高中数学《简单随机抽样》导学案

1.2.1简单随机抽样
[航向标·学习目标]
1．理解并掌握简单随机抽样的概念、特点和步骤．
2．掌握简单随机抽样的两种方法：抽签法和随机数法．
3．针对实际问题中的总体进行合理的简单随机抽样．
[读教材·自主学习]
1．为了使样本具有好的代表性，设计抽样方法时最重要的是使每个个体有□01相等的机会被抽中．
2．设一个总体含有N个个体，从中逐个□02不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的每个个体被抽到的□03可能性都相等，就把这种抽样方法叫作简单随机抽样．
简单随机抽样方法有□04抽签法和□05随机数法．
3．随机数表是由0到9这10个数字组成的数表，并且表中的每个位置出现各个数字的可能性□06相等．
[看名师·疑难剖析]
1．简单随机抽样具备下列特点
(1)简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的．
(2)简单随机抽样抽取的样本容量n小于等于样本总体的个数N.
(3)简单随机抽样是从总体中逐个抽取的是一种不放回的抽样，也就是每次从总体中抽取元素后不再将这个元素放回总体．
(4)简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为n N.
(5)当总体中的个体无差异且个体数目较少时，采用简单随机抽样抽取样本．
2．抽签法和随机数法的操作要点
抽签法的操作要点是：编号、写签、搅匀、抽取．
随机数法的操作要点是：编号、选起始数、读数、获取样本．
3．抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力，又不方便，如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平；随机数法的优点与抽签法相同，缺点是当总体容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合个体无差异且个体数目较少的总体．
4．简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等．均为n
N，但是这里一定要将
每个个体入样的可能性、第n次每个个体入样的可能性、特定的个体在第n次被抽到的可能性这三种说法区分开，避免在解题中出现错误．
考点一简单随机抽样的概念
例1现在有一种够级游戏，其用具为四副扑克，包括大小鬼(又称为花)在内共216张牌，参与人数为6人，并坐成一圈．够级开始时，从这6人中随机指定一人从已经洗好的扑克牌中随机抽取一张牌(这叫开牌)，然后按逆时针方向，根据这张牌上的数字来确定抓牌先后，这6人依次从216张牌中抓取36张牌，问这种抓牌方法是否是简单随机抽样？
[分析]本题主要考查简单随机抽样的概念，根据简单随机抽样的特点来判断．
[解]简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只是随机确定了起始张，其他各张牌虽然是逐张抓牌，但是各张在谁手里已被确定，只有抽取的第一张扑克牌是随机抽取的，其他215张牌已经确定，即这215张扑克牌被抽取的可能性与第一张扑克牌被抽取的可能性不相同，所以不是简单随机抽样．
类题通法
判断简单随机抽样时，要紧扣简单随机抽样的特征：逐个、不放回抽取且保证每个个体被抽到的可能性相等.
[变式训练1]下列抽样的方式属于简单随机抽样的有__________．
①从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；
②从1000个个体中一次性抽取50个个体作为样本；
③将1000个个体编号，把号签放在一个足够大的不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个个体作为样本；
④箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行质量检验后，再把它放回箱子；
⑤福利彩票用摇奖机摇奖．
答案③⑤
解析简单随机抽样是从有限多个个体中抽取，所以①不属于；简单随机抽样是逐个抽取，不能是一次性抽取，所以②不属于；很明显③属于简单随机抽样；
④中，抽样是放回抽样，但是简单随机抽样是不放回抽样，所以④不属于；很明显⑤属于简单随机抽样.
考点二抽签法的应用
例2现要在20名学生中抽取5名进行问卷调查，试写出抽取样本的过程．[分析]由题目可以获取以下主要信息：
①有学生20名；
②从中抽取的学生数为5名．
解答本题可先根据题目特点选择合适的抽样方法，然后按所选抽样方法的步骤进行抽样．
[解](1)先将20名学生进行编号，编号为1,2， (20)
(2)把号码写在形状、大小均相同的号签上；
(3)将号签放在某个箱子中充分搅拌，使之均匀，然后依次从箱子中抽取5个号签．于是和这5个号签上的号码对应的5名学生就构成了一个样本．类题通法
利用抽签法抽取样本时编号问题可视情况而定，若已有编号如考号、学号、标签号码等，可不必重新编号，另外号签要求是大小形状完全相同而且一定要搅拌均匀，从中逐一不放回抽取．
[变式训练2]某班有学生60人，为了了解学生各方面的情况，需要从中抽取一个容量为10的样本，用抽签法确定要抽取的学生．
解(1)将这60名学生按学号编号，分别为01,02， (60)
(2)将这60个号码分别写在相同的60张纸片上．
(3)将这60张纸片放在一个盒子里搅拌均匀．抽出一张纸片，记下上面的号码，然后再搅拌均匀，继续抽取第2张纸片，记下号码．
重复这个过程直到取出10个号码时终止．
于是，和这10个号码对应的10个学生就构成了一个样本．
考点三简单随机抽样的公平性
例3用随机数法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的可能性是()
A．0.01 B．0.04 C．0.2 D．0.25
[解析]明确是简单随机抽样且每个个体被抽到的可能性是相等的，问题的突破口就找到了．因为样本容量为20，总体容量为100，所以总体中每一个个体被抽到的可能性为20
100
＝0.2.
