机械制图中平面内的直线和点.
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例1 在平面△ABC 内作一任意直线。
b'
1’ a' X a 2’ 2
无数解!
c' O
c
1
§4-3 平面内的线和点
b
二、平面内的一般位置直线
例2 判断直线ⅠⅡ 是否在ABC 平面内。
1’ a' 3’ b' X a O c 4
2’
c’
4’
否
3
1
2
b
§4-3 平面内的线和点
三、平面内的投影面平行线
1.定义: 平面内平行于某一投影面的直线，称为平面内 的投影面平行线。 在一般位置平面内可取三类投影面平行线: 水平线； 正平线； 侧平线。
平面内的直线和点
一、直线在平面内的几何条件 二、平面内的一般位置直线
三、平面内的投影面平行线
四、平面内对投影面的最大斜度线 五、平面内的点
§4-3 平面内的线和点
一、直线在平面内的几何条件
通过一平面上的两个点；
பைடு நூலகம்过平面上一点同时又平行该平面上另一直线。
M N
平行
§4-3 平面内的线和点
二、平面内的一般位置直线
A Ⅰ
证明要点：
CⅠ为平面内的水平线 C
B
1 b α M PH a
∵ ∴
AM ⊥PH CⅠ∥PH CⅠ⊥ AM
c
证明完毕
§4-3 平面内的线和点
四、平面内对投影面的最大斜度线
小结： 对H 面的最大斜度线 ——垂直平面内的水平线； ——反映平面对H 面的倾角； ——其H 投影与水平线的H 投影垂直。
O
a c
b k
解题完毕
§4-3 平面内的线和点
五、平面内的点
例3 完成平面四边形ABCD 的水平投影。
c‘
b’ a‘ a b k c
§4-3 平面内的线和点
作图分析： 平面四边形ABCD 的 对角线必相交。 作图：
k’ d‘
X
O d
解题完毕
五、平面内的点
例4 试判断K 点是否在平面内。
k’ c‘ 1‘ X d‘ d b b’ a‘ a k c
对V 面的最大斜度线 ——垂直平面内的正平线； ——反映平面对V 面的倾角； ——其V 投影与正平线的V 投影垂直。 对W 面的最大斜度线？
§4-3 平面内的线和点
四、平面内对投影面的最大斜度线
例1 取平面△ABC 内对H 面的最大斜度线。
a‘
1‘ b’ x 1 b 2 2‘ a c‘ o
作图分析： 最大斜度线的水平投影与 水平线的水平投影垂直。 投影作图： 1.取水平线CⅠ； 2.取最大斜度线AⅡ；
作图分析： 在平面内取一条过K 点 的直线，如AI 。使k’ 在 a’ 1’上，则K 在平面内。 作图：
X
a
b’
b
O
k d
§4-3 平面内的线和点
1
c
解题完毕
五、平面内的点
例2 已知点K 在平面△ABC 内，据k’ 求k 。
a' K’ X b' c'
作图分析： 平面的水平投影积聚； 使k 落在投影abc上即可。 作图：
c1 ⊥ a2
c
AⅡ线为所求。
解题完毕
§4-3 平面内的线和点
四、平面内对投影面的最大斜度线
例2 求△ABC 对V 面的倾角β。
作图分析： V 取对 面的最大斜度线对 V 面的最大斜度线 V面的倾 2’ 角反映该平面对V面的倾角。 1’ a’2’ 作图步骤： 1.取正平线BⅠ； 2.取对V面最大斜度线AⅡ； a‘ O 3.用直角三角形法求β a （AⅡ与a’2’ 的夹角）。
三、平面内的投影面平行线
例 在平面(AB∥CD )内作直线EF ∥V 面，使距离V面为15 。
a' c' e'
f'
b'
X
d' d b 15
O
解题完毕
c
§4-3 平面内的线和点
e
a
f
四、平面内对投影面的最大斜度线
1.定义： 平面内对投影面倾角最大的直线，称为对该 投影面的最大斜度线。 2.性质： 平面内对某一投影面的最大斜度线垂直于该 平面内对相同投影面平行的直线。 3.分类： 对H 面的最大斜度线 ——垂直平面内的水平线。 对V 面的最大斜度线 ——垂直平面内的正平线。 对W面的最大斜度线 ——垂直平面内的侧平线。
