最新人教版高中数学选修1-1导数及其应用

第三章 导数及其应用
微积分主要与四类问题的处理相关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大（小）值等问题 最一般、最有效的工具。
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地 描述其运动状态?
请计算
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
B
表示什么?
f(x1)
A x x1 x2
直线AB的斜 率
O
做两个题吧!
• 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则 Δy/Δx=( )D A 3 B 3Δx-(Δx)2 C 3-(Δx)2 D 3-Δx • 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx
应用：
1 2 s gt 其 例1 物体作自由落体运动,运动方程为： 2 2
中位 移单位是m,时间单位是s,g=10m/s .求： (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
解:
__
s 1 v 2 g g ( t ) t 2
小结：
• 1.函数的平均变化率
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
• 2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
练习：
• 过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1 时割线的斜率. K=3Δx+(Δx)2=3+3×0.1+(0.1)2=3.31
请计 0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v : 算
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，
需要用瞬时速度描述运动状态。
f(x ) f ( x ) 2 1 上述问题中的变化率可用式子 表示 x2 x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
平均变化率定义:
• 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
教学 目标
• [教学方法] • 1.采用“学案导学”方式进行教学。 • 2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教 学方法的综合运用。 • [教学流程]：独立完成基础回顾，合作交流纠错, 老师点评；然后通过题目落实双基，根据学生 出现的问题有针对性的讲评. • [教学重点和难点] • 教学重点：导数的概念、四则运算、常用函数 的导数，导数的应用理解运动和物质的关系、 • 教学难点：导数的定义，导数在求函数的单调 区间、极值、最值、证明中的应用
1 0 0.62(dm / L)
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r (2) r (1) 0.16(dm 显然 气球的平均膨胀率为 r (2) r (1)
2 1 0.16(dm / L)0.62>0.16
思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平 均膨胀率是多少?
3.1.1变化率问题
• 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可 以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增 加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
我们来分析一下:
• 气球的体积V(单位:L)与半径r 4 3 (单位:dm)之间的函数关系是 V (r ) r
3 3V 3 • 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 r (V ) 4 • 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r (1) r (0) 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为 r (1) r (0)
：
瞬时速度?
• 我们用
h(2 t ) h(2) lim 13.1 t 0 t
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值 -13.1”. • 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
ht( 0 t) ht( 0) lim t0 t
导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
这里Δx看作是对于x1的一 个“增量”可用x1+Δx代 替x2 同样Δf=Δy==f(x ) ) 2)-f(x f(x ) f (1x
则平均变化率为
f x
2
1
x2 x1
思考?
• 观察函数f(x)的图象
f(x2 ) f ( x1 ) 平均变化率 y x2 x1 f(x )
2
百度文库
Y=f(x) x2-x1 f(x2)-f(x1)
作业：
• 第二教材P67 A 1、2、4，B 5
3.1.2 导数的概念
• 在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在 这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描 述运动状态。我们把物体在某一时刻的速 度称为瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?
如何求（比如， t=2时的）瞬时速度？
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势? 通过列表看出平均速度的变化趋势
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修1－1
3.5《导数及其应用-小结》
• 【知能目标】 • 1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加 速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一 点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数 的概念。 • 2、熟记基本导数公式：xm(m为有理数)、sinx、 cosx、ex、ax、lnx、logax的导数；掌握两个函 数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导 法则，会求某些简单函数的导数。 • 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解 可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 (导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一 般指单峰函数)的最大值和最小值。