第三讲：两直线的相对位置(垂直)、平面投影、平面内点和直线(一)

e'
X
O
e
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例8：已知点Ｋ属于ABC 平面，试求其水 平投影k。
b k● X a a c O
k b
●
c
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33
例9：已知ABC给定一平面，试判断点D是否属于该 平面。
e'
d'
X
O
e
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d
不属于
34
例10：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。
h’ f ’
O
X
a’ c
g
实长
a
k
b
实长
e h （f）
得到点到直线距离的投影后再求实长
平面的表示法
一.用几何元素表示平面(五种)
b’ Z b” c” O a”
c’
X a’ b a c YH
YW 4、两条相交直线（AB、 BC） ；
1、不在一直线上的三点决定 一个平面（点A、B、C）； 2、直线和直线外一点（直 线AB、点C） ； 3、两条平行直线；
一般位置平面
A
Z 思考：从属于投影面的平面的投影特性是 c' a" a' 什么？其投影图如何？ D

c" b" YW
C
X b' a O
b
c YH
B
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投影特性：三个投影都是空间平面图形的类似形。
23
讨论：过一般位置直线能否作投影面的垂直面？
b b
a
B P
A SV
a
B A S
类似形：
• 边数相同 • 平行关系不变 • 凹凸关系不变
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16
投影面的垂直面
2.正垂面——垂直于V面，且倾斜于H面、W面的平面
V


X
O
YW
YH
正垂面
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投影面垂直面 的投影特性：
投影面的垂直面
1.在它垂直的投影面上的投影积聚成直线，且该直 线与投影轴的夹角反映空间平面对其它两投影面的倾角。 3.侧垂面——垂直于W面，且倾斜于V 2.面、 其它两个投影面上的投影，为空间平面的类似形。 H面的平面
5、平面图形（ΔABC ）。
平面的表示法
二. 用迹线表示平面
z V pz PV P PH H PW W x px O z pz PW pYw YW
PV
x px
PH
pY y PY H YH
迹线：平面与投影面的交线。
各种位置平面的投影
平面在三投影面体系中的投影特性
平行于某一投影面
投影面平行面 特殊位置平面
r
用迹线表示的 投影面平行面的投影
Z Z Z PW
PV
PW
PV
X
O
YW
X
O
PH
YW
X
O
PH
YW
YH 水平面
YH 侧平面
YH 正平面
投影面的垂直面
V
1.铅垂面——垂直于H面，且倾斜于V面、 类似性 W面的平面 Z 类似性
X

O

YW

积聚性 铅垂面的投影特性： YH 平面对投影面的倾角： 1.水平投影积聚为一条倾斜线段 ,且该直线段与 OX、OY轴的 对水平投影面的倾角—— 夹角反映空间平面对V面、W面的倾角； 对正立投影面的倾角—— 2.正面投影和侧面投影为空间平面的类似形。 对侧立投影面的倾角——
投影面的平行面
2.正平面——平行于V面的平面
V
Z
Q
q’
X O
q”
YW
q
YH
投影面的平行面
3.侧平面——平行于W面的平面
V
X O Z
r’
r”
YW
投影面平行面 的投影特性： YH 1.在其所平行的投影面上的投影，反映 空间平面的实形。 2.在其它两个投影面上的投影，分别积 聚成与相应的投影轴平行的直线。
a b PH
a
b
过一般位置直线AB作 铅垂面PH
过一般位置直线AB作正 垂面SV
结论：过一般位置直线总可作投影面的垂直面。
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作图：过一般位置直线作投影面的垂直面。 (迹线表示法)
QV Z SW
b"
a"
X O YW
PH
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YH
25
作图：过一般位置直线作投影面的垂直面。 (几何元素表示法) (n')
YW
Z
X O
PH

