数学建模经典教材 优秀解题方法 战斗模型
数学建模解题方法
数学建模解题方法数学建模解题方法古典文学常见论文一词，谓交谈辞章或交流思想。
当代，论文常用来指进行各个学术领域的研究和描述学术研究成果的文章，简称之为论文。
以下是店铺整理的数学建模解题方法，希望能够帮助到大家！数学自诞生起目的就是解决实际问题，随科技日新月异的发展，数学对社会发展的巨大推动力日益凸显，在利用数学服务科技时，数学建模便成了必然选择。
数学建模的思想和方法渗透并应用于经济、生物、航天等社会的方方面面。
1994年起，教育部规定面向全国高校举办每年一次的全国大学生数学建模竞赛，全国高校掀起了数学建模热潮，目前全国大学生数学建模大赛已经成为全国大学生的四大竞赛之一，成为全国高校中规模最大、影响力最广的大学生课外科技活动，大大提高了数学教学中对数学建模思想和能力的培养，同时也促进了大学数学内容和方法的改革，笔者通过新疆地方高校的多年数学学科教学经历和大学生数学建模竞赛指导经历，结合对新疆地方高校的调查分析，对新疆地方高校数学建模教学的发展状况及对策建议进行探讨：一、新疆地方高校数学建模的发展现状（一）低年级大学生对数学建模知识认识欠缺大学数学是理工类院校的重要基础课程，对课程起到了不可或缺的支撑作用，大学数学课程理论性强，新疆地方高校的学生本身起来就比较吃力，教师教学中更是无暇讲述和普及数学建模的思想和方法，所以相当一部分学生感到数学建模既神秘又高不可攀。
（二）新疆地方高校学生数学基础薄弱，大学数学课程的教学和专业学习存在脱节受地域限制，新疆地方高校学生大部分来自于新疆各地州，包括汉、维、哈、柯、蒙等少数民族，数学基础参差不齐，相比较内地高校数学基础水平存在一定差距，学生学习数学兴趣不高，缺乏主动性，疲于应付考试，因此参加数学建模竞赛学生的比例比较低，导致理论知识与专业应用严重脱节，直接影响理工类专业学生的专业能力和培养质量。
（三）数学教学过程中，疏于数学教学建模思想和方法的渗透和培养数学教学中渗透数学建模的思想和方法，要求授课教师不仅要有扎实的数学功底，而且还要有广博的知识面和丰富的数学建模经验。
数学建模模型解题法 (2)
数学建模模型解题法引言数学建模是一种通过建立数学模型描述和解决实际问题的方法。
在数学建模中，模型的构建是一个关键的步骤，而解题则是将模型应用于具体问题并得出有意义结论的过程。
本文将介绍一些常用的数学建模模型解题方法。
一、数值解法数值解法是一种基于数值计算的解决方法，适用于无法用解析方法求解的问题。
常见的数值解法有以下几种：1. 近似解法近似解法是通过对原方程进行近似处理，得到一个近似解的方法。
常见的近似解法有牛顿法、二分法和割线法等。
牛顿法牛顿法是一种通过迭代计算逼近方程根的方法。
它利用泰勒级数展开对函数进行逼近，并使用切线与x轴的交点作为下一个近似解。
具体步骤如下： 1. 选取初始近似解x0； 2. 计算函数f(x)在x0处的导数f′(x0)； 3. 计算切线方程，即f(x0)+f′(x0)(x−x0)=0； 4. 解得x1为切线方程与x轴的交点，作为下一个近似解x1； 5. 若满足精度要求，则停止迭代；否则，返回第2步。
二分法二分法是一种通过将区间等分并缩小区间范围的方法求方程根。
具体步骤如下：1. 选取区间[a, b]，其中a和b分别是方程根的近似解； 2. 计算区间中间点c=(a+b)/2； 3. 判断c是方程根的左侧还是右侧； 4. 缩小区间范围： - 若c是方程根的左侧，则将c作为新的区间右端点，即令b=c； - 若c是方程根的右侧，则将c作为新的区间左端点，即令a=c； 5. 若满足精度要求，则停止迭代；否则，返回第2步。
割线法割线法是一种通过使用割线近似切线的方法求解方程根。
具体步骤如下： 1. 选取初始近似解x0和x1； 2. 计算割线方程，即通过(x0,f(x0))和(x1,f(x1))计算割线斜率，并与x轴求交； 3. 解得x2为割线方程与x轴的交点，作为下一个近似解x2；4. 若满足精度要求，则停止迭代；否则，返回第2步。
2. 插值法插值法是一种通过已知数据点构建一个拟合曲线，并使用该曲线来估算未知数据点的方法。
数学建模--最佳作战方案
制定最佳作战方案—第五届军事数学建模竞赛摘要：本文主要是关于：根据不同战场情况，结合我方实力及战略需求，合理安排装甲突击力量的问题分析。
通过分析，列出各种可能方案，为指挥员决策提供科学可靠的参考信息。
本例中，我们结合军事运筹理论，利用合理的模型，以求达到以最小的局部的牺牲获得全局的最优。
最终在消灭敌人的前提下，最大限度的保存我军实力。
关键词：决策；0-1规划；组合出勤；线性约束优化；1、问题重述与分析某次战役结束时，上级通报战况，还有10个敌方独立目标对我构成威胁。
上级命令准备撤离战场的某部迅速派出装甲作战力量，于当日18时开始行动，至次日18时之前消灭上述10个敌方孤立目标。
该部现有5辆装甲车辆能够执行此项任务。
已知5辆装甲车辆的有效摩托小时分别是18、19、25、19、20小时。
现已掌握如下作战信息：1、5辆装甲车辆都可独立承担消灭上述敌方目标的作战任务；的作战方案；问题2：如果装甲车辆都可相互支援，确定消灭全部目标有效摩托小时最少的作战方案；问题3：假设完成任务的时限可以推迟2小时，且在采取必要措施的情况下，装甲车辆的有效摩托小时可以延长10%（可以不考虑弹药消耗），为了最大限度地保存实力，请综合考虑以上情况，确定确保完成任务的情况下，动用装甲车辆的最少数量。
