计数原理-二项式定理

二项式定理

知识点

1．二项式定理：

011()()n n n r n r r n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ，

2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做()n

a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r

n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r

r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r

r n

T C a b -+=表示。 3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n

b a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等

于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n

n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与

b 的系数（包括二项式系数）

。 4．常用的结论：

令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *

-=-+-+++-∈L L

5．性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)

k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n

n n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n n

n n n n C C C C +++++=-L L 。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n

n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ，

从而得到：02421321

11222

r r n

n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=

⨯=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

00112220120120011222021210

01230123()()1, (1)1,(1)n n n n n n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----L L L L L L 令则①令则024135(1)(1),()

2

(1)(1),()

2

n n n n n

n a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=L L ②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和

⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n

C 取得最大值。 如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n n

C

-,12n n

C

+同时取得最

大值。

⑥系数的最大项：求()n

a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别

为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112

r r

r r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来。

题型一 二项式定理的逆用；

【例1】12321

666 .n n n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=L

【过关练习】

1231393 .n n n n n n C C C C -++++=L

题型二 利用通项公式求x n 的系数；

【例1】

在二项式n

的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？

【过关练习】 求29

1()2x x

-

展开式中9x 的系数？

题型三 利用通项公式求常数项；

【例1】求二项式210(

x +的展开式中的常数项？

【过关练习】 求二项式6

1(2)2x x

-的展开式中的常数项？

题型四 利用通项公式，再讨论而确定有理数项；

【例1】求二项式9

展开式中的有理项？

题型五 奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；

【例1】若

n 展开式中偶数项系数和为256-，求n .

【过关练习】

若n 的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。

题型六 最大系数，最大项；

【例1】已知1(2)2

n x +，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？

【过关练习】

在2()n

a b +的展开式中，二项式系数最大的项是多少？