第五讲：易解问题与难解问题知识讲解
初中学科的问题解析与解答策略知识点归纳
初中学科的问题解析与解答策略知识点归纳初中阶段是学生学习的重要时期，他们开始接触各个学科的基础知识，并逐渐培养问题解析与解答的能力。
在学科学习过程中，学生常常遇到各种难题，因此了解问题解析与解答的策略知识点是十分重要的。
本文将对初中学科的问题解析与解答策略知识点进行归纳和总结。
一、数学学科的问题解析与解答策略知识点：1. 理解问题：数学题目往往需要从语言中理解问题的意思，进行抽象和转化，确立解题思路。
2. 审题：认真审题可以避免因题意理解错误而产生的错误答案，同时可以找到解题的关键信息。
3. 列方程：对于以方程形式给出的数学问题，需要将已知条件和未知量用方程表示，然后解方程求解。
4. 构建模型：对于实际问题，需要将其转化为数学模型，利用数学的方法解决问题。
5. 理清思路：对于复杂的数学问题，需要用逻辑思维方法梳理解题步骤，防止跳跃性思维导致的错误。
6. 运用基本公式和定理：数学学科有许多基本公式和定理，熟练运用它们可以解决许多数学题目。
二、物理学科的问题解析与解答策略知识点：1. 理解题意：物理学问题通常需要根据题目所给的条件和要求，掌握问题的关键信息，理解题目的意图。
2. 梳理解题思路：对于复杂的物理学问题，需要通过逻辑思维方法梳理解题思路，找到解题的关键步骤。
3. 运用物理定律和公式：物理学科有许多基本定律和公式，理解和运用它们可以解决各类物理学问题。
4. 理解图表和数据：物理学常涉及到图表和数据的分析与运用，需要能够准确读取和理解图表和数据信息。
5. 运用物理学问题解决能力：通过大量的练习和实践，培养解决物理学问题的能力，提高解题的效率和准确性。
三、化学学科的问题解析与解答策略知识点：1. 认真阅读题目：化学学科的题目通常包含大量的实验条件和化学反应方程式，需要认真阅读题目，理解问题要求。
2. 理解化学概念和规律：化学学科有许多概念和规律，理解它们可以帮助学生解决复杂的化学问题。
3. 运用化学知识解决实际问题：化学学科常常涉及到实际生活中的问题，需要将化学知识应用到实际问题解决中。
小学数学中的难题解析和技巧分享
小学数学中的难题解析和技巧分享一、分数的加减法1.通分与约分2.同分母分数加减法3.异分母分数加减法4.混合运算中的分数应用二、小数的加减法1.小数点的对齐2.同位数相加减3.借位与补位4.混合运算中的小数应用三、整数的乘除法1.一位数的乘法2.两位数的乘法3.多位数的乘法4.除法的定义及计算方法5.乘除法的运算顺序四、几何图形1.平面几何图形的性质2.三角形、四边形、五边形、六边形的分类及特点3.圆的性质及计算4.几何图形的面积和周长计算五、方程与方程组1.方程的定义及解法2.一元一次方程3.二元一次方程组4.方程的变形与化简六、比例与比例尺1.比例的定义及计算2.外项与内项3.比例尺的应用4.比例与分数、百分数的关系七、数据的收集与处理1.数据的收集方法2.数据的整理与分类3.平均数、中位数、众数的计算4.数据的可视化展示八、逻辑思维与数学应用1.数学问题的转化与解决2.逻辑推理与证明3.数学在日常生活中的应用4.数学故事与趣味问题九、数学思维方法与技巧1.画图辅助解题2.列式计算与逆向思维3.分解与组合4.归纳与总结十、解决问题的策略1.从简单到复杂2.反向思考与逆向运算3.化繁为简与抓住关键4.多种方法尝试与比较通过以上知识点的系统学习和练习，孩子们可以更好地掌握小学数学的基本知识和解题技巧，为今后的学习打下坚实的基础。
在学习过程中，要注意培养学生的逻辑思维能力、创新意识和解决问题的能力，使他们能够灵活运用所学知识，充分体验数学的魅力。
习题及方法：一、分数的加减法1.习题：计算下列分数的和：(3/4) + (1/6)。
答案：通分后得 (9/12) + (2/12) = 11/12。
解题思路：先通分，然后分子相加得新分子，分母保持不变。
2.习题：计算下列分数的差：(5/8) - (1/4)。
答案：通分后得 (5/8) - (2/8) = 3/8。
解题思路：先通分，然后分子相减得新分子，分母保持不变。
六年级数学知识点解析攻克难题要点
六年级数学知识点解析攻克难题要点数学作为一门基础学科，对于六年级学生来说，常常是个头疼的难题。
然而，只要我们能够掌握一些解题要点，攻克这些难题就不再是困难的事情了。
本文将为大家介绍几个六年级数学知识点的解析方法和攻克难题的要点。
一、四则运算四则运算是数学中最基本的运算法则，掌握四则运算的要点对于解决六年级数学难题至关重要。
具体要点如下：1. 加法要点在进行加法运算时，我们要注意两个数字的顺序以及进位的情况。
通常，加法运算的要点包括：- 从右至左对应数字进行加法运算- 若某个位数相加结果大于等于10，则需要进位例如，计算129 + 57时，我们从右至左计算9 + 7 = 16，需要进位；此时，一位计算结果为6，十位进位为1，所以最终结果为186。
2. 减法要点减法运算相对来说较为简单，但也需要注意借位和被减数的大小关系。
常见要点包括：- 当被减数小于减数时，需要借位- 借位时，将前一位减数的数字减1，并且在后一位减数上加上10例如，计算783 - 476时，我们从右至左计算，个位3小于6，需要向十位借位。
借位之后，十位减数变为7-1=6，个位减数变为13-6=7，所以最终结果为307。
3. 乘法要点乘法是六年级数学中较为复杂的运算之一，需要对竖式乘法进行准确的操作。
要点包括：- 将被乘数和乘数按位数进行相乘的计算，得到部分积- 对部分积进行进位操作，得到最终乘积例如，计算25 × 7时，我们先计算个位数部分积（5 × 7 = 35），然后计算十位数部分积（2 × 7 = 14）。