YW
PH

铅垂面的迹线表示法
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YH
20
正垂面的迹线表示法
X
Z PW PV
γ
O YW
α
PH
QV Q
YH Z
QV α
X
γ
O YW
YH
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侧垂面的迹线表示法
PV
Z
V
X
β PW α
O
YW
S
Sw W
PH YH Z
β
X O
Sw α
YW
YH
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e
f
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例3：作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上， 且BCAB =23。
a
b c bc=BC a b
AB
O
c a
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b
|yA-yB|
6
两直线垂直的应用——求距离
求点到直线的距离
b’ e’
（1 ）
k’ c’
（2 ）
g’
O X
投影必 须完整
解法一
a k b
解法二
c a
b
c
X a
d d k b
O c
X a
d d
O c b
小结----基本要求
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讨论并作图：取属于投影面垂直面的点和直线。
b a e f
X
O
X
f e
无数解
O
a b
无数解
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37
O X O X OX
X
g
O
PH
（a ） 给题 （ b） 作正平面 （c） 作正垂面 （d） 作一般位置平面 （有无穷多个）
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平面上的点和直线
一、平面上的直线 必须满足的几何条件： 通过平面上两点，如BE。
b’ Z b” c’ e” a” c” YW d”
或
a’ e’
过平面内一点（C）， 且平行于平面内的一条直 线（AB），如直线CD 。 a
m'
X O X
n
O
(m)
铅垂面
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正垂面
26
讨论并作图：过正垂线可作哪些平面？ (迹线表示法)
PV SV
X OX O X
QV
RV
OX
O
（a ）给题
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（ b）作水平面
（c）作侧平面
（d）作正垂面 （有无穷多个）
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讨论并作图
过正平线可作哪些平面？(迹线表示法)
SH
g
V



X
O
Y

YH
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例4: 根据投影图，判断下列平面的空间位置
Z a X a c b YH a b c a c O b a b YH b c c O c Z b
YW X
a YW
水平面
铅垂面
用迹线表示的投影面 垂直面的投影
X
Z PV PW

PH
P

O YH
§２.2 直线的投影（续） §２.３ 平面的投影
两直线垂直（相交或交叉垂直）。 平面的表达法。 各种位置平面的投影特性及作图方法。
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两直线的相对位置
4.两直线垂直（相交或交叉）—直角投影定理 互相垂直的两直线（相交或交叉）中，有一 条直线平行于某一投影面时（条件） ，则两直线 在该投影面上的投影仍相交成直角（投影特性）； b’ 反之，亦成立。 a’
b’ B c’ A a’
c’
X
b
O
b
C c a
c
a
AB垂直于BC,且AB平行于H面,则有ab bc(相交垂直)。
AB垂直于MN,且AB平行于H面,则有ab mn。 (交叉垂直)
O
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3
例1: 过点A作线段EF的垂线AB，并使 AB平行于V 面。
b
b
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4
例2: 过点E作线段AB、CD的公垂线EF。 f e
水平面 正平面 侧平面 铅垂面 正垂面 侧垂面
只垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
投影面垂直面
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
投影面的平行面
1.水平面——平行于H面的平面 积聚性
V
积聚性
Z
P
X
P’ p
O
P”
YW
实形性
YH
水平面的投影特性：1.水平投影反映空间平面 的实形； 2.正面和侧面投影都积聚为一条直 线，且分别平行于OX轴和OY轴。
X
d’ b
O
e d c YH
例5：已知平面由直线AB、AC所确定， 试在平面内任作一条直线。
解法一：
m X a m b n c b n c O X a b d c
解法二：
b c
d
O
a
a 有多少解？
有无数解。
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平面上的点和直线
二、平面内的点：必在平面内的一直线上， 平面内定点须先定线。
b’ d’ b d e c YH Z c’ b” c” d” e” a” YW
例6：已知D点在ABC 平面内，补全其投影。
作图要点：1、先过点 的已知投影作平面内直 线的投影，并求出直线 的其它投影； 2、再在直线的其它投 影上求点的其它投影。
a’ X
e’
O
a
例7：已知点E 在 ABC上，试求点E 的正面投影 。