解三角形知识点总结及典型例题
解三角形知识点汇总和典型例题 完美
解三角形解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
2．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；3．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（1）角的变换因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+； （2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式5．求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图； （3）求解：正确运用正、余弦定理求解； （4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。
八年级数学上册第十一章三角形知识总结例题(带答案)
八年级数学上册第十一章三角形知识总结例题单选题1、当n边形边数增加2条时，其内角和增加（）A．180°B．360°C．540°D．720°答案：B分析：根据n边形的内角和定理即可求解．解：原来的多边形的边数是n，则新的多边形的边数是n＋2．（n＋2−2）•180−（n−2）•180＝360°．故选：B．小提示：本题主要考查了多边形的内角和定理，多边形的边数每增加一条，内角和就增加180度．2、在△ABC中，∠A=12∠B=13∠C，则△ABC为（）三角形．A．锐角B．直角C．钝角D．等腰答案：B分析：根据∠A=12∠B=13∠C分别设出三个角的度数，再根据三角形的内角和为180°列出一个方程，解此方程即可得出答案．∵∠A=12∠B=13∠C∴可设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x根据三角形的内角和可得：x+2x+3x=180°解得：x=30°∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°因此△ABC是直角三角形故答案选择B．小提示：本题主要考查的是三角形的基本概念．3、如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（）A．BC=2CD B．∠BAE=1∠BAC2C．∠AFB=90°D．AE=CE答案：D分析：根据三角形的高线，角平分线和中线解答即可；解：A．∵AD是△ABC的中线∴BC=2CD，故选项正确，不符合题意；B．∵AE是△ABC的角平分线∴∠BAE=1∠BAC2故选项正确，不符合题意；C．∵AF分别是△ABC的高，∴∠AFB=90°故选项正确，不符合题意；D．AE=CE不一定成立，故选项错误，符合题意．故选：D．小提示：此题考查三角形的高线，角平分线和中线，关键是根据三角形的高线，角平分线和中线的定义进行判断即可．4、将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是（）A．95°B．100°C．105°D．110°答案：C分析：根据题意求出∠2、∠4，根据对顶角的性质、三角形的外角性质计算即可．由题意得，∠2=45°，∠4=90°−30°=60°，∴∠3=∠2=45°，由三角形的外角性质可知，∠1=∠3+∠4=105°，故选C．小提示：本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．5、下列图形具有稳定性的是（）A．①②B．③④C．②③D．①②③答案：C分析：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．解：因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，图②③便具有稳定性，故选C．小提示：此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，注意根据三角形的稳定性进行判断．6、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，则下列说法正确的是( )A．DE是△ACE的高B．BD是△ADE的高C．AB是△BCD的高D．DE是△BCD的高答案：D分析：根据三角形高的定义求解即可．三角形的高：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．解：A、DE不是△ACE的高，选项错误，不符合题意；B、BD不是△ADE的高，选项错误，不符合题意；C、AB不是△BCD的高，选项错误，不符合题意；D、DE是△BCD的高，选项正确，符合题意．故选：D．小提示：此题考查了三角形的高，解题的关键是熟练掌握三角形高的定义．三角形的高：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．7、如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，点B，D，E在同一直线上，若∠1=25°，∠2=35°，则∠3的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．70°答案：C分析：由∠BAC=∠DAE可证得∠BAD=∠CAE，继而证明△BAD≅△CAE(SAS)，由全等三角形对应角相等得到∠2=∠CAE,∠ABD=∠1，最后由三角形的外角性质解答即可．解：∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC∴∠BAD=∠CAE∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≅△CAE(SAS)∴∠2=∠CAE,∠ABD=∠1∵∠1=25°，∠2=35°∴∠3=∠2+∠ABD=∠2+∠1=60°故选：C．小提示：本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．8、若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．1B．2C．4D．8答案：C分析：根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出a的取值范围即可得解．根据三角形的三边关系得5−3<a<5+3，即2<a<8，则选项中4符合题意，故选：C．小提示：本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握相关不等关系是解决本题的关键．9、若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（）A．10B．9C．8D．6答案：D分析：根据多边形的外角和等于360°计算即可．解：360°÷60°＝6，即正多边形的边数是6．故选：D．小提示：本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360°，正多边形的每个外角都相等是解题的关键．10、下列说法中正确的是（）A．三角形的三条中线必交于一点B．直角三角形只有一条高C．三角形的中线可能在三角形的外部D．三角形的高线都在三角形的内部答案：A分析：根据三角形中线及高线的定义逐一判断即可得答案．A.三角形的三条中线必交于一点，故该选项正确，B.直角三角形有三条高，故该选项错误，C.三角形的中线不可能在三角形的外部，故该选项错误，D.三角形的高线不一定都在三角形的内部，故该选项错误，故选：A．小提示：本题考查三角形的中线及高线，熟练掌握定义是解题关键．填空题11、如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC ＝70°，则∠D＝______．答案：34°##34度分析：根据题意先求∠DAC，再依据△ADF三角形内角和180°可得答案．解：∵∠B=46°，∠C=30°，∴∠DAC=∠B+∠C=76°，∵∠EFC=70°，∴∠AFD=70°，∴∠D=180°-∠DAC-∠AFD=34°，所以答案是：34°．小提示：本题考查三角形内角和定理及三角形一个外角等于不相邻的两个内角的和，解题的关键是掌握三角形内角和定理．12、如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点A'落在边BC 上，若∠A＝50°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝______．答案：230°分析：依据三角形内角和定理，可得△ABC中，∠B+∠C＝130°，再根据∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，即可得出∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝230°．解：∵∠A＝50°，∴△ABC中，∠B+∠C＝130°，又∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣130°＝230°，所以答案是：230°．小提示：本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和及角之间的等量关系是解题的关键．13、如图，已知△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）边AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长边A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此规律，倍长2021次后得到的△A2021B2021C2021的面积为_________．答案：72021分析：根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后△A1B1C1的面积是△ABC的面积的7倍，依此规律可得结论．解：连接AB1、BC1、CA1，根据等底等高的三角形面积相等，△A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面积都相等，所以，S△A1B1C1=7S△ABC,同理S△A2B2C2=7S△A1B1C1=72S△ABC，依此类推，△A2021B2021C2021的面积为=72021S△ABC，∵△ABC的面积为1，∴△A2021B2021C2021的面积=72021．所以答案是：72021．小提示：本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键．14、在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC=30°，∠CAD=20°，则∠BAC是___________度．答案：40或80##80或40分析：根据题意，由于△ABC类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解．解：根据题意，分三种情况讨论：①高在三角形内部，如图所示：∵在ΔABD中，AD为边BC上的高，∠ABC=30°，∴∠BAD=90°−∠ABC=90°−30°=60°，∵∠CAD=20°，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°；②高在三角形边上，如图所示：可知∠CAD=0°，∵∠CAD=20°，故此种情况不存在，舍弃；③高在三角形外部，如图所示：∵在ΔABD中，AD为边BC上的高，∠ABC=30°，∴∠BAD=90°−∠ABC=90°−30°=60°，∵∠CAD=20°，∴∠BAC=∠BAD−∠CAD=60°−20°=40°；综上所述：∠BAC=80°或40°，所以答案是：40或80．小提示：本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键．15、如图，∠1，∠2，∠3是多边形的三个外角，边CD，AE的延长线交于点F，如果∠1+∠2+∠3=225°，那么∠DFE的度数是______.答案：45°分析：利用多边形的外角和为360°以及三角形内角和为180°，然后通过计算即可求解.解：∵多边形的外角和为360°，∴∠1+∠2+∠3+∠DEF+∠EDF=360°，又∵∠1+∠2+∠3=225°，∴∠DEF+∠EDF=135°，∵∠DEF+∠EDF+∠DFE=180°，∴∠DFE=180°-135°=45°．故答案是为45°.小提示：本题考查了多边形的外角和和三角形的内角和定理．解答题16、如图，在平面直角坐标系中，A(−1,5)，B(−1,0)，C(−4,3)，(1)过点B作DB∥CA，且点D在格点上，则点D的坐标为______ ．(2)将△ABC向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到△A1B1C1，在图中画出△A1B1C1；(3)直接写出直线AC与y轴的交点坐标______ ．答案：(1)(-4，-2)，(2，2)，(5，4)(2)见解析(3)(0，17)3分析：（1）可以把AC平移使A点或C点为对应点，从而确定D点位置；（2）利用平移规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（3）延长CA交y轴于点T，设点T的坐标为（0，m），利用△AOC的面积列出关于m的方程，解方程即可．（1）解：如图所示：则点D的坐标是：(-4，-2)，(2，2)，(5，4)．所以答案是： (-4，-2)，(2，2)，(5，4) ．（2）解：将△ABC向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度后，则△A1B1C1即为所求作的三角形，如图所示：（3）解：延长CA交y轴于点T，如图所示：SΔAOC=4×5−12×3×4−12×2×3−12×1×5=172，设点T的坐标为（0，m），则SΔAOC=SΔOCT−SΔOAT=12×4m−12×m=32m，∴172=32m，解得：m=173，∴直线AC与y轴的交点坐标为(0，173)．