2、问题分析由于各个装甲车辆的战斗性能的差别，导致其对敌方不同独立目标清除所需的有效摩托小时差别很大，因此，我们必须科学分配装甲车辆的战斗任务。
在此，我们通过模型建立，借用线性规划的思想（因为各战斗车辆的作战有效摩托时间相互独立，不存在非线性的关系），通过线性约束，最终求解，得到最佳的分派方案，实现战斗目标。
问题1中的内在联系为：各车辆只能接受一个整型的战斗任务，这样就造就了各战斗车辆有效摩托时间零碎性浪费，达不到武装力量的的作战性能限度。
问题2中，各战斗车辆可以相互支援，故可消除有效摩托时间零碎性浪费，而这种战术要求下催生的附加约束条件是—全部或部分装甲车出勤，敌方目标的摧毁所需的有效摩托时间作为了主要的考虑因素，由于相互协同完成同一份工作，故只能按单位一完成任务。
数学建模的多种作战模型
数学建模中的作战模型在第一次世界大战期间，F ·W 兰彻斯特（Lanchester ）投身于作战模型的研究，他建立了一些可以从中得到交战结果的数学模型，并得到了一个很重要的“兰彻斯特平方定律”：作战部队的实力同投入战斗的战士人数的平方成正比。
对于一次局部战斗，有些因素可以不考虑，如气候，后勤供应，士气的高低，而有些因素我们把双方看成是相同的，如武器配备，指挥艺术。
还可简单地认为两军的战斗力完全取决于两军的士兵人数。
两军士兵都处于对方火力范围内，由于战斗紧迫，短暂，也不考虑支援部队。
一、 正规战模型：令()X t 表ｔ时刻甲军人数,()y t 表ｔ时刻乙军人数：在以上假设下，显然甲军人数的减员率与乙军人数成正比，同样乙军减员率与甲军人数成正比．可得正规部队对正规部队的作战模型为dxdt aydydtbx =-=-⎧⎨⎪⎩⎪ (1)其中a > 0，b > 0均为常数，积分（1）得ay bx ay bx c 220202-=-= (2)这就是“兰彻斯特平方定律”，（2）式在X-Y 平面上是一族双曲线。
如图17.8所示，双曲线上的箭头表示战斗力随着时间而变化的方向。
由图17.8可知，乙军要想获胜，即要使不等式2020bx ay >成立。
可采用两种方式：(1) 增加a ，即配备更先进的武器；(2) 增加最初投入战斗的人数y 0。
但是，值得注意的是：在上式中，a 增大两倍，结果ay 02也增大两倍，但y 0增大两倍则会使ay 02增大四倍。
这正是两军摆开战场作正规战时兰彻斯特平方定律的意义，说明兵员增加战斗力将大大增加。
如果考虑两军作战时有增援，令)(t f 和)(t g 分别表示甲军和乙军t 时刻的增援率，所谓增援率，就是增援战士投入战斗或战士撤离战斗的速率。
此时正规部队对正规部队的作战模型为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=)()(t g bx dtdyt f ay dt dx(3)现在回答一开始时提出的问题，设甲军有m=100人，乙军有n=50人，两军装备性能相同，即令ab=1，没有援军，将(2)变为 y b a x c ay x ca2222-=-=(4)将y = 100，x = 50代入(4)式得 10050750022-==ca(5) 再将c/a=7500代入(17.29)式得y t x t 227500()()-= (6) 战斗结束一方人数为零，显然这里乙军x=0，代入(6)式得y y 2750087=≈即甲军战死13人，剩下87人，乙军50人全部被消灭。
数学建模实例-战争模型
2021/4/1
10
矩阵乘积AB的计算量分析
a a a … a 11
12
13
1n
a ....… ...
a a a …a m1
m2
mm-1
mn
b b b … b 11
12
13
1s
b b b … b 21
22
23
2s
......… ...
b b b … b n1
n2
12
1. 《数值分析》第四版，李庆杨编 , 清华大学出版 社,2001
2. 《数值分析基础》，关治等编 , 高教出版社,1998
3.《应用数学基础》，熊洪云等著，天大出版社
参考书
2021/4/1
13
考试方法
2021/4/1
1.闭卷考试占70% 2.平时作业及课堂回答问题占30%
注:平时作业采用指定一组做多媒体
综合战斗力的评价函数 rx p x x 2
2021/4/1
8
游击作战模型
模型假设:
1. 不考虑增援，忽略非战斗减员；
2. 甲乙双方的战斗减员率不光与对方的兵力有关，同样设 为是正比关系；而且与自己一方的士兵数有关
3. Sx、Sy 分别表示甲乙双方的有效活动区域的面积，sx、
sy分别表示甲乙双方一枚炮弹的有效杀伤范围的面积
2021/4/1
2
模型假设
1.设 x(t) 、 y(t)为双方的士兵人数； 2.设x(t) 、 y(t)是连续变化的，并且充分光滑；
3.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力，不妨以f(x,y)、
g(x,y)分别表示甲乙双方的战斗减员率； 4. 每一方的非战斗减员率与本方的兵力成正比，甲乙双方
数学建模课件03-2第三章 第9节 微分方程模型.
