第二章 信号分析

T / 2
1 s in(t )e
0
j 2nt dt


2 (4n2 1)
s(t) 2
1
e j 2nt
n 4n 2 1
由于此波形为偶函数，故其频谱为实函数。
NEUSOFT
– 2 能量信号的频谱密度
• 频谱密度的定义：
能量信号s(t) 的傅里叶变换： • S(f)的逆傅里叶变换为原信号： • S(f)和Cn的主要区别：
/ 2 e j2ft dt
/ 2
1
j2f
(e jf e jf ) sin(f ) sin c(f ) f
ga(t) 1
Ga(f)
0
t
-1/
1/
-2/
0
2/
f
(a) ga(t)
(b) Ga(f)
图2-5 单位门函数
矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数，在这里它等于
n
得出
P(
f
)


C(
n
f
) 2(
f
nf0 )

V
n T
2
sin c2 f
(
f
nf0 )
s(t)
V
t
-T
0
T
NEUSOFT
综合能力训练
• 设有一信号可表示为：
x
t


4
exp t , t 0, t 0

0
• 试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量 谱密度。
NEUSOFT
• 2.3 确知信号的时域性质
– 2.3.1 能量信号的自相关函数
• 定义：

•
性质：R( )
s(t)s(t )dt


(2.3-1)
– 自相关函数R()和时间t 无关，只和时间差 有关。
ST ( f ) 2
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• 周期信号的功率谱密度：
令T 等于信号的周期T0 ，于是有
P lim 1 T / 2 s 2 (t)dt 1 T0 / 2 s 2 (t)dt
T T
T / 2
T0 T0 / 2
由周期函数的巴塞伐尔(Parseval)定理:
(2.1-13)
– R()和功率谱密度P(f)之间是傅里叶变换关系：
R( ) P( f )e j2f df
P( f ) R( )e j2f d
NEUSOFT
• 【例2.9】试求周期性信号s(t) = Acos(t+)的自相关函数。
【解】先求功率谱密度，然后对功率谱密度作傅里叶变换，即可求 出其自相关函数。
R( ) S ( f ) 2 e j2f df
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– 2.3.2 功率信号的自相关函数
• 定义：
R( ) lim 1
T /2
s(t)s(t )dt
• 性质： T T T / 2
(2.3-10)
– 当 = 0时，自相关函数R(0)等于信号的平均功率：
– 当 = 0时，R(0)等于信号的能量：
R(0) s 2 (t)dt E
– R()是 的偶函数
(2.3-2)
R( ) R( )
(2.3-3)
– 自相关函数R()和其能量谱密度|S(f)|2是一对傅里叶变
换：
S( f ) 2 R( )e j2f d
V
T
sin c n
T

C

s(t)
C e j 2nf0t n
n
V
T n
sin c n
T
e j 2nf0t
n
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• 【例2.2】试求图2-3所示周期性方波的频谱。
s(t)

V , 0,
0t tT
Cn
C(nf0 )

1 T0
T0 /2 s(t)e j2 nf0t dt
T0 / 2
(2.11)
式中，f0 ＝ 1/T0，n为整数，- < n < +。
s(t)
C e j 2 nt /T0 n
(2.1 2)
n
1
C0 T0
T0 / 2
s(t)dt
T0 / 2
– 求功率谱密度：结果为
P(
f
)


C(
n
f
) 2 ( f
nf0 )

A2 4
(f

f0)
A2 4
(f

f0 )
– 求自相关函数：
R( ) P( f )e j2f df A2 [e j e j ] A2 cos

4
2
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– 2.3.3 能量信号的互相关函数
S ( f ) s(t)e j2ft dt s(t) S ( f )e j2ft df
– S(f)是连续谱，Cn是离散谱；
– S(f)的单位是V/Hz，而Cn的单位是V。
• 注意：在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密度简称
为频谱。
• 实能量信号：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称， 即复数共轭，因
sT(t)是一个能量信号，可以用傅里叶变换求出其能量谱
密度 |ST(t)|2，由巴塞伐尔定理有
E
T /2 T / 2
sT2
(t)dt


ST
(
f
)
2df
(2.1-12)
将
lim 1 T T
ST ( f ) 2
定义为信号的功率谱密度P(f) ，即
P( f ) lim 1 T T
t
V
由式(2.1-1)：
t
-T
0
T
/2
Cn

1 T

/
2
V
e
j
2nf0t
dt
/ 2

1 T

V
j 2nf 0
e j 2nf0t

/2
V T
e e j 2nf0 / 2
j 2nf0 / 2
j 2nf 0
V
nf0T
sin nf0
(2.1 6)
式中 tan 1 bn / an
Cn
1 2
an2 bn2
式(2.1－6)表明：
1. 实信号可以表示成包含直流分量C0、基波(n = 1时)和各次谐 波(n = 1, 2, 3, …)。
2. 实信号s(t)的各次谐波的振幅等于 an2 bn2
3. 实信号s(t)的各次谐波的相位等于
S( f ) Ga ( f ) sin c(f )
故由式(2.1-10)得出
G( f ) S( f ) 2 sin c(f ) 2 2 sin c(f ) 2
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– 2.2.4 功率信号的功率谱密度
• 定义：首先将信号s(t)截短为sT(t)，-T/2 < t < T/2
s(t)
s(t) s(t T ),
t
V
由式(2.1-1) ：
-T
0 T
t

