2019年四川省阿坝州中考数学试卷

2019年四川省阿坝州中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出代号为A，B，C，D的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列各数当中，最小的数是（）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
2．（3分）2018年，共享单车用户规模约达235000000，用科学记数法表示235000000为（）A．2.35×106B．2.35×107C．2.35×108D．2.35×109
3．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（）
A．B．C．D．
4．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝1，AE＝4，则EC的长度为（）
A．1B．2C．3D．4
5．（3分）在学校组织的“我和我的祖国”歌咏比赛中，某年级七个班的成绩（单位：分）分别为：89，93，94，95，96，96，97．这组数据的众数和中位数分别是（）
A．95，95B．96，96C．95，96D．96，95
6．（3分）下列计算结果是x5的为（）
A．x10÷x2B．x2•x3C．（x2）3D．x6﹣x
7．（3分）方程﹣＝0的解为（）
A．2B．4C．5D．6
8．（3分）如图，扇形的半径为6cm，圆心角为120°，则该扇形的面积为（）
A．6πcm2B．9πcm2C．12πcm2D．18πcm2
9．（3分）如图，已知E，B，F，C四点在一条直线上，EB＝CF，∠A＝∠D，添加以下条件之一，仍不能证明△ABC≌△DEF的是（）
A．∠E＝∠ABC B．AB＝DE C．AB∥DE D．DF∥AC
10．（3分）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，则直线y＝bx+c不经过的象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案直接填写在答题卡上对应题号后面的横线上. 11．（4分）分解因式：x2﹣4＝．
12．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于原点O中心对称的点P'的坐标为．
13．（4分）如图，在半径为5的⊙O中，M为弦AB的中点，若OM＝4，则AB的长为．
14．（4分）矩形ABCD中，E为AD边上一点，将矩形沿BE翻折后，点A的对应点为A'，延长EA'交BC于点F，若∠ABE＝35°，则∠BFE的大小为度．
三、解答题：本大题共6小题，共54分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（12分）（1）计算：（π﹣2019）0+|﹣1|+2cos45°；
（2）计算：（1+）÷．
16．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（k+1）＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
17．（8分）小丽用两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度．如图，已知∠CAD＝30°，AB＝DE＝1.75m，BE＝6m，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1m，≈1.732）
18．（8分）某校开展了“我爱古诗词”知识竞赛活动，将某年级参赛学生的成绩划分为三个等级进行统计分析，绘制得到如图表．
成绩等级频数频率
A75a
B b0.4
C1050.35
请结合图表信息，解答下列问题：
（1）该年级学生共有多少人？
（2）求表中a，b的值，并补全条形统计图；
（3）学校决定从参赛的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
19．（10分）如图，已知一次函数y＝﹣2x+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A和点B（6，2），与x轴交于点C．
（1）分别求一次函数和反比例函数的解析式：
（2）求△AOC的面积．
20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，∠BCH＝∠A，∠H＝90°，HB的延长线交⊙O于点D，连接CD．
（1）求证：CH是⊙O的切线；
（2）若B为DH的中点，求tan D的值．
一、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.把答案直接填写在答题卡上对应题号后面的横线上. 21．（4分）已知点A（a，b）在直线y＝﹣3x+5上，则6a+2b﹣1的值为．
22．（4分）口袋中有除颜色外无其它差别的黑白两种小球，黑球与白球的个数比为2：3，放入10个同样的黑球后，摸出黑球的概率为，则口袋中白球的个数是．
23．（4分）如图，正方形的边长为4，点E，F分别在AB和AD上，CE＝CF＝5，则△CEF的面积为，点E到CF的距离为．
24．（4分）我们规定：S1＝1，S2＝1+，S3＝1﹣S2，S4＝1+，S5＝1﹣S4，…（即当n为大于1的奇数时，
S n＝1﹣S n﹣1，当n为大于1的偶数时，S n＝1+），按此规律，S2019＝．
25．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，AC与A'B'相交于点P．则CP的最小值为．
二、解答题：本大题共3小顺，北30分，解应写出必要的文字说明、证明过程或算步骤.
