实验符号计算基础与符号微积分

实验10 符号计算基础与符号微积分
（第7章 MATLAB 符号计算）
一、实验目的
1. 掌握定义符号对象的方法。

2. 掌握符号表达式的运算法则以及符号矩阵运算。

3. 掌握求符号函数极限及导数的方法。

4. 掌握求符号函数定积分和不定积分的方法。

二、实验内容
1. 利用符号表达式求值
已知x=6,y=5，利用符号表达式求
3z x y
=
+-
提示：定义符号常数x=sym(‘6’)，y=sym(‘5’)。

2. 分解因式
(1) x 4-y 4
(2) 5135
《数学软件》课内实验
王平
程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：
3. 化简表达式
21212
483
(1)sin cos cos sin (2)
21x x x ββββ++-+
程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：
4. 符号矩阵运算
已知
12010100100,010,001101a b c P P A d e f g h k ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
完成下列运算：
(1) B=P 1·P 2·A 。

(2) B 的逆矩阵并验证结果。

(3) 包括B 矩阵主对角线元素的下三角阵。

(4) B 的行列式值。

程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：
5. 用符号方法求下列极限或导数
sin tan 301(1)2(1)1cos(2)(1)lim (2)lim ,',''sin x x x x x e e x y y y x x +→→-+---=求 程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：
3222(4),,,
cos ln x a t dA d A d A
A dx dt dxdt t x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
已知分别求
2222
0,1
(5)(,)(2),,
x y xy
x y y f f x y x x e
x x y
---==∂∂=-∂∂∂已知求
程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行，参考教材
P203）：
6. 用符号方法求下列积分
48(1) (2)1dx x x ++⎰
程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：
ln 22
40
1(3) (4)(1)1
x x x dx e e dx x +∞+++⎰⎰ 程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：
三、实验提示
四、教程：第7章 MATLAB 符号计算(1/2)
7.1 符号计算基础 p192 7.1.1 符号对象
1. 建立符号变量和符号常量
(1) sym 函数
符号量名=sym('符号字符串')
☞ 建立单个符号字符串。

☞ 符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。

☞ 符号变量参与运算前无须赋值，其结果是一个由参与运算的变量名组成的表达式。

例（符号变量与数值变量）p192
%
定义数值变量x=5;
y=-8;
z=11;
w=a*a+b*b+c*c v=x*x+y*y+z*z whos a 1x1 58 sym
b 1x1 58 sym
c 1x1 58 sym v 1x1 8 double w 1x1 116 sym x 1x1 8 double y 1x1 8 double z 1x1 8 double
例（符号常量与数值常量）p193
符号常量与数值常量在代数运算时的差别。

（精确与近似）
(2) syms命令
syms 符号变量名1 符号变量名2 …☞定义多个符号变量。

☞不要在变量名上加字符串分界符(')。

☞变量间用空格而不用逗号分隔。

2. 建立符号表达式
含有符号对象的表达式称符号表达式。

3种方法：
(1)用单引号。

(2)用sym函数。

(3)用已经定义的符号变量。

例（建立符号表达式）p194
7.1.2 基本的符号运算p194
1．符号表达式的四则运算
符号表达式的四则运算与数值运算一样，用+、-、*、/、^运算符实现，运算结果依然是符号表达式。

2．符号表达式的提取分子和分母运算
[n,d]=numden(s)
提取符号表达式s的分子和分母，分别将它们存放在n与d中。

例（提取分子分母运算）p196
>> a=sym(0.33)
a =
33/100
>> [n,d]=numden(a)
n =
33
d =
100
>> f=sym('a*x^2/(b+x)')
f =
(a*x^2)/(b + x)
>> [s,t]=numden(f)
3．符号表达式s的因式分解与展开➢factor(s) 分解因式
➢expand(s)展开
➢collect(s)合并同类项
➢collect(s,v)按变量v合并同类项
例（因式分解与展开）p197
4．符号表达式的化简
➢simplify(s) 应用函数规则化简。

➢simple(s) 调用MATLAB的其他函数综合化简，并显示化简过程。

例（化简）p197
>> syms x y a
>> s=log(2*x/y+1/y);
>> simplify(s)
ans =
log((2*x + 1)/y)
>> s=(-a^2+1)/(1-a);
>> simplify(s)
ans =
a + 1
>> syms x y
>> s=(x^2+y^2)^2+(x^2-y^2)^2;
>> simple(s) %给出多种化简结果供选择
simplify:
2*x^4 + 2*y^4
radsimp:
(x^2 + y^2)^2 + (x^2 - y^2)^2
simplify(100):
2*x^4 + 2*y^4
5．符号表达式与数值表达式之间的转换
➢sym 数值表达式变换成符号表达式。

➢eval 符号表达式变换成数值表达式。

例（符号表达式与数值表达式之间的转换）p198
7.1.3 符号表达式中变量的确定p198
findsym(s,n)
☞查找一个符号表达式s中的n个符号变量。

☞若没有指定n，返回全部符号变量。

应用：
☞在求极限、导数和积分时，若未指定自变量，则按默认原则确定变量。

☞可用findsym(s,1)查找系统的默认变量。

☞按离x最近原则确定默认变量。

例（查找符号变量）p199
例（默认变量）p199
7.1.4 符号矩阵 p199
➢ transpose(s) 返回s 矩阵的转置矩阵。

➢ diag 、triu 、tril 、inv 、det 、rank 、eig 等。

例（符号矩阵）p199
利用sym 函数建立符号矩阵并化简。

33222
sin cos 15378
5a b m xy x x y αα⎡⎤
-+⎢
⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
例（符号矩阵函数）p200
例7.1（符号矩阵）求解齐次线性方程组p200
当λ取何值时，齐次线性方程组：
12312312
3(1)2402(3)0(1)0
x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪
+-+=⎨⎪++-=⎩
表 符号计算基础函数p192~201
7.2 符号函数及其应用 p201 7.2.1 符号函数的极限
(1) limit(f,x,a)：x 趋近于a 时的极限。