[答案] C
类题通法
本题涉及简单随机抽样的等可能性，但题目中多了一个干扰数据，是本题的一个易错点，只要弄清楚简单随机抽样任意一个个体被抽到的可能性相等，就不会出错了．
[变式训练3]从总数为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性为0.25，则N的值为()
A．120 B．200 C．150 D．100
答案 A
解析根据简单随机抽样每个个体被抽取的可能性等于n
N
进行计算．因为从
含有N个个体的总体中抽取一个容量为30的样本时，每次抽取一个个体时任一
个体被抽到的可能性为1
N ；在整个抽样过程中各个个体被抽取的可能性为30
N
，所
以30
N
＝0.25，从而有N＝120.
[例](12分)某企业要调查消费者对某产品的需求量，要从95户居民家庭中抽选10户居民，请用随机数法抽选样本．附部分随机数表：
(一)精妙思路点拨
(二)分层规范细解
(三)来自一线的报告
通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的①②③见分层规范细解过程)
(四)类题练笔掌握
某商场新进70件商品，要从中选出10件商品进行质量检测，请用随机数法给出一个抽样方案．(随机数表见课本第9页)
解第一步：将70件商品进行编号，编号为00,01,02，…，68,69；
第二步：由于总体的编号是两位数，所以每次要从随机数表中选取两列组成两位数，从随机数表中的任意一个位置，选取任意一个方向进行读数．比如在表1－2中第3列和第4列的第6行开始选数，由上至下分别为35,11,48,77,79,64,58,89,31,55,00,93,80,46,66，…，其中77,79,89,93,80超出了69，不能选取，故选取的10个数字是35,11,48,64,58,31,55,00,46,66.
第三步：根据以上10个数字抽取相应编号的商品即得抽样的样本．
(五)解题设问
(1)本题要求方法明确吗？________，用________法．
(2)使用此种方法的关键是什么？________与________．
答案(1)明确随机数
(2)编号随机取数
1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性()
A．与第几次抽样有关，第一次抽中的可能性要大些
B．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等
C．与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些
D．每个个体被抽中的可能性无法确定
答案 B
解析在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性都相等，与第几次抽样无关．
2．关于简单随机抽样的特点，有以下几种说法，其中不正确的是() A．要求总体中的个数有限
B．从总体中逐个抽取
C．它是一种不放回抽样
D．每个个体被抽到的机会不一样，与先后顺序有关
答案 D
解析简单随机抽样，除具有A，B，C三个特点外，还具有抽样等可能性，
每个个体被抽到的机会相等，与先后顺序无关．故选D.
3．下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的是()
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；
②盒子里有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；
③从8台电脑中不放回地随机抽取2台进行质量检验(假设8台电脑已经编好号，对编号随机抽取)．
A．①B．②
C．③D．以上都不对
答案 C
解析简单随机抽样的四个特点：总体个数有限；逐个抽取；不放回抽样；每个个体被抽到的机会均等，与先后顺序无关．具有这四个特点的抽样是简单随机抽样．故选C.
4．一个总体中共有200个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则某一特定个体被抽到的可能性是________．
答案1 10
解析每个个体被抽到的可能性都相等，都等于n
N
＝20
200
＝1
10.
5．某车间工人加工一种轴共100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？
解解法一：抽签法：
(1)将100件轴编号为1,2， (100)
(2)做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个号码．
(3)将这些号签放在一个不透明的容器内，搅拌均匀．
(4)逐个抽取10个号签．
(5)然后测量这10个号签对应的轴的直径的样本．
解法二：随机数法：(随机数表见课本附录2)
(1)将100件轴编号为00,01， (99)
(2)在随机数表中选定一个起始位置，如从第21行第1个数9开始．
(3)规定读数的方向，如向右读．
(4)依次选取10个数为
91,49,45,23,68,47,92,76,86,46，
则与这10个号签相应的个体即为所要抽取的样本．
一、选择题
1．下列问题中，最适合用简单随机方法抽样的是()
A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查
C．某学校有在编人员160人．其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人．教育部门为了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本D．某乡农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量
答案 B
解析根据简单随机抽样的特点进行判断．A的总体容量较大，用简单随机抽样法比较麻烦；B的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异很大，不宜采用简单随机抽样法；D总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，也不宜采用简单随机抽样法．2．抽签法中，确保样本具有代表性的关键是()
A．制签B．搅拌均匀
C．逐一抽取D．抽取不放回
答案 B
解析逐一抽取、抽取不放回是简单随机抽样的特点，但不是确保样本具有代表性的关键，有放回抽取(个体被重复取出可不算再放回)也不影响样本的代表性，制签也一样．
3．下列抽样试验中，用抽签法方便的是()
A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D ．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验
答案 B
解析 A 总体容量较大，样本容量也较大，不适宜用抽签法；B 总体容量较小，样本容量也较小，可用抽签法；C 中甲、乙两厂生产的两箱产品有明显区别，不能用抽签法；D 总体容量较大，不适宜用抽签法．故选B.