所以答案是：(0，173)．小提示：本题考查平移变换，三角形的面积等知识，解题的的关键是掌握平移变换的性质，学会利用面积法构建方程求解，属于中考常考题型．17、用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长是4cm的等腰三角形吗？为什么？答案：（1）365cm，365cm，185cm；（2）能，理由见解析分析：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；（2）题中没有指明4cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．解：（1）设底边长为xcm，∵腰长是底边的2倍，∴腰长为2xcm，∴2x+2x+x=18，解得，x=185cm，∴2x=2×185=365cm，∴各边长为：365cm，365cm，185cm．（2）①当4cm为底时，腰长=18−42=7cm；②当4cm为腰时，底边=18−4−4=10cm，∵4+4<10，∴不能构成三角形，故舍去；∴能构成有一边长为4cm的等腰三角形，另两边长为7cm，7cm．小提示：本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解．18、如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．（1）将如表的表格补充完整：)°；（2）存在，n=9答案：（1）60°，45°，36°，30°，(180n分析：（1）根据计算、观察，可发现规律：正n边形中的∠α=(180)°；n)°，可得答案．（2）根据正n边形中的∠α=(180n解：（1）观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：)°；所以答案是：60°，45°，36°，30°，(n（2）存在，理由如下：∵设存在正n边形使得∠α=20°，)°．得∠α=20°=(180n解得：n=9，∴存在正n边形使得∠α=20°．，三角形的内角和定理，等小提示：本题考查了多边形内角与外角，每题都利用了正多边形的内角：(n−2)⋅180°n腰三角形的两底角相等．。
解三角形知识点归纳总结
第一章 解三角形一.正弦定理：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin CA c a = 3）化边为角：C R cB R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===4）化角为边：;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin ca C A = 5）化角为边： Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin CB c b = ;sin sin CA c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理BA b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理CA c a sin sin =求出c 边4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解；③b a A b <<sin 时，B 有两个解。
如：①已知32,2,60===O b a A ,求B (有一个解)②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解)注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1.docx
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， C＝90°，AB＝ c， AC＝ b ， BC＝ a。
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝ 90 °；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A＝ cos B＝a， cos A＝sin＝b， tan A＝a。
c bc2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， A、 B、 C 为其内角， a、b、 c 分别表示 A、 B、C 的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2 ）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等a b c2R （R为外接圆半径）sin A sin B sin C（ 3 ）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2 ＝b2＋2－ 2bccosA；b2 ＝ 2 ＋a2－ 2cacosB；c2＝ 2 ＋b2－2abcos。
c c a C3．三角形的面积公式：1ah a＝11（1）S＝bh b＝ch c（ h a、 h b、 h c分别表示 a、b、 c 上的高）；22211bc sin A＝1（2）S＝ab sin C＝ac sin B；222求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1 ）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2 ）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角 .第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（ 1）角的变换因为在△ABC 中， A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。
高三-解三角形知识点总结及典型例题-自己总结的(1)(最新整理)
c sin A : sin B : sin C
(4) a sin A , a sin A , b sin B b sin B c sin C c sin C
2、正弦定理适用情况：
（1）已知两角及任一边
（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）
已知 a，b 和 A，求 B 时的解的情况:
即 p2 3 1 cos B ，因为 0 cos B 1，所以 p2 ( 3 , 2) ，由题设知 p 0 ，所以 6 p 2
22
2
2
三、课堂练习：
1.在
ABC
中，若
S
1 4
(a2
b2
c2 ),
则角
C=
2.设 R 是 ABC 外接圆的半径，且 2R(sin2 A sin2 C) ( 2a b)sin B ，试求 ABC 面积的最大值。
cosC=
a2
b2
c2
32 =
52
72
=
1
2ab
235 2
因为 0 C ，所以 C= 2 3
题型 2 三角形解的个数
[例 3]在 ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【 】
A、 a 7 ， b 14 ， A 30 ；
B、 b 25 ， c 30 ， C 150 ；
过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）
二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三
角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角）
题型 5 正弦定理、余弦定理的综合运用
[例 6]在 ABC 中， a,b, c 分别为角 A，B，C 的对边，且 sin A sin C p sin B( p R) 且 ac 1 b2 4
解三角形经典例题
解三角形一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形2(sin sin sin a b cR R A B C===为三角形外接圆半径）变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）2sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b Bb Bc C c C===2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C=+-=+-=+- 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab+-=+-=+-=4．余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角； （2）已知三边.注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式（1）高底⨯⨯=∆21ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abcS ab C ac B bc A R ABC R ===∆为外接圆半径 （两边夹一角）；6．三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ∆中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-；③()tan tan A B C +=-；④sincos ,22A B C +=⑤cos sin 22A B C+= 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②） 注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解：（1）根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理， 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
解三角形题型分类讲解
解三角形知识点总结及题型分类讲解一、 知识点复习 1、正弦定理及其变形2(sin sin sin a b cR R A B C===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）2sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b Bb Bc C c C===2、正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况） 已知a ，b 和A ，求B 时的解的情况:如果B A sin sin ≥，则B 有唯一解；如果1sin sin <<B A ，则B 有两解； 如果1sin =B ，则B 有唯一解；如果1sin >B ，则B 无解. 3、余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C=+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B aca b c C ab+-=+-=+-=4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边. 5、常用的三角形面积公式（1）高底⨯⨯=∆21ABC S ； （2）B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（两边夹一角）.6、三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）； （2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）. （3）在△ABC 中，π=++C B A ，所以C B A sin )sin(=+；C B A cos )cos(-=+；C B A tan )tan(-=+.（4）2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+. 二、典型例题题型1、计算问题（边角互换）例1、在ABC ∆中，若7:5:3sin :sin :sin =C B A ，则角C 的度数为 答案：=C 23π 例2、已知∆ABC 中，∠A 60=︒，3a =，则sin sin sin a b cA B C++++=．答案：2例3、在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB=b ．求角A 的大小； 答案：π3题型2、三角形解的个数例1.在△ABC 中，已知b=40,c=20,C=60。
解三角形知识点汇总和典型例题
解三角形讲义授课对象 杨文、黄银 授课教师 程锐授课时间 3月11日 授课题目 解三角形复习总结 课 型 复习课使用教具人教版教材教学目标 熟练掌握三角形六元素之间的关系，会解三角形教学重点和难点灵活解斜三角形 参考教材人教版必修5第一章教学流程及授课详案解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）直角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（直角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式： （1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时， 00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
解三角形知识点归纳总结上课讲义
