常微分方程试题及答案

常微分方程模拟试题

一、填空题（每小题3分，本题共15分）

1．一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线．

2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ．

3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ． 4．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间．

5．方程

21d d y x

y

-=的常数解是 ． 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）

6．方程y x x

y

+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面 7. 方程

1d d +=y x

y （ ）奇解．

（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个 8．)(y f 连续可微是保证方程

)(d d y f x

y

=解存在且唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分 9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．

（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间 （C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间

10．方程32

3d d y x

y

=过点(0, 0)有（ B ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解 三、计算题（每小题６分，本题共30分） 求下列方程的通解或通积分：

11.

y y x y

ln d d = 12. x y x y x y +-=2)(1d d 13. 5d d xy y x

y

+=

14．0)d (d 22

2=-+y y x x xy

15．3

)(2y y x y '+'=

四、计算题（每小题10分，本题共20分）

16．求方程2

55x y y -='-''的通解．

17．求下列方程组的通解．

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x t

y t

y t x d d sin 1d d

五、证明题（每小题10分，本题共20分）

18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞

→x f x ，求证：方程

)(d d x f y x

y

=+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞

→x y x ．

19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．

常微分方程模拟试题参考答案

一、填空题（每小题3分，本题共15分）

1．2 2．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）

3．x

x

x e ,e 4．开 5．1±=y

二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．D 7．C 8．B 9．C 10．A 三、计算题（每小题６分，本题共30分）

11．解： 1y =为常数解 （1分）

当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得 C x y

y y

+=⎰⎰

d ln d （3分） 通积分为

x C y e ln = （6分）

注：1y =包含在常数解中，当0c =时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。

13．解： 方程两端同乘以5

-y ，得

x y x

y y +=--45d d （1分） 令 z y =-4，则x

z x y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z x

z

=--d d 41 （3分）

这是一阶线形微分方程，对应一阶线形齐次方程的通解为

4x z ce -= （4分）

利用常数变易法可得到一阶线形微分方程的通解为 4

1

e 4+

-=-x C z x

（5分） 因此原方程通解为

4

1

e 44

+-=--x C y

x （6分）

14．解： 因为x

N

x y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． （2分） 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为

C y y x xy y

x

=-⎰⎰

20

d d 2 （4分）

计算得

C y y x =-

3

23

1 （6分） 15．解： 原方程是克莱洛方程，通解为

3

2C Cx y += （6分） 四、计算题（每小题10分，本题共20分）

16．解： 对应齐次方程的特征方程为

052=-λλ， （1分）

特征根为

01=λ，52=λ， （2分）

齐次方程的通解为

x C C y 521e += （4分）

因为0=α是特征根。所以，设非齐次方程的特解为

)()(2

1C Bx Ax x x y ++= （6分） 代入原方程，比较系数确定出 31=A ，5

1

=B ，252=C （9分）

原方程的通解为

x x x C C y x

25

25131e

23521++++= （10分） 17．解： 齐次方程的特征方程为

21101λλλ

-=+=-- （1分）

特征根为

i λ=± （2分）

求得特征向量为

1i ⎛⎫

⎪⎝⎭

（3分） 因此齐次方程的通解为 ⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢

⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t C t t C y x cos sin sin -cos 21 （4分） 令非齐次方程特解为

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t C t t t C y x cos sin )(sin -cos )(~~21 （5分）

)(),(21t C t C '

'满足

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡''⎥

⎦⎤⎢⎣⎡-0sin 1)()(cos sin sin cos 21t t C t C t t t t （6分） 解得

1)(,sin cos )(21='

='t C t

t t C （8分）

积分，得

t t C sin ln )(1=，t t C =)(2 （9分）

通解为

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t t t t t t t t C t t C y x cos sin ln sin -sin sin ln cos cos sin sin -cos 21 （10分）

五、证明题（每小题10分，本题共20分）