得到的新的行列式的值与原行列式的值互为转置。交 换行列式的两行，行列式的值变号。代数余子式是去掉一个子行列式后剩下的元素构成的行列式，其值等于原行 列式值的负一倍。
矩阵运算和行列式_几何与线性代数PPT课件
§2.1 矩阵及其运算
例5. 四个城市间的单向航线如图所示. 1
4
若aij表示从i市直达j市航线的条数,
则右图可用矩阵表示为
01 1 1
A = (aij) =
10 01
0 0
0 0
2
3
10 1 0
若bij表示从i市经另外一个城市到j市航线的条数,
则由右图可得矩阵
1
21 1 0
2
B = (bij) =
20 50 30 25 A = 16 20 16 16
200 180 190 100 120 100 B = 150 160 140 180 150 150
第二章 矩阵运算和行列式
§2.1 矩阵及其运算
例2. 四个城市间的单向航线如图所示. 若aij表示从i市 到j市航线的条数, 则右图可用矩阵表示为
BC =
b11c11+b12c21 b21c11+b22c21 b31c11+b32c21
b11c12+b12c22 b21c12+b22c22 b31c12+b32c22
我们比较(AB)C和A(BC)的“规格”以及它们的 第一行第一列处的元素.
A=
a11 a21
a12 a22
a13 a23, B =
则P对于任意的自然数n n0成立.
第二章 矩阵运算和行列式
§2.1 矩阵及其运算
例6. 设A =
cos sin
sin cos
,
求证An =
cosn sinn
sinn cosn
.
证明: 当n = 1时, 结论显然成立.
假设结论对于n = k成立, 即
矩阵和行列式基础PPT课件
（1 ）
若线性方程组(1)的常数项全为0时，称(1)为齐次线 性方程组，这时Dj＝0；
若系数行列式D≠0，则方程组(1)有唯一的零解。
若D=0，方程组（1) 可能有非零解
19
例：求方2x程 x11－ 2组 xx223xx3357的解 3x1x2x3 6
例：求方程 2xx1－ 组 1－ 3xx23
3 －8
零矩阵——元素均为零的矩阵，记为 O.
注意：不同型的零阵是不相等的。
26
行矩阵： [ 2 6 4 ]
20
列矩阵：
8
5
1 0 0
单位矩阵
E＝
0
1
0
0 0 1
0 0 0
零矩阵
O
0
0
0
0 0 0
27
二、矩阵运算
即对应元 素相加
• 1.加法
定义 2 设有两个 mn 矩阵 A (aij ), B (bij ) ，矩阵
4
行列式概念
• 问题：求解二元一次方程组
aa1211xx11 aa1222xx22bb12,,
(1) (2)
用消元法得 a1a122 a1a 221 0
x1
b1a22a12b2 a11a22a12a21
x2
b2a11a21b1 a11a22a12a21
5
用一个简单符号表示运算 a11a22 a12 a21 ，
a11
当 a21
a12 a22
0 时，方程组有唯一的解：
b1 a12
x1
b2 a11
a22 ＝ D1 ,
a12
D
a21 a22
a11 b1
x2
a21 a11
线性代数-行列式(完整版)ppt课件
设 D
,
31
(1)当为何值时， D 0,
(2)当为何值时 D0.
解 230 0，或 3
2
D
2
31
.
例3 求二阶行列式
a 1 b2
.
(2)三阶行列式
记号
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 称为三阶行列式. a 31 a 32 a 33
它表示数
a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32 a 1a 3 2a 2 3 1a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 1 2a 3 32
27下三角行列式的值等于其主对角线上. 各元素的乘积 .
同理可得 上三角形行列式
a 11 a 12 a 13 a 1n
0
D 0
a 22 a 23 a 2n
0 a 33 a 3 n a11a22ann
0 0 0 a nn
其中 aii 0 (i1,2,n)
特殊情况 : 对角形行列式
a1n
a21 a22 a2n1 0
0 0 a2n1 a2n
an11 an12 0 an1 0 0
0
0 an12 an1n1 an1n
0 an1 an2 ann1 ann
( 1 ) aaa a N (j1 j2 jn 1 jn ) 1 j12 j2
和式中仅当 j1n ,j2n 1 , ,jn 12 ,jn1时，
a1j1a2j2annj0
D ( 1 ) nN (n (n ( 1n ) 1 ) 3) 2 a 1 n 1 a 2 ,n 1 a n 1
29
(1) 2 12n .
注：
类似可得
a11 a12 a1n1 a1n 0 0 0
,
31
(1)当为何值时， D 0,
(2)当为何值时 D0.
解 230 0，或 3
2
D
2
31
.
例3 求二阶行列式
a 1 b2
.
(2)三阶行列式
记号
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 称为三阶行列式. a 31 a 32 a 33
它表示数
a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32 a 1a 3 2a 2 3 1a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 1 2a 3 32
27下三角行列式的值等于其主对角线上. 各元素的乘积 .