第一章 解三角形一.正弦定理：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin CA c a = 3）化边为角：C R cB R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===4）化角为边：;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin ca C A = 5）化角为边： Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin CB c b = ;sin sin CA c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理BA b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理CA c a sin sin =求出c 边4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解；③b a A b <<sin 时，B 有两个解。
如：①已知32,2,60===O b a A ,求B (有一个解)②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解)注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
直角三角形知识点+经典例题
第二讲 直角三角形【要点梳理】 要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中的已知线段的长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-.（4）勾股数：满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……②如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.③22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； ④2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长； ⑤2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长. 要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点五、互逆命题与互逆定理如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题.要点六、直角三角形全等的判定（HL ）在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简 称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt” 【典型例题】 类型一、勾股定理例1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若a ＝5，b ＝12，求c ； （2）若c ＝26，b ＝24，求a ．【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长． 【答案与解析】解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12，所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13． （2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24，所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10．【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股定理的原式还是变式．【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）已知b ＝2，c ＝3，求a ； （2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ． 【答案】解：（1）∵∠C ＝90°，b ＝2，c ＝3，∴2222325a c b =-=-=； （2）设3a k =，5c k =．∵∠C ＝90°，b ＝32， ∴222a b c +=． 即222(3)32(5)k k +=． 解得k ＝8．∴ 33824a k ==⨯=，55840c k ==⨯=．例2、一圆形饭盒，底面半径为8cm ，高为12cm ，若往里面放双筷子（粗细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？ 【答案与解析】解：如图所示，因为饭盒底面半径为8cm ，所以底面直径DC 长为16cm ．则在Rt △BCD 中，222BD DC BC =+， 所以2222161220BD DC BC =+=+=(cm )． 答：筷子最长不超过20cm ，可正好盖上盒盖．【总结升华】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离，其最大距离是以饭盒两底面的一对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长．【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m 处断裂，旗杆顶部落在离底部12m 处，则旗杆折断前有多高？ 【答案】解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C ＝90°，BC ＝5m ，AC ＝12m ，∴ 22222512169AB BC AC =+=+=． ∴ 16913AB ==(m )． ∴ BC ＋AB ＝5＋13＝18(m )． ∴ 旗杆折断前的高度为18m ． 类型二、勾股定理的逆定理例3、判断由线段a b c ，，组成的三角形是不是直角三角形．（1）a ＝7，b ＝24，c ＝25； （2）a ＝43，b ＝1，c ＝34；（3）22a m n =-，22b m n =+，2c mn =(0m n >>)；【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形． 【答案与解析】解：（1）∵ 2222724625a b +=+=，2225625c ==，∴ 222a b c +=．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形是直角三角形．（2）∵ a b c >>，222239251141616b c ⎛⎫+=+=+=⎪⎝⎭，2241639a ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴ 222b c a +≠．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形不是直角三角形．（3）∵ 0m n >>，∴ 222m n mn +>，2222m n m n +>-．∵2222224224224224()(2)242a c m n mn m m n n m n m m n n +=-+=-++=++，22224224()2b m n m m n n =+=++，∴ 222a c b +=．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形是直角三角形．【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证2c 与22a b +是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形，第3小题，m,n 可以取特殊值，代入到三边中，也可以判断其三边的大小．【变式1】判断以线段a b c ，，为边的△ABC 是不是直角三角形，其中7a =，3b =，2c =．【答案】解：由于a c b >>，因此a 为最大边，只需看2a 是否等于22b c +即可．∵22(7)7a ==，22(3)3b ==，2224c ==，∴222a b c =+， ∴以线段a b c ，，为边能构成以a 为斜边的直角三角形．【变式2】一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（ ） A ．20:15:12 B ．3:4:5 C ．5:4:3 D ．10:8:2【答案】A.提示：这个三角形是直角三角形，三边上的高之比为4:3：125，即20:15:12.例4、已知a 、b 、c 满足|a ﹣|++（c ﹣4）2=0．（1）求a 、b 、c 的值；（2）判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．【思路点拨】（1）根据非负数的性质得到方程，解方程即可得到结果； （2）根据三角形的三边关系，勾股定理的逆定理判断即可．解：（1）∵a、b、c满足|a﹣|++（c﹣4）2=0．∴|a﹣|=0，=0，（c﹣4）2=0．解得：a=，b=5，c=4；（2）∵a=，b=5，c=4，∴a+b=+5＞4，∴以a、b、c为边能构成三角形，∵a2+b2=（）2+52=32=（4）2=c2，∴此三角形是直角三角形，∴S△==．【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，求三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．类型三、勾股定理、逆定理的实际应用例5、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）【思路点拨】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．【答案与解析】解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；据勾股定理可得：（m）∴小汽车的速度为v==20（m/s）=20×3.6（km/h）=72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．类型四、原命题与逆命题例6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1．原命题：猫有四只脚．2．原命题：对顶角相等.3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等．4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．•（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．（正确）【总结升华】掌握原命题与逆命题的关系. 原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误.【变式1】下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a b c ，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形． 【答案】①④提示：①的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；②的逆命题“如果两个角相等，那么它们是直角”很明显是错误的；③的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，两个实数可以互为相反数，所以该命题不正确；④的逆命题“如果三角形是直角三角形，那么三角形的三边长a b c ，，满足222a b c +=”也是正确的.【变式2】根据命题“两直线平行，内错角相等．”解决下列问题： （1）写出逆命题；（2）判断逆命题是真命题还是假命题； （3）根据逆命题画出图形，写出已知，求证．【答案】解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行； （2）是真命题；（3）已知：如图，∠AMN=∠DNM ，求证：AB ∥CD ．类型五、直角三角形全等的判定——“HL”例7、 已知：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ．求证：（1）AB ＝CD ：（2）AD ∥BC ．【思路点拨】先由“HL”证Rt △ABD ≌Rt △CDB ，再由内错角相等证两直线平行. 【答案与解析】证明：（1）∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ， ∴∠ABD ＝∠CDB ＝90° 在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，AD BC BD DB ⎧⎨=⎩＝∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ） ∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等） （2）由∠ADB ＝∠CBD ∴AD ∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．【答案】证明：∵AE ⊥AB ，BC ⊥AB ， ∴∠DAE ＝∠CBA ＝90° 在Rt △DAE 与Rt △CBA 中， ED ACAE AB ⎧⎨⎩＝＝，∴Rt △DAE ≌Rt △CBA （HL ） ∴∠E ＝∠CAB∵∠CAB ＋∠EAF ＝90°，∴∠E ＋∠EAF ＝90°，即∠AFE ＝90° 即ED ⊥AC ．例8、如图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB=DC ，求证：EB=FC ． 【答案与解析】证明：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴DE=DF ；∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ． ∴在Rt △DBE 和Rt △DCF 中∴Rt △DBE ≌Rt △DCF （HL ）； ∴EB=FC ．【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、HL （在直角三角形中）．。
