工程力学教程 第九章

1.轮 解: 1.轮Ⅱ作平面运动
基点：A 基点
r r r 2.vD = vA +源自文库vDA = 0
vDA = vA = ωO ( r + r2 ) 1
r vDA vA ω = = = ωO 1+ 1 Ⅱ DA r2 r2 r r r ３. vB = vA + vBA
大小 ？ωO ( r + r2 ) ω r2 1 Ⅱ 方向 √ √ √
第九章 刚体的平面运动
§ 9-1
刚体平面运动的概述和运动分解
1.平面运动 1.平面运动
刚体平面运动： 刚体平面运动：行星齿轮
刚体平面运动： 刚体平面运动：车轮运动情况
在运动中， 在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相 等的距离，这种运动称为平面运动 平面运动。 等的距离，这种运动称为平面运动。 平面运动 平面图形的运动
3.DE作平面运动 3. 作平面运动
r r （ DE ( vE ) DE = vD） vE cos30o = vD vD vE = = 0.8m s o cos30
§ 9-3
1.定理 1.定理
基点： 基点：A
求平面图形内各点的瞬心法
r r r vM = vA + vMA
vM = vA − ω ⋅ AM
vA vA ωAB = = AC l sin ϕ
vB = ωAB ⋅ BC = vA cot ϕ
矿石轧碎机的活动夹板长600mm ，由曲柄 例 9-7 矿石轧碎机的活动夹板长 OE借连杆组带动，使它绕 轴摆动，如图所示。曲 借连杆组带动， 轴摆动， 借连杆组带动 使它绕A轴摆动 如图所示。 柄OE长100 mm，角速度为 长 ，角速度为10rad/s。连杆组由杆 ， 。连杆组由杆BG GD和GE组成，杆BG和GD各长 组成， 各长500mm。 和 组成 和 各长 。 当机构在图示位置时，夹板AB的角速度 的角速度。 求：当机构在图示位置时，夹板 的角速度。
vC = 0 ⇒ AC =
vA
ω
一般情况下,在每一瞬时, 一般情况下,在每一瞬时,平面图形上都唯一地存在一 个速度为零的点，称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。 个速度为零的点，称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。
2.平面图形内各点的速度分布 2.平面图形内各点的速度分布
基点： 基点：C
r r r r uuuu vM = vMC = ω × CM
解：1. AB作平面运动 作平面运动
基点： 基点： A
2.
r r r vB = vA + vBA ? √ √
大 ？ vA 小 方 √ 向
vB = vA cot ϕ
vA vBA = sin ϕ
vBA vA ωAB = = l l sin ϕ
如图所示平面机构中， 例9-2 如图所示平面机构中，AB=BD= DE= l=300mm。在图示位置时，BD∥AE，杆AB的角速度为 。在图示位置时， ， 的角速度为 ω=5rad/s。 。 此瞬时杆DE的角速度和杆 中点C的速度 的角速度和杆BD中点 的速度。 求：此瞬时杆 的角速度和杆 中点 的速度。
平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速 度中心转动的速度。 度中心转动的速度。
3.速度瞬心的确定方法 3.速度瞬心的确定方法
r r 的方向， 已知 v A , vB 的方向， r r v A不平行于 vB 。 且
r r vA // vB ,且不垂直于AB r r r vB = vA + vAB r ⇒ vBA = 0 ⇒ωAB = 0 r r r ⇒ vB = vA = vM
B
A
1.轮 作平面运动， 解: 1.轮Ⅰ作平面运动，瞬心为 C。 vO ω1l α = dω2 = 0 ω2 = = dt r r 2.选基点为 2.选基点为Ｏ
r r rt rn aA = aO + aAO + aAO 大 ? 小 方 ? 向 lω2 0 1
2 rω2
√ √
√
n aA = aO + aAO
方向由 B指向 A
平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随 图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。 图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。
如图所示，在外啮合行星齿轮机构中， 例9-8 如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系 杆以匀角速度ω 转动。大齿轮固定， 杆以匀角速度 1绕O1转动。大齿轮固定，行星轮半径 为r，在大轮上只滚不滑。设A和B是行星轮缘 上的两 ，在大轮上只滚不滑。 和 是行星轮缘 的延长线上， 在垂直于O 的半 点，点A在O1O的延长线上，而点 在垂直于 1O的半 在 的延长线上 而点B在垂直于 径上。 径上。 的加速度。 求：点A和B的加速度。 和 的加速度
r r r 3. vC = vB + vCB √ √
大 ？ ωl ωBDl 2 小 方 ? 向
2 2 vC = vB − vCB ≈1.299m s
方向沿BD杆向右
曲柄连杆机构如图所示， 例9-3 曲柄连杆机构如图所示，OA =r, AB= 3r。 如曲柄OA以匀角速度 转动。 以匀角速度ω转动 如曲柄 以匀角速度 转动。 的速度。 求：当ϕ = 0 ° , 60 ° , 90 ° 时点 B 的速度。
同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上 的投影相等。 的投影相等。