§4-3 平面内的线和点
三、平面内的投影面平行线
2.投影特性: 从属性(属于平面); 投影面平行线的投影特性。 取平面内的水平线DE
d’e’∥ox
b'
d’e’∥OX 轴
a‘ d' X
c‘
V
a'
d'
A
e' D B
c' C
Z
e'
b’ c O
E
c O
X a
e d b
a
e
d
de=DE
Y
b
§4-3 平面内的线和点
x
1’ c‘ a
4 1 c
3‘ 2‘
b’ b o
b”
3” 2”
1” c” YH
3
2
YH
解题完毕
§4-3 平面内的线和点
本节结束
§4-3 平面内的线和点
§4-3 平面内的线和点
四、平面内对投影面的最大斜度线
4.特性证明：(以对H 面的最大斜度线为例)
A
AM 为平面P 上对H
面的最大斜度线。
a
α1 α
H 面最大斜度线对H 面的倾角α反映平面对 H 投影面的倾角。
M
PH
α1＜α
§4-3 平面内的线和点
四、平面内对投影面的最大斜度线
4.特性证明：(以对H 面的最大斜度线为例) 对H 面的最大斜度线垂直该平面的水平线。
c‘
b’
X
b 2
1
c
β
y2-ya
解题完毕
§4-3 平面内的线和点
五、平面内的点
点在平面上的几何条件：
点在平面内的一条直线上。
在平面内定点时，一般要通过包含点在平面 内取辅助线求解。
§4-3 平面内的线和点
五、平面内的点
例1 已知点K 在平面ABCD 内，据k 求k’。
d‘
k’ a‘ c‘ 1’
§4-3 平面内的线和点
分析：
K 与平面内任一点连线,
若K 在平面内则该连线应与 平面内的线平行或相交。
O 作图： KD 与平面内的线不平
行或相交。
1
点K 不在平面内
解题完毕
五、平面内的点
例5 完成平面多边形的水平投影，并求侧面投影。
a‘ 4’
z
a”
4”
投影分析： • 带切口的三角形 • 一般位置平面 • 有关线段平行 作图：
b'
1’ a' X a 2’ 2
无数解!
c' O
c
1
§4-3 平面内的线和点
b
二、平面内的一般位置直线
例2 判断直线ⅠⅡ 是否在ABC 平面内。
1’ a' 3’ b' X a O c 4
2’
c’
4’
否
3
1
2
b
§4-3 平面内的线和点
三、平面内的投影面平行线
1.定义: 平面内平行于某一投影面的直线，称为平面内 的投影面平行线。 在一般位置平面内可取三类投影面平行线: 水平线； 正平线； 侧平线。
平面内的直线和点
一、直线在平面内的几何条件 二、平面内的一般位置直线
三、平面内的投影面平行线
四、平面内对投影面的最大斜度线 五、平面内的点
§4-3 平面内的线和点
一、直线在平面内的几何条件
通过一平面上的两个点；
பைடு நூலகம்过平面上一点同时又平行该平面上另一直线。
M N
平行
§4-3 平面内的线和点
二、平面内的一般位置直线
A Ⅰ
证明要点：
CⅠ为平面内的水平线 C
B
1 b α M PH a
∵ ∴
AM ⊥PH CⅠ∥PH CⅠ⊥ AM
c
证明完毕
§4-3 平面内的线和点
四、平面内对投影面的最大斜度线
小结： 对H 面的最大斜度线 ——垂直平面内的水平线； ——反映平面对H 面的倾角； ——其H 投影与水平线的H 投影垂直。
O
a c
b k
解题完毕
§4-3 平面内的线和点
五、平面内的点
例3 完成平面四边形ABCD 的水平投影。
c‘
b’ a‘ a b k c
§4-3 平面内的线和点
作图分析： 平面四边形ABCD 的 对角线必相交。 作图：
k’ d‘
X
O d
解题完毕
五、平面内的点
例4 试判断K 点是否在平面内。
k’ c‘ 1‘ X d‘ d b b’ a‘ a k c