三角形周长最值问题典型例题
解三角形专题练：周长最值与范围问题（含答案解析）求周长的最值或取值范围的问题，通常有两种途径，其一是运用余弦定理结合基本不等式求解，其二是运用正弦定理、辅助角公式结合三角函数求解.一、知识点1.基本不等式：ab b a 2≥+；2.正弦定理：Cc B b A a sin sin sin ==，余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=等；3.和差公式：()βαβαβα±=±sin sin cos cos sin ；()βαβαβα cos cos cos cos cos =±4.二倍角公式：αααcos sin 22sin =，ααα22sin cos 2cos -=，ααα2tan 1tan 22tan -=.5.辅助角公式：),sin(cos sin )(22ϕ++=+=x b a x b x a x f （其中ab =ϕtan ）.二、典型例题【例1】:△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c 且满足a=2，cos (2)cos a B c b A =-．（1）求角A 的大小；（2）求△ABC 周长的范围．【解析】:（1）解法一：由已知，得cos cos 2cos a B b A c A +=．由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=．即sin()2sin cos A B C A +=，因为sin()sin A B C +=．所以sin 2sin cos C C A =．因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =，因为0A π<<，所以3A π=．解法二：结合余弦定理222222(2)22a c b b c a a c b ac bc +-+-⨯=-⨯，即222b c a bc +-=．所以2221cos 22b c a A bc +-==．因为0A π<<，所以3A π=．（2）解法一：由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得224bc b c +=+,即2()34b c bc +=+．因为22⎪⎭⎫⎝⎛+≤c b bc ,所以()()44322++≤+c b c b ．即4≤+c b （当且仅当2b c ==时等号成立）．又因为a c b >+，所以64≤++<c b a ．解法二：sin sin sin a b c A B C ==，且2a =，3A π=，所以43sin 3b B =，433c C =，所以22sin )2[sin sin()]24sin()3336a b c B C B B B ππ++=++=++-=++,因为203B π<<，所以64≤++<c b a ,【例2】:已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边,cos sin 0a C C b c +--=.(1)求A 的大小；(2)若a ＝7,求△ABC 的周长的取值范围．【解析】:(1)由已知及正弦定理得：C B C A C A sin sin sin sin 3cos sin +=+,即C C A C A C A sin )sin(sin sin 3cos sin ++=-,化简得1cos sin 3=-A A ，所以21)6sin(=-πA ，所以66ππ=-A ，解得3π=A ；(2)由已知：0b >,0c >,7b c a +>=,由余弦定理()()()()222222414333cos249c b c b c b bc c b bc c b +=+-+≥-+=-+=π，当且仅当b ＝c ＝7时等号成立,所以2()449b c +≤⨯,又因为b ＋c ＞a,所以7＜b ＋c ≤14,从而△ABC 的周长的取值范围是(14,21]．三、巩固练习1.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a=2,求△ABC 周长的取值范围．2．已知△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且满足sin (sin )A B B C +=．（1）求角A 的大小；（2）若a=3，求△ABC 周长的取值范围．3．锐角△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且(cos )0c a B B -+=．（1）求角A 的大小；（2）若a =ABC 周长的取值范围．4．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，b=4，()sin ()(sin sin )a c A b c B C -=-+．（1）求角B ；（2）求△ABC 周长的最大值．5.在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且2,3==a A π.(1)求△ABC 的周长的取值范围；(2)求22c b +的取值范围.6．如图，在四边形ABCD 中，CD =BC =，7cos14CBD ∠=-．（1）求BDC ∠；（2）若3A π∠=，求△ABD 周长的最大值．7.(2020·理2)ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C.（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.8．已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，且)sin (sin sin 2sin C A A B +=，求△ABC 的周长的取值范围．9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量(2cos ,)m C b =- ，(1,cos cos )n a C c A =+，且//m n.（1）求角C 的大小；（2）若c =，求ABC ∆的周长的取值范围.10.在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，请在①(2)cos cos 0a c B b A ++=；②22cos cos sin (sin sin )A B C C A -=+中选择一个作为已知条件，解答下列问题.我选择__________.（1）求角B 的大小；（2）若3b =，求△ABC 周长的取值范围．11．在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为c b a 、、,且满足A b B a cos 3sin =.（1）求角A 的大小；（2）若4=a ,求△ABC 周长的最大值.12．已知在△ABC 2)12sin2C A B +=+．（1）求角C 的大小；（2）若BAC ∠与ABC ∠的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC 的外接圆半径为2，求△ABI 周长的最大值．13.(2021•上海浦东新区三模)已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（ω＞0，20πϕ<<）的部分图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若22=⎪⎭⎫⎝⎛A f ，a ＝2，求△ABC 周长的取值范围．四、答案与解析1.【解析】:（1）由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==，由2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++⇒22(2)(2)a b c b c b c =+++,整理得222a b c bc =++,即bc a c b -=-+222,所以2122cos 222-=-=-+=bc bc bc a c b A ,因为1800<<A ,所以120=A ;(2)由正弦定理得334sin sin ==C c B b ，所以[])60sin(sin 334)sin (sin 334B B C B c b -+=+=+ )sin 60cos cos 60sin (sin 334B B B-+=)60sin(334cos 23sin 21334 +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B B ，因为120=A ，所以()60,0∈B ⇒()120,6060∈+B ,⇒⎥⎦⎤⎝⎛∈+1,23)60sin(B ⇒⎦⎤ ⎝⎛∈+334,2)60sin(334B ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+334,2c b ，所以周长⎥⎦⎤⎝⎛+∈++3342,4c b a .2.【解析】:（1）由A B C π++=，得sin sin()C A B =+，代入已知条件得：sin sin cos cos sin A B A B A B A B +=⇒sin sin sin A B A B =，因为0sin ≠B，由此得tan A =，因为π<<A 0，所以3π=A ．（2）由上可知：23B C π+=，所以B C -=32π．由正弦定理得：32sin sin 3a R A π===所以232(sin sin )sin()]sin )6sin()326b c R B C B B B B B ππ+=+=+-=+=+，因为由203B π<<得：16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<πB ，所以63≤+<c b ，且3a =，故△ABC 周长的取值范围为(6，9]．3.【解析】:（1）因为锐角△ABC 中(cos )0c a B B -+=，所以由正弦定理可得sin sin (cos )0C A B B -+=，所以sin sin cos sin C A B A B ∴-=，所以sin()sin cos sin A B A B A B ∴+-=，所以3sin cos sin cos sin cos sin sin 3A B A B A B A B ∴+-=，即3sin cos sin 3A B A B =，约掉sin A 变形可得sin tan cos B B B ==，3A π=；（2）因为3=a ，3A π=，所以32π=+C B ，所以由正弦定理可得sin 2sin sin a B b B A ==，sin 2sin sin a Cc C A==，所以△ABC 周长为2sin 2sin a b c B C ++=++22sin 2sin()3B B π=++-312sin 2(sin )22B B B =++2sin sin B B B =+3sin B B =+1cos )22B B =+)6B π=++，因为320π<<B ⇒5666B πππ<+<⇒16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<πB ⇒326sin 323≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<πB ，所以336sin 32332≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++<πB ，所以△ABC 周长的取值范围为.4.【解析】:（1）由正弦定理知，sin sin sin a b cA B C==，因为()()()C B c b A c a sin sin sin +-=-，所以()()()c b c b a c a +-=-，整理得222a c b ac +-=，由余弦定理知，2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()π,0∈B ，所以3π=B ．（2）由（1）知，3B π=，所以32π=+C A ，由正弦定理知，4sin sin sin sin 3a cb A C B π====A a sin 38=，c C =，所以()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=+A A A A A C A c a sin 21cos 23sin 3832sin sin 38sin sin 38π3(sin ))8sin(266A A A A ππ=+=+=+，因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈32,0πA ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+65,66πππA ，当62A ππ+=，即3A π=时，a c +取得最大值8，所以1248=+≤++c b a ，故△ABC 周长的最大值为12．5.【解析】:（1）由正弦定理得，k A a C c B b =====334232sin sin sin ,易得：C B C k c B k b -===π32,sin ,sin ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+6sin 4)sin (sin πC C B k c b 由⎪⎭⎫ ⎝⎛∈π32,0C ,得⎪⎭⎫⎝⎛∈+65,66πππC ，则有：]4,2(∈+c b 又2=a ，则].6,4(∈++=∆c b a l ABC （2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+)62sin(211sin )32(sin sin sin 222222222ππC k C C k C B k c b 由⎪⎭⎫ ⎝⎛∈π32,0C ，得⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈-67,662πππC ，则]21,41(62sin 21-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-πC ,所以23,43(62sin 211∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-+πC 又3162=k ，则].8,4(22∈+c b 6.