高等数学复旦大学出版第三版下册课后答案习题全

习题七

1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：

A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);

D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).

解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；

点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.

2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？

答: 在xOy面上的点，z=0;

在yOz面上的点，x=0;

在zOx面上的点，y=0.

3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？

答：x轴上的点，y=z=0;

y轴上的点，x=z=0;

z轴上的点，x=y=0.

4. 求下列各对点之间的距离：

（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；

（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.

解：（1）s=

(2) s==

(3) s==

(4) s==

5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.

解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.

故

02

s=

x

s==

y

s==

5

z

s==.

6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则

222222

(4)1(7)35(2)

z z

-++-=++--

解得

14

9 z=

即所求点为M（0，0，14

9

）.

7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.

证明：因为|AB |=|AC |=7.且有

|AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2.

故△ABC 为等腰直角三角形.

8. 验证：()()++=++a b c a b c .

证明：利用三角形法则得证.见图

7-1

图7-1

9. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v

解：

232(2)3(3)

2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c

10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与A 连接，试以AB =c ，BC =a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A . 解：1115

D A BA BD =-=--c a 2225

D A BA BD =-=--c a 3335

D A BA BD =-=--c a 444.5

D A BA BD =-=--c a 11. 设向量OM 的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M 的投影为M '，则

1Pr j cos604 2.2

u OM OM =︒=⨯= 12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A 的坐标.

解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则

{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----

解得x =-2, y =3, z =0

故A 的坐标为A (-2, 3, 0).

13. 一向量的起点是P 1（4，0，5），终点是P 2（7，1，3），试求：

（1） 12PP 在各坐标轴上的投影； （2） 12PP 的模；

（3） 12PP 的方向余弦； （4） 12PP 方向的单位向量.

解：（1）12Pr j 3,x x a PP ==

12Pr j 1

,y y a PP == 12Pr j 2.z z a PP ==-

(2) 12(7PP =

= (3) 12

cos 14x

a PP α== 12cos 14y

a PP β==

12cos 14

z

a PP γ=

=

(4) 12012{

14PP PP ===+e j . 14. 三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点

. 求合力R 的大小和方向余弦

. 解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，

1，4）

||=R

cos cos cos αβγ=== 15. 求出向量a = i +j +k , b =2i -

3j +5k 和

c =-2i -j +2k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a

, b , c .

解：||=

=a ||

==b

||3==c

, , 3. a b c =a b c e

16. 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.

解：a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k

在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j .

17.解：设{,,}x y z a a a a =则有

c o s (1,1)3x a i a a i a i

π⋅====⋅ 求得12x a =

. 设a 在xoy 面上的投影向量为b 则有{,,0}x y b a a =

则222cos 42a b

a b π⋅=⇒=⋅ 则214y a = 求得12

y a =± 又1,a =则2

221x y z a a a ++=

从而求得11{,,22a =或11{,,22- 18. 已知两点M 1（2，5，-3），M 2（3，-2，5），点M 在线段M 1M 2上，且123M M MM =，求向径OM 的坐标.

解：设向径OM ={x , y , z }

12{2,5,3}{3,2,5}

M M x y z MM x y z =--+=----

因为，123M M MM = 所以，11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=--⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-⎩=⎪⎪⎩

故OM ={111,,344

-}.