最后将两个部分积相加并进位，得到最终结果175。
4. 除法要点除法是六年级数学中相对较难的运算，需要注意商和余数的计算。
常用要点包括：- 将被除数与除数相除，商即为相除的结果- 如果不能整除，则余数为被除数减去整除的结果例如，计算156 ÷ 6时，我们将156除以6，商为26，没有余数，所以结果为商的整数部分26。
3-5 易解性问题与难解性问题
Does complexity come from lengthy outputs?Our question is really this:Does such devastating time performance, requiring zillions of years of running time, show up only when the outputs are devastatingly lengthy?Can we find problems with short outputs that behave as badly? How about decision problems? An algorithm says only Yes Or No spends all of its time reachin a verdict. Can such problems be that bad too?Running times of various timecomplexityAssume that a computer is capable of a 1012instructions per second:10 50 100 200N210-6 2 10-9 10-8 4 10-8 second second second second2N10-9 3 4 10-8 A 39 -digit no.second hours centres of centresN N0.08 A 64 -digit no. A 179 -digit no. A 439 -digit no.second of centres of centres of centres Remark:The Big Bang was 12-15 billion years ago.IntractabilityAn algorithm whose worst-time performance is captured by a polynomial function(such as log2N, N,N2and Nlog2N)is called a good one. An algorithm that in worst case, requires super-polynomial time(such as 2N, N1and N N)is a bad one.A problem that is solvable but admits only bad solutions is termed intractable.Tractability is robustModels of computations are polynomially related meaning that not only can a problem that is solvable in your model be solved in mine too. but the difference in running time will be polynomial.This is a refinement of the church-Turing thesis: not only is the class of computable problems robust, but so is the class of tractable problems. It is called Sequential computation thesis.。
小学生数学技巧 解答常见问题和难题
小学生数学技巧解答常见问题和难题作为小学生，学习数学是一个非常重要的环节。
然而，许多小学生在学习数学的过程中会遇到各种问题和难题。
本文将为大家介绍一些解答常见问题和难题的数学技巧，帮助小学生们更好地应对数学学习中的挑战。
1. 移项和合并同类项在解决代数式和方程式的过程中，移项和合并同类项是非常基础的运算。
当我们需要把一个方程中的未知数移到一边时，可以通过逆运算的方式来实现。
同样地，合并同类项可以使得代数式更简洁，便于计算。
例如，对于方程3x + 5 = 8，我们可以通过移项的方式将未知数x移到等号的另一边，得到3x = 8 - 5，进而计算出x = 1。
2. 列方程和解决问题解决问题时，正确地列出方程是至关重要的。
有些问题需要我们通过分析问题并定义未知数，然后构建方程来解决。
例如，某问题描述了小明有5颗苹果，而小红有3颗苹果，问他们一共有多少颗苹果。
我们可以通过列方程5 + 3 = x，其中x代表他们一共拥有的苹果数量，并计算出x = 8。
3. 分数与小数的转换分数与小数的转换是一项基本的数学技巧。
在日常生活和学习中，我们经常需要将一个分数转换成小数，或者将一个小数转换成分数。
例如，将分数3/4转换成小数，我们可以进行除法计算得到0.75。
反之，将小数0.25转换成分数，则需要将小数转化为分数形式，得到1/4。
4. 分数的加减乘除运算在进行分数的加减乘除运算时，我们需要掌握相应的规则和技巧。
比如，加减运算需要找到不同分母的最小公倍数，并进行分子的相应操作。