【解析】:（1）在BCD ∆中，7cos 14CBD ∠=-，所以321sin 14CBD ∠===，由正弦定理得sin sin CD BCCBD BDC=∠∠，所以321sin 114sin 2BC CBD BDC CD ⋅∠∠===，又因为CBD ∠为钝角，所以BDC ∠为锐角，故6BDC π∠=；（2）在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos214BC BD CD CBD BC BD +-∠===-⋅，解得4BD =或5BD =-（舍去），在△ABD 中，3A π∠=，设AB x =，AD y =，由余弦定理得22222161cos 222AB AD BD x y A AB AD xy +-+-===⋅⇒2216x y xy +-=⇒2()163x y xy +-=，又0x >，0y >，利用基本不等式得()()4331622y x xy y x +≤=-+，即()642≤+y x ，当且仅当4x y ==时，等号成立，所以x y +的最大值为8，所以AB AD BD ++的最大值为8412+=，所以△ABD 周长的最大值为12．7.【解析】：（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，所以2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，因为()0,A π∈ ，所以23A π∴=.（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.因为22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），所以()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），所以△ABC 周长3L AC AB BC =++≤+ABC 周长的最大值为3+.8.【解析】:因为a ＝2，且)sin (sin sin 2sin C A A B +=，所以由正弦定理可得b 2＝a 2+ac ，由余弦定理可得bac bc ac c bc a b c A 222cos 2222+=+=-+=，同理可得：b ac B 2cos -=，即⎩⎨⎧=-=+Ba a c Ab ac cos 2cos 2，消去c ，可得B a A b a cos 2cos 22-=，由正弦定理可得B A A B A cos sin 2cos sin 2sin 2-=，即)sin(2sin 2A B A -=，可得B ＝2A ，由正弦定理B b A a sin sin =，可得AbA 2sin sin 2=，可得A b cos 4=，因为△ABC 为锐角三角形，且π=++C B A ，所以220π<<A ⇒46ππ<<A ⇒23cos 22<<A ⇒3222<<b ．又因为a ＝2，即b 2＝4+2c ，所以△ABC 的周长为b b b b c b a +=-++=++2221242，由二次函数性质可得，△ABC 的周长的取值范围为：（326,224++）．9.【解析】:（1）由//m n得22cos 2cos cos a C c A C b +=-，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得2cos (sin cos sin cos )sin C A C C A B +=-，即2cos sin()sin C A C B +=-，因为在三角形中sin()sin 0A C B +=≠，则1cos 2C =-，又(0,)C π∠∈，故23C π∠=；（2）解法一：在△ABC 中，因为c =，23C π∠=，由余弦定理得2223c a b ab =++=，即22()332a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，解得2a b +≤，又由三角形性质得a b c +>=2a b <+≤，则2a b c <++≤+，即ABC ∆的周长的取值范围为(.解法二：由正弦定理知：2233sin sin sin ====CcB b A a ，则A a sin 2=，B b sin 2=3sin 2sin 2++=∆B A l ABC 332sin 2sin 23)sin(2sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+++=πA A C A A 33sin 23cos 3sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=πA A A 因为0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故sin ,132A π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此()32,32+=∆ABC l .10.【解析】:（1）若选①，已知(2)cos cos 0a c B b A ++=．则：(sin 2sin )cos sin cos 0A C B B A ++=，整理得：sin cos cos sin 2sin cos 0A B A B C B ++=，解得：1cos 2B =-，又0B π<<，所以23B π=．若选②，因为()A C C B A sin sin sin cos cos 22+=-．所以()C A C B A sin sin sin sin 1sin 1222+=---，所以C A B C A sin sin sin sin sin 222-=-+，所以ac b c a -=-+222，所以212cos 222-=-+=ac b c a B ，又0B π<<，所以32π=B .（2）解法一：因为23B π=，3b =，所以由余弦定理知，()()()2222222432cos 29c a c a c a ac c a B ac c a b +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+≥-+=-+==，当且仅当3==c a 时，等号成立，所以32≤+c a ，又因为b c a >+，所以3326+≤++<c b a .解法二：因为sin sin sin a b c A B C ===，所以A a sin 32=，c C =，则△ABC 的周长()33sin sin 323sin sin 32+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++=++=A A C A c b a lπ1sin )32A A A =+-+)33A π=++，因为30π<<A ，2333A πππ<+<，所以13sin 23≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<πA ，即33233sin 326+≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+<πA ，所以△ABC 周长的取值范围是(6，3]+．11.【解析】:（1）依正弦定理Bb A a sin sin =可将A b B a cos 3sin =化为A B B A cos sin 3sin sin =又因为在△ABC 中,0sin >B ,所以A A cos 3sin =,即3tan =A ,因为π<<A 0，所以3π=A .（2）因为△ABC 的周长c b c b a ++=++=4,所以当c b +最大时,△ABC 的周长最大．解法一：因为bc c b A bc c b a 3)(cos 2162222-+=-+==，所以316)(2-+=c b bc 4)(2c b bc +≤且，所以()()431622c b c b +≤-+，所以()642≤+c b ，所以8≤+c b （当且仅当4==c b 时等号成立）所以△ABC 周长的最大值12.解法二:因为sin sin sin 332a b c A B C ====,所以()83832sin sin sin sin 8sin 3336b c B C B B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,20,3B π⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故当且仅当3B π=时,b c +取到最大值8所以△ABC 周长的最大值1212.【解析】:（1）因为2)12sin 2C A B +=+，且A B C π++=，11cos 2cos C C C =+-=-cos 2C C +=⇒26sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πC ．因为()π,0∈C ⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+67,66πππC ⇒26ππ=+C ，即3C π=．（2）因为△ABC 的外接圆半径为2，所以由正弦定理知，4223sin sin =⨯==∠πAB ACB AB ，所以32=AB ，因为3π=∠ACB ，所以32π=∠+∠BAC ABC ，因为BAC ∠与ABC ∠的内角平分线交于点Ⅰ，所以3π=∠+∠BAI ABI ，所以32π=∠ABI ，设ABI θ∠=，则3BAI πθ∠=-，且03πθ<<，在△ABI中，由正弦定理得，42sin sin sin()sin 33BI AI AB AIB ππθθ====∠-，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θπ3sin 4BI ，θsin 4=AI ，所以△ABI的周长为314sin()4sin 4(cos sin )4sin 322πθθθθθ+-+=-+2sin 4sin(3πθθθ=+=++，因为30πθ<<，所以2333πππθ<+<，所以当32ππθ+=，即6πθ=时，△ABI的周长取得最大值为4+，故△ABI的周长的最大值为4+．13.【解析】:（1）根据函数的图象，函数的周期πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=12512112T ,故ω＝2．由于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,125π满足函数的图象，所以01252sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯ϕπA ，由于20πϕ<<，所以6πϕ=．由于点（0，1）在函数的图象上，所以A ＝2．故函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin 2)(πx x f ．（2）由于26sin 2)2(=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πA A f ，所以3π=A ．由正弦定理：34sin sin ==A a B b ，整理得B b sin 34=,同理⎪⎭⎫ ⎝⎛-==B C c 32sin 34sin 34π，由于⎪⎭⎫ ⎝⎛∈32,0πB ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++=∆6sin 4232sin 34sin 342ππB B B c b a l ABC ，由于⎪⎭⎫ ⎝⎛∈32,0πB ⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+65,66πππB ⇒⎥⎦⎤ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,216sin πB ．所以：l △ABC ∈（4，6]．。
解三角形知识点总结及典型例题
课前复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式1两角和与差的正弦公式,sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.2两角和与差的余弦公式,cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcos+sinαsinβ3两角和、差的正切公式tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； tan(α-β)=.tan tan 1tan tan βαβα+-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 简单的三角恒等变换二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-= ⑶22tan tan 21tan ααα=- 默写上述公式，检查上次的作业 课本上的!解三角形知识点总结及典型例题2+=(A x c恒成立，所以其图像与x轴没有交点。
中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是=30A；︒B；=30︒S=ABC题型4 判断三角形形状5] 在【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。
解直角三角形知识点及典型例题
