第三章一维流体动力学基础

间点上各水力运动要素中, 只要有任何一个随时间的变 化而变化的流动。
即：u ux, y, z
p 0
p px, y,z
t
ux , u y , uz 三者中至少一个 t t t 不等于0
二 流线与迹线
1. 流线
流线的定义——表示某
一瞬时流体各点流动趋势 的曲线: 曲线上每一点的速度矢量 总在该点与曲线相切。
dx dy dz ux uy uz
——流线方程
【例2】已知：设速度场为 ux = t+1 ,vy = 1，t = 0时刻流 体 质点A位于原点。
求：（1）质点A的迹线方程； （2）t = 0时刻过原点的流线方程；
解：(1)由欧拉迹线方程式，迹线方程组为
dx dt
t
1
dy dt
1
由上两式分别积分可得
究 方 法 拉格朗日法：着 点眼 的于 运个 动别 后流 便体 可质 得点 到的 整运 个动流，体综的合运所动有规流律体质
一、拉格朗日法
拉格朗日方法：是以流场中每一流体质点作为描述流 体运动的方法，它以流体个别质点随时间的运动为基 础，通过综合足够多的质点（即质点系）运动求得整 个流动。——质点系法
（2）（a,b,c）为变数，t =const，可以得 出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。
流体质点速度为：
vx v y
xa，b，c，t
t
y a，b，c，t
t
vz
z a，b，c，t
t
流体质点加速度为：
ax
vx t
2 xa，b，c，t
t 2
a y
v y t
2 ya，b，c，t
t 2
az
vz t
2 z a，b，c，t
t 2
流体质点的其它流动参量可以类 似地表示为a、b、c和 t 的函数。 如： p=p(a，b，c，t) ρ=ρ(a，b，c，t)
由于流体质点的运动轨迹非常复 杂，而实用上也无须知道个别质点 的运动情况，所以除了少数情况 （如波浪运动）外，在工程流体力 学中很少采用。
非圆形截面管道的当量直径
d 2 4 A
d
4R
d x
D 4A 4R x
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
五、一维流动模型
一维流动： 流动参数是一个坐标的函数；
二维流动： 流动参数是两个坐标的函数；
三维流动： 流动参数是三个坐标的函数。
对于工程实际问题，在满足精度要求的情 况下，将三维流动简化为二维、甚至一维 流动，可以使得求解过程尽可能简化。
1
2
3
Q0
a
bc
d
1
2
3
解：每一送风口流量
Q0＝4Q＝3.2m3/s
→ Q0＝Q１＋3Q
Q0＝Q２＋2Q Q0＝Q3＋3Q
各断面流速
Q＝0.4×0.4×5=0.8m3/s
根据连续性方程
Q１＝Q0－Q＝3Q＝2.4m3/s Q２＝Q0－2Q＝2Q＝1.6m3/s Q3＝Q0－3Q＝0.8m3/s
12
线的微分方程：
设ds为流线上A处一微元弧长:
ds
dxi
dyj
dzk
u为流体质点在A点的流速:
u
u
xi
u
y
j
u
z
k
因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速
分量，u 和ds重合。所以 ds u 0
即
i jk
dx dy dz 0
ux uy uz
展开后得到： dx dy dz ——流线方程 ux uy uz
t 1
在 t = 0时刻，流线通过原点 x = y = 0，可得C = 0，相 应的流线方程为：
x y
三.元流与总流
1.流管—在流场中取任一封闭曲线
（不是流线），通过该封闭曲线的每一 点作流线，这些流线所组成的管状空间 称为流管。
2.元流 — 流管中的液流称为元流或微小流束元流的极限是一 条流线。
第三章 一维流体动力学基础
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 概述
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体质 点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。
研 欧拉法：着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动
特性的各种物理量的矢量场与标量场
x
1 2
t2
t
c1
y t c2
t = 0时质点A 位于x =y =0，得c1= c2= 0。
质点A的迹线方程为:
t t
xห้องสมุดไป่ตู้ 2
2
y t
消去参数t得A点的迹线方程为：
x 1 y 2 y 1 ( y 1)2 1
2
2
2
（2）由流线微分方程：
dx dy t 1 1
积分可得： x y c
2.总流的连续性方程
将微小流束连续性方程两边对相应的过水断面A1及A2 进 行积分可得
A1 1u1dA1 A2 2u2dA2
上式整理后可写成 1mv1A1 2mv2 A2
1mQ1 2mQ2
——总流的連续性方程，它说明可压缩流体做定常流动时，
总流的质量流量保持不变。
Q1 Q2; v1A1 v2 A2
❖ 由于流体做定常流动，则根据质量守恒定律得
dM=0 则
1u1dA1 2u2dA2
——可压缩流体微小流束的连续性方程。
对不可压缩流体的定常流动， 1 2
dQ1 dQ2 u1dA1 u2dA2
——不可压缩流体微小流束定常流动的 连续性方程。
其物理意义是：在同一时间间隔内流过微小流束上任一过水断面的流量均相等。或 者说，在任一流束段内的流体体积(或质量)都保持不变
（x,y,z,t）——欧拉变量
2. 欧拉加速度
流体质点某一时刻处于流场不同位置，速度是坐标及时间的 函数，所以流速是t 的复合函数，对流速求导可得加速度:
a dux, y, z,t
dt
如：
ax
dux dt
ux t
ux x
dx dt
ux y
dy dt
ux z
dz dt
dx dt
ux
,
dy dt
uy
,
由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时 间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：
v vx，y，z，t
＝ x，y，z，t
p
px，y，z，t
T T x，y，z，t
1.速度
u ux, y, z,t
写成分量形式
ux ux x, y, z,t uy uy x, y, z,t uz uz x, y, z,t
3
V1
Q1 A
2.4 0.5 0.5
9.6m
s
Q0
V 2
Q2 A
1.6 0.5 0.5
6.4
m
s
V3
Q3 A
0.8 0.5 0.5
3.2m
s
a bc d
12
3
第四节 流体定常流能量方程
一、理想流体元流能量方程
从功能原理出发，取不可 压缩无黏性流体恒定流动 这样的力学模型，可以推 出元流的能量方程式：
1 1'
u1dt
p1
dA1
在dt时间内压力作的功：
pO
p1dA1u1dt p2dA2u2dt ( p1 p2 )dQdt