同理可得 上三角形行列式
a 11 a 12 a 13 a 1n
0
D 0
a 22 a 23 a 2n
0 a 33 a 3 n a11a22ann
0 0 0 a nn
其中 aii 0 (i1,2,n)
特殊情况 : 对角形行列式
a1n
a21 a22 a2n1 0
0 0 a2n1 a2n
an11 an12 0 an1 0 0
0
0 an12 an1n1 an1n
0 an1 an2 ann1 ann
( 1 ) aaa a N (j1 j2 jn 1 jn ) 1 j12 j2
和式中仅当 j1n ,j2n 1 , ,jn 12 ,jn1时，
a1j1a2j2annj0
D ( 1 ) nN (n (n ( 1n ) 1 ) 3) 2 a 1 n 1 a 2 ,n 1 a n 1
29
(1) 2 12n .
注：
类似可得
a11 a12 a1n1 a1n 0 0 0
几何与线性代数(第三章 行列式与矩阵)
n
n 2时 ，D a11 A11 a12 A12 a1n A1n a1 j A1 j j1
其中A1 j (1)1 j M1 j
a21 a2, j1
M1 j
a31
a3, j1
an1 an, j1
a2, j1 a2n a3, j1 a3n
an, j1 ann
( j 1,2,..,n)
ai1 j1 ai2 j1
aik j1
ai1 j2 ai2 j2
aik j2
ai1 jk ai2 jk
aik jk
非零子式
定义（秩）：非零矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩， 记为r(A)或R(A)。规定：零矩阵的秩为0
注：最高阶数，即指A存在r阶非零子式，但所有r+1阶子式 （如果存在）都等于0，则最高阶数为r。 注：r(A)=r(AT)
例：
1 4 2
A 3 5 1
2 1 6
性质2：
a11
a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ann
推论：
** * * 0 0 0 0 ** * *
性质3：
***
*** ***
k (5) A1 1
A
规定：当A可逆时，A0 E, Ak ( A1 )k k N，则当r, s Z时，有
Ar As Ars , ( Ar )s Ars
伴随矩阵
a11
A
a21
an1
a12 a22
an2
a1n
A11
a2n ann
A*
A12
A1n
A21 A22
| A|
| A|
n 2时 ，D a11 A11 a12 A12 a1n A1n a1 j A1 j j1
其中A1 j (1)1 j M1 j
a21 a2, j1
M1 j
a31
a3, j1
an1 an, j1
a2, j1 a2n a3, j1 a3n
an, j1 ann
( j 1,2,..,n)
ai1 j1 ai2 j1
aik j1
ai1 j2 ai2 j2
aik j2
ai1 jk ai2 jk
aik jk
非零子式
定义（秩）：非零矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩， 记为r(A)或R(A)。规定：零矩阵的秩为0
注：最高阶数，即指A存在r阶非零子式，但所有r+1阶子式 （如果存在）都等于0，则最高阶数为r。 注：r(A)=r(AT)
例：
1 4 2
A 3 5 1
2 1 6
性质2：
a11
a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ann
推论：
** * * 0 0 0 0 ** * *
性质3：
***
*** ***
k (5) A1 1
A
规定：当A可逆时，A0 E, Ak ( A1 )k k N，则当r, s Z时，有
Ar As Ars , ( Ar )s Ars
伴随矩阵
a11
A
a21
an1
a12 a22
an2
a1n
A11
a2n ann
A*
A12
A1n
A21 A22
| A|
| A|
线性代数课件第1章：矩阵与行列式
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
这个数表反映了四城市间交通联接情况.
矩阵的定义
由 m n 个数 aij i 1,2,,m; j 1,2,,n
排成的 m行 n列的数表
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 am2 amn
称为 m n矩阵. 记作
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
二、数与矩阵相乘
1、定义
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
am1 am1 amn
2、数乘矩阵的运算规律 （设 A、B为 m n 矩阵， ,为数）
1 A A;
2 A A A;
3 A B A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算.
a12b1 a22b2 a32b3
b1 a13b1 a23b2 a33b3） b2
b3
a11b12 a22b22 a33b32 2a12b1b2 2a13b1b3 2a23b2b3 .
例4
设A
0
1
0 1
求Ak
.
0 0
1 0 1 0
解
A2 0 1 0 1
表示一个从变量x1, x2,, xn 到变量 y1, y2,, ym的 线性变换. 其中aij为常数.
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
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a n1 a n2
a nn
a 1 1 A 1 1 a 1 2 A 1 2 a 1 n A 1 n
n
a 1 j A1 j j1
按第一行展开
.
10
例 根据定义计算行列式的值
1 0 30 2 0 10 3 0 01 0 1 0 2
0 10
200
1 (1)11 0 0 1 3 (1)13 3 0 1
交换i, j两行 数K乘第 i 行 数K乘第 j 行后 加到第 i 行上去 交换i, j两列 数K乘第 i 列
ri r j k ri
ri k r j ci c j
的余子式
ij
M就i是j 在行列式中划掉元素
所
ij
在的行和列，余下的元素按原来的相对位置而构成
的行列式
●代数余子式 A i j
Aij (1)ijMij
三阶行列式的值等于它的第一行的所有元素与各自
的代数余子式的乘积之和
.