板块一 解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形.二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：cba CBA⑴ 三边之间的关系：222a b c += (勾股定理)； ⑵ 锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒； ⑶ 边角之间的关系：sin a A c =，cos b A c =，tan a A b =，cot b A a=. 三、 解直角三角形的四种基本类型⑴ 已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin aA c=求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，b =； ⑵ 已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =；⑶ 已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，cot b a A =，sin ac A=；⑷ 已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan aA b=，得90B A ∠=︒-∠.具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin ac A =等.四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 直角三角形两锐角间的三角函数关系（五）解直角三角形的技巧及注意点在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故s in c o s (90)c o s A A B =︒-=，cos sin A B =，tan cot A B =，cot tan A B =.利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题．（六）如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化解直角三角形为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是： ①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等.【例1】 在三角形ABC 中，903010C A AB ∠=︒∠=︒=，，，则AC 的长度为（ ）A． B． C． D．【例2】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，根据下列条件解直角三角形：60A ∠=︒，4b =；【例3】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，根据下列条件解直角三角形：60A ∠=︒，6a b +=；【例4】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，根据下列条件解直角三角形：45A ∠=︒，12S ∆=.【例5】 如图，在Rt ABC ∆中，已知1CD AB BC ⊥=，，如果40BCD ∠=︒，求AC 的长度D C BA【例6】 如图，在Rt ABC ∆中，已知1CD AB BC ⊥=，，如果1tan 3BCD ∠=，求CD 的长度D C BA【例7】 如图所示，在ABC ∆中，90C ∠=︒，D 是AC 边上的一点，且53AD DB CD ===，，求t a n CBD ∠和sin A 的值．DCB A【例8】 如图，在凯里市某广场上空飘着一只汽球P ，A B ，是地面上相距90米的两点，它们分别在汽球的正西和正东，测得仰角45PAB ∠=︒，仰角30PBA ∠=︒，求汽球P 的高度（精确到0.1米，3=1.732）PACPBA【例9】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若sin tan A B =，求cos A 的值.【例10】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若cos cot A B =，求sin A 的值.【例11】 在三角形ABC 中，90C ∠=︒，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，已知603B a b ∠=︒+=+，求a b ，【例12】 如图，在ABC ∆中，已知20AB AC BC ===，ABC ∆中各内角的度数 DCBA【例13】 如图，已知：ABC ∆是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，连接CE ，求sin ACE ∠的值.FED CBA【例14】 如图所示，天空中有一静止的广告气球C ，从地面A 点测得C 的仰角为45°，从地面B 点测得C 的仰角为60°．已知20AB =米，点C 和直线AB 在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度CD （结果保留根号）．DCBA【例16】 已知：如图，ABC ∆中，45B AB ∠=︒=，，D 是BC 上一点，53AD CD ==，，求ADC ∠的度数及AC 的长．C BA板块二 解直角三角形应用（七）直角三角形中其他重要概念⑴ 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．⑵ 坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为hi l=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵． ⑶ 方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度.如图⑶．图(3)图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线2. 解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：⑴ 分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；⑵ 找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；⑶ 根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；⑷ 按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位.（一）、仰角俯角【例17】 如图，一艘核潜艇在海面下500米A 点处测得俯角为30︒正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在B 点处测得俯角为60︒正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C 点处距离海面的深度？（精确到米）海面60°30°D CBA【例18】 亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M ，颖颖的头顶B 及亮亮的眼睛A 恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C ，D ．然后测出两人之间的距离 1.25m CD =，颖颖与楼之间的距离30m DN =（C D N 、、在一条直线上），颖颖的身高 1.6m BD =，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离0.8m AC =．你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？M【例19】 某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D 点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB 返回山脚下的B 处．在同一平面内，若测得斜坡BD 的长为100米，坡角10DBC ∠=︒，在B 处测得A 的仰角40ABC ∠=︒，在D 处测得A 的仰角85ADF ∠=︒，过D 点作地面BE 的垂线，垂足为C ． ⑴ 求ADB ∠的度数； ⑵ 求索道AB 的长．（结果保留根号）【例20】 如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角23AEF ∠=︒，量得树干倾斜角38BAC ∠=︒，大树被折断部分和坡面所成的角604m ADC AD ∠=︒=，． ⑴求CAE ∠的度数；⑵求这棵大树折断前的高度．1.4 1.72.4==）．A CDE FBGACDEFB【例21】 一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD ．已知她的眼睛与地面的距离为1.6米，小迪在B 处测量时，测角器中的60AOP ∠=°(量角器零度线AC 和铅垂线OP 的夹角，如图)；然后她向小山走50米到达点F 处(点B F D ，，在同一直线上)，这时测角器中的45EO P ''∠=°，那么小山的高度CD 约为( ) Ａ．68米 Ｂ．70米 Ｃ．121米 Ｄ．123米( 1.732≈ 1.414≈供计算时选用)DPGCO A【例22】 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高20cm ，深为30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，斜坡的坡角BCA ∠为12︒，设台阶的起点为A ，斜坡的起点为C ，求AC 的长度（精确到1cm ）DC BA【例23】 课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度. 如图，在A 处用测角仪(离地高度1.5米)测得旗杆顶端的仰角为15︒，朝旗杆方向前进23米到B 处，再次测得旗杆顶端的仰角为30︒，求旗杆EG 的高度.C60°38°BDE23°AF【例24】 在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点 C ，测得C 在A 北偏西31︒的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．(参考数值：3tan315︒≈，1sin312︒≈)【例25】 如图，湖心岛上有一凉亭，现欲利用湖岸边的开阔平整地带，测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB (见示意图)，可供使用的工具有测倾器、皮尺．A⑴ 请你根据现有条件，设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB 的方案，画出测量方案的平面示意图，并将测量的数据标注在图形上(所测的距离用m ，n …表示，角用α，β…表示，测倾器高度忽略不计)；⑵ 根据你所测量的数据，计算凉亭到湖面的高度AB (用字母表示)．【例26】 如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲乙两人分别在相距8米的A 、B 两处测得D 点和C 点的仰角分别为45︒和60︒，且A 、B 、E三点在一条直线上，若15BE =米，求这块广告牌的高度．(取1.73≈，计算结果保留整数)EDC BA60︒45︒【例27】 由山脚下的一点A 测得山顶D 的仰角是45︒，从A 沿倾斜角为30︒的山坡前进1500米到B ，再次测得山顶D 的仰角为60︒，求山高CD .DCBA【例28】 如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为45︒，沿着坡度为30︒的斜坡前进400米到D 处(即30,400DCB CD ∠=︒=米)，测得A 的仰角为60︒，求山的高度AB .【例29】 如图所示，某学校拟建两幢平行的教学楼，现设计两楼相距30米，从A 点看C 点，仰角为5︒；从A点看D 点，俯角为30，解决下列问题：⑴ 求两幢楼分别高多少米？(结果精确到1米)⑵ 若冬日上午9:00太阳光的入射角最低为30(光线与水平线的夹角)，问一号楼的光照是否会有影响？请说明理由，若有，则两楼间距离应至少相距多少米时才会消除这种影响？(结果精确到1米)(参考数据：tan50.0875≈ tan300.5774≈ cos30 1.732≈)DCDCB A【例30】 若每层楼高2.2米，问在例题的第⑵问中，在一号楼中至少住在第几层光照就不会受到二号楼的影响？F 30︒ED CBA【例31】 某住宅小区有一郑南朝向的居民楼，如图，该楼底层是高为6m 的超市，超市以上是居民住房，在该楼前方15m 处准备盖一幢高20m 的新楼，已知当地冬季正午的阳光与水平线夹角为32︒ ⑴超市以上居民住房采光是否受到影响？为什么？⑵若要使居民住房采光不受影响，两楼至少应相距多少米？（精确到0.1m ）新楼居民楼新楼32°BADCBA【例32】 如图，“五一”期间在某商贸大厦上从点A 到点B 悬挂了一条宣传条幅，小明和小雯的家正好住在商贸大厦对面的家属楼上．小明在四楼D 点测得条幅端点A 的仰角为30︒，测得条幅端点B 的俯角为45︒；小雯在三楼C 点测得条幅端点A 的仰角为45︒，测得条幅端点B 的俯角为30︒．若设楼层高度CD 为3米，请你根据小明和小雯测得的数据求出条幅AB 的长．(结果精确到个位，参考数据1.732)【例33】 如图，某高层楼房与上海东方明珠电视塔隔江想望，甲、乙两学生分别在这楼房的A B ，两层，甲在A 层测得电视塔塔顶D 的仰角为α，塔底C 的俯角为β，乙在B 层测得塔顶D 的仰角为θ，由于塔底的视线被挡住，乙无法测得塔底的俯角，已知A B ，之间的高度差为a ，求电视塔高CD （用含a αβθ，，，的代数式表示）（二）、坡度角【例34】 为了加固一段河堤，需要运来砂石和土将堤面加宽1m ，使坡度由原来的1:2变成1:3，如图所示，已知原来背水坡长12BC m ，堤长100m ，那么需要运来砂石和土多少立方米?