4.6 基于T-S模糊模型的模糊控制

可利用已有的线性系统控制器设计方法，设计相 应的线性控制，如
x1 (t) u( t )=Kx(t)= -120.6667 -22.6667 x (t) 2
4.2.3 基于T-S模糊模型的模糊控制

如何设计倒立摆系统的控制器？
2. (单个工作点)线性化+线性系统控制器设计方法
t = A2 x(t) + B2 u(t) x
Rule 3: IF x1(t) is about 2( x1 2 ) THEN
t = A3 x(t) + B3u(t) x
Rule 3: IF x1(t) is about THEN
t = A4 x(t) + B4 u(t) x


倒立摆的T-S模糊模型
N个平衡点模糊线性化情形
t = x
(t){A x t + B u t }
i i i i=1
N
(t)
i i =1
N
当N足够大的时候，T-S模糊系统是否趋近于原非线性系统？
T-S模糊系统的万能逼近性
模糊系统的万能逼近性
4.2.3 基于T-S模糊模型的模糊控制
智能控制
4. 模糊数学与模糊控制
4.6 基于T-S模糊模型的模糊控制
上海大学自动化系---杜鑫
1
4.6 基于T-S模糊模型的模糊控制 4.6.1 T-S模糊逻辑
4.6.2 T-S模糊模型的万能逼近性 4.6.3 T-S模糊控制器设计方案
4.6.4 仿真算例
4.6 基于T-S模糊模型的模糊控制 4.6.1 T-S模糊逻辑
对于紧集 U R 上任意给定的实连续函数 g(x) ，及任意的 0 ，存在 f Y 使得
n
定理 (Li-Xin Wang 1992)
supxU g( x) f ( x)
式中 Y 代表 所有 FBF拓展的集合 。
4.2.3 基于T-S模糊模型的模糊控制

模糊系统的万能逼近性
式中 e1,e2 为特定的闭环特征值。
控制器结构复杂：不易实现！ 控制器设计方法深奥，不易掌握！
4.2.3 基于T-S模糊模型的模糊控制

如何设计倒立摆系统的控制器？
1. 本质非线性方法（微分几何法） 2. (单个工作点)线性化+线性系统控制器设计方法
4.2.3 基于T-S模糊模型的模糊控制
4.2.3 基于T-S模糊模型的模糊控制

如何设计倒立摆系统的控制器？
Rule 1: IF x1(t) is about 0 THEN
t = A1x t + B1u t x
0 1 0 ,B A1 = g -a 1 0 4l 3 - aml 4l 3 - aml
对于紧集 U R 上任意给定的实连续函数 g(x) ，及任意的 0 ，存在 f Y 使得
n
定理 (Li-Xin Wang 1992)
supxU g( x) f ( x)
式中 Y 代表 所有 FBF拓展的集合 。
Weierstrass Approximation Theorem Suppose f is a continuous real-valued function defined on the real interval [a, b]. For every ε > 0, there exists a polynomial p(x) such that for all x in [a, b], we have | f (x) − p(x)| < ε, or equivalently, the supremum norm || f − p|| < ε.
n
supxU g( x) f ( x)
式中 Y 代表 所有 FBF拓展的集合 。
注 模糊基函数的线性组合能够在紧凑集上以任意精度逼近一个实 连续函数，即 他们是万能逼近（universal approximators）
4.2.3 基于T-S模糊模型的模糊控制

模糊系统的万能逼近性
0 2g A3 = p 4l 3 - amlb 2
1 0 , B2 -ab 0 2 4l 3 amlb
1 0 ,B ab 0 2 2 4l 3 - amlb
Stone–Weierstrass Theorem Suppose X is a compact Hausdorff space with at least two points and L is a lattice in C(X, R). The function φ ∈ C(X, R) belongs to the closure of L if and only if for each pair of distinct points x and y in X and for each ε > 0 there exists some f ∈ L for which | f (x) − φ(x)| < ε and | f (y) − φ(y)| < ε.
4.6.2 T-S模糊模型的万能逼近性 4.2.3 T-S模糊控制器设计方案
4.2.4 仿真算例
4.2.3 基于T-S模糊模型的模糊控制

单级倒立摆
4.2.3 基于T-S模糊模型的模糊控制

单级倒立摆的数学模型
1 t x2 t x 2 t x
能否利用多个工作点 上的线性化模型来充 分地描述原系统的非 线性动态特性？？？
0 0 1 A4 = , B2 a 0 0 4l 3 aml
4.2.3 基于T-S模糊模型的模糊控制

Takagi-Sugeno 模糊系统模型
Takagi-Sugeno 模糊系统模型可表述为：
通常来说，基于单点 线性化的线性控制器 只能实现局部镇定， 很难实现全局镇定。
线性系统控制器作用下的x1(t)
4.2.3 基于T-S模糊模型的模糊控制

如何设计倒立摆系统的控制器？
1. 本质非线性方法（微分几何法） 2. (单个工作点)线性化+线性系统控制器设计方法 3. (多个工作点)T-S模糊线性化+线性系统控制器设计方法
i i i i=1
2
(t)
i i =1
2
4.2.3 基于T-S模糊模型的模糊控制


