例谈共点、共线、共面问题

1 例谈共点、共线、共面、异面问题
一、共线问题
证明点共线，常常采用以下两种方法：①转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上；②证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点都在这条直线上．
1．如图1，正方体1111ABCD A B C D -中，1A C 与截面1DBC 交O 点，AC BD ，交M 点，求证：1C O M ，，三点共线．
证明：连结11A C ，1C ∈平面11A ACC ，且1C ∈平面1DBC ，
1C ∴是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点．
又M AC M ∈∴∈，平面11A ACC ．
M BD M ∈∴∈，平面1DBC ． M ∴也是平面11A ACC 与平面1DBC 的公共点．
1C M ∴是平面11A ACC 与平面1DBC 的交线．O 为1A C 与截面1DBC 的交点， O ∴∈平面11A ACC O ∈，平面1DBC ，即O 也是两平面的公共点．
1O C M ∈∴，即1C M O ，，三点共线．
2．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线（在同一条直线上）． 分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线． 证明 ∵ AB//CD ， AB ，CD 确定一个平面β．
又∵AB ∩α＝E ，AB β，∴ E ∈α，E ∈β，
即 E 为平面α与β的一个公共点．
同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点．
∵ 两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，
∴ E ，F ，G ，H 四点必定共线．
点 评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．
二、共点问题
证明线共点，就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点．解决此类问题的一般方法是：先证其中两条直线交于一点，再证该点也在其他直线上．
1.如图2，已知空间四边形ABCD
E F ，，分别是 AB AD ，的中点，G H ，分别是BC CD ，上的点， 且2BG DH GC HC
==，求证：EG FH AC ，，相交于同一点P ．
2 错解：证明：E 、F 分别是AB,AD 的中点, EF ∴∥BD,EF=21BD, 又2==HC DH
GC BG
,∴ GH ∥BD,GH=31BD,
∴四边形EFGH 是梯形，设两腰EG,FH 相交于一点T,
2=HC DH
,F 分别是AD.∴AC 与FH 交于一点.∴直线EG,FH,AC 相交于一点
正解：证明：
E F ，分别是AB AD ，的中点，
EF BD ∴∥，且12EF BD =．又2BG DH GC HC ==，
GH BD ∴∥，且13GH BD =． EF GH ∴∥，且EF GH >．
∴四边形EFHG 是梯形，其两腰必相交，设两腰EG FH ，相交于一点P ，
EG ⊂∵平面ABC FH ⊂，平面ACD ，P ∴∈平面ABC P ∈，平面ACD ，
又平面ABC 平面ACD AC P AC =∴∈，． 故EG FH AC ，，相交于同一点P ．
2. 如图，已知平面α，β，且α∩β＝l ．设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AB
α，CD β，求证：AB ，CD ，l
共点（相交于一点）． 分析：AB ，CD 是梯形ABCD 的两条腰，必定相交于一点M ，只要证明M 在l 上，而l 是两个平面α，β的交线，因此，只要证明M ∈α，且M ∈β即可．
证明： ∵ 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，
∴AB ，CD 是梯形ABCD 的两条腰．
∴ AB ，CD 必定相交于一点，
设 AB ∩CD ＝M ．
又∵ AB α，CD β，∴ M ∈α，且M ∈β．
∴ M ∈α∩β．
又∵ α∩β＝l ，∴ M ∈l ， 即 AB ，CD ，l
共点．
点 评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的．
三、共面问题
证明空间的点、线共面问题，通常采用以下两种方法：①根据已知条件先确定一个平面，再证明其他点或直线也在这个平面内；②分别过某些点或直线作两个平面，证明这两个平面重合．
1.如图3，设P Q R S M N ，，，，，分别为正方体1111ABCD A B C D -
的棱111111AB BC CC C D A D A A ，，，，，的中点，
求证：P Q R S M N ，，，，，共面．
3 证明：如图3，连结1A B MQ NR ，，．
P N ，分别为1AB A A ，的中点，1A B PN ∴∥．
111A D BC A M BQ ∴，∥∥． M Q ，分别为11A D BC ，的中点，1A M BQ ∴=．
∴四边形1A BQM 为平行四边形． 1A B MQ ∴∥．PN MQ ∴∥．
因此，直线PN MQ ，可确定一个平面α．
同理，由PQ NR ∥可知，直线PQ NR ，确定一个平面β． 过两条相交直线PN PQ ，有且只有一个平面，α∴与β重合，即R α∈．
同理可证S α∈． 因此，P Q R S M N ，，，，，共面．
2.已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面． 分析：弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交．在此基础上，根据平面的性质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内．
证明 1º若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点 A ∴ 直线d 和A 确定一个平面α．
又设直线d 与a ，b ，c 分别相交于E ，F ，G ，
则 A ，E ，F ，G ∈α．
∵ A ，E ∈α，A ，E ∈a ，
∴ a α．
同理可证 b α，c α．
∴ a ，b ，c ，d 在同一平面α内．
2º当四条直线中任何三条都不共点时，如图．
∵ 这四条直线两两相交，
则设相交直线a ，b 确定一个平面α．
设直线c 与a ，b 分别交于点H ，K ，
则 H ，K ∈α．
又∵ H ，K ∈c ，∴ c α．
同理可证 d α．∴ a ，b ，c ，d 四条直线在同一平面α内．
点 评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．
四、证明异面直线
1．如图正四面体中，D 、E 是棱PC 上不重合的两点；F 、H 分别是棱PA 、PB 上的点，且与P 点不重合．
求证：EF 和DH 是异面直线．。