(参考数据3≈1.7，5≈2.7)CFEDBA【例35】 燕尾槽的横断面是等腰梯形，下图是个燕尾槽的横断面，其中燕尾角B 为55°，外口宽AD 为180 mm ，燕尾槽的深度为70 mm ，求它的里口宽BC （精确到1 mm ）F EDCBA【例36】 创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．⑴请你帮助小王在下图中把图形补画完整；⑵由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i=是坡面CE的坡度），求r的值．【例37】一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形. 现需将其整修并进行美化，方案如下：①将背水坡AB的坡度由1:0.75改为；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花.⑴求整修后背水坡面的面积；⑵如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？DCBA【例38】城市规划期间，欲拆除一电线杆AB，如图所示，已知距电线杆AB水平距离14m的D处有一大坝，背水坡CD的坡度为2，坝高CF为2m，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30︒，D、E之间是宽为2m的人行道，试问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B为圆心.以AB的长为半径的圆形区域为危险区域)．FE人行道DCB A【例39】 如图，甲、乙两建筑物的水平距离为30m ，从乙的顶部A 测得甲的顶部C 的仰角为60︒，测得甲的底部D 的俯角为30︒，求两建筑物的高.B【例40】 在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度．如图1，虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角θ愈小，楼梯的安全程度愈高．如图2，设计者为提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由1θ减至2θ，这样楼梯占用地板的长度由1d 增加到2d ，已知11440d m θ=∠=︒，，236θ∠=︒，求楼梯占用地板的长度增加了多少？（精确到0.01 m ． 参考数据：tan36°=0.7256， tan40°=0.8391．）θ地板地板【例41】 武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44︒减至32︒，已知原台阶AB 的长为5米(BC 所在地面为水平面)． ⑴ 改善后的台阶会加长多少？(精确到0.01米)⑵ 改善后的台阶多占多长一段地面？(精确到0.01米)44︒32︒CBA【例42】 我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示．BC AD ∥，斜坡40AB =米，坡角60BAD ∠=︒，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过45时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米（结果保留根号）？ABD CEF G ECDBA（三）、方位角【例43】 如图，AC 是某市环城路的一段，AE BF CD ，，都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A B C ，，．经测量花卉世界D 位于点A 的北偏东45°方向、点B 的北偏东30°方向上， 2AB km =，15DAC ∠=︒． （1）求B D ，之间的距离； （2）求C D ，之间的距离．中山路文化路和平路环城路环城路和平路文化路中山路BCD45°30°15°15°30°45°ODC BABCA44︒【例44】 如图所示，某轮船以30海里／时的速度航行，在A 点处测得海面上的哨所P 在南偏东60︒，向北航行40分钟后到达B 点，测得哨所P 在南偏东30︒，轮船改变为北偏东60︒的航向再航行2小时到达C 点，若在PC 上存在一点M ，点M 在点B 的南偏东60︒处，且在点M 的周围有方圆15海里的暗礁区，问轮船从B 点到C 点的航行中有无触礁的危险?是否需要改变航向?EDB A【例45】 为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，设计师提供了车库入口设计示意图，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你计算图中CE 的长（精确到0.1m ）【例46】 如图所示，某船以每小时36海里的速度向正东航行，在A 点测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到B 点，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁． （1）试说明B 点是否在暗礁区域外．（2）若继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．东【例47】 如图，公路MN 和公路PQ 在P 处交会，且30QPN ∠=︒，点A 处有一所学校，160m AP =，假设拖拉机行使时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么当拖拉机在公路MN 上沿PN 的方向以10m/s 的速度行使时，⑴ 学校是否会受到噪音的影响？为什么？⑵若学校会受到噪音的影响，受影响的时间是多少？【例48】 随着科学技术的发展，机器人已经能按照设计的指令完成各种动作，在坐标平面上，根据指令[s ，]α(0a ≥，0360α︒≤<︒)机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度α，再朝其面对的方向沿直线行走距离s.⑴填空：如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y轴的正方向，现要使其移动到点(2A，2)，则给机器人发出的指令应是_________⑵机器人在完成上述指令后，发现(6P，0)处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动，已知小球的滚动速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器原地旋转时间，请你给机器人发一个指令，使它能最快截住小球.(如图，点C为机器人最快截住小球的位置)(角度精确到度；参考数据：sin490.75︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈，tan390.80︒≈)NyxPOANyxPO CBA【例49】第⑵问中，将“小球的滚动速度与机器人行走的速度相同”改为“小球速度为机器人的2”，则要在最短时间内截住小球应下的指令为.【例50】如图，在某海域内有三个港口A、D、C．港口C在港口A北偏东60︒方向上，港口D在港口A北偏西60︒方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30︒的方向驶离A港口3小时后到达B点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在B处测得港口C在B处的南偏东75︒方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．【例51】渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60︒方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到B处.在B处看见灯塔M在北偏东15︒方向，求此时灯塔M与渔船的距离.北东北15︒60︒MBA北东北60︒15︒NM BA【例52】 如图，某剧组在东海拍摄广告风光片，拍摄基地位于A 处，在其正南方向15海里处一小岛B ，在B的正东方向20海里处有一小岛C ，小岛D 位于AC 上，且距小岛A 有10海里. ⑴ 求A ∠的度数(精确到1︒)和点D 到BC 的距离；⑵ 摄制组甲从A 处乘甲船出发，沿A B C →→的方向匀速航行，摄制组乙从D 处乘乙船出发，沿南偏西方向匀速直线航行，已知甲船的速度是乙船速度的2倍，若两船同时出发并且在B 、C 间的F 处相遇，问相遇时乙船航行了多少海里？(结果精确到0.1海里)北C B北EC B【例53】 海面上B 处有一货轮正在向正南方向航行，其航行路线是当它到达正南方C 时，在驶向正西方的目的地A 处，且200CA CB ==海里，在AB 中点O 处有一客轮，其速度为货轮的一半，现在客轮要截住货轮取一件货物，于是选择某一航向行驶去截住货轮，那么当客轮截住客轮时至少航行了多少海里，它所选择了怎样的方向角？(路程保留整数海里，角度精确到度)【例54】 为保卫祖国的海疆，我人民解放军海军在海岸线上相距20n mile 的A B ，两地设立观测站，按国际惯例，海岸线以外12n mile 范围内均为我国领海，外国船只除特许外，不得私自进入我国领海，某日，观测员发现一外国船只行驶至P 处，在A 观测站测得P 在北偏东27︒，同时在B 观测站测得P 在北偏西56︒，问此时是否需要向此未经特许的船只发出警告，命令其退出我国领海？（参考数据：932sin63tan632sin34tan341053︒≈︒≈︒≈︒≈，，，）56°27°PBA【例55】 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220km 的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km ，风力就减弱一级，该台风中心现在以15km/h 的速度沿北偏东30︒方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到四级，则称受台风影响. ⑴ 该城市是否会受这次台风影响？请说明理由.⑵ 若受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间会有多长？ ⑶ 该城市受台风影响的最大风力是几级？（四）其它【例56】 公园里有一块形如四边形ABCD 的草地，测得10BC CD ==米，120B C ∠=∠=︒，45A ∠=︒．请你求出这块草地的面积．DCBA【例57】 如图，不透明圆锥体DEC 放在水平面上，在A 处灯光照射下形成影子，设BP 过底面圆的直径，已知圆锥体的高为，底面半径为2m ，4BE m =⑴求B ∠的度数；⑵若2ACP B ∠=∠，求光源A 距水平面的高度PEDCBA【例58】 小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15︒的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全.他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75︒，如果拖把的总长为1.80m ，则小明拓宽了行路通道_________m ．(结果保留三个有效数字，参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈)【例59】 如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为60︒．⑴ 求AO 与BO 的长；⑵ 若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行.① 如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且:2:3AC BD =，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米；② 如图３，当A 点下滑到'A 点，B 点向右滑行到'B 点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到'P 点．若'15POP ∠=︒，试求'AA 的长．图1图2图3【例60】 如图1、图2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB （与地面平行）或绕定点P （固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持''AP A P BP B P ==，）．通过向下踩踏点A 到'A （与地面接触点）使点B 上升到点'B ，与此同时传动杆BH 运动到''B H 的位置，点H 绕固定点D 旋转（DH 为旋转半径）至点'H ，从而使桶盖打开一个张角'HDH ∠．如图3，桶盖打开后，传动杆''H B 所在的直线分别与水平直线AB DH 、垂直，垂足为点M C 、，设''H C B M =．测得6cm 12cm '8cm AP PB DH ===，，．要使桶盖张开的角度'HDH ∠不小于60︒，那么踏板AB 离地面的高度至少等于多少cm ？（结果保留两位有效数字）图3图2B【例61】 如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AB的垂直平分线MN 交AC 于点D ，连结BD ，若3cos 5BDC ∠=， 求tan A 的值．（图1）NM DCA【例62】 如图所示，已知在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3sin 5B =，D 是BC 上一点，DE AB ⊥，垂足为E ，CD DE =，9AC CD +=.求：⑴ BC 的长；⑵ CE 的长.EDCBA【例63】 如图，某居民小区内A B ，两楼之间的距离30MN =米，两楼的高都是20米，A 楼在B 楼正南，B楼窗户朝南．