习题集-02 数字信号处理习题答案
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§ Z 变换
➢ Z 变换的定义及收敛域 【习题】
1. 假如)(n x 的z 变换代数表示式是下式，问)(z X 可能有多少不同的收敛域。
)
8
3451)(411(411)(2
122----+++-
=z z z z z X
【分析】
）
要单独讨论，（环状、圆外、圆内：有三种收敛域：双边序列的收敛域为：特殊情况有：左边序列的收敛域为：因果序列的收敛域为：右边序列的收敛域为：特殊情况有：有限长序列的收敛域为 0 0 , , 0 0 , , 0 , 0 0 , 0 , 0 22112121∞==<<≤≤<≤<<≥≥∞≤<≥∞<<≤∞<≤≥∞≤<≤≤∞<<+
-++--z z R z R n n R z n n R z n n z R n n z R n z n z n n n z x x x x x x
解：对X
(Z)
的分子和分母进行因式分解得
)
4
3
1
)(
2
1
1
)(
2
1
1(
2
1
1
1
1
1
1
-
-
-
-
+
-
+
-
=
Z
jZ
jZ
Z
X(Z)的零点为：1/2，极点为：j/2，-j/2，-3/4
∴X(Z)的收敛域为：
(1) 1/2 < | Z | < 3/4，为双边序列，见图一
(2) | Z | < 1/2，为左边序列，见图二
(3) | Z | > 3/4，为右边序列，见图三
图一图二图三
)
4
3
1
)(
2
1
1
)(
4
1
1(
)
2
1
1
)(
2
1
1(
)
(
1
1
2
1
1
-
-
-
-
-
+
+
+
+
-
=
Z
Z
Z
Z
Z
Z
X
➢ Z 反变换 【习题】
2. 有一右边序列 )(n x ，其 z 变换为)
1)(2
1
1(1
)(11----=
z z z X
(a) 将上式作部分分式展开(用 1-z 表示)，由展开式求 )(n x 。
(b) 将上式表示成 z 的多项式之比，再作部分分式展开，由展开式求 )(n x ,并说明所得到的序列
与(a)所得的是一样的。
【注意】不管哪种表示法最后求出 x (n ) 应该是相同的。
解：(a) 因为1112
2
111)(---+
--=
z z z X 且x(n)是右边序列
所以 )()212()(n u n x n
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
(b)
12
2
1211 )
1)(21
(21231 )
1)(21
()(2
-+
--
+=---+
=--=
z z z z z z z z z X )
()212( )
1(2)1(21)()( n u n u n u n n x n
n
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-+-⎪⎭⎫
⎝⎛-=δ则
➢ Z 变换的基本性质和定理 【习题】
3. 对因果序列，初值定理是)(lim )0(z X x z ∞
→=，如果序列为 0>n 时0)(=n x ，问相应的定理是什么？
)( n x 讨论一个序列，其z 变换为：
值。
试求其的收敛域包括单位圆， )0( )(x z X 【分析】
这道题讨论如何由双边序列Z 变换)(z X 来求序列初值)0(x ，把序列分成因果序列和反因果序列两部分，〖它们各自由)(z X 求)0(x 表达式是不同的〗，将它们各自的)0(x 相加即得所求。
)0()(lim )2()1()0( )()(:
,0)(,00
20
x z X z x z x x z
n x z X n x n z n n
=+-+-+==
=>→--∞
=-•
••∑所以此时有：有时当序列满足解：
若序列)(n x 的Z 变换为：
2
1
,2 )()()(2
1 3
2 4 )
21)(2(2419
1272512419127)(21212211=
=∴+=-+-=---=+--=---z z z X z X z X z z
z z z z z z z z z z X 的极点为）
（）
（
由题意可知：X (Z )的收敛域包括单位圆
则其收敛域应该为：
22
1
< )0()0()0(3 1 213lim )(lim )0(024lim )(lim )0( )( 0 )( 2122010121= +=∴= -===-==≤∞→∞→→→x x x z z z X x z z z X x n x n n x z z z z ） （） （为因果序列： 时为有值左边序列，为则 2 11 2 5 12419127)(---+--= z z z z X