硫黄岛位于东京以南660英里的海面上，是日军 的重要空军基地，美军在1945年2月19日开始进攻， 激烈的战斗持续了一个月，双方伤亡惨重，日军守 军21500人全部阵亡或被浮，美军投入兵力73000人， 伤亡20265人，战斗进行到28天时美军宣布占领该岛， 实际战斗到36天才停止。美军的战地记录有按天统 计的战斗减员和增援情况，日军没有后援。根据实 际战地记录，由正规战争模型得到的美军伤亡的理 论曲线与实际伤亡曲线相当吻合。
所以正规战争模型为
dx dt
ay
dy
dt
bx
(10 1)
其中a 0,b 0 均为常数，
a(或b)越大，表示乙军（或甲军）战斗力越强。 记E＝ b 称为甲军与乙军的交换比，
a 联立方程(10-1)求解得
dy bx E x dx ay y
(10 2)
分离变量并积分得
2
y2 E x2 C 2 22
§9 作战模型
问题：两军对阵，现甲军有 x0个士兵，乙军有 y0
个士兵，试讨论战斗过程中双方的伤亡情况以及最 后的结局。
一、正规战争模型
令x (t )表示t时刻甲军人数， y(t) 表示t时刻乙军人数。 在以上假设下，显然甲军人数越多，乙军伤
亡越大，反之亦然，所以有 甲军人数的减员率与乙军人数成正比； 乙军人数的减员率与甲军人数成正比。 1
如果交换比E＝ 1
C
4 30002
1
60002
0
所以当乙军被消4 灭,即y＝0时，x＝0，即双
方“同归于尽”。1
如果交换比E＝ 5 得
C 30002 1 60002 180000 0 乙军胜
当x＝0时，
5
y C 1800000 1340
高考数学建模模型解题法分析！
高考数学建模模型解题法分析！数学成绩差，归根到底，没方法，缺少正确的引导！针对这个令广大莘莘学子头疼的问题，我们提出模型解题法。
只要在科学方法的引导下，成绩一定会得到最大程度的提高。
数学策略：“模型解题法”：模型三大步：看题型、套模型、出结果。
第一步：熟悉模型，不会的题有清晰的思路第二步：掌握模型，总做错的题不会错了第三步：活用模型，大题小题都能轻松化解一、选择题解答模型策略近几年来，陕西高考数学试题中选择题为10道，分值50分，占总分的33.3%。
注重多个知识点的小型综合，渗逶各种数学思想和方法，体现基础知识求深度的考基础考能力的导向，使作为中低档题的选择题成为具备较佳区分度的基本题型。
准确是解答选择题的先决条件。
选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分。
所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。
迅速是赢得时间，获取高分的秘诀。
高考中考生“超时失分”是造成低分的一大因素。
对于选择题的答题时间，应该控制在30分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完。
一般地，选择题解答的策略是：①熟练掌握各种基本题型的一般解法。
②结合高考单项选择题的结构（由“四选一”的指令、题干和选择项所构成）和不要求书写解题过程的特点，灵活运用特例法、筛选法、图解法等选择题的常用解法与技巧。
③挖掘题目“个性”，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择。
【高中知识宝典】app——覆盖高中全部知识要点，欢迎同学们下载！（小编的作品，支持一下，谢谢！）二、填空题解答模型策略填空题是一种传统的题型，也是高考试卷中又一常见题型。
陕西高考中共5个小题，每题5分，共25分，占全卷总分的16.7%。
根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：一是定量型，要求学生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等。
数学建模竞赛中的数学模型求解方法
数学建模竞赛中的数学模型求解方法数学建模竞赛是一项旨在培养学生数学建模能力的竞赛活动。
在竞赛中，参赛者需要利用数学知识和技巧，解决实际问题，并提出相应的数学模型。
然而，数学模型的求解方法却是一个非常关键的环节。
本文将介绍一些常见的数学模型求解方法，帮助参赛者在竞赛中取得好成绩。
一、线性规划线性规划是数学建模中常见的一种模型求解方法。
它的基本思想是将问题转化为一个线性函数的最优化问题。
在线性规划中，参赛者需要确定决策变量、目标函数和约束条件，并利用线性规划模型求解最优解。
常见的线性规划求解方法有单纯形法、内点法等。
这些方法基于数学原理，通过迭代计算，逐步接近最优解。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量取整数值。
整数规划在实际问题中具有广泛的应用，例如货物运输、资源分配等。
在整数规划中，参赛者需要将问题转化为一个整数规划模型，并利用整数规划求解方法求解最优解。
常见的整数规划求解方法有分支定界法、割平面法等。
这些方法通过分解问题、添加约束条件等方式，逐步缩小搜索空间，找到最优解。
三、非线性规划非线性规划是一类目标函数或约束条件中包含非线性项的最优化问题。
在实际问题中，很多情况下目标函数和约束条件都是非线性的。
在非线性规划中，参赛者需要选择适当的数学模型，并利用非线性规划求解方法求解最优解。
常见的非线性规划求解方法有牛顿法、拟牛顿法等。
这些方法通过迭代计算，逐步逼近最优解。
四、动态规划动态规划是一种解决多阶段决策问题的数学方法。
在动态规划中，参赛者需要确定状态、决策和状态转移方程，并利用动态规划求解方法求解最优解。
常见的动态规划求解方法有最优子结构、重叠子问题等。
这些方法通过存储中间结果、利用递推关系等方式，逐步求解最优解。
五、模拟与优化模拟与优化是一种常见的数学模型求解方法。
在模拟与优化中，参赛者需要建立数学模型，并利用计算机模拟和优化算法求解最优解。
常见的模拟与优化方法有蒙特卡洛模拟、遗传算法等。
数学建模军事建模
数学建模
军事模型
6
正规战模型
甲乙双方都用正规部队作战。我们只须分析甲方的 战斗减员率f ( x, y ) . f 可简单假设为