B 楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离2DN =米，窗户高 1.8CD =米．当正午时刻太阳光线与地面成30角时，A 楼的影子是否影响B 楼的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户多高？若不影响，请说明理由．(1.4141.732=2.236=)【例64】 如图，水坝的横截面为梯形ABCD ，坝顶宽6m AD =，坡面CD =，AB 的坡度为，135ADC ∠=︒，求水坝的横截面积．DBA【例65】 水坝的横截面是等腰梯形ABCD ，坝顶宽6AD m =，坝高4m ，斜坡AB 的坡度为1:2，现要将水坝加高2m ，要求坝顶宽度不变，背水坡AB 改为EG 后，坡度改为1:2.5，如图，按这样的要求，加固一条长为50m 的水坝，需要多少土方？Q HR G FEDCB A【例66】 如图所示，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时的速度沿北偏西60︒方向前进，乙船以每小时15km 的速度沿东北方向前进，甲船航行2h 到达C 处，发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速(匀速)沿北偏东75︒的方向追赶，结果两船在B 处相遇. ⑴ 甲船从C 处追上乙船用了多长时间？ ⑵ 甲船追赶乙船的速度是多少？北【例67】 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD ，建筑物周围没有开阔平整地带，建筑物顶端宽度AD 、高度DC 都可以直接测得，从A D C ，，三点都可看到塔顶H⑴试根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案，具体要求如下：①可供使用的测量工具有皮尺、测角器；②测量数据尽可能少；③在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A D ，间距离，用m 表示，D C ，间距离，用n 表示；如果测角，用αβγ，，表示）⑵根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG （用字母表示，测角器高度忽略不计）DBA【例68】 如图，某电信部门计划架设一条连结B C ，两地的电缆，测量人员在山脚A 地测得B C ，两地在同一方向，且两地的仰角分别为3045︒︒，，在B 地测得C 地的仰角为60︒，已知C 地比A 地高200米，且由于电缆的重力导致下坠，实际长度是两地距离的1.2倍，求电缆的长（精确到0.1米）。
解三角形方法与技巧例题和知识点总结
解三角形方法与技巧例题和知识点总结一、解三角形的基本概念在平面几何中，三角形是一个非常重要的图形。
解三角形就是通过已知的三角形的一些元素（如边、角），求出其他未知元素的过程。
三角形中的基本元素包括三个角（通常用 A、B、C 表示）和三条边（通常用 a、b、c 表示）。
解三角形的主要依据是三角形的内角和定理（A ＋ B ＋ C ＝ 180°）以及正弦定理和余弦定理。
二、正弦定理正弦定理的表达式为：＼（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼）。
正弦定理可以用于以下两种情况：1、已知两角和一边，求其他两边和一角。
例如：在三角形 ABC 中，已知角 A ＝ 30°，角 B ＝ 45°，边 c ＝10，求边 a 和边 b。
首先，根据三角形内角和定理，角 C ＝ 180° 30° 45°＝ 105°。
然后，利用正弦定理\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼），可得\（a ＝＼frac{c\sin A}｛＼sin C} ＝＼frac{10\times\sin 30°｝｛＼sin 105°｝＼）。
同样，＼（＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼），＼（b ＝＼frac{c\sin B}｛＼sin C} ＝＼frac{10\times\sin 45°｝｛＼sin 105°｝＼）。
2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和其他边。
例如：在三角形 ABC 中，已知边 a ＝ 6，边 b ＝ 8，角 A ＝ 30°，求角 B。
由正弦定理\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B}＼），可得\（＼sin B ＝＼frac{b\sin A}｛a} ＝＼frac{8\times\sin 30°｝｛6} ＝＼frac{2}｛3}＼）。
人教版解直角三角形知识点总结与例题
知识点总结：一、锐角三角函数的定义锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数。
正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边正切（tan）等于对边比邻边；余切（cot）等于邻边比对边正切与余切互为倒数，互余角的三角函数间的关系。
sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.同角三角函数间的关系平方关系：tanα=sinα/cosα，sin2α+cos2α=1·积的关系：·倒数关系： tanα·cotα=1 ；sinα·cscα=1； cosα·secα=1 直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边, 余切等于邻边比对边三角函数值（1）特殊角三角函数值（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（3）④tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。
（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,当角度在0°<α<90°间变化时，tanα>0, cotα>0.特殊的三角函数值二、解直角三角形勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。
解三角形知识点及题型总结
基础强化（8）――解三角形1 ①三角形三角关系：A+B+C=180 ; C=180° -（A+B ）;②•三角形三边关系： a+b>c; a-b<c③•锐角三角形性质：若 A>B>C 则60 A 90 ,0 C 602、三角形中的基本关系： sin(A B) sinC, cos(A B) cosC, tan(A B) tanC,A B C AB C AB Csincos ,cos sin ,ta ncot -2 2 22 2 2的情况（一解、两解、三解））6、三角形面积公式：SC1bcsi n1 abs in C 1 acs in2.=2Rsi nAsi nBsi nC= abc r(a b c)22 24R 27、 余弦定理：在C 中，有 2.2 2a b c22bc cos , b2 2a c 2 ac cos ,c 2a 2b 22abcosC .9、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
②已知三边求角 10、三角形的五心: 垂心 -- 三角形的三边上的高相交于一点重心一一三角形三条中线的相交于一点 外心 -- 三角形三边垂直平分线相交于一点 内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点3、正弦定理：在 圆的半径，则有-ca;in C 中，a 、b 、1 c 分别为角 、 2R .、C 的对边，R 为C 的外接b sinc sin C4、 正弦定理的变形公式:①化角为边a 2Rsin,b 2Rsi n ,c 2RsinC ；②化边为角sin— ,sinb sin Cc2R2R 2R③ a : b: c sin:sin :sin C ;a b cab c④——=2Rsin sinsin C sin sinsin C5、 两类正弦定理解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角 .②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解 8、余弦定理的推论：cos,2 2 2b c a2bccos2 2 , 2 a c b2accosC2 , 2 2a b c 2ab11•仰角与俯角，方向角与方位角题型一：求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线 (高线、角平分线、中线)及周长等基本问题.例1. (1)在 ABC 中，已知A 45°, B 60°, a 42 cm ，解三角形.(2) 在 ABC 中，c 、.6, A 45°, a 2,求b 和 B,C .(3) 在 ABC 中，b 3, B 60°,c 1,求a 和A,C .(4) 在厶 ABC 中，已知 a 3 , b 2 , B 45°，求 A,C 和 c .(5) 在厶ABC 中，已知三边长 a 3 , b 4 , c 37 ，求三角形的最大内角.1 •在△ ABC 中，a题型二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状. 例2. (1 )在 ABC 中，a 2bc°sC ，则此三角形一定是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形(2) 在 ABC 中，若sinC 2cosAsinB ，则此三角形必是( )A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形(3) 设 ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若a (b c)cosC ,则 ABC 的形状是1、在 ABC 中，若 lgs in A lgcos B Igsi nC A.直角三角形 B.等边三角形 C.不能确定 D.等腰三角形 2 .在 ABC 中，若 bcosC ccosB a si nA,贝 U ABC 的形状为 A.锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形 D.不确定题型三：与面积有关问题si nC2•在△ ABC 中，已知AB 「osB-.6 6AC 边上的中线BD= . 5，求sinA 的值.A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.锐角三角形lg 2,则 ABC 的形状是(m n,若函数g(x)的图例3、已知向量m (sinx, 3sinx), n (sinx, cosx),设函数f(x)象与f (x)的图象关于坐标原点对称.(1) 求函数g(x)在区间［—,—］上的最大值，并求出此时 x 的值； (2) 在 ABC 中，a,b,c 分别是角A, B,C 的对边，A 为锐角，若f (A)b c 7, ABC 的面积为2 3,求边a 的长.21.、在 ABC 中，内角 代B,C 的对边分别为a,b,c.已知cos A , sin B .. 5cosC.3(1)求tanC 的值；(2)若 a 2,求 ABC 的面积.2•已知△ ABC 的周长为,2 1，且 si nA si nB .2s inC .(I) 求边AB 的长；1(II) 若△ ABC 的面积为一sin C ,求角C 的度数.6题型之四：二角形中求值问题 1.在 ABC 中， A 、 B 、 C 所对的边长分别为 a 、b 、c ,设a 、b 、c 满足条件b 2c 2bc a 2和--.、3，求 A 和tanB 的值b 2B C Atan 2sin 2 的值；(2)若 a 2, S ^ABC2，求 b 的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课前复习
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1两角和与差的正弦公式,
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.
2两角和与差的余弦公式,
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcos+sinαsinβ
3两角和、差的正切公式
tan(α+β)=,tan tan 1tan tan β
αβα-+ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； tan(α-β)=.tan tan 1tan tan β
αβα+-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 简单的三角恒等变换
二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒
⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-
⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122
ααα
α=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-= ⑶22tan tan 21tan ααα
=- 默写上述公式，检查上次的作业 课本上的!
解三角形知识点总结及典型例题
2
+=(
A x c
恒成立，所以其图像与x轴没有交点。
中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是
=30
A；
︒
B；
=30
︒
S=
ABC
题型4 判断三角形形状
5] 在
【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。