例如，对于分数的加法计算2/3 + 1/4，我们首先找到3和4的最小公倍数为12，然后将分母扩展为12，得到8/12 + 3/12，最后将分子相加，得到11/12。
5. 计算面积和周长计算平面图形的面积和周长是小学数学中的常见问题。
不同的图形有不同的计算方法。
例如，计算一个长方形的面积，我们可以使用公式面积 = 长 ×宽。
而计算周长，则可以使用公式周长 = 2 ×（长 + 宽）。
数学难题解析与解题技巧
数学难题解析与解题技巧数学一直被人们视为一门枯燥无味的学科，但其实数学是一门极富挑战性和创造性的学科。
在学习数学的过程中，难题总是会遇到的。
然而，通过正确的解析和运用合适的解题技巧，我们可以轻松地克服数学难题。
首先，解决数学难题的第一步是正确的解析问题。
当遇到一个难题时，我们首先要明确问题的要求和限制条件。
仔细阅读题目，理解题目的意思，并确保自己明白题目想要我们做什么。
有时，问题可能会给出一些附加条件，我们需要综合考虑这些条件，找出问题的关键点。
在解析问题时，细心和耐心非常重要。
其次，了解数学难题的背景知识也是解题的关键。
在解决一个难题之前，我们要先了解相关的数学理论和概念。
有时，一个难题可能涉及到一些高级的数学知识，但在掌握了基本概念和原理之后，我们可以更好地理解和解决问题。
如果我们对问题背后的数学原理有深入的了解，就能更好地应用这些原理解决问题。
在解决数学难题时，灵活运用多种解题技巧也是非常重要的。
以下是一些常用的解题技巧：1. 找出模式和规律：有时，一个数学问题可能隐藏着一些模式和规律，我们可以通过观察和分析来寻找这些规律，并将其应用到解题过程中。
2. 反证法：反证法是一种常用的解题技巧，特别适用于证明问题的困难和复杂性。
通过假设反命题为真，然后证明这个反命题是不可能的，从而推导出原命题的真实性。
3. 利用信息对称性：对称性在数学中是非常常见的，我们可以利用对称性简化和解决问题。
通过观察和运用对称性，我们可以减少计算量，提高解题效率。
4. 利用数学方法和公式：数学有许多公式和方法可以用来解决不同类型的问题。
掌握这些方法和公式，并能够合理地运用它们，是解决数学难题的关键。
5. 分解与化简：当一个问题看起来很复杂时，我们可以尝试将其分解为更简单和易解的子问题。
通过分解和化简，我们可以从整体上把控问题的结构和关系，更好地解决问题。
总而言之，解决数学难题需要我们正确解析问题，掌握相关的数学知识，并运用合适的解题技巧。
初中数学知识点难点解析与典型题讲解
初中数学知识点难点解析与典型题讲解数学作为一门学科，是我们日常生活中不可或缺的一部分。
初中阶段是学习数学的关键时期，学生需要掌握并理解一系列的数学知识点。
本文将对初中数学知识点中的难点进行解析，并通过典型题讲解的方式来帮助学生更好地理解和掌握这些知识。
一、分数的四则运算分数的四则运算是初中数学中的难点之一。
在进行加、减、乘、除运算时，我们需要掌握一定的技巧和方法。
以下是一些常见难点及解析。
1. 分数加减法：要想相加或相减两个分数，首先要找到它们的公共分母，然后按照公共分母进行运算。
如果两个分数的分母不同，我们可以通过通分的方法将它们的分母变为相同的，再进行运算。
2. 分数乘法：两个分数相乘，只需将它们的分子相乘，分母相乘即可。
如果需要化简分数，可以将分子和分母同时除以它们的最大公约数。
3. 分数除法：两个分数相除，相当于将被除数乘以除数的倒数。
然后按照分数乘法的方法进行计算。
二、方程与代数式的解法解方程是初中数学中的重要内容。
对于一元一次方程来说，学生需要掌握如下解法：1. 移项法：通过移项的方式将带有未知数的项移到方程的一侧，将常数项移到另一侧，然后通过合并同类项、化简等步骤，最终得到未知数的解。
2. 消元法：对于两个方程的联立，可以通过消元法来求解。
通过加减乘除等运算，将两个方程中的某个未知数消去，然后得到一个只含有一个未知数的方程，再利用移项法求解。
3. 图解法：对于简单的方程，可以通过画坐标图的方法进行解答。
将方程转化为代数式，然后在坐标图上找到它的解。
三、几何图形的性质与计算初中数学中的几何知识是建立在前几年的基础上进一步拓展和深化的。
以下是一些几何图形的性质和计算的难点及解析。
1. 三角形的分类：根据三角形的角度和边长，可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、一般三角形等。
理解三角形的分类，需要熟悉不同类型三角形的性质和判定条件。
2. 直线与平行线的关系：平行线的性质是初中几何中的难点之一。
苏教版四年级数学上册第五单元《解决问题的策略》说课稿
苏教版四年级数学上册第五单元《解决问题的策略》说课稿一. 教材分析苏教版四年级数学上册第五单元《解决问题的策略》主要让学生掌握一种常用的解决问题的策略——画图策略。
通过画图的方式，让学生更好地理解和解决问题，提高学生的解决问题的能力。
本节课的内容是在学生已经掌握了加减法、乘除法等基本运算的基础上进行学习的，旨在让学生能够运用画图策略解决实际问题。
二. 学情分析四年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于加减法、乘除法等基本运算已经有所掌握。
但是，学生在解决问题时，往往还停留在机械地运用运算符号进行计算，缺乏解决问题的策略和方法。
因此，在本节课的学习中，学生需要通过画图策略，来提高解决问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解画图策略的含义，并能够运用画图策略来解决问题。
2.过程与方法目标：学生在解决实际问题的过程中，能够主动想到使用画图策略，并能够正确地画出图来帮助解决问题。