f ＝ay
其中：a —乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率（单位 时间的杀伤数），称为乙方的战斗有效系数。
a ＝ ry py
其中： ry—乙方的射击率（每个士兵单位时间的射击次数) py—乙方的命中率
等因素，而仅靠战场上兵力的优劣是很难估计战
争胜负的， 所以用这些模型判断整个战争的结
局是不可能的，但是对于局部战役来说或许还有
参考价值。 更重要的是，建模的思路和方法为
我们借助数学模型讨论社会科学领域中的实际问
题提供了可以借鉴的示例。
数学建模
军事模型
4
一般战争模型
用x( t ) 和y( t ) 表示甲乙交战双方 t 时刻的兵力
如果在某个时刻x ( t ) ＝ 0 ，并且 g = 0 ，但由于x’( t ) = ky ， x ( t ) 也不会保持为零。
数学建模 军事模型 29
线性常系数微分方程组 X’ = AX + R 的平衡点是稳
定的 A的所有特征根都具有负实部。
dx dt dy dt
x ky g lx y h (19)
假设
1. 每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力， 用f ( x, y ) 和 g( x, y ) 表示。 2. 每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑等因素引 起）与本方的兵力成正比。
3. 每一方的增援率是给定的函数，用u( t ) 和 v( t ) 表示。
数学建模 军事模型 5
由此可以写出用微分方程表示的模型
dx f ( x y ) x u (t ) 0 dt dy g ( x y ) y v(t ) 0 dt
数学建模高三上学期三年级优质课模型建立与问题求解的方法
数学建模高三上学期三年级优质课模型建立与问题求解的方法在高三上学期的数学学习中，数学建模是一个非常重要的部分。
通过数学建模，可以帮助学生将抽象的数学理论与实际问题相结合，培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。
本文将介绍数学建模的优质课模型建立与问题求解的方法，以帮助高三学生更好地应对数学建模相关的考试和竞赛。
1. 模型的建立在建立数学建模模型时，首先要明确问题的背景和目标。
通过仔细阅读题目，分析问题背景以及需要解决的具体问题，确定问题的约束条件和目标函数。
在建模过程中，可以利用数学公式、图表、统计数据等工具，将问题抽象为数学模型。
在建立模型的过程中，需要灵活运用代数、几何、概率等数学知识，确保模型的准确性和可行性。
2. 模型的求解模型的求解是数学建模过程中的关键环节。
根据建立的模型，选择合适的数学方法和工具对问题进行求解。
在求解过程中，可以运用数值计算、函数分析、优化方法等数学技巧，以及计算机软件和编程工具，对模型进行仿真和优化。
同时，要注意对结果进行合理的解释和分析，将数学解与实际问题进行联系，得出切实可行的结论。
3. 模型的评价模型的评价是数学建模过程中的重要环节。
评价模型的优劣，可以从模型的准确性、实用性、稳定性等方面进行考察。
准确性是指模型能否准确地描述和解决实际问题；实用性是指模型是否具有一定的实用价值，是否能为实际问题提供有效的解决方案；稳定性是指模型在不同条件下是否具有一定的稳定性和适应性。
通过评价模型的优劣，可以对模型进行改进和优化，进而提高数学建模的能力和水平。
总结起来，数学建模高三上学期三年级优质课模型建立与问题求解的方法需要明确问题的背景和目标，灵活运用数学知识和工具，进行模型的建立和求解，并对模型进行合理的评价。
通过不断练习和实践，高三学生可以提高数学建模的能力，更好地应对相关考试和竞赛。
希望本文的介绍可以对高三学生的数学建模学习有所帮助。
数学建模的模型求解
信电学院２００７级１９班队员：黄坡于斌山韩宗涛摘要在足球比赛中，进攻球员在对方球门前不同位置起脚射门时对球门的威胁是不一样的，在球门的正前方威胁要大于在球门两侧射门；近距离射门的威胁要大于远距离的射门。
问题的提出要用数学的方法来解决进攻球员在不同的位置，不同角度，不同距离的情况下起脚射门时对球门的威胁度的大小，即球门危险度的问题，我们可以根据球场的实际情况来求出从球场上的任意一点射门时进球的概率，我们通过求出每一点的概率来定义球门危险度,从而得出球场上任意一点的危险程度.模型的假设对于该问题可从正反两个方面进行假设模型。
一是从正面假设模型,把球场看成一个标准的三维坐标系,将在建好的空间直角坐标系各点射门时的速度看成一个向量,并求出它在空间直角坐标系上各坐标轴的方向余弦,然后结合速度的大小将其分参建立方程,最后得到以三个方向余弦和速度大小为变量的函数,来表示从球场上各点打门进球的概率,从而求出射门对球门的危险度二是从反面考虑来建立数学模型(主要利用电子束的发射原理).既然从球场上各点射门时足球有打进球门的可能性,不妨选择能打进球门的球,利用倒退原理将从各个方向已经射入球门的球按照原来的轨迹返回,找到足球的落点.以下情况均按照从球门所在的平面向各个方向发射足球(只考虑半球面的方向),这样我们就可以很轻松的将球发射时的速度与其落点联系起来.即我们可以假设一次以定的速度发射足够多的足球发射到球场上面,则在速度的变化过程中每一次改变速度时就会使足球的落点有一次不同的分布,通过求出在改变速度时足球在各个点上落到的总次数来对比如果次数越多则说明从此点开球打中球门的概率就越大.也就是说从此点射门的危险度就越高.主要变量的参数的定义:对于模型(一)需要定义的变量有:速度向量V 而其又可以分解成其他四个变量来简化运算,分别是:速度大小v,X轴的方向余弦为cosà,Y轴的方向余弦为cosß,Z轴的方向余弦为cosÞ;记足球运动的时间为t.对于模型(二)需要定义的变量主要有:足球的初速度最大为Vm,最小初速度为0;设从球门内向外发射足球时的水平速度Vw与球门中心线的夹角a; 用Lm1表示以任意速度的所能达到的最大距离,最小距离为0;其中,Vm的水平。
战争数学建模案例
战争数学建模案例咱来聊聊战争里的数学建模，这可相当有趣呢！一、简单的兵力对比模型。