4．某总体容量为M ，其中带有标记的有N 个，现用简单随机抽样方法从中抽取一个容量为m 的样本，则抽取的m 个个体中带有标记的个数估计为( )
A ．N ·m M
B ．m ·M n
C ．N ·M m
D ．N
答案 A
解析 设m 个个体中带有标记的个数为n ，根据简单随机抽样的特点知N M ＝
n m ，解得n ＝N ·m M .
5．用随机数法进行抽样有以下几个步骤：
①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定开始的数字；④选定读数的方向．
这些步骤的先后顺序应为( )
A ．①②③④
B ．①③④②
C ．③②①④
D ．④③①②
答案 B
解析 本题主要考查随机数法的使用，首先要对总体中的数据进行编号，然后选定开始的数字和开始的方向开始读数进而获得样本号码．
6．为了考查5000发炮弹的杀伤半径，现从中抽取10发进行考查，则每发炮弹被抽到的可能性为( )
A.15000
B.150
C.1500
D.110
答案 C
解析 从个体数为N ＝5000的总体中抽取一个容量为n ＝10的样本，每个个
体被抽到的可能性都是n N ＝105000＝1500.
二、填空题
7．某次考试有70000名学生参加，为了了解这70000名考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，有以下四种说法：
(1)1000名考生是总体的一个样本；
(2)1000名考生数学成绩的平均数是总体平均数；
(3)70000名考生的数学成绩是总体；
(4)样本容量是1000.
其中正确的说法________．
答案(3)(4)
解析在统计学中，通常把被研究的对象的全体叫作总体．把组成总体的每个单位叫作个体．从总体中抽取n个个体，且这n个个体的某一指标为观测值，我们称这n个个体的该指标的观测值为样本．N称作这个样本的容量．所以，70000名考生的数学成绩是总体；1000名考生的数学成绩是样本；1000是样本容量；1000名考生数学成绩的平均数是样本平均数．因此，(1)(2)错误；(3)(4)正确．8．采用简单随机抽样，从6个标有序号A，B，C，D，E，F的球中抽取1个球，则每个球被抽到的可能性是________．
答案1 6
解析简单随机抽样中，每个个体被抽到的可能性是一样的．
9．关于简单随机抽样，有下列说法：
①它要求被抽取样本的总体的个数有限；
②它是从总体中逐个地进行抽取；
③它是一种不放回抽样；
④它是一种等可能性抽样，每次从总体中抽取一个个体时，不仅各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性
其中正确的有________(请把你认为正确的所有序号都写上)．
答案①②③④
解析由简单随机抽样的特征可知．
三、解答题
10．下面的抽样方法是简单随机抽样吗，为什么？
(1)某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动；
(2)从20个零件中一次性抽出3个进行质量检验；
(3)一儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩，玩后放回再拿出一件，连续玩了5件．
解(1)不是简单随机抽样．因为这不是等可能抽样．
(2)不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．
(3)不是简单随机抽样．因为这是有放回抽样．
11．从60件产品中抽取5件进行检查，请用抽签法抽取产品，并写出抽样过程．
解抽签法步骤：
第一步，将60件产品编号，号码是01,02， (60)
第二步，将号码分别写在同样大小的纸条上，揉成团，制成号签．
第三步，将号签放入不透明的袋子中，并充分搅匀．
第四步，从袋子中依次抽取5个号签，并记录上面的编号．
第五步，所得号码对应的产品就是要抽取的对象．
12．现有一批编号为10,11，…，99,100，…，600的元件，打算从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验．如何用随机数法设计抽样方案？(随机数表见课本附录2)
解第一步，将元件的编号调整为010,011,012，...，099,100， (600)
第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第6行第7个数4.
第三步，从数4开始，向右读，每次读取三位，凡不在010～600中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到471,072,503,170,133,511.
第四步，以上这6个号码所对应的6个元件就是所要抽取的对象．
13．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，以每人被抽取的概率为0.2，向该中学抽取一个容量为n的样本，求n的值．
解∵n
400＋320＋280
＝0.2，∴n＝200.。