对V 面的最大斜度线 ——垂直平面内的正平线； ——反映平面对V 面的倾角； ——其V 投影与正平线的V 投影垂直。 对W 面的最大斜度线？
§4-3 平面内的线和点
四、平面内对投影面的最大斜度线
例1 取平面△ABC 内对H 面的最大斜度线。
a‘
1‘ b’ x 1 b 2 2‘ a c‘ o
作图分析： 最大斜度线的水平投影与 水平线的水平投影垂直。 投影作图： 1.取水平线CⅠ； 2.取最大斜度线AⅡ；
作图分析： 在平面内取一条过K 点 的直线，如AI 。使k’ 在 a’ 1’上，则K 在平面内。 作图：
X
a
b’
b
O
k d
§4-3 平面内的线和点
1
c
解题完毕
五、平面内的点
例2 已知点K 在平面△ABC 内，据k’ 求k 。
a' K’ X b' c'
作图分析： 平面的水平投影积聚； 使k 落在投影abc上即可。 作图：
c1 ⊥ a2
c
AⅡ线为所求。
解题完毕
§4-3 平面内的线和点
四、平面内对投影面的最大斜度线
例2 求△ABC 对V 面的倾角β。
作图分析： V 取对 面的最大斜度线对 V 面的最大斜度线 V面的倾 2’ 角反映该平面对V面的倾角。 1’ a’2’ 作图步骤： 1.取正平线BⅠ； 2.取对V面最大斜度线AⅡ； a‘ O 3.用直角三角形法求β a （AⅡ与a’2’ 的夹角）。
三、平面内的投影面平行线
例 在平面(AB∥CD )内作直线EF ∥V 面，使距离V面为15 。
a' c' e'
f'
b'
X
d' d b 15
O
解题完毕
c
§4-3 平面内的线和点
e
a
f
四、平面内对投影面的最大斜度线
1.定义： 平面内对投影面倾角最大的直线，称为对该 投影面的最大斜度线。 2.性质： 平面内对某一投影面的最大斜度线垂直于该 平面内对相同投影面平行的直线。 3.分类： 对H 面的最大斜度线 ——垂直平面内的水平线。 对V 面的最大斜度线 ——垂直平面内的正平线。 对W面的最大斜度线 ——垂直平面内的侧平线。
§4-3 平面内的线和点
三、平面内的投影面平行线
2.投影特性: 从属性(属于平面); 投影面平行线的投影特性。 取平面内的水平线DE
d’e’∥ox
b'
d’e’∥OX 轴
a‘ d' X
c‘
V
a'
d'
A
e' D B
c' C
Z
e'
b’ c O
E
c O
X a
e d b
a
e
d
de=DE
Y
b
§4-3 平面内的线和点
x
1’ c‘ a
4 1 c
3‘ 2‘
b’ b o
b”
3” 2”
1” c” YH
3
2
YH
解题完毕
§4-3 平面内的线和点
本节结束
§4-3 平面内的线和点
§4-3 平面内的线和点
四、平面内对投影面的最大斜度线
4.特性证明：(以对H 面的最大斜度线为例)
A
AM 为平面P 上对H
面的最大斜度线。
a
α1 α
H 面最大斜度线对H 面的倾角α反映平面对 H 投影面的倾角。
M
PH
α1＜α
§4-3 平面内的线和点
四、平面内对投影面的最大斜度线
4.特性证明：(以对H 面的最大斜度线为例) 对H 面的最大斜度线垂直该平面的水平线。
c‘
b’
X
b 2
1
c
β
y2-ya
解题完毕
§4-3 平面内的线和点
五、平面内的点
点在平面上的几何条件：
点在平面内的一条直线上。
在平面内定点时，一般要通过包含点在平面 内取辅助线求解。
§4-3 平面内的线和点
五、平面内的点
例1 已知点K 在平面ABCD 内，据k 求k’。
d‘
k’ a‘ c‘ 1’
§4-3 平面内的线和点
分析：
K 与平面内任一点连线,
若K 在平面内则该连线应与 平面内的线平行或相交。
O 作图： KD 与平面内的线不平
行或相交。
1
点K 不在平面内
解题完毕
五、平面内的点
例5 完成平面多边形的水平投影，并求侧面投影。
a‘ 4’
z
a”
4”
投影分析： • 带切口的三角形 • 一般位置平面 • 有关线段平行 作图：