浙江大学2020-2021学年秋冬学期期末模拟考试《线性代数》试卷及答案解析

0 0 · · · 0 −1 x + an−1
0 0 0 · · · 0 −1
=
x
(xn−1
+
an−1xn−2
+
·
·
·
+
a2x
+
) a1
+
(−1)1+na0(−1)n−1
= xn + an−1xn−1 + · · · + a2x2 + a1x + a0.
根据数学归纳法原理，此命题对一切自然数 n ≥ 2 都成立。
→
1 0
2 0
−2 0
1 0
,
−2 −4 4 −2
00 00
知 r(A) = r(A) = 1，方程组有无穷多解，且其通解为
+
a2)
x23
+
2(1
−
a)x1x3+ 2(1 − a)x2x3 的秩为 2, AT = A.（15’）
（1）求 a 的值；
（2）求 xT Ax = 2 在正交变换 x = Qy 下的曲面方程；
（3）求一个可逆线性变换 x = P z 将二次型 f 化为规范型。
八、设 A 为 n 阶幂零矩阵，B 为 n 阶矩阵，使得 AB + BA = B，求证：
α3 α4
= =
(5, 3, 2, 1)T (6, 6, 1, 3)T
（1）求由前一个基到后一个基的过渡矩阵；
（2）求向量 (x1, x2, x3, x4)T 在后一个基下的坐标；
（3）求在两个基下有相同坐标的向量。
七、设二次型
f
(x1,
x2,
x3)
=
xTAx
=
2x21
+
( 1
+
a2)
x22
+
( 3
=
3
diag
( 2,
2,
2,
) 1 −
=
diag(6,
6,
6,
−1).
3
三、解： 由于系数矩阵是方阵，其行列式为
2 − λ 2 −2 |A| = 2 5 − λ −4 = − (λ − 1)2 (λ − 10) .
−2 −4 5 − λ
当 |A| ̸= 0 时，即 λ ̸= 1 且 λ ̸= 10 时，方程组有唯一解。
2
当 λ = 10 时，增广矩阵为
A =
−8 2
2 −5
−2 −4
1 2
→
2 0
−5 1
−4 1
2
1 2
,
−2 −4 −5 −11
0 0 01
可见 r(A) = 2, r(A) = 3, r(A) ̸= r(A)，方程组无解。
当 λ = 1 时，增广矩阵为
A =
1 2
2 −2 4 −4
1 2
2
B = O.（7’） 九、设 A 是 n 阶可逆实对称矩阵，S 为 n 阶实反对称矩阵且 AS = SA，求 证：（8’） （1）E − S 是可逆的； （2）A + S 是可逆的。
3
答题卡： 4
答题卡： 5
答题卡： 6
2020-2021 学年秋冬学期线性代数期末模拟考试
命题、组织：丹青学业指导中心
二、已知矩阵 A 的伴随阵 A∗ = diag(1, 1, 1, 8), 且 ABA−1 = BA−1 + 3E, 求 B.（10’）
1
三、设
(2 − λ)x1 + 2x2
2x1 + (5 − λ)x2 −2x1 − 4x2
−2x3 = 1 −4x3 = 2 +(5 − λ)x3 = −(λ + 1)
现在考虑上述形式的 n 阶行列式，按第一行展开，得：
x 0 ··· 0 0
a1
−1 x 0 · · · 0 0
−1 x · · · 0 0 Dn = x ...
a2
0 −1 x · · · 0 0
...
+ (−1)1+na0 ...
...
0 0 · · · −1 x an−2
0 0 0 · · · −1 x
一、证明下列 n 阶行列式 (n ≥ 2)：（10’）
x 0 0 ··· 0 0
a0
−1 x 0 · · · 0 0
a1
0 −1 x · · · 0 0
a2
Dn = ...
...
0 0 0 · · · −1 x an−2 0 0 0 · · · 0 −1 x + an−1
= xn + an−1xn−1 + · · · + a2x2 + a1x + a0
1
二、解: 先由 A∗ 来确定 |A|. 由题意知 A−1 存在，有 A∗ = |A|A−1，得 |A∗| =
|A|4|A−1| = |A|3，而 |A∗| = 8，故 |A| = 2. 再简化所给矩阵方程：
ABA−1 = BA−1 + 3E
⇒(A − E)BA−1 = 3E
⇒(A − E)B = 3A
2020-2021 学年秋冬学期线性代数期末模拟考试
命题、组织：丹青学业指导中心
欢迎大家参加期末模拟考，下面是考试须知: 1. 请将除答题必备工具外的物品放到讲台上，电子设备关机或静音。 2. 请对号入座，并将身份证或校园卡放在桌面左上角。 3. 本场考试持续两个小时，开考后迟到二十分钟及以上不得参加本次考试，考试进行三十 分钟后方能交卷离开。 4. 开考信号发出后方可开始答题，考试终了信息发出后，应立即停止答题，离开考场。 5. 遵守考场纪律。
一、证明：归纳法。
n = 2 时，
D2 = x a0
= x2 + a1x + a0.
−1 x + a1
假设对上述形式的 n − 1 阶行列式，有
x 0 ··· 0 0
a0
−1 x · · · 0 0 ...
a1 ...
= xn−1 + an−2xn−2 + · · · + a1x + a0,
0 0 · · · 0 −1 x + an−2
⇒
( E
−
A−1)
B
=
3E.
由
|A|
=
2
知
A−1
=
1 |A|
A∗
=
1 2
diag(1, 1, 1, 8)
=
diag
(
1 2
,
1 2
,
1 2
,
) 4 ，且
(
)
E − A−1 = diag
111 , , , −3
.
222
得
( E
−
A−1)−1
=
diag
( 2,
2,
2,
−
1
)
.
3
于是
B
=
3
( E
−
A−1)−1
问 λ 为何值时，此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时
求其通解。（10’）
四、设 A = 2 −2 1 3 ，求一个 4 × 2 矩阵 B，使 AB = O，且 9 −5 2 8
r(B) = 2.（10’）
五、设 A 为 3 阶对称阵，A 的秩 r(A) = 2，且满足条件 A3 + 2A2 = O.
（15’）
（1）求 A 的全部特征值；
（2）当 k 为何值时，A + kE 为正定矩阵。
六、在 R4 中取两个基（15’）
Hale Waihona Puke Baidu
e1 e2
= =
(1, 0, 0, 0)T (0, 1, 0, 0)T
e3 e4
= =
(0, 0, 1, 0)T (0, 0, 0, 1)T
α1 α2
= =
(2, 1, −1, 1)T (0, 3, 1, 0)T