数学物理的方法傅里叶变换法
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对u作逆傅里叶变换，可得最后的结果如下：
3
1 1 x at u( x , t ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d 达朗贝尔公式 x at 2 2a
例2 求解无限长细杆的热传导问题
ut a 2u xx 0( x ) u |t 0 ( x)
本章主要介绍傅里叶变换法、拉普拉斯变换在求解偏微分 方程中的应用。
1
第Hale Waihona Puke Baidu节 傅里叶变换法
用分离变数法求解有界空间的定解问题时，得到的本征值是 离散的，所求的解可表为对本征值求和的傅里叶级数，对于 无界空间，分离变数法求解定解问题时，所得到的本征值是
连续的，所求的解可表示为对连续本征值求积分的傅里叶积
代入初始条件可得：A(k ) (k )
1 1 1 (k ) 2 2a ik 1 1 1 B(k ) (k ) (k ) 2 2a ik
1 1 1 ikat 故 U (t , k ) (k )e (k )e ikat 2 2a ik 1 1 1 ikat ( k )e (k )e ikat 2 2a ik
t
t f ( , )e k 2 a 2 (t ) e ik dd eikxdk 0
交换积分次序可得：
0
1 k 2 a 2 (t ) ik ( x ) f ( , ) e e dk dd 2
第十三章 积分变换法
拉普拉斯变换求解常微分方程，变换后，常微分方程变成了 代数方程，求解后再进行逆变化就得到了常微分方程的解。 积分变换在数学物理方程中也有广泛的用途，变换后，方程
得以化简，偏微分方程变成常微分方程，求解常微方程后，
再进行逆变换就得到原来偏微分方程的解，同时，积分变换
还可能得到有限形式的解，分离变数法或者傅里叶级数发往 往不能。
ut a 2u xx 0 u x | x 0 0 u | ( x 0) ( x 0) 0 t 0
0是单位面积硅片
表层原有杂质总量.
7
解: 没有杂质穿过硅片表面,即: ux |x0 0 第二类齐次边界条件
这种边界条件意味着偶延拓,即求解以下定解问题
k 2 a 2t ikx
e dk e dk
4
1 2
[
( )e
ik
d ]e
k 2 a 2t ikx
交换积分次序
积分公式： e
1 u ( x, t ) 2
2 k 2
( )[ e
k 2 a 2t ik ( x )
ut a 2u xx 0 u x | x 0 0 0 ( x 0) ( x 0) u |t 0 0 ( x 0) ( x 0)
2 u a u xx 0 则 t u |t 0 2 0 ( x)(- x )
2
定解问题变换成： U k 2 a 2U 0 U |t 0 ( x),U |t 0 ( x)
其中 ( x)， ( x) 分别是 ( x), ( x) 的傅里叶变换，这样原来 的定解问题变成了常微分方程及初值条件，通解为：
U (t, k ) A(k )eikat B(k )eikat
对t积分一次，并考虑零初始值可得：
U (t; k ) e
k 2 a 2t t
F ( ; k )e
0
t
k 2 a 2
d e dd
0
f ( , )e
ik
e
k 2 a 2t k 2 a 2
进行傅里叶逆变换
1 u ( x, t ) 2 u ( x, t )
6
并利用积分公式可得最后的结果为：
( x ) t 1 4 a 2 ( t ) dd u( x, t ) f ( , ) e 0 2a (t )
2
例4 限定源扩散 在半导体扩散工艺中，杂质扩散深度远远小于硅片厚度，可 以把硅片看成无限厚，在限定源扩散中，是只让硅片表层已 有的杂质向硅片内扩散，但不让新的杂质穿过硅片表面进入 硅片，这里求解的是半无界空间x>0中的定解问题:
e
dk ]d
e dk ( / a)e
k
2 / 4 2
令 a t , i( x ) 利用上述公式可得 2 ( x ) 1 4 a 2t u ( x, t ) ( ) e d 2a t
例3 求解无限长细杆的有源热传导问题
解： 作傅里叶变换，定解问题变为：
U k 2 a 2U 0 U |t 0 (k )
此常微分方程的初始问题的解为 U (t, k ) (k )e 进行傅里叶逆变换可得：
k 2a 2t
u ( x, t ) F [U (t , k )] (k )e
1
分，对于无界空间的定解问题，适用于傅里叶变换法求解。 例1 求解无限长弦的自由振动
utt a 2u xx 0( x ) u |t 0 ( x), ut |t ( x) 解： 应用傅里叶变换，即用 e ikx / 2 同乘方程和定解条件
中的各项，并对空间变量x积分，t看做参数，则
ut a 2u xx f ( x, t )( x ) u |t 0 0
解： 作傅里叶变换，定解问题变为非齐次常微分方程：
U k 2 a 2U F (t ; k ) U |t 0 0
5
用
e
k 2 a 2t
同乘方程各项，可得：
d k 2 a 2t k 2 a 2t U (t , k )e F (t ; k )e dt
3
1 1 x at u( x , t ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d 达朗贝尔公式 x at 2 2a