3.情感态度与价值观目标：学生通过画图策略的学习，能够提高解决问题的能力，增强对数学的兴趣和信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解画图策略的含义，并能够运用画图策略来解决问题。
2.教学难点：学生能够主动想到使用画图策略，并能够正确地画出图来帮助解决问题。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用讲授法、示范法、练习法等教学方法，结合多媒体课件和黑板等教学手段，引导学生掌握画图策略，并能够运用到实际问题中。
六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何解决，从而引出画图策略。
2.新课导入：讲解画图策略的具体含义和运用方法，通过示范例题，让学生理解画图策略的好处。
3.学生练习：让学生通过练习题，运用画图策略来解决问题，教师进行个别指导。
4.总结提升：让学生总结画图策略的优点，并能够主动想到使用画图策略来解决问题。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调画图策略的重要性。
七. 说板书设计板书设计如下：•含义：通过画图的方式来解决问题•优点：直观、清晰、易懂•运用：步骤清晰、正确画图八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、练习情况和课堂小结来进行。
2024年五年级数学上册5简易方程《解简易方程》说课稿新人教版
例题3：解方程2(x - 3) = 14。
答案：x = 11。
例题4：解方程5(x + 2) = 25。
答案：x = -1。
例题5：解方程4x + 3 = 12。
答案：x = 2。
板书设计
①本节课的主要内容：解简易方程
②解方程的基本步骤：
a.移项
b.合并同类项
c.求解未知数
③方程在实际问题中的应用
然而，在教学过程中也存在一些不足之处。首先，在讲解方程解法时，我过于注重解题步骤的讲解，而忽略了引导学生思考解题思路和策略。这导致部分学生在遇到复杂问题时，无法灵活运用所学知识解决。针对这一问题，我计划在今后的教学中，更多地引导学生思考解题思路和策略，培养他们的解题能力。
其次，在课堂管理方面，我发现部分学生在讨论环节过于活跃，导致课堂秩序混乱。为了改善这一情况，我计划在今后的教学中，加强对课堂纪律的管理，确保每位学生都能积极参与课堂活动。
请同学们在规定时间内完成检测题，我们将进行批改和反馈。
教学反思与总结
在教授《解简易方程》这一课时，我首先以实际问题引入，激发学生的学习兴趣，引导他们理解方程的意义。通过实例讲解和练习，学生们掌握了解一元一次方程的基本方法。在互动探究环节，学生们积极参与讨论，提出自己的观点和疑问，展现出良好的合作精神和沟通能力。在技能训练中，通过例题讲解和实践活动，学生们在实践中体验了方程知识的应用，提高了实践能力。
教学资源
1.软硬件资源：教室内的多媒体设备，如投影仪、计算机、白板等，用于展示教学内容和进行互动式教学。
2.课程平台：使用的教科书《五年级数学上册》及相关辅导资料，作为主要教学资源。
3.信息化资源：网络上的数学教育网站、在线数学教学平台等，用于提供额外的学习资源和练习题。
初中二年级数学学习中的问题分解和解决技巧
初中二年级数学学习中的问题分解和解决技巧数学作为一门重要的学科，对于初中二年级的学生来说，是他们学习中的一大难题。
面对抽象的公式和复杂的运算，很多学生感到困惑和无助。
为了帮助同学们更好地学习数学，本文将探讨初中二年级数学学习中常见的问题，并提供解决技巧。
一、概述初中二年级数学学习中常见的问题主要分为以下几个方面：理解困难、题型不熟悉、计算错误、思维僵化、注意力不集中等。
下面将对这些问题进行详细分解，并提供相应的解决技巧。
二、理解困难许多学生在学习数学时，经常会遇到理解困难的问题。
这可能是因为数学概念较为抽象，语言表达不清晰，或者教材解释不够细致等原因所致。
为了解决这个问题，学生可以采取以下措施：1. 多角度学习：通过多种途径学习同一个概念，比如查找相关的网络资料、阅读相关教辅书籍、向同学请教等。
通过多角度的学习，可以更好地理解数学概念。
2. 注重基础：数学是一个逐层递进的学科，理解较为抽象的概念需要有扎实的基础。
建议同学们要注重基本概念的学习和掌握，逐步深入，形成扎实的数学基础。
三、题型不熟悉在初中二年级数学学习中，很多学生对于不熟悉的题型感到头疼。
有些题目虽然表面上看起来与已掌握的知识点相关，但实际上却需要运用不同的解题思路。
为了解决这个问题，学生可以尝试以下方法：1. 阅读范例：在遇到不熟悉的题型时，可以查阅教材或相关资料中的范例，看看别人是如何解答的。
通过学习他人的解题思路和方法，可以更好地应对类似类型的题目。
2. 刻意练习：针对不熟悉的题型，学生可以进行刻意练习，多做类似的题目，提升解题技巧和熟练度。
通过反复练习，逐渐熟悉并掌握该题型。
四、计算错误在数学学习中，计算错误是一个常见的问题。
尤其是对于需要进行多步计算的题目，学生往往在其中的某一步出错。
为了避免计算错误，学生可以考虑以下方法：1. 仔细审题：在解答题目之前，学生要仔细审题，清楚题目所要求的计算步骤和顺序。
避免在计算过程中出现因疏忽而导致的错误。
解决数学难题：习题详解与解题技巧
解决数学难题：习题详解与解题技巧引言数学是一门令人着迷的学科，但对很多人来说，解决数学难题是一项挑战。
然而，只要我们掌握了一些解题技巧和做题方法，就能够轻松地克服这个难题。