图3-10
流段所获得的动能： dQdt (u22 u12 ) dQdt u22 u12
g 22
2g
Z1 Z2
2
dA2 2'
u2dt
p2
O
位能的增加： 功能原理：
mgz2 z1 dQdt
时变加速度（当地加速度） 流动过程中流体由于速度随时间变化而引起的加速度；
位变加速度（迁移加速度） 流动过程中流体由于速度随位置变化而引起的加速度。
在水位恒定的情况下：
（1）A→A′不存在时变加速度和位变加速度。 （2）B→B′不存在时变加速度,但存在位变加速度。
在水位变化的情况下：
(1) A→A′存在时变加速度,但不存在位变加速度。 (2) B→B′既存在时变加速度,又存在位变加速度。
A
A
A
第三节 流体运动的连续方程
一、元流的连续性方程
如图所示，在总流上取一微小流束，过水断面分别为dA1 和dA2 ，相应的速度分别为u1和u2 ，密度ρ1 和ρ2 。由
于微小流束的表面是由流线围成的，所以没有流体穿入
或穿出流束表面，只有两端面dA1 和dA2有流体的流入
和流出。
则有 dM 1u1dA1 2u2dA2
或用它们余弦相等推得：
cos ux dx , cos uy dy , cos uz dz
u ds
u ds
u ds
2.迹线
1）迹线的定义
迹线—某一质点在某
一时段内的运动轨迹线。
图中烟火的轨迹为迹线。
2）迹线的微分方程
dx dy dz dt ux uy uz
式中，ux,uy,uz 均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量。 注意：流线和迹线微分方程的异同点。
研究对象：流体质点
空间坐标
x xa,b, c,t y ya,b, c,t z za,b, c,t
（a,b,c）为t=t0起始时刻质点所在的空间位置坐标， 称为拉格朗日数。
所以，任何质点在空间的位置（x,y,z）都可看 作是（a,b,c）和时间t的函数。
（1）（a,b,c）=const ，t 为变数，可以 得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。
流线的性质
a.同一时刻的不同流线,不能相交.
b.流线不能是折线，而是一条光 滑的曲线。
c.流线的形状和位置，在定常流 动时不随时间变化；而在不定 常流动时，随时间变化。
u1 交点 u2
s1
s2
u1
u2
折点
s
d.流线簇的疏密反映了速度的大小 （流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。
流线的方程
根据流线的定义，可以求得流
(
p1
p2 )dQdt
dQdt z2
z1
dQdt
u22 u12 2g
化简：
或
常数
式中各项物理意义： Z：是断面对于选定基准面的高度，水力学中称位置水头， 表示单位重力作用的流体的位置势能，称单位位能；
二维流动→一维流 动
三维流动→二维流动
六、流量与平均流速
平均流速——体积流量与有效截面积之比值,用 v 表示。 流量——在单位时间内流过有效截面积的流体的量。
体积流量（m3）/ s： qv v dA v cos(v, n)dA vndA
A
A
A
质量流量：
qm v dA v cos(v, n)dA vndA
元流性质：
流体做定常流动时，元流的形状不随时间变化。 流体不能从元流的侧面流入和流出，流体只能沿元流端
面流入或流出。 元流横断面积无限小，其断面流速、压强等参数可以认
为是相等的。
3.流束—过流管横截面上各点作流线，则得到充满 流管的一束流线簇，称为流束。
四.过水断面 湿周 水力半径
1.过水断面—即水道（管道、明渠等）中垂直于水流流
第二节 流体运动的基本概念
一、定常流和非定常流 定常流—又称定常流，是指流场中的流体流动，空间
点 上各水力运动要素均不随时间而变化即：
u 0 u ux, y, z
t
p 0 p px, y, z
t ux , u y , uz 三者都等于0 t t t
非定常流—又称非定常流,是指流场中的流体流动空
dz dt
uz
代入上式得：
a
du dt
u t
u
x
u x
u
y
u y
u
z
u z
ax
dux dt
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
duy dt
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
az
duz dt
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
等号右边第一项是时变加速度；后三项是位变加速度；
二、欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中 各空间点的运动来研究流动的方法。 ——流场法
研究对象：流场
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动
流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在 流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不 理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中 的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多 的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
动方向的横断面, 如图中的 1-1，2-2 断面。又称为有效 截面，在流束中与各流线相垂直，在每一个微元流束的过 水断面上，各点的速度可认为是相同的。
2.湿周 水力半径 当量直径
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。 R A x
圆形截面管道的几何直径
右图为流线谱中显示的流 线形状。
这是欧拉方法中，用几何曲线形象描述流动的 手段。
流线的作法
在流场中任取一点（如图所示）, 绘出某时刻通过该
点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点 在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如此
下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限就 是某时刻的流线。
其物理意义是：不可压缩流体做定常流动时，总流的体积流量 保持不变；各过水断面平均流速与过水断面面积成反比，即过 水断面积↑处，流速↓；而过水断面面积↓处，流速↑。
例： 断面为50×50cm2的送风管，通过abcd四 个40×40cm2的送风口向室内输送空气，送风口 气流平均速度均为5m/s，
求：通过送风管1-1，2-2，3-3各断面的流速 和流量。