计数原理-二项式定理

二项式定理
知识点
1．二项式定理：
011()()n n n r n r r n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ，
2．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做()n
a b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数r
n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r
r n C a b -叫做二项式展开式的通项。

用1r n r r
r n
T C a b -+=表示。

3．注意关键点：
①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。

()n a b +与()n
b a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。

b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。

各项的次数和等
于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n
n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与
b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：
令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *
-=-+-+++-∈L L
5．性质：
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)
k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n
n n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n n
n n n n C C C C +++++=-L L 。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n
n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ，
从而得到：02421321
11222
r r n
n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=
⨯=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
00112220120120011222021210
01230123()()1, (1)1,(1)n n n n n n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----L L L L L L 令则①令则024135(1)(1),()
2
(1)(1),()
2
n n n n n
n a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=L L ②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和
⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n
C 取得最大值。

如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n n
C
-,12n n
C
+同时取得最
大值。

⑥系数的最大项：求()n
a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。

设展开式中各项系数分别
为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112
r r
r r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来。

题型一 二项式定理的逆用；
【例1】12321
666 .n n n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=L
【过关练习】
1231393 .n n n n n n C C C C -++++=L
题型二 利用通项公式求x n 的系数；
【例1】
在二项式n
的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？
【过关练习】 求29
1()2x x
-
展开式中9x 的系数？
题型三 利用通项公式求常数项；
【例1】求二项式210(
x +的展开式中的常数项？
【过关练习】 求二项式6
1(2)2x x
-的展开式中的常数项？
题型四 利用通项公式，再讨论而确定有理数项；
【例1】求二项式9
展开式中的有理项？
题型五 奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；
【例1】若
n 展开式中偶数项系数和为256-，求n .
【过关练习】
若n 的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。

题型六 最大系数，最大项；
【例1】已知1(2)2
n x +，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？
【过关练习】
在2()n
a b +的展开式中，二项式系数最大的项是多少？
题型七 含有三项变两项；
【例1】求当25
(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数？
【过关练习】 求式子31
(2)x x
+-的常数项？
题型八 两个二项式相乘；
【例1】3
4
2
(12)(1)x x x +-求展开式中的系数.
【过关练习】
610
(1(1+
求展开式中的常数项.
题型九 赋值法；
【例1】
设二项式1)n x
的展开式的各项系数的和为p ，所有二项式系数的和为s ,若
272p s +=,则n 等于多少？
【过关练习】
1.若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？
n
x x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-13
题型十 奇数项的系数和与偶数项的系数和；
【例1】2006
(,,,_____.x x S x S -=
=在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当
题型十一 整除性；
【例1】证明：22
*3
89()n n n N +--∈能被64整除
课后练习
【补救练习】
1.554321
54321012345(2),____.x a x a x a x a x a x a a a a a a -=+++++++++=若则
2.若21()n x x
+的二项展开式中第5项为常数项，则____.n = 3.写出在7
()a b -的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？
4.若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2)2
n x +的展开式中系数最大的项？ 5.在10
(12)x +的展开式中系数最大的项是多少？ 6.2*31(1)(),28,______.n x x x n N n n x
+++∈≤≤=已知的展开式中没有常数项且则 7.在
(
2n x 的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 8.2009
1232009200912
0123200922009(12)
(),222
a a a x a a x a x a x a x x R -=+++++∈++⋅⋅⋅+L 若则
的值为 【巩固练习】
1.二项式n
4x 1x 2⎪⎭⎫ ⎝
⎛+ (n ∈N)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2.写出11
)(y x -的展开式中：
（1）二项式系数最大的项；
（2）项的系数绝对值最大的项；
（3）项的系数最大的项和系数最小的项； （4）二项式系数的和； （5）各项系数的和
【拔高练习】 1．若n x
x )1
(6
6+
展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．
（１） 求n 的值；
（２）此展开式中是否有常数项，为什么？ 2．已知(
1
24
x +)n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数．
3．是否存在等差数列{}n a ，使n
n n 1n 2n 31n 20n 12
n C a C a C a C a ⋅=+⋅⋅⋅++++对任意*N n ∈都成立？若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．
4．某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。

如
果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到1亩）？
5. 设f(x)=(1+x)m +(1+x)n (m 、n N ∈)，若其展开式中，关于x 的一次项系数为11，试问：m 、n 取何值时，f(x)
的展开式中含x 2项的系数取最小值，并求出这个最小值.。