想象一下，古代有两支军队，A军和B军，要在一片平原上打仗。
我们先简单地假设战斗的结果只取决于兵力。
假设A军有1000人，B军有800人。
我们可以建立一个超级简单的模型：如果每个士兵的战斗力大致相同，那这场战斗的胜负可能就取决于兵力的数量。
这里就可以有一个基本的公式：战斗结果 = A军兵力 B军兵力。
在这个例子里，结果就是1000 800 = 200。
如果这个数字大于0，我们就可以初步判断A军可能会获胜。
但这可太简单了，实际战争里哪有这么单纯的事儿呢？二、考虑伤亡率的模型。
现在我们得让这个模型更接近现实一点。
打仗的时候肯定会有伤亡啊。
假设A军每一轮战斗会损失10%的兵力，B军每一轮战斗会损失15%的兵力。
我们可以这样来模拟战斗过程。
第一轮：A军剩余兵力 = 1000×(1 0.1)=900人；B军剩余兵力 = 800×(1 0.15)=680人。
然后再进行下一轮，A军第二轮剩余兵力 = 900×(1 0.1)=810人；B军第二轮剩余兵力 = 680×(1 0.15)=578人。
这个模型就考虑到了战争中的伤亡情况，比之前只看初始兵力的模型要靠谱一些了。
三、地形因素加入模型。
不过啊，战争还得考虑地形。
假如A军在一个山坡上，这个山坡易守难攻。
我们就得给A军加点“地形优势分”。
比如说，在这个地形下，B军每次攻击只能发挥出正常攻击力的80%，而A军的防御能力因为地形能提升到120%。
那在计算伤亡率的时候就不一样了。
B军的实际伤亡率可能就从每轮15%变成了15%÷0.8 = 18.75%（因为攻击力降低了，造成对方伤亡的能力下降）；A军的实际伤亡率从每轮10%变成了10%÷1.2≈8.33%（防御能力增强，自己伤亡减少）。
然后再按照之前考虑伤亡率的计算方法，就会得到不同的战斗结果。
数学建模-战争模型
在战争模型中，设乙方与甲方战斗系数之比为a/b=4,初始兵力相同，则 （1）问乙方取胜时的剩余兵力是多少，乙方取胜的时间如何确定。
（2）若甲方在战斗开始时有后备部队以不变的速率r 增援，重新建立模型，讨论如何判断双方的胜负。
解：（1）模型建立：（在没有增援的情况下）设()x t 为t 时刻甲方存活的士兵数，()y t 为t 时刻乙方存活的士兵数。
假设：（1）双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗，()x t 和()y t 都是连续变量。
（2）乙方军队的一个士兵在单位时间内杀死甲方军队a 名士兵； （3）甲方军队的一个士兵在单位时间内杀死乙方军队b 名士兵； 则有x ay t y bx t∆=-∆∆=-∆令0t ∆→，得微分方程组模型：(0) (0)dxay a dtdy bx b dt⎧=->⎪⎪⎨⎪=->⎪⎩ （1） 记bE a=，称为甲军与乙军的交换比。
对上式求解得 dy bx x E dx ay y== 分离变量并积分得22y Ex C -= （2）再设初始条件为0(0)(0)x x y y =⎧⎨=⎩从而2200C y Ex =- （3） 易知，式(2)表示一个双曲线，图形如下：由图可知：若0C >，乙军胜，且当yx 为零。
若0C =，平局。
且当y 减少到零时，x 也为零。
若0C <，甲军胜，且当x时，y 将为零。
第一个问题：若初始兵力相同，即00x y =，则2220034C y Ex x =-=，所以乙军02x =。
令4,1a b ==，求解(1)式，得2200220031()2231()44t t t tx t x e x e y t x e x e --⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩令()0x t =或0()y t x =得取胜时间为1ln 30.27t =≈(2)有增援的情况下，模型变为(0) (0)dxay r a dtdy bx b dt⎧=-+>⎪⎪⎨⎪=->⎪⎩ （4） 解之得222ay bx ry C --= （5）配方得222()r r a y bx C a a--=+ （6）即 2222()r C r y Ex a a a--=+显然(6)仍然是一个双曲线，类似于前面的讨论。
数学建模第十讲博弈模型
（1）游戏决定者—甲、乙儿童两人； （2）游戏者的决定—石头、剪子、布； （3）游戏的收益（支付）--胜得分为 1，负得分为 -1，平得分为 0 。
问题二:囚徒困境
甲乙两个嫌疑犯因同一罪行被逮捕,如果双方均 坦白，则各获刑3年，如果双方均不坦白，则各获刑 2年，如果其中一人坦白，另一人不坦白，则坦白一 方宽大释放，另一方获刑5年，两个嫌疑犯各自应采 取什么策略才能使自己的刑期最短。
若存在
ai*j*
=min
j
max
i
aij
=
bi*j*
=min
i
max
j
bij
则称局势（ α i* , β j* ）为G在纯策略意义下的解 （或称纳什均衡点）， α i*与β j*分别称为局中人 Ⅰ﹑Ⅱ的最优纯策略。
2﹒双矩阵对策G在混合策略意义下的解
设G*={S1*, S2*;E1,E2}是矩阵对策G={S1, S2;A,B} 的混合扩充，如果存在x*∈ S1* ,y*∈ S2*,使得对一切 x∈ S1* ,y∈ S2*，有
问题分析：问题中所涉及的要素
（1）决定者—甲、乙嫌疑犯两人； （2）可用的决定—坦白、不坦白；
（3）甲乙的收益（支付）--获刑年数 。
对策行为的三要素
1﹒局中人 在一个对策行为中，有权决定自己行动方案的对
数学建模的常用模型与求解方法知识点总结
数学建模的常用模型与求解方法知识点总结数学建模是运用数学方法和技巧来研究和解决现实问题的一门学科。
它将实际问题抽象化，建立数学模型，并通过数学推理和计算求解模型，从而得出对实际问题的理解和解决方案。
本文将总结数学建模中常用的模型类型和求解方法，并介绍每种方法的应用场景。
一、线性规划模型与求解方法线性规划是数学建模中最常用的模型之一，其基本形式为：$$\begin{align*}\max \quad & c^Tx \\s.t. \quad & Ax \leq b \\& x \geq 0\end{align*}$$其中，$x$为决策变量向量，$c$为目标函数系数向量，$A$为约束系数矩阵，$b$为约束条件向量。