在本篇文章中，我们将分享一些习题的详解和一些解题技巧，帮助你提高解题能力，享受数学的乐趣！第一部分：数学题目的种类和难度在解决数学难题之前，首先我们需要了解数学题目的种类和难度。
数学题目可以分为代数、几何、概率统计等不同的类型，每一种类型都有其独特的解题方法和技巧。
此外，数学题目还有不同的难度级别，从基础题到复杂题，逐渐提高难度。
了解题目的种类和难度可以帮助我们更好地制定解题策略。
1. 代数题目代数题目涉及到数的运算、方程式和函数等内容。
解决代数题目的关键在于理解数学符号的含义，掌握运算规则和解方程的方法。
代数题目的主要难点在于抽象思维能力和逻辑推理能力的要求。
解题技巧：•认真阅读题目：理解题目中给出的已知条件和要求；•使用代数符号：将问题中的未知量用字母表示，构建方程式；•运用运算规则：利用加减乘除的运算法则进行计算；•运用解方程方法：根据题目条件，使用因式分解、配方法等技巧解方程。
2. 几何题目几何题目主要涉及到图形的性质、面积、体积等内容。
解决几何题目的关键在于理解几何图形的定义和性质，掌握相关定理和公式。
几何题目的主要难点在于几何直观思维和图形推断的要求。
解题技巧：•理解几何定理和公式：熟悉几何图形的性质和相关定理；•运用几何推理：利用已知信息，通过几何推理找出解题方法；•运用几何公式：使用面积、体积等公式计算题目要求的数值。
3. 概率统计题目概率统计题目涉及到随机事件的概率、数据的统计和分析等内容。
解决概率统计题目的关键在于理解概率和统计的基本概念，掌握计算概率和统计数据的方法。
概率统计题目的主要难点在于数理逻辑思维和推断能力的要求。
解题技巧：•理解概率统计概念：熟悉概率和统计的基本原理和公式；•运用概率统计方法：通过计算概率、分析数据等方法解决题目；•运用数理逻辑：运用数学的逻辑推理方法解决推理题目。
数学解题技巧：常见难题解析与方法
数学解题技巧：常见难题解析与方法数学作为一门学科，常常给学生们带来不小的难题。
但是，只要我们掌握一些有效的解题技巧，就能轻松地应对各种数学难题。
本文将为大家介绍一些常见的数学难题解析与方法，帮助大家更好地解决数学难题。
第一步：明确问题在解决任何问题之前，首先要明确问题的具体要求。
在解决数学难题时，我们需要仔细阅读题目，明确题目中所给的信息和要求。
然后，我们可以根据题目的要求来制定解题计划。
H1：认真阅读题目H2：理解问题的信息和要求第二步：找到关键信息在解决数学难题时，我们需要找到问题中的关键信息。
这些信息在解题过程中将起到至关重要的作用。
关键信息可能是一些已知条件、定理、或者一些隐藏的规律。
找到这些关键信息将有助于我们理解问题的本质，并为解决问题提供方向。
因此，我们需要仔细观察题目，将其中的关键信息提取出来。
H1：寻找已知条件H2：挖掘隐藏规律第三步：建立数学模型建立数学模型是解决数学难题的关键一步。
通过将问题抽象化，我们可以将实际问题转化为数学问题，并且便于我们进行求解。
建立数学模型需要我们对问题进行分析和理解，以及对数学知识的灵活运用。
通过将问题转化为数学模型，我们可以更好地理解问题，并采取相应的解题策略。
H1：问题抽象化H2：数学知识应用第四步：选择合适的解题方法在解决数学难题时，我们可以根据具体的问题选择合适的解题方法。
不同的问题可能需要不同的解题方法。
常见的解题方法包括列方程、分析类比、归纳法等等。
选择合适的解题方法可以大大提高解题的效率和准确性。
H1：列方程H2：分析类比H3：归纳法H4：剪枝法第五步：执行解题计划一旦我们选择了合适的解题方法，我们就可以按照解题计划开始执行解题过程。
在执行解题计划的过程中，我们需要细心、耐心，并且要注意细节。
如果遇到困难，我们可以回顾前面的解题步骤，重新分析问题，寻找问题的突破口。
H1：细心H2：耐心H3：注意细节第六步：检查解答在完成解题过程后，我们要仔细检查解答是否符合问题的要求。
chapter-9np完全问题
南京理工大学
9.1.2 易解问题与难解问题的主要区别
在学术界已达成这样的共识：把多项式时间复杂性作为 易解问题与难解问题的分界线，主要原因有：
1) 多项式函数与指数函数的增长率有本质差别
问题规模
多项式函数
n logn n nlogn n2
1
0
1
0.0
1
10
3.3 10 33.2
100
20
4.3 20 86.4
n1000 51000
109
101000
1010
102000
1011
103000
指数函数
1.1n
20.01n
1.611
1.035
2.594
1.072
13780.6 2
2.47×1041 1024
观察结论：n≤100时，（不自然的）多项式函数值大于指数 函数值，但n充分大时，指数函数仍然超过多项式函数。
9.1 引言
9.1.1 易解问题与难解问题 • 如果对一个问题∏存在一个算法，时间复杂性为
O(nk)，其中n是问题规模，k是一个非负整数，则称 问题∏存在多项式时间算法。这类算法在可以接受的 时间内实现问题求解， e.g., 排序、串匹配、矩阵相 乘。 • 现实世界里还存在很多问题至今没有找到多项式时间 算法，计算时间是指数和超指数函数（如2n和n!）， 随着问题规模的增长而快速增长。 • 通常将前者看作是易解问题，后者看作难解问题。
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9.2 P类问题和NP类问题
这个划分标准是基于对所谓判定问题的求解方式。 先看看什么是判定问题。事实上，实际应用中的大部分问
题问题可以很容易转化为相应的判定问题，如： • 排序问题 给定一个实数数组，是否可以按非降序排列? • 图着色问题：给定无向连通图G=(V,E)，求最小色数k，使