26．（8分）某商店销售一种商品，每件的进价为50元，经市场调研发现，当该商品每件的售价为60元时，每天可销售200件；当售价高于进价时，每件的售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．
（1）当每件商品的售价为64元时，求该商品每天的销售数量；
（2）当每件商品的售价为多少时，销售该商品每天获得的利润最大？并求出最大利润．
27．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，BD＝BC，过点D作DE⊥AC于点E，交BC于点F，连接BE，CD．
（1）求证：AB＝BF；
（2）求∠AEB的度数；
（3）当∠A＝60°时，求的值．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O，顶点为A（2，﹣4）．（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点P为抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴上的一点，点Q在该抛物线上，当四边
形OAQP为菱形时，求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线y＝ax2+bx+c在第一象限的图象上是否存在一点M，使得点M到直线OP的距离与其到x轴的距离相等？若存在，求出直线OM的函数解析式；若不存在，请说明理由．
2019年四川省阿坝州中考数学试卷
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出代号为A，B，C，D的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．解：如图所示，
，
故选：A．
2．解：将235000000用科学记数法表示为2.35×108．
故选：C．
3．解：根据俯视图的意义可知，从上面看到的是选项C的图形，
故选：C．
4．解：∵DE∥BC，
∴＝，
又∵AD＝2，DB＝1，AE＝4，
∴＝，
∴EC＝2，
故选：B．
5．解：将数据重新排列为89，93，94，95，96，96，97，
所以这组数据的众数为96分，中位数为95（分），
故选：D．
6．解：A、x10÷x2＝x8，故此选项不合题意；
B、x2•x3＝x5，故此选项符合题意；
C、（x2）3＝x6，故此选项不合题意；
D、x6和x不是同类项，不能合并，故此选项不合题意；
故选：B．
7．解：去分母得：2﹣x+4＝0，
解得：x＝6，
经检验x＝6是分式方程的解，
故选：D．
8．解：由题意得，n＝120°，R＝6cm，
故＝12π．
故选：C．
9．解：A．添加∠E＝∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故A选项不符合题意．B．添加DE＝AB与原条件满足SSA，不能证明△ABC≌△DEF，故B选项符合题意；
C．添加AB∥DE，可得∠E＝∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故C选项不符合题意；
D．添加DF∥AC，可得∠DFE＝∠ACB，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故D选项不符合题意；
故选：B．
10．解：由图象可知：
∵对称轴在y轴右侧，
∴对称轴x＝﹣＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴一次函数y＝bx+c的图象过一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案直接填写在答题卡上对应题号后面的横线上. 11．解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
12．解：点P（﹣3，2）关于原点O中心对称的点P'的坐标为：（3，﹣2）．
故答案为：（3，﹣2）．
13．解：连接OA，
∵M为弦AB的中点，
∴OM⊥AB，
∴AM＝＝＝3，
故答案为：6．
14．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
∵∠ABE＝35°，
∴∠AEB＝55°，
由翻折变换可得∠AEF＝110°，
∴∠BFE＝70°．
故答案为：70．
三、解答题：本大题共6小题，共54分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）（π﹣2019）0+|﹣1|+2cos45°
＝1+﹣1+2×
＝1+﹣1+
＝2；
（2）（1+）÷
＝•
＝x+1．
16．解：根据题意得△＝（﹣2）2+4（k+1）＞0，
解得k＞﹣2．
17．解：根据题意可知：
∠ABE＝90°，AB∥DE，AB＝DE＝1.75m，
∴四边形ABED是矩形，
∠CDA＝90°，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝AD•tan30°＝6×＝2（m），
∴CD+DE＝2+1.75≈5.2（m）．
答：这棵树大约有5.2m高．
18．解：（1）该年级学生共有的人数是：105÷0.35＝300（人）；