常用的求解方法有单纯形法、对偶单纯形法和内点法等。
二、非线性规划模型与求解方法非线性规划是一类约束条件下的非线性优化问题，其目标函数或约束条件存在非线性函数。
常见的非线性规划模型包括凸规划、二次规划和整数规划等。
求解方法有梯度法、拟牛顿法和遗传算法等。
三、动态规划模型与求解方法动态规划是一种用于解决多阶段决策问题的数学方法。
它通过将问题分解为一系列子问题，并利用子问题的最优解构造原问题的最优解。
常见的动态规划模型包括最短路径问题、背包问题和任务分配等。
求解方法有递推法、记忆化搜索和剪枝算法等。
四、图论模型与求解方法图论是研究图及其应用的一门学科，广泛应用于网络优化、城市规划和交通调度等领域。
常见的图论模型包括最小生成树、最短路径和最大流等。
求解方法有贪心算法、深度优先搜索和广度优先搜索等。
五、随机模型与概率统计方法随机模型是描述不确定性问题的数学模型，常用于风险评估和决策分析。
概率统计方法用于根据样本数据对随机模型进行参数估计和假设检验。
常见的随机模型包括马尔可夫链、蒙特卡洛模拟和马尔科夫决策过程等。
求解方法有蒙特卡洛法、马尔科夫链蒙特卡洛法和最大似然估计等。
六、模拟模型与求解方法模拟模型是通过生成一系列随机抽样数据来模拟实际问题，常用于风险评估和系统优化。
数学建模解题思路与方法
2、方法的选择
我们的选择：
关于排序：
层次分析法（我们的数据层次感不强，且层次 分析要主观确定权重）
主成分，因子（KMO检验没通过） ——多目标决策分析方法：TOPSIS 法。
关于预测：
回归分析差较小，但有时
有过拟合的现象——模糊粒子化）
3、数学建模常用的方法
遗传算法，神经网络）
推荐接触的方法
4、数学建模示例 例 出版社的资源配置问题
目标：获取最大总利润（数学中的最值，即最优化 问题） 出版社的总利润就等于各分社的利润之和。 Max（sum（分社的利润））
机理分析：
分社的利润=销售总额×C/（1+C）（由于本 文中的各课程书目具有同一的利润率C）
销售总额=卖出的书本数（销售量）×书本的 平均定价（单价）
2、方法的选择
层次分析法 统计分析 （主成分，因子，聚类） 判别分析 回归分析 模糊建模（GM（1,1）） 图论（略） 遗传算法（略） BP神经网络
2、方法的选择
大家已了解的方法： 层次分析法 统计分析 （主成分，因子，聚类） 判别分析 回归分析 模糊建模（GM（1,1）） 图论（略） 遗传算法（略） BP神经网络
整体思路的形成
对前两步形成的思路结合可得数据进行进一步细 化
——纵横比较（大方向） ——横向：经济影响（数据基本可得或 替代）；纵向：由于时间的久远，举办 城市的经济数据难以查询，从世博会网 站可查阅世博会本身的数据，因而转为 考虑世博会自身的总体影响力（注意数 据指标要可以解释总体影响力——见原 文，排序）
分社的利润=分得的书号数×平均单位书号书 本数（单位销量）×书本的平均定价×C/ （1+C）
测试分析：确定来年的单位销量
初中数学模型解题题技巧学习方法有哪些
初中数学模型解题题技巧学习方法有哪些初中数学模型解题题技巧：学会运用数形结合思想，数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法；旋转全等模型；配方法，通过把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式解决数学问题的方法。
初中数学模型解题题技巧学会运用数形结合思想数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想。
纵观近几年全国各地的中考压轴题，绝大部分都是与平面直角坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题配方法通过把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式解决数学问题的方法，叫配方法。
配方法用的最多的是配成完全平方式，它是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
学会运用函数与方程思想从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
初中数学学习方法1、课前预习阅读。
预习课文时，要准备一张纸、一支笔，将课本中的关键词语、产生的疑问和需要思考的问题随手记下，对定义、公理、公式、法则等，可以在纸上进行简单的复述，推理。
战争数学建模方法
战争数学建模方法我折腾了好久战争数学建模方法，总算找到点门道。
说实话，这战争数学建模啊，一开始我也是瞎摸索。
我就知道肯定要把战争中的各种元素用数学的方式表示出来，可到底怎么表示，那真是一头雾水。
我最开始尝试的方法呢，就是简单的把双方的兵力设为变量，比如说甲方兵力为x，乙方兵力为y。
我想着这战争不就是两边兵力在那打来打去嘛。
然后试图建立一个关于x和y随时间变化的方程。
我觉得只要考虑到战斗中的伤亡率，就能够算出来哪一方可能在什么时候取得胜利。
但是我很快就发现现实哪有这么简单啊。
我把战争想得太理想化了，完全没考虑到地形、士气、后勤这些因素。
就像我以前看过一个棋局，刚开始只看棋子数量和位置，觉得这一方肯定赢，结果忽略了人家隐藏的战术，最后输得很惨，这建模也是一样。
然后我又想，那把地形加进来吧。
我当时就觉得这地形啊，有点像我们平常去爬山遇到的各种坡度，不同坡度对于行军速度有影响。
我试着用一些系数来表示不同地形对不同兵种的速度影响，比如说平原上步兵行军速度正常，遇到山地就乘以一个小数来表示速度减慢。
但是这个时候又遇到新问题了，这些系数不好准确确定啊，我又只能去查各种资料，找以前战争里关于行军速度在不同地形里的数据来估算这些系数的值。
在考虑士气的时候，我真的特别纠结。
士气这个东西它很抽象啊。
后来我想能不能像衡量一个球队的斗志一样给一个数值呢。
要是这一方打了胜仗，士气就上升一定比例，要是败仗就下降。