(2) limit(f,a)：系统默认变量趋近于a 的极限。

(3)limit(f)：系统默认变量趋近于0的极限。

(4)limit(f,x,a,'right')：x从右边趋近于a的极限。

(5)limit(f,x,a,'left')：x从左边趋近于a的极限。

例7.2 求下列极限
p201
sin()sin() (1)(2)lim
(3)lim)(4)lim
x a x
x x a
x a x a
x
x x
+
→→
→+∞→
+--
7.2.2 符号函数求导及其应用p202
(1)diff(s)：默认变量对s求一阶导数。

(2)diff(s,'v')：v对s求一阶导数。

(3)diff(s,n)：默认变量对s求n阶导数。

(4)diff(s,'v',n)：v对s求n阶导数。

s为符号表达式。

例7.3 求下列函数的导数p202
'''''
2
2222'' (1)'(2)cos,'','''
cos
(3),,(4),,
sin
(5)(,),
y
x x x y
x y y y y x x
y y
x a t xe
y y z z z y a t y
z f x y x y z a z
==
=
⎧
=
⎨
=
⎩
=++=
求求
求求
由方程定义,求z
例7.4 在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线y=4x-1平行p203 >> x=sym('x');
表 符号函数的极限和导数p201~204
7.3 符号积分 p204 7.3.1 符号函数的不定积分
(1) int(f)：按默认变量对被积函数或符号表达式f 求不定积分。

(2) int(f,v)：以v 为自变量，对被积函数或符号表达式f 求不定积分。

例7.5 求下列不定积分p204
2322
(1)(3)(2)sin 5(3)(4)1t
x dx xdx xt
e dt
dt
x α-+⎰⎰⎰⎰
7.3.2 符号函数的定积分p205
int(f,v,a,b)
求被积函数f 在区间[a,b]上的定积分。

a 和
b 可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。

☞ 当f 关于变量v 在[a,b]上可积时，返回一个定积分结果。

☞ 当a,b 中有一个是inf 时，返回一个广义积分。

当a,b 中有一个符号表达式时，返回一个符号函数。

例7.6 求下列定积分p205
2
2
13
3sin 10221
(1)|1|(2)14(3)(4)(1)x x dx
dx
x x x dx dt
x t +∞
-∞-+-⎰⎰
⎰⎰
例7.7 求椭球的体积p205
222
222
1x y z a b c ++= 用平面Z=z0(z0≤c)去截取上述椭球时，其相交线是一个椭球，该椭球在xy 平面投影的面积是：
222
()
()ab c z s z c π-=
椭球的体积：()c
c
V s z dz -=
⎰
例7.8 求空间曲线c 从点(0,0,0)到点(3,3,2)的长度p206
设曲线c 的方程是：
23332x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩
求曲线c 的长度是曲线一型积分问题。

曲线的起点和终点分别对应t=0和t=1。

曲线积分转化为定积分的公式是：
1
2220
(,,)((),(),(('())('())('())c
f x y z f x t y t z t x t y t z t dt
=
++⎰⎰
clear all ;clc; syms t ;
x=3*t; y=3*t^2; z=2*t^3;
f=diff([x,y,z],t);%求x,y,z 对t 的导数 g=sqrt(f*f');%计算根式部分 l=int(g,t,0,1) %有问题！
l = 5
7.3.3 积分变换p206
积分变换是通过积分运算把一个函数f （原函数）变成另外一个函数F （像函数）。

变换过程是：
()()(,)b
t
F t f x K x t dx =⎰
其中K(x,t)称为变换的核，它决定变换的不同名称。

应用：
☞ 若难从原方程求解f ，则对原方程变换；
☞ 若从变换后的方程中求解F ，则对F 逆变换； ☞ 得原方程的解f 。

1. 傅里叶（Fourier ）变换
当K(x,t)=e -itx （i 为虚数单位）时，称
()()itx F t f x e dx +∞
--∞
=⎰
为傅里叶变换，其逆变换为
1()()2itx f x F t e dx π
+∞
-∞
=
⎰
(1) fourier(f,x,t)：求f(x)的像函数F(t)。

(2) ifourier(F,t,x) ：求F(t)的原函数f(x)。

例7.9 求函数y=|x|的傅里叶变换及其逆变换p207
2. 拉普拉斯（Laplace ）变换
当K(x,t)=e -tx 时，称
()()tx F t f x e dx +∞
-=⎰
为拉普拉斯变换，其逆变换为
()()tx f x F t e dx +∞
=⎰
(1) laplace(f,x,t)：求f(x)的像函数F(t)。

(2) ilaplace(F,t,x) ：求F(t)的原函数
f(x)。

例7.10 计算y=x2的拉普拉斯变换及其逆变换p207
3. Z 变换
当f(x)呈现为一个离散数列f(n)时，称
()()n n F z f n z +∞
-==∑
为Z 变换，其逆变换为
1
1()()2n f n F z z dz i π-Γ
=
⎰Ñ (1) ztrans(fn,n,z)：求fn 的像函数F(z)。

(2)ztrans(Fz,z,n)：求Fz的原函数f(n)。

例7.11 求数列fn=e-n的Z变换及其逆变换p208
表符号积分函数p204~208。