倒立摆的T-S模糊模型
四平衡点模糊线性化情形
t = x
(t){A x t + B u t }
i i i i=1
4
(t)
i i =1
4
4.2.3 基于T-S模糊模型的模糊控制
4.2.3 基于T-S模糊模型的模糊控制

如何设计倒立摆系统的控制器？
0 1 0 A1 = , B1 g -a 0 4l 3 - aml 4l 3 - aml
(在四个工作点)分别线性化后的线性模型为：
0 2g A2 = p 4l 3 - amlb 2

如何设计倒立摆系统的控制器？
2. (单个工作点)线性化+线性系统控制器设计方法
例如在单摆摆角为零(x1(t) =0)的情况下对其进线性化， 可得线性模型
0 1 0 x t + u t t = x g -a 0 4l 3- aml 4l 3- aml
4.2.3 基于T-S模糊模型的模糊控制

模糊系统的万能逼近性
对于紧集 U R 上任意给定的实连续函数 g(x) ，及任意的 0 ，存在 f Y 使得
n
定理 (Li-Xin Wang 1992)
supxU g( x) f ( x)
式中 Y 代表 所有 FBF拓展的集合 。
4.2.3 基于T-S模糊模型的模糊控制

如何设计倒立摆系统的控制器？
(在四个工作点)分别线性化后的线性模型为：
Rule 1: IF x1(t) is about 0 THEN
t = A1x t + B1u t x
Rule 2: IF x1(t) is about 2( x1 2 ) THEN
x 2 t
g
m
M l
单摆的长度
4.2.3 基于T-S模糊模型的模糊控制

如何设计倒立摆系统的控制器？
1. 本质非线性方法（微分几何法）
4.2.3 基于T-S模糊模型的模糊控制

如何设计倒立摆系统的控制器？
1. 本质非线性方法（微分几何法）
微分几何方法所得控制器
4le e g u( t ) tan( x1 ) 1 2 ln[sec( x1 ) tan( x1 )] a 3a e e2 4l e1e 2 ml sin( x1 ) 1 x 2 [ sec( x1 ) aml cos( x1 )] a 3
x1 t
2 g sin x1 t dml x 2 t sin 2 x1 t 2 d cos x1 t u t
4l 3 dml cos 2 x1 t
单摆的摆角 deg 角速度 vdeg/ s 重力加速度, 单摆的质量, 小车的质量，
ax b x x crisp y( t ) cx d x x crisp
T-S模糊： 光滑函数
分段线性化：非光滑函数
4.2.3 基于T-S模糊模型的模糊控制


倒立摆的T-S模糊模型
两平衡点模糊线性化情形
t = x
(t){A x t + B u t }
(在两个工作点)分别线性化后的线性模型为：
Rule 2: IF x1(t) is about 2( x1 2 )THEN
t = A2 x(t) + B2 u(t) x
0 2g A2 = p 4l 3 - amlb 2 1 0 , B2 -ab 0 2 4l 3 - amlb
if x1 is A1 and x2 is A2, then u=f(x1,x2) if x1 is A*1 and x2 is A*2 u=f(x*
1
模糊量
,x*
2)
清晰量
4.2.3 基于T-S模糊模型的模糊控制

T-S 模糊线性化 vs 分段线性化
y( t )
w 0 ( x x 0 ) w 1 ( x x1 ) w 0 w1
= Ai x(t) + Bi u(t) THEN x(t)
4.2.3 基于T-S模糊模型的模糊控制

T-S 模糊推理 vs Mamdani模糊推理
大前提： if x1 is A1 and x2 is A2, then u is U
小前提： 结 论：
大前提： 小前提： 结 论：
if x1 is A*1 and x2 is A*2 u is U*

模糊系统的万能逼近性
定义 定义模糊基函数（fuzzy basis functions，FBF’s) 为:
p j ( x)
j

n i 1 M n j 1
Ai j
( xi )
i
i 1
A j ( xi )
,
j 1, 2,..., M
式中 A ( xi ) 为高斯隶属函数。
i
模糊基函数的性质 模糊系统可看作是模糊基函数的线性组合，或者模糊系统等价于 FBF’s 的扩展：
y f ( x) p j ( x) j ,
M
j 1, 2,..., M
式中 j R 为常数
j 1
4.2.3 基于T-S模糊模型的模糊控制

模糊系统的万能逼近性பைடு நூலகம்
定理 (Li-Xin Wang 1992) 对于紧集 U R 上任意给定的实连续函数 g(x) ，及任意的 0 ，存在 f Y 使得
t = x
n
(t){A x t + B u t }
i i i i=1
r
(t)
i i=1
r
式中 i (t) = Mij (x j (t))
j1
Takagi-Sugeno模糊系统可看作一个用 “IF-THEN rules” 模糊规则描述的输入-输出关系。 Rule i : IF x1 is Mi1 and … and xn is Min