但是实际情况又很复杂，比如说有的时候即使输了一场战斗，但如果战略目标达到了呢，士气可能不降反升，所以这个士气的量化我到现在都还不是很确定，只能说大概按照一些常规的情况去设定一些规则来初步表示它。
后勤也特别重要，我就想着后勤像给汽车加油一样。
如果没有油，汽车就跑不动，部队没有物资供应也一样。
所以我就设了一个变量代表物资储备量，根据每天的消耗来计算剩余的物资可以支撑多久。
可这又涉及到物资的运输效率问题，又得考虑道路状况啊什么的，全都是缠在一块的乱麻。
数学建模经典教材 优秀解题方法 战斗模型
第六节 战斗模型：高阶线性模型人类会厌倦睡觉，厌倦爱情； 会厌倦唱歌；厌倦跳舞； 但是战争，却永不停歇。
——荷马〈伊利亚特〉很早以前荷马的这句话，一直被人类所证实。
战争是一个古老的而又很新的事情，许多人想逃避却又不得不面对。
决定一场战争胜负的因素是很多的，也是很复杂的，不是一个简单的数学模型所能解决的。
毛主席说：决定战争胜负的是人，而不是一两件新式武器。
哲人说：人心的向背决定战争的胜负。
但人心是模糊的，很难说清楚。
这里，我们不想讨论战争胜负的原因。
只是从数学的角度来探讨决定一场战争胜负的一些因素。
早在第一次世界大战期间，nchester 就指出了几个预测战争结局的数学模型，其中有描述传统的正规战争的，也有考虑稍微复杂的游击战争的，以及双方分别使用正规部队和游击部队的所谓混合战争的，后来人们对这些模型作了改进和进一步的解释，用以分析历史上一些著名的战争，如二次世界大战中的美日硫黄岛之战和1975年结束的越南战争。
Lanchester 提出的模型是非常简单的，他只考虑双方兵力的多少和战斗力的强弱，兵力因战斗减员和非战斗减员而减少，又由后备力量的增援而增加；战斗力即杀伤对方的能力，则与射击率（单位时间的射击次数）、射击命中率以及战争的类型（正规战、游击战）等有关，这些模型当然没有考虑交战双方的政治、经济、社会等因素，而仅靠战场上兵力的优劣是很难估计战争胜负的，所以我们认为用这些模型判断整个战争的结局是不可能的，但是对于局部战役来说还有参考价值。
更重要的是，建模的思路和方法为我们借助数学模型讨论社会科学领域中的实际问题提供了可以借鉴的示例。
一般战争模型用)(t x 和)(t y 表示甲乙交战双方时刻t 的兵力，不妨视为双方的士兵人数， 假设1、每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力，用),(y x f 和),(y x g 表示。
2、第一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑等因素引起）与本方的兵力成正比。
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第六节 战斗模型：高阶线性模型人类会厌倦睡觉，厌倦爱情； 会厌倦唱歌；厌倦跳舞； 但是战争，却永不停歇。
——荷马〈伊利亚特〉很早以前荷马的这句话，一直被人类所证实。
战争是一个古老的而又很新的事情，许多人想逃避却又不得不面对。
决定一场战争胜负的因素是很多的，也是很复杂的，不是一个简单的数学模型所能解决的。
毛主席说：决定战争胜负的是人，而不是一两件新式武器。
哲人说：人心的向背决定战争的胜负。
但人心是模糊的，很难说清楚。
这里，我们不想讨论战争胜负的原因。
只是从数学的角度来探讨决定一场战争胜负的一些因素。
早在第一次世界大战期间，nchester 就指出了几个预测战争结局的数学模型，其中有描述传统的正规战争的，也有考虑稍微复杂的游击战争的，以及双方分别使用正规部队和游击部队的所谓混合战争的，后来人们对这些模型作了改进和进一步的解释，用以分析历史上一些著名的战争，如二次世界大战中的美日硫黄岛之战和1975年结束的越南战争。
Lanchester 提出的模型是非常简单的，他只考虑双方兵力的多少和战斗力的强弱，兵力因战斗减员和非战斗减员而减少，又由后备力量的增援而增加；战斗力即杀伤对方的能力，则与射击率（单位时间的射击次数）、射击命中率以及战争的类型（正规战、游击战）等有关，这些模型当然没有考虑交战双方的政治、经济、社会等因素，而仅靠战场上兵力的优劣是很难估计战争胜负的，所以我们认为用这些模型判断整个战争的结局是不可能的，但是对于局部战役来说还有参考价值。
更重要的是，建模的思路和方法为我们借助数学模型讨论社会科学领域中的实际问题提供了可以借鉴的示例。
一般战争模型用)(t x 和)(t y 表示甲乙交战双方时刻t 的兵力，不妨视为双方的士兵人数， 假设1、每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力，用),(y x f 和),(y x g 表示。
2、第一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑等因素引起）与本方的兵力成正比。
3、每一方的增援率是给定的函数，用)(t u 和)(t v 表示。
由此可以写出关于)(t x 和)(t y 的微分方程为(,)(),0(,)(),0dx f x y x u t dt dy g x y y v t dta ab b ìïï=--+>ïïïíïï=--+>ïïïî （1）下面针对不同的战争类型讨论战斗减员率f 、g 的具体表示形式，并分析影响战争结局的因素。
正规战争模型设想一下中世纪的欧洲战场或者第一次世界大战的战场：作战的双方摆好队型，堂堂正正开战。
我们假设： 甲乙双方都用正规部队作战，我们只须分析甲方的战斗减员率),(y x f 。
甲方士兵公开活动，处于乙方每一个士兵的监视和杀伤范围之内，一旦甲方某个士兵被杀伤，乙方的火力立即集中在其余士兵身上，所以甲方的战斗减员率只与乙方兵力有关，可以简单地设f 与y 成正比，即f=ay ，a 表示乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率（单位时间的杀伤数），称乙方的战斗有效系数，a 可以进一步分解为y y a r p =，其中y r 是乙方的射击率（每个士兵单位时间的射击次数），y p 是每次射击的命中率。