数学难题解析与解决方法总结
数学难题解析与解决方法总结数学作为一门理科学科，是让很多学生感到挑战的学科之一。
在学习数学的过程中，我们经常会遇到各种难题，有时甚至难以找到解决问题的思路。
本文将对数学难题的解析与解决方法进行总结，帮助学生们更好地应对数学难题。
一、分析难题背景与关键知识点在解决数学难题之前，我们首先要做的是对问题进行分析，了解难题的背景和关键知识点。
通过仔细阅读题目，理解题意和要求，明确难题所涉及的数学概念和方法。
在此基础上，可以对问题进行拆解，找出解题的关键点。
二、运用合适的解题方法不同的数学问题需要采用不同的解题方法。
在分析问题的基础上，我们可以结合所学的数学知识选择合适的解题方法。
常见的解题方法包括代数运算、图形推理、逻辑推理等。
我们需要根据具体情况灵活运用这些方法，找出解答问题的途径。
三、建立数学模型一些数学难题需要我们通过建立数学模型来解决。
建模是将实际问题转化为数学问题的过程，可以帮助我们更好地理解和解决复杂的数学难题。
在解决问题时，我们可以通过定义变量、列方程组或者构建函数等方式建立数学模型，并根据模型进行分析和推导。
四、借助工具辅助解题在现代科技的推动下，我们可以借助各种数学软件和工具来辅助解题。
数学软件拥有强大的计算和绘图功能，可以帮助我们更加高效地完成解题过程。
同时，计算器、几何绘图仪等工具也能够在一定程度上降低解题的难度，提高解题的准确性。
五、多做练习与思考数学是一门需要反复练习和思考的学科。
在解决数学难题的过程中，我们需要多做相关的练习题，积累解题的经验和技巧。
同时，在解答完一个难题后，我们还可以思考问题的其他解法，寻找更加简洁高效的解决方法，从而提高自己的解题能力。
六、寻求他人的帮助如果在解决数学难题的过程中遇到困难，我们可以考虑向他人寻求帮助。
老师、同学或者家长都可能给予我们解题的启示和指导。
与他人讨论问题，开展合作学习，可以激发新的思路和见解，帮助我们更好地理解和解决难题。
综上所述，解决数学难题不仅需要我们具备扎实的数学基础和知识，还需要灵活运用解题方法，建立数学模型，借助工具辅助解题，多做练习与思考，并及时寻求他人的帮助。
第8章_NP完全性理论
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8.2 P类问题和NP类问题
P类语言与NP类语言：
❖ P={L|L是一个能在多项式时间内被一台DTM所接受的语言} ❖ NP={L|L是一个能在多项式时间内被一台NDTM所接受的语言}
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8.3 NP完全问题
NP完全问题：
令P1是一个判定问题，如果问题P1属于NP类问题，并 且对NP类问题中的每一个问题P2，在P2∝pP1，则称判 定问题P1是一个NP完全(NP Complete, NPC)问题。
NP类问题
NP完全(NPC) 问题
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8.3 NP完全问题
对于“NPC问题”的论述：
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8.2 P类问题和NP类问题
NP(Non-deterministic Polynomial)类问题：
➢ 如对于某个判定问题，存在一个非负整数k，对于输入规模为n的实 例，能以O(nk)的时间运行一个非确定性算法得到是或否的答案。 • 能用非确定算法在多项式时间内求解的判定问题。如哈密尔顿回 路问题。 • NP类问题是难解问题的一个子类。 • NP类问题并不要求给出一个算法来求解问题本身，而只要求给 出一个确定性算法在多项式时间验证它。
➢ 求解配对问题，需要进行三次变换： • 将配对问题的输入X,Y变成排序问题的两个输入I1′, I2′； • 应用算法A对I1′, I2′分别排序，得到两个排序输出O1′, O2′； • 将两个排序输出O1′, O2′转换成配对问题的输出O。 • 以上操作可在多项式时间内完成，因此该变换为多项式时间变换
• STEP3：确定性地检查V’的团性质。若V’是一个团则接受输入，
数学题解题技巧如何分析和解答复杂的数学题目
数学题解题技巧如何分析和解答复杂的数学题目数学作为一门学科，对于很多学生而言都是一个具有挑战性的领域。
在解决数学题目的过程中，许多学生常常感到困惑和束手无策。
而要解答复杂的数学题目，掌握一些技巧是非常关键的。
本文将介绍一些数学题解题的技巧，帮助读者分析和解答复杂的数学题目。
一、理清问题思路要解答复杂的数学题目，首先要理清问题的思路。
阅读题目时要仔细分析，理解题目所给条件和要求。
可以将题目中的关键信息整理出来，帮助自己更好地理解问题。
在理解问题的基础上，可以根据题目的条件和要求制定一个解题的计划，并在解题的过程中逐步实施。
二、运用数学模型对于复杂的数学题目，可以尝试将问题转化为数学模型。
数学模型是指将实际问题转化为具体的数学表达式或方程式，通过数学方法求解。
在解答复杂的数学题目时，可以运用代数、几何、概率等不同的数学模型进行分析和求解。
通过建立数学模型，可以将复杂的问题转化为具体的数学运算，帮助我们更好地解答问题。
三、分解问题步骤对于复杂的数学题目，可以通过分解问题的步骤来解答。
将复杂的问题分解为多个较为简单的子问题，然后逐个解决这些子问题，再将结果进行合并得到最终的解答。
这种分解问题的方法可以帮助我们更好地理清思路，减少求解过程中的错误和混乱。
同时，将复杂的问题分解为多个简单的子问题，也有助于提高我们的解题效率。