例2 求解无限长细杆的热传导问题
ut a 2u xx 0( x ) u |t 0 ( x)
本章主要介绍傅里叶变换法、拉普拉斯变换在求解偏微分 方程中的应用。
1
第Hale Waihona Puke Baidu节 傅里叶变换法
用分离变数法求解有界空间的定解问题时，得到的本征值是 离散的，所求的解可表为对本征值求和的傅里叶级数，对于 无界空间，分离变数法求解定解问题时，所得到的本征值是
连续的，所求的解可表示为对连续本征值求积分的傅里叶积
代入初始条件可得：A(k ) (k )
1 1 1 (k ) 2 2a ik 1 1 1 B(k ) (k ) (k ) 2 2a ik
1 1 1 ikat 故 U (t , k ) (k )e (k )e ikat 2 2a ik 1 1 1 ikat ( k )e (k )e ikat 2 2a ik
t
t f ( , )e k 2 a 2 (t ) e ik dd eikxdk 0
交换积分次序可得：
0
1 k 2 a 2 (t ) ik ( x ) f ( , ) e e dk dd 2
第十三章 积分变换法
拉普拉斯变换求解常微分方程，变换后，常微分方程变成了 代数方程，求解后再进行逆变化就得到了常微分方程的解。 积分变换在数学物理方程中也有广泛的用途，变换后，方程
得以化简，偏微分方程变成常微分方程，求解常微方程后，
再进行逆变换就得到原来偏微分方程的解，同时，积分变换
还可能得到有限形式的解，分离变数法或者傅里叶级数发往 往不能。
ut a 2u xx 0 u x | x 0 0 u | ( x 0) ( x 0) 0 t 0
0是单位面积硅片
表层原有杂质总量.
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解: 没有杂质穿过硅片表面,即: ux |x0 0 第二类齐次边界条件
这种边界条件意味着偶延拓,即求解以下定解问题
k 2 a 2t ikx
e dk e dk
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1 2
[
( )e
ik
d ]e
k 2 a 2t ikx
交换积分次序
积分公式： e
1 u ( x, t ) 2
2 k 2
( )[ e
k 2 a 2t ik ( x )
ut a 2u xx 0 u x | x 0 0 0 ( x 0) ( x 0) u |t 0 0 ( x 0) ( x 0)
2 u a u xx 0 则 t u |t 0 2 0 ( x)(- x )
2
定解问题变换成： U k 2 a 2U 0 U |t 0 ( x),U |t 0 ( x)
其中 ( x)， ( x) 分别是 ( x), ( x) 的傅里叶变换，这样原来 的定解问题变成了常微分方程及初值条件，通解为：
U (t, k ) A(k )eikat B(k )eikat
对t积分一次，并考虑零初始值可得：
U (t; k ) e
k 2 a 2t t
F ( ; k )e
0
t
k 2 a 2
d e dd
0
f ( , )e
ik
e
k 2 a 2t k 2 a 2
进行傅里叶逆变换
1 u ( x, t ) 2 u ( x, t )
6
并利用积分公式可得最后的结果为：
( x ) t 1 4 a 2 ( t ) dd u( x, t ) f ( , ) e 0 2a (t )
2
例4 限定源扩散 在半导体扩散工艺中，杂质扩散深度远远小于硅片厚度，可 以把硅片看成无限厚，在限定源扩散中，是只让硅片表层已 有的杂质向硅片内扩散，但不让新的杂质穿过硅片表面进入 硅片，这里求解的是半无界空间x>0中的定解问题:
e
dk ]d
e dk ( / a)e
k
2 / 4 2
令 a t , i( x ) 利用上述公式可得 2 ( x ) 1 4 a 2t u ( x, t ) ( ) e d 2a t
例3 求解无限长细杆的有源热传导问题
解： 作傅里叶变换，定解问题变为：
U k 2 a 2U 0 U |t 0 (k )
此常微分方程的初始问题的解为 U (t, k ) (k )e 进行傅里叶逆变换可得：
k 2a 2t
u ( x, t ) F [U (t , k )] (k )e
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分，对于无界空间的定解问题，适用于傅里叶变换法求解。 例1 求解无限长弦的自由振动
utt a 2u xx 0( x ) u |t 0 ( x), ut |t ( x) 解： 应用傅里叶变换，即用 e ikx / 2 同乘方程和定解条件
中的各项，并对空间变量x积分，t看做参数，则
ut a 2u xx f ( x, t )( x ) u |t 0 0
解： 作傅里叶变换，定解问题变为非齐次常微分方程：
U k 2 a 2U F (t ; k ) U |t 0 0
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用
e
k 2 a 2t
同乘方程各项，可得：
d k 2 a 2t k 2 a 2t U (t , k )e F (t ; k )e dt