类似地有g bx =，且甲方的战斗有效系数,,x x x x b r P r p =是甲方的射击率和命中率，于是在这个模型中方程（1）化为()()dx ay x u t dt dy bx y v t dta b ìïï=--+ïïïíïï=--+ïïïî （2）在分析战争结局时忽略非战斗减员一项（与战斗减员相比，这项很小），并且假设双方都没有增援，记双方的初始兵力分别是00,y x ，方程（2）简化为(0)0(0)0,dx ay dt dy bxdt x x y y ìïï=-ïïïïïï=-íïïïï==ïïïïî（3）不直接求解方程（3），而在相平面上讨论相轨线的变化规律更容易判断双方的胜负，由方程（3）可得dy bx dx ay= （4）其解为22ay bx k -= （5）注意到方程（3）的初始条件，有2200k ay bx =- （6）由（5）式确定的相轨线是双曲线族，如右图 ，箭头表示随时间t 的增加，)(),(t y t x的变化趋势，可以看出，如果0k >，轨线将与y 轨相交，这就是说存在1t ，使11()0,()0x g y t ==，即当甲方兵力为零时乙方兵力为正值，表明乙方获胜，同理可知，0k <时甲方获胜，而当k=0时双方战平。
进一步分析某一方譬如乙方取胜的条件，由（6）式并注意到a,b 的含义，乙方获胜的条件可表为200()x x y yy r p b x ar p >=（7）（7）式说明双方初始兵力之比00/x y 以平方关系影响着战争的结局，例如若乙方兵力增加到原来的2倍（甲方不变），则影响战争结局的能力增加到4倍，或者说，若甲方的战斗力譬如射击率x r 增加到原来的4倍（y y x p r p ,,均不变），那么为了与此相抗衡，乙方只须将初始兵力0y 增加到原来的2倍，由于这个原因正规战争模型称为平方律模型。
游击战争模型双方都用游击部队作战。
甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为x s 的隐蔽区域内活动，乙方士兵不是向甲方士兵开火，而是这个隐蔽区域射击，并且不知道杀伤情况，这时甲方战斗减员率不仅与乙方兵力有关，而且随着甲方兵力的增加而增加，因为在一个有限区域内，士兵越多，被杀伤的就越多，这样可以简单地假设cxy f ，且乙方战斗有效系数c 可表为rv y y y yxs c r p r r s ===，其中y r 仍为射击率，而命中率y p 等于乙方一次射击的有效面积ry s 与甲方活动面积x s 之比。
类似地有,rx x x xys g dxy d r p r s ===。
于是在这个模型中方程（1）化为()()dx cxy x u t dt dy dxy y v t dta b ìïï=--+ïïïíïï=--+ïïïî（8）忽略,x y a b 并设0u v ==，在初始条件下（8）式为(0)0(0)0,dx xcy dt dy dxydtx x y y ìïï=-ïïïïïï=-íïïïï==ïïïïî（9）与正规战争模型中方程（3）的解法类似，方程（9）的解为cy dx m -= （10） 00m cy dx =- （11）（10）式确定的相轨线是直线族，如右下图，像分析正规战争模型一样，可知0m >时乙方胜，0m <时甲方胜，0m =时战平。
乙方获胜的条件还可以表为00x rx x y ry yy r s s d x c r s s >= （12）即初始兵力之比00/x y 以线性关系影响战争结局，并且当射击率和射击有效面积一定时，增加活动面积y s 与增加初始兵力0y 起着同样的作用，这个模型又称线性律模型。
混合战争模型甲方为游击部队，乙方为正规部队。
根据对正规战争和游击战争模型的分析和假设，,f cxy g bx ==，在同样的忽略和假设下，方程为(0)0(0)0,dx cxy dt dy bxdt x x y y ìïï=-ïïïïïï=-íïïïï==ïïïïî（13）它的相轨线n=cy 2-2bx （14）其中 n=cy 02-2bx 0 （15）是抛物线，如右图，可以知道0n >时乙方胜，0n <甲方胜，0n =时双方战平，并且乙方（正规部队一方）取胜的条件可表为200y 2()x b cx >（16）以,ry x x yxs b r p c r s ==代入得2002()x x x y ry y r p s x r x x >（17）假定以正规部队作战的乙方火力较强，以游击部队作战的甲方虽火力较弱，但活动范围较大，利用（17）式可以估计出乙方为了取胜需投入多大的初始兵力，为确定起见不妨设甲方兵力1000=x ，命中率为1.0=x p ，火力x r 是乙方火力y r 的一半，洗动区域面积1=ry s 平方米，那么由（17）式乙方取胜的条件为620020.10.110()10011100y x 鬃 >=鬃 （18）即00/10y x >，乙方必须10倍于甲方的兵力。
美国人曾用这个模型分析越南战争（甲方为越南，乙方为美国），根据类似上面的计算以及五十年代发生在马来亚、菲律宾、印尼、老挝等地的混合战争的实际情况估计出，正规部队一方要想取胜必须至少投入8倍于游击部队一方的兵力，而美国当时只能派出6倍于越南游击队的兵力，正是基于这样的分析，以及美国人民对整个事态的焦虑，约翰逊总统才不得不寻求一种解决越南战争的政治办法。
结局是美国不得不接受和谈并撤军，越南人民在1975年4月取得最后胜利。
J.H.Engel 用二次战末期美日硫黄战役中的美国战地记录，对正规战争模型进行了验证，发现模型结果与实际数据吻合得很好。
1945年的硫磺岛地图硫黄岛战役我的身体不会从战场消失，除非我们的仇已报；我将再生七次，为的是参军打敌人硫黄岛，位于小笠原群岛南部，是该群岛的第二大岛，北距东京1200余公里（650海里），南距塞班岛1100余公里（630海里），东南距马里亚纳群岛500余公里（290海里）。
岛长约8000米，宽约4000米，形状酷似火腿，面积约20平方公里，岛的南部有一座尚未完全冷却的死火山，叫折钵山，海拔160米，终年喷发着雾气，硫磺味弥漫全岛，故此得名。
折钵山以北有一片比较宽阔平整的高地，称为中部高地，再往北，地形逐渐起伏，并有数座山峰，被称为元山地区，岛上大部分地区都覆盖着厚厚的火山灰。