Cn

1 T
Ve j 2nf0t dt
0

1 T

V
j 2nf 0
e
j 2nf0t

0
V 1 e j 2nf0
V


1 e j 2n / T
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得到


s(t)
C e j 2 nt /T0 n
C0
an cos 2 nt / T0 bn sin 2 nt / T0
n
n 1

C0

an2 bn2 cos 2 nt / T0
n 1
称为单边谱。
4. 频谱函数Cn又称为双边谱， |Cn|的值是单边谱的振幅之半。
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• 【例2.1】 试求图2-2(a)所示周期性方波的频谱。
V , s(t) 0,
/2 t /2 / 2 t (T / 2)
s(t)
s(t) s(t T ),
(2.1 3)
Cn Cn e jn －双边谱，复振幅 (2.1 － 4)
|Cn| －振幅， n－相位
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• 周期性功率信号频谱的性质
– 对于物理可实现的实信号，由式(2.2－1)有
Cn

1 T0
T0 / 2 T0 / 2
s(t)e j2 nf0t dt

1 T0
T j2nf0
j 2n
因为此信号不是偶函数，其频谱Cn是复函数。
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• 【例2.3】试求图2-4中周期波形的频谱。
s(t) sin(t) 0 t 1
s(t)
1
s(t) f (t 1) t
t
由式(2.1-1)：
Cn

1 T
T / 2 s(t)e j 2nf0t dt

P( f ) C( f ) 2 ( f nf0 ) n
(2.1-16)
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• 【例2.8】试求例2.1中周期性信号的功率谱密度。
该例中信号的频谱已经求出，它等于：
Cn

V
T
sin c n
T


所以由式(2.1-16)： P( f ) C( f ) 2 ( f nf0 )
– 归一化功率： P V 2 / R I 2 R V 2 I 2
– 平均功率P为有限正值： P lim 1 T / 2 s2 (t)dt
T T
T / 2
– 能量信号的功率趋于0，功率信号的能量趋于
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• 二、 确知信号的频域性质
– 1 功率信号的频谱 • 周期性功率信号频谱（函数）的定义

T0 / T0
2 /2
s
(t
)e

j
2
nf0t
dt

Cn*
(2.1 5)
正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系，即
|Cn|
C 的模偶对称 n
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
n
(a) 振幅谱 n
Cn的相位奇对称-5 -4
-2 -1
3
-3
012
45
n
(b) 相位谱


s(t)e j2ft dt



s(t )e
j
2ft
dt


,
S( f ) S( f )
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• 【例2.4】试求一个矩形脉冲的频谱密度。
设它的傅g里a (叶t) 变 换10 为
t /2 t /2
－ 单位门函数
Ga ( f )
P 1 T0
T0 / 2 s 2 (t)dt
T0 / 2


Cn
n
2
式中 |Cn|2 －第n次谐波的功率
(2.1-14)
利用函数可将上式表示为
P
C( f ) 2 ( f

nf0 )df
式中
C(
f
)

Cn 0
f nf0 其他处
(2.1-15)
上式中的被积因子就是此信号的功率谱密度P(f)，即
•
•
定义： 性质：
R12 ( )

一个高度为无穷大、宽度为无穷小、面积 为1的脉冲。
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– 3 能量信号的能量谱密度
• 定义：由巴塞伐尔(Parseval)定理
E s2 (t)dt S( f ) 2df


将|S(f)|2定义为能量谱密度。
(2.1-8)
式(2.2-37)可以改写为 E G( f )df
R(0) lim 1 T / 2 s 2 (t)dt P
T T
T / 2
(2.3-11)
– 功率信号的自相关函数也是偶函数。
• 周期性功率信号：
– 自相关函数定义：
R( ) 1 T0 / 2 s(t)s(t )dt
T0 T0 / 2
(2.3-12)
式中 G(f) = |S(f)|2 －能量谱密度
(2.1-9) (2.1-10)
• 由于信号s(t)是一个实函数，所以|S(f)|是一个偶函数, 因此 上式可以改写成

E 20 G( f )df
(2.1-11)
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• 【例2.7】试求例2.4中矩形脉冲的能量谱密度 在例2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4中，已经求出其频谱密度：
(1/) Hz。
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• 【例2.5】试求单位冲激函数(函数)的频谱密度。
– 函数的定义：

(t)dt 1
(t) 0
t 0
– 函数的频谱密度：
( f )
(t)e j2ft dt 1

(t)dt 1


– 函数的物理意义：
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2.1 确知信号
• 一、确知信号的类型
– 按照周期性区分：
• 周期信号： s(t) s(t T0 ), t T0－信号的周期， T0 > 0
• 非周期信号
– 按照能量区分： • 能量信号：能量有限， • 功率信号：
0 E s2 (t)dt