傅里叶变换算法详细介绍

从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上

前言

第一部分、DFT

第一章、傅立叶变换的由来

第二章、实数形式离散傅立叶变换( Real DFT)

从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下

第三章、复数

第四章、复数形式离散傅立叶变换

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这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。感谢原作者们（July、dznlong ）的精心编写。

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前言：

关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大

都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”--dznlong ，

那么，到底什么是傅里叶变换算法列？傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列？

傅里叶变换(Fourier transform )是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。

哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下, 你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列？就是一种从时间到频率的变化或其相

互转化。

ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂：

以下就是傅里叶变换的4种变体(摘自，维基百科)

连续傅里叶变换

一般情况下，若傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是连续傅里叶变换”。连续傅

里叶变换将平方可积的函数 f (t)表示成复指数函数的积分或级数形式。

= [ f (加亠dt

—30

这是将频率域的函数F( 3表示为时间域的函数 f ( t)的积分形式。

连续傅里叶变换的逆变换(inverse Fourier tran sform) 为：

/(#)=厂叫)]=穆/ F3)申也

—oa

即将时间域的函数f (t)表示为频率域的函数F( 3)的积分。

一般可称函数f (t)为原函数，而称函数F( 3为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对(transform pair )。

除此之外，还有其它型式的变换对，以下两种型式亦常被使用。在通信或是信号处理方面，/ = -^-1

常以来代换，而形成新的变换对：

oc

X(f)= r[x(t)] = J工⑴

——3C

□C

或者是因系数重分配而得到新的变换对:

"DC-

皿)"刚二J g严dt

—g

oo

川)= R[F3)]=穆[FQ)严皿・

—g

一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换(Fractional Fourier Transform )。分数

傅里叶变换(fractional Fourier transform,FRFT) 指的就是傅里叶变换(Fourier transform,FT)

的广义化。

分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换a次，其中a不一定要为整数；而做了分数

傅里叶变换之后，信号或输入函数便会出现在介于时域(time domain)与频域(frequency

domain)之间的分数域(fractional domain)。

当f (t)为偶函数(或奇函数)时，其正弦(或余弦)分量将消亡，而可以称这时的变换为余弦变换(cosine transform )或正弦变换(sine transform ).

另一个值得注意的性质是，当 f (t)为纯实函数时，F(- 3 ) = F*( 3成立•

傅里叶级数

连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数(Fourier series)的推广，因为积分其实是一种

极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：

f©)=f；凡沪巴

n=—OQ

其中Fn为复幅度。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：

T3) = 3 +[% CGs(nx') + b n sin(?7T)]

其中an和bn是实频率分量的幅度。

离散时域傅里叶变换

离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换( DTFT )的特例(有时作为后者的近似)。DTFT 在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆变换。

离散傅里叶变换

离散傅里叶变换（DFT ），是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT ）频域的采样。在形式上，变换两端（时域和

频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。

在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT o

为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数xn定义

在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下，使用离散傅里叶变换

（DFT ）,将函数xn表示为下面的求和形式：

NT 卫“

% —力M = 0, . , A r—1

七=0

其中Xk是傅里叶幅度。直接使用这个公式计算的计算复杂度为O （n*n）,而快速傅里叶

变换（FFT ）可以将复杂度改进为O （n*lgn ）。（后面会具体阐述FFT是如何将复杂度降为O （n*lgn ）的。）计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号

处理领域十分实用且重要的方法。

下面，比较下上述傅立叶变换的4种变体，

如上，容易发现：函数在时（频）域的离散对应于其像函数在频（时）域的周期性。反之

连续则意味着在对应域的信号的非周期性。也就是说，时间上的离散性对应着频率上的周期

性。同时，注意，离散时间傅里叶变换，时间离散，频率不离散，它在频域依然是连续的。

如果，读到此，你不甚明白，大没关系，不必纠结于以上4种变体，继续往下看，你自

会豁然开朗。（有什么问题，也恳请提出，或者批评指正）