（2）a＝＝0.25，b＝300×0.4＝120（人），补图如下：
（3）根据题意画图如下：
∵一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，
∴P（抽到甲和乙）＝＝．
19．解：（1）把B（6，2）代入y＝﹣2x+b得﹣12+b＝2，解得b＝14，∴一次函数解析式为y＝﹣2x+14，
把B（6，2）代入y＝得k＝6×2＝12，
∴反比例函数解析式为y＝（x＞0）；
（2）当y＝0时，﹣2x+14＝0，解得x＝7，∴C点坐标为（7，0），
解方程组得或，∴A（1，12），
∴△AOC的面积＝×7×12＝42．20．（1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°，
∵OA＝OC，
∠A＝∠ACO，
∴∠A+∠BCO＝90°，
∵∠A＝∠BCH，
∴∠BCH+∠BCO＝90°，
∴∠HCO＝90°，
∴CH是⊙O的切线；
（2）解：∵B为DH的中点，
∴设BD＝BH＝x，
∴BH＝2x，
∵∠A＝∠D，∠A＝∠BCH，
∴∠D＝∠BCH，
∵∠H＝∠H，
∴△DCH∽△CBH，
∴＝，
∴CH＝＝，
∵∠H＝90°，
∴tan D＝＝＝．
一、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.把答案直接填写在答题卡上对应题号后面的横线上. 21．解：∵点A（a，b）在直线y＝﹣3x+5上，
∴b＝﹣3a+5，
∴3a+b＝5，
∴6a+2b﹣1＝2（3a+b）﹣1＝9．
故答案为：9．
22．解：设黑球有2x个，则白球为3x个，
根据题意得：，
解得：x＝10，
∴白球有：3x＝30，
故答案为：30．
23．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠D＝∠A＝∠B＝90°，
∴BE＝＝＝3，
同理DF＝3，
∴AE＝AF＝1，
∴△CEF的面积＝正方形ABCD的面积﹣△AEF的面积﹣△BCE的面积﹣△CDF的面积＝4×4﹣×1×1﹣2××4×3＝；
作EH⊥CF于H，如图：
∵△CEF的面积＝CF×EH＝3.5，
∴EH＝＝，
即点E到CF的距离为；
故答案为：；．
24．解：S1＝1；
S2＝1+＝1+1＝2；
S3＝1﹣S2＝1﹣2＝﹣1；
S4＝1+＝1+（﹣1）＝0；
S5＝1﹣S4＝1﹣0＝1；
…
发现规律：
每4个数一个循环，
所以2019÷4＝504…3，
所以按此规律，S2019＝﹣1．
故答案为：﹣1．
25．解：当CP与A'B'垂直时，CP有最小值，如图，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∴A'B'＝AB＝10，
由旋转的性质知B'C＝BC＝6，A'C＝AC＝8，
∵S△A'B'C＝×B'C×A'C＝×A'B'×CP，
∴CP＝＝4.8．
故答案为：4.8．
二、解答题：本大题共3小顺，北30分，解应写出必要的文字说明、证明过程或算步骤.
26．解：（1）当每件商品的售价为64元时，该商品每天的销售数量为200﹣10×（64﹣60）＝160（件）；
（2）设每件商品的售价为x元，销售该商品每天获得的利润为W，
则W＝（x﹣50）[200﹣10（x﹣60）]
＝﹣10x2+1300x﹣4000
＝﹣10（x﹣65）2+2250，
∵a＝﹣10，
∴当x＝65时，W取得最大值，最大值为2250，
答：当每件商品的售价为65元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为2250元．
27．解：（1）∵∠ABC＝∠AED＝90°，
∴∠A+∠ACB＝90°，∠A+∠ADE＝90°，
∴∠ACB＝∠ADE，且BC＝BD，∠ABC＝∠DBF＝90°，
∴△ABC≌△FBD（AAS）
∴AB＝BF；
（2）如图，过点B作BG⊥AC于点G，作BH⊥DF于点H，
∵△ABC≌△FBD，
∴AC＝DF，S△ABC＝S△FBD，
∴AC×BG＝×DF×BH，
∴BG＝BH，且BG⊥AC，BH⊥DF，
∴∠AEB＝∠DEB＝45°，
（3）如图，过点B作BN⊥AC于N，
∵∠BEA＝45°，
∴∠EBN＝∠BEN＝45°，
∴BN＝EN，
∴BE＝BN，
∵∠A＝60°，
∴sin∠A＝＝，
∴AB＝BN，
∴BF＝BN，
∴＝．
28．解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，
将点A的坐标代入得，y＝a（x﹣2）2﹣4，
将O的坐标代入上式并解得：a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x；
（2）点A（2，﹣4），则抛物线的对称轴为x＝2，
OAQP为菱形时，则OA＝AQ，则点Q（抛物线与x轴的右侧交点）与点A关于函数对称轴对称，故点P和点A关于x轴对称，故点P（2，4）；
（3）存在，理由：
过点M分别作x轴、PO的垂线，垂足分别为H、G，延长HM交直线OP于点R，
点M到直线OP的距离与其到x轴的距离相等，则GH＝MH，
tan∠POH＝＝2，则tan∠ORH＝，
设GM＝MH＝m，则GR＝2m，则RM＝m，RH＝RM+MH＝m+m，
tan∠ORH＝＝，则OH＝RH＝m，
故点M（m，m），
设直线OM的表达式为y＝sx，
将点M坐标代入上式并解得：s＝＝，
故直线OM的表达式为y＝x．。