四、灵活运用数学方法解答复杂的数学题目时，需要根据具体情况灵活运用不同的数学方法。
不同的数学方法适用于不同类型的问题，如代数方法适用于方程、不等式等问题，几何方法适用于图形的计算和证明等问题，概率方法适用于随机事件的分析和计算等问题。
根据题目的特点选择合适的数学方法，并且在解答过程中可以结合多种方法来求解复杂的数学题目。
五、多做练习加强巩固解答复杂的数学题目需要掌握一定的技巧和方法，而这些技巧和方法需要通过大量的练习才能够牢固掌握。
在解答复杂的数学题目时，可以多做一些类似的练习题目，通过不断的实践和巩固来提高自己的解题能力。
初中数学解题技巧与难点解析
初中数学解题技巧与难点解析数学是一门重要的学科，也是很多学生感到困惑和困难的学科。
在初中阶段，学生需要掌握一些解题技巧，同时也需要克服一些难点。
本文将介绍一些初中数学解题技巧和常见的难点，帮助学生更好地应对数学考试和解题过程。
首先，解题技巧是非常关键的。
解题技巧可以帮助学生在短时间内解决问题，提高解题效率。
以下是一些常用的解题技巧。
第一，合理利用代数运算法则。
在解决代数题时，学生可以通过合理运用代数运算法则简化方程式，将复杂问题转化为简单问题。
例如，利用分配律和合并同类项的法则可以简化多项式的运算。
这种技巧可以帮助学生更快地解决代数题。
第二，善于利用图表和图像。
在解决几何题时，学生可以通过绘制图表和图像来帮助理解问题和找到解题思路。
这样可以将抽象的几何问题转化为具体的图形，更容易找到解题思路。
例如，在解决坐标系问题时，学生可以画出坐标轴和点的位置，更清晰地理解问题。
第三，摒弃干扰项。
在解决选择题时，学生需要摒弃干扰项，专注于解决问题的关键。
这个技巧可以帮助学生在有限的时间内更准确地选择正确答案。
例如，在解决简单方程的选择题时，学生需要排除那些不符合方程式规律的选项，更快地找到正确答案。
以上是一些常用的解题技巧，希望可以帮助学生解决数学问题，提高解题效率。
接下来，让我们来看一下初中数学中的一些难点。
第一，分数与分数的运算。
分数是初中数学中的一个难点，很多学生在分数的化简和四则运算方面常常出现错误。
在化简分数时，学生需要找到分子和分母之间的最大公约数，然后将分子和分母同时除以最大公约数，从而得到最简分数。
在四则运算中，学生需要注意分母相同与分母不同的情况，选择合适的运算方法。
掌握好分数的运算可以为后续学习打下坚实基础。
第二，方程和不等式的解答。
方程和不等式也是初中数学的难点，学生需要通过一些技巧和方法来解答。
在解决一元一次方程时，学生可以运用等式两边相等的原则，通过合理的代数运算求解未知数的值。
而在解决一元一次不等式时，学生需要注意不等号的取向，并且需要通过图表、图像等方式来解答。
初中数学知识点的难点解析与解题技巧分享
初中数学知识点的难点解析与解题技巧分享初中数学是学生们接触到的第一门具有一定难度的数学课程。
在这个阶段，学生们需要掌握一些基础的数学知识点，并学会运用这些知识解决各种问题。
然而，初中数学中存在一些难点，学生们在学习和解题过程中遇到困难。
本文将对初中数学知识点的一些难点进行解析，并分享一些解题技巧。
一、代数方程的解法代数方程是初中数学中的一个重要知识点，也是学生们最容易遇到困难的一个知识点之一。
代数方程的解法涉及到一系列的步骤和方法，学生们往往会在求解过程中迷失方向。
下面给出几个常见的代数方程难点解析和解题技巧：1. 一元一次方程的解法：对于一元一次方程，学生们通常会遇到两种情况，即有唯一解和无解。
对于有唯一解的情况，可以通过移项和消元的方式将方程化简为最简形式，然后求解出未知数的值。
对于无解的情况，可以通过观察方程两边的系数是否相等来判断。
2. 二元一次方程组的解法：二元一次方程组是由两个方程构成的方程组，其中包含两个未知数。
解这种方程组时，可以通过消元法或代入法来求解。
消元法是通过加减或倍加两个方程，使其中一个未知数的系数相互抵消，然后求解另一个未知数。
代入法是将其中一个方程的未知数表示为另一个方程的未知数的函数，并代入到另一个方程中求解。
3. 一元二次方程的解法：一元二次方程是由未知数的二次项、一次项和常数项组成的方程。
解这种方程时，可以通过配方法、公式法或图像法来求解。
配方法是通过加减一次项系数平方的一半，并将方程转化为完全平方的形式。
公式法是利用一元二次方程的根的求根公式求解。
图像法是通过分析一元二次方程的图像特点，来求解方程。
二、几何知识的证明和运用几何知识是初中数学中另一个重要的知识点，包括各种几何图形的性质、定理和公式等。
为了熟练掌握几何知识，学生们需要进行证明和运用。
以下是几个常见的几何知识难点解析和解题技巧：1. 平行线和垂直线的性质：平行线和垂直线是几何中常见的概念，学生们需要掌握它们的性质并能够应用到实际问题中。
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else return(f(n-1)+f(n-2)); }
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梵塔问题
算法分析：
用A、B、C分别表示三根针 将n个盘由A移到C上的操作步骤为： （1）将A上的n-1个盘借助C移到B上 （2）把A上剩下的一个盘由A移到C上 （3）将B上的n-1个盘借助A移到C上 这样处理后,问题的规模减少1。当n=1的
快？ 事后分析：机器的运行时间？ 事前分析：与问题规模有关的表达式，表示算法中基
本操作的执行次数。
一种选择排序算法是：从n个数中挑出最小的数，再 从n-1个数中挑出第二小的数…..