9
●n 阶行列式的定义（P222定义1）
a11 a12
a1n
a 21 a 22
a2n
1 0 2
0 1 2
1325
.
11
下三角形行列式
逐次按第一行 展开
a11 0 0 0 a21 a22 0 0 a31 a32 a33 0 a41 a42 a43 a44
a11a22a33a44
下三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积
a11 0 0 0
a a a a 特别 0 a 22 0 0 0 0 a33 0
a 1 1 ( a 2 2 a 3 3 a 2 3 a 3 2 ) a 1 2 ( a 2 1 a 3 3 a 2 3 a 3 1 ) a 1 3 ( a 2 1 a 3 2 a 2 2 a 3 1 )
a11a a3 22 2
a a3 23 3a12a a3 21 1
a a3 23 3a13a a3 21 1
a11a a3 22 2
a a3 23 3a21a a1 32 2
a a1 33 3a31a a1 22 2
a13 a23
a 1 1A 1 1 a 2 1A 2 1 a 3 1A 3 1
三阶行列式等于
第一列所有元素与其代数余子式乘积之和
.
13
●定理
a11 a12
a1n
a 21 a22
a2n
a n1 a n2
b1 b2
当 a11a22a12a210时
方程组有唯一解
x1
b1a22 a11a22
b2a12 a12a21
x2
b2a11 a11a22
b1a21 a12a21
如果规定
a11
a21
则有
a12 a22
a11a22 a12a21
D
b1
a 12
x1
b2 a 11
a 22 a 12
D1 D
a 21
a 22
a nn
a 1 1 A 1 1 a 2 1 A 2 1 a n 1 A n 1
n
a i1 A i1 i1
按第一列展开
.
14
上三角形行列式
a11 a12 a13 a14 a22 a23 a24 a33 a34 a 44
逐次按第一列 展开
a11a22a33a44
上三角形行列式的值为
主对角线上的元素之乘积
第六章 行 列 式 与 矩 阵
n阶行列式的概念
行列式的性质与计算 Cramer法则
矩阵及其计算 逆矩阵与矩阵的秩
分块矩阵
矩阵的初等变换
.
1
第 一 节 n 阶行列式
学习重点
余子式与代数余子式的概念 n阶行列式的概念
.
2
●行列式的引入
引例：用加减消元法求解
二元线性方程组
aa2111x1 x1 Nhomakorabeaa12x2 a22 x2
a 33
.
6
例 根据定义计算行列式的值
514 3 2 1 2 0 2
对角线 法则
522 1(1)(2) 430
42(2) 132 5(1)0
32
.
7
a11 a12 a13
a 2 1 a 2 2 a 2 3 a11a22a33a12a23a31a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
a22 a32
a 1 1A 1 1a 1 2A 1 2a 1 3A 1 3
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a31 a32 a33
元素 a 1 2 的余子式
元素 a 1 2 的代数余子式
.
a 21 a 31
a 23 a 33
M 12
(1)12M12 A1 2
8
●余子式
a a 元素
1、转置变换
a11 a12
a1n
Transpose D a21 a22
a2n
行、列对掉
an1 an2
annn
ri ci
a11 a21 D a12 a22
an1
an2
或记作 D T
a1n a2n
ann
称 D T 为行列式 D 的.转置行列式
18
2、换法变换 3、倍法变换 4、消法变换
换法变换 倍法变换 消法变换
——对角线. 法则
5
●三 阶行列式
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a31 a32 a33
对角线法则
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
a 11 a 12
a 13
a 21 a 22
a 23
a 31 a 32
x2
.
a 11 a 21 a 11 a 21
b1
b2 D2
a 12
D
a 22
3
●二阶行列式 定义
determinant
ab ad bc
cd
a
b
c
d
.
4
例 根据定义计算行列式的值
6 2 6(3)2(5) 8
5 3
cos sin cos2(sin2) 1
sin cos
主对角线元素之积减去副对角线元素之积
.
15
例 计算行列式的值
1 2 30 0 0 10 3 0 01 0 1 0 2
按第一列展开
0 10
2 30
1 (1)11 0 0 1 3 (1)31 0 1 0
1 0 2
1 0 2
13411
.
16
第 二 节 行列式的性质及计算
学习重点
行列式的性质 行列式的按行按列展开定理
.
17
●行列式的几种变换
11 22 33 44
0 0 0 a44 .
12
a11 a12 a13
a 2 1 a 2 2 a 2 3 a11a22a33a12a23a31a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
a 1 1 ( a 2 2 a 3 3 a 2 3 a 3 2 ) a 2 1 ( a 1 2 a 3 3 a 1 3 a 3 2 ) a 3 1 ( a 1 2 a 2 3 a 1 3 a 2 2 )