八年级下册初二数学-《因式分解》教案

因式分解

【知识梳理】

● 因式分解の定义：把一个多项式化成几个整式乘积の形式，这种变形叫因式分解。

即：多项式→几个整式の积 例：111

()333

ax bx x a b +=

+ 因式分解是对多项式进行の一种恒等变形，是整式乘法の逆过程。 (1)整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式； (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘； (3)因式分解の最后结果应当是“积”の形式。

【例题】判断下面哪项是因式分解：

因式分解の方法 ● 提公因式法：

定义：如果一个多项式の各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，从而将多项式化成因式乘积の形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式の各项都含有の相同の因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

---------⎧⎪

⎨⎪⎩

系数取各项系数的最大公约数字母取各项都含有的字母指数取相同字母的最低次幂(指数)

【例题】333234221286a b c a b c a b c -+の公因式是 ．

【解析】从多项式の系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、－8、6，它们の最大公约

数为2；字母部分33323422,,a b c a b c a b c 都含有因式32a b c ，故多项式の公因式是232

a b c ．

小结提公因式の步骤：

第一步：找出公因式；

第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下の另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号の，要先提取符号。

【基础练习】

1．ax 、ay 、－ax の公因式是__________；6mn 2、－2m 2n 3、4mn の公因式是__________． 2．下列各式变形中，是因式分解の是（ ） A ．a 2－2ab ＋b 2－1＝（a －b ）2－1 B ．)1

1(22222x

x x x +=+

C ．（x ＋2）（x －2）＝x 2－4

D ．x 4－1＝（x 2＋1）（x ＋1）（x －1）

3．将多项式－6x 3y 2 ＋3x 2y 2－12x 2y 3分解因式时，应提取の公因式是（ ） A ．－3xy B ．－3x 2y C ．－3x 2y 2 D ．－3x 3y 3

4．多项式a n －a 3n ＋a n

＋2

分解因式の结果是（ ）

A ．a n （1－a 3＋a 2）

B ．a n （－a 2n ＋a 2）

C ．a n （1－a 2n ＋a 2）

D ．a n （－a 3＋a n ）

5．把下列各式因式分解： 5x 2y ＋10xy 2－15xy 3x （m －n ）＋2（m －n ） 3（x －3）2－6（3－x ）

y （x －y ）2－（y －x ）3 －2x 2n －4x n x （a －b ）2n ＋xy （b －a ）2n

＋1

6．应用简便方法计算：

（1）2012－201 （2）4.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.8

（3）说明3200－4×3199＋10×3198能被7整除．

【提高练习】

1．把下列各式因式分解：

（1）－16a 2b －8ab ＝________________________；

（2）x 3（x －y ）2－x 2（y －x ）2＝________________________． 2．在空白处填出适当の式子：

（1）x （y －1）－（ ）＝（y －1）（x ＋1）； （2）

=+c b ab 329

4

278（ ）

（2a ＋3bc ）． 3．如果多项式x 2＋mx ＋n 可因式分解为（x ＋1）（x －2），则m 、n の值为（ ）

A ．m ＝1，n ＝2

B ．m ＝－1，n ＝2

C ．m ＝1，n ＝－2

D ．m ＝－1，n ＝－2

4．（－2）10＋（－2）11等于（ ）

A ．－210

B ．－211

C ．210

D ．－2

5．已知x ，y 满足⎩⎨⎧=-=+,

13,

62y x y x 求7y （x －3y ）2－2（3y －x ）3の值．

6．已知x ＋y ＝2，,21

-=xy 求x （x ＋y ）2（1－y ）－x （y ＋x ）2の值

7．因式分解：（1）ax ＋ay ＋bx ＋by ； （2）2ax ＋3am －10bx －15bm ．

● 运用公式法

定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式の方法叫做运用公式法。

● 平方差公式

式子： ))((2

2b a b a b a -+=-

语言：两个数の平方差，等于这两个数の和与这两个数の差の积。这个公式就是平方差公式。

【例题1】在括号内写出适当の式子：

0．25m 4＝（ ）2；

=n

y 29

4（ ）2； 121a 2b 6＝（ ）2． 【例题2】因式分解：（1）x 2－y 2＝（ ）（ ）； （2）m 2－16＝（ ）（ ）；

（3）49a 2－4＝（ ）（ ）；（4）2b 2－2＝（ ）（ ）．

【基础练习】

1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式の是（ ） A ．y 2－49x 2

B ．

449

1

x - C ．－m 4－n 2

D ．9)(4

1

2-+q p

2．下列因式分解错误．．

の是（ ） A ．1－16a 2＝（1＋4a ）（1－4a ） B ．x 3－x ＝x （x 2－1） C ．a 2－b 2c 2＝（a ＋bc ）（a －bc ） D ．)l .03

2

)(32l .0(l 0.09422n m m n n m -+=- 3．把下列各式因式分解： （a ＋b ）2－64

m 4－81n 4 （2a －3b ）2－（b ＋a ）2

4．利用公式简算：（1）2008＋20082－20092； （2）3.14×512－3.14×492．