时间复杂性与n有关，大概是n+(n-1)+…+1=1/2(n(n+1))， 忽略常数项，取最大的指数，记为O(n2)。
第五讲：易解问题与难解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题
问题的抽象
1736年，大数学家列昂纳
德·欧拉（L.Euler）发表了关
于“哥尼斯堡七桥问题”的
论文。
C
他抽象出问题最本质的东
西，忽视问题非本质的东
西（如桥的长度等），从 A
B
而将哥尼斯堡七桥问题抽
象为一个数学问题，即经
过图中每边一次且仅一次
的回路问题了。
D
欧拉回路
欧拉给出了哥尼斯堡七桥问题 的证明，还用数学方 法给出了三条判定规则(判定每座桥恰好走过一次,不 一定回到原点, 即对欧拉路径的判定)： 如果通奇数座桥的地方不止两个，满足要求的路线 是找不到的。
(1) n! 1 n(n1)!n n0 1
(2) 若t1,t2是树，则
也是树
t1
t2
1
n0
(3) Cm n m
n1
Cm n 11Cm n1 n1
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递归
递归算法包括递推和回归两部分： 递推
就是为了得到问题的解,将它推到比原问题更简单的问题求解。 例如：n!=f(n),为了计算f(n),将它推到比原问题更简单的问题f(n-1),
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递归算法
回归 指当简单问题得到解后,回归到原问题的解上来。例如, 当计算完(n-1)!后,回归计算n*(n-1)!,即得到n!的值。 使用回归要注意 （1）当回归到原问题的解时,算法中所涉及的处理对象 是关于当前问题的,即递归算法所涉及的参数与局部处理 对象是有层次的。当解一问题的时候,有它的一套参数与 局部处理对象。当递推进入一个"简单问题"的时候。这 套参数与局部对象便隐藏起来,在解简单问题的时候又有 它自己的一套。当回归时,原问题的一套参数与局部处理 对象又活跃起来了。 （2）回归到原问题已经得到问题的解,回归并不引起其 他动作。
如果只有两个地方通奇数座桥，可以从这两个地方 之一出发，找到所要求的路线。
如果没有一个地方是通奇数座桥的，则无论从哪里 出发，所要求的路线都能实现。
根据第3点,可以得出,任一连通图存在欧拉回路的 充分必要条件是所有顶点均有偶数度.
哈密尔顿回路问题
问题：在某个图G中，能不能找到这样的路径，即从一 点出发不重复地走过所有的结点，最后又回到原出发 点。
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递归的例子
计算n!
根据公式
n!=1
当n=0
=n*(n-1)! 当n!=0
函数参数为n
int f(int n) {
if (!n)
return 1;
else
return (n*f(n-1));
}
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递归的例子
斐波那契数列(fibonacci) f(0)=0 f(1)=1 f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n>=2) int f(int n) {
最快的算法是快速排序算法，时间复杂度为O(nlogn)。
2.2 梵天塔问题
相传印度教的天神梵天在创造地球这一世界时，建了 一座神庙，神庙里竖有三根宝石柱子，柱子由一个铜 座支撑。梵天将64个直径大小不一的金盘子，按照从 大到小的顺序依次套放在第一根柱子上，形成一座金 塔（如图2.3所示），即所谓的梵天塔（又称汉诺塔）。 天神让庙里的僧侣们将第一根柱子上的64个盘子借助 第二根柱子全部移到第三根柱子上，即将整个塔迁移， 同时定下3条规则：
即f(n)=f(n-1)*n,而计算f(n-1)比计算f(n)简单,因为f(n-1)比f(n)更加接 近已知解0!=1 使用递推要注意 （1）递推应有终止之时,例如当n=0时,0!=1为递推终止条件,所谓终止 条件就是指在此条件下问题的解时明确的,缺少终止条件会使算法失 败。 （2）简单问题表示离递推终止条件更接近的问题。简单的问题与原 问题其解的算法是一致的,其差别主要反映在参数上,例如,f(n-1)比计 算f(n)更简单,因为f(n-1)比f(n)参数少1。参数变化使问题递推到有明 确解。
图论已广泛地应用于 计算学科 运筹学 信息论 控制论等学科
图论已成为我们对现实问题进行抽象的一个强有力的 数学工具。
图论在计算学科中的作用越来越大，图论本身也得到 了充分的发展。
2 可计算问题与不可计算问题
计算学科的问题，无非就是计算问题，从大的方 面来说，分可计算问题与不可计算问题。可计算问题 是存在算法可解的问题，不可计算问题是不存在算法 可解的问题。
为便于理解，下面，分别以梵天塔（Hanoi，又 译为汉诺）问题和停机问题来介绍可计算问题与不可 计算问题。
2.1 排序问题
随机给出n个数，要求对它们进行排序。比如： 8，2，7，6，4，12
对于排序问题，有多种算法。 一种选择排序算法是：从n个数中挑出最小的数，再
从n-1个数中挑出第二小的数….. 那么，在这些众多的算法中，如何来比较谁的速度更
每次只能移动一个盘子；
盘子只能在三根柱子上来回移动，不能放在他 处；
在移动过程中，三根柱子上的盘子必须始终保 持大盘在下，小盘在上。
递归算法(重点掌握）
递归是一种特别有用的工具,不仅在数学中广泛应用,在 日常生活中也常常遇到。
以下使用递归算法来解决梵塔问题。
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递归算法 在数学中几个熟知的数学定义：
“哈密尔顿回路问题”与“欧拉回路问题”的不同点 “哈密尔顿回路问题”是访问每个结点一次，而 “欧拉回路问题”是访问每条边一次。 对图G是否存在“欧拉回路”前面已给出充分必要 条件，而对图G是否存在“哈密尔顿回路”至今仍 未找到满足该问题的充分必要条件。
图论的形成和发展
欧拉的论文为图论的形成奠定了基础。