如图所示的平面机构中，曲柄OA长 例9-5 如图所示的平面机构中，曲柄 长 100mm，以角速度 转动。 ，以角速度ω=2rad/s转动。连杆 带动摇杆 转动 连杆AB带动摇杆 CD，并拖动轮E沿水平面纯滚动。已知：CD=3CB， ，并拖动轮 沿水平面纯滚动。已知： ， 沿水平面纯滚动 图示位置时A，B，E三点恰在一水平线上，且 图示位置时 三点恰在一水平线上， CD⊥ED。 ⊥ 。 求：此瞬时点 的速度。 此瞬时点E的速度 的速度。
瞬时平移(瞬心在无穷远处) 瞬时平移(瞬心在无穷远处)
纯滚动(只滚不滑) 纯滚动(只滚不滑)约束
运动方程
x = r (ωt − sinωt ) y = r (1− cosωt )
vx = rω(1− cosωt ) vy = rωsinωt
v |ϕ=2kπ = 0 ⇒瞬心 = C
基点 ：A 平移坐标系： 平移坐标系： Ax ' y '
r r rt rn a B = ae + ar + ar r r rt rn a B = a A + a BA + a BA
rt aBA
rn a BA
大小 a BA = AB ⋅ α
t
方向垂直于 AB ，指向同 α
n a BA = ω 2 ⋅ A B 大小
动点： 动点：M
求平面图形内各点速度的基点法
动系： ′ 平移坐标系) 动系： Ox′y′ (平移坐标系) 绝对运动 ：待求 相对运动 ：绕
O′ 点的圆周运动
牵连运动 ：平移
r r r r r ′ vM = ve + vr = vO′ +ω×OM
任意A， 两点 任意 ，B两点
r r r v =v +v
l2 2 2 = lω1 + ω1 r l 2 = lω1 (1+ ) r
r r rt rn 3. aB = aO + aBO + aBO 大 ? 小 方 ? 向
2 lω2 0 rω2 1 √ √ √
aB = a + ( a
2 O 2 1
2 n BO 2
)
l = lω 1+ r aO r θ = arctan n = arctan aBO l
解：1. AB作平面运动 作平面运动 r r r 2. vB = vA + vBA
大 ？ ωr ? 小 方 √ 向
ϕ = 60o
基点： 基点：A
√
√
vB = vA cos 30o = 2 3ωr 3
ϕ = 0
o
vB = 0
ϕ = 90o
vB = vA = ωr, vBA = 0
如图所示的行星轮系中，大齿轮Ⅰ固定， 例9-4 如图所示的行星轮系中，大齿轮Ⅰ固定，半 径为r 行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动，半径为r 径为 1 ，行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动，半径为 2。 系杆OA角速度为 系杆 角速度为 ωO 。 的角速度ω 及其上B， 两点的速度。 求：轮Ⅱ的角速度 Ⅱ及其上 ，C 两点的速度。
例9-9 如图所示，在椭圆规机构中，曲柄OD以匀角 如图所示，在椭圆规机构中，曲柄 以匀角 速度ω绕 轴转动。 速度 绕O 轴转动。OD＝AD＝BD＝l。 的角加速度和点A的加速度 求：当ϕ = 60° 时，尺AB的角加速度和点 的加速度。 的角加速度和点 的加速度。
作平面运动， 解：1. AB作平面运动，瞬心为 C。 作平面运动 。
=
+
一般刚体平面运动的分解 平面运动可取任意基点而分解为平移和转动，其中平移的 平面运动可取任意基点而分解为平移和转动， 速度和加速度与基点的选择有关， 速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角 速度和角加速度与基点的选择无关。 速度和角加速度与基点的选择无关。
§9-2
1.基点法 1.基点法
解： 1. AB作平面运动 作平面运动
r r （ AB ( vB ) AB = vA）
vB cos 30o = ω ⋅ OA
vB =
ω ⋅ OA
cos 30
o
= 0.2309m s
2.CD作定轴转动，转动轴：C 2. 作定轴转动，转动轴： 作定轴转动
vB vD = ⋅ CD = 3vB = 0.6928m s CB
vG = ωGE ⋅ GC =1.066m s 1
ωBG =
vG GC
2.杆BG作平面运动，瞬心为 。 杆 作平面运动 瞬心为C 作平面运动，
BC vB = ωBG ⋅ BC = vG ⋅ GC = vG cos60o
vB vG cos 60o ωAB = = = 0.888rad s AB AB
§9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度
作平面运动， 解: 1.杆GE作平面运动，瞬心为 C1 。 杆 作平面运动
OG = 800mm + 500mmsin15o = 929.4mm
EC1 = OC1 −OE = 3369mm OG GC1 = = 3591m m 0 sin 15
vE ω ⋅ OE ωGE = = = 0.2968rad s EC1 EC1
vD ω ⋅ l ωAB = = =ω CD l
2.选 为 点 D 基 aD = lω2 r r rt rn aA = aD + aAD + aAD
刚体平面运动的简化
2.运动方程 2.运动方程
xO′ = f1 ( t ) yO′ = f2 ( t ) ϕ = f3 ( t )
O′ − 基点 ϕ −转角
3.运动分析 3.运动分析
′ Ox′y′ − 平移坐标系 ′ 的平移+ 平面运动 = 随 Ox′y′ 的平移+绕 O′ 点的转动
1.BD作平面运动 解：1. 作平面运动 r r r 2. vD = vB + vDB
大 ？ ωl 小 方 √ 向 √ ? √
基点： 基点：B
vD = vDB = vB =ωl
vD vB ωDE = = = ω = 5rad s DE l vDB vB ωBD = = = ω = 5rad s BD l
2 2 vB = vA + vBA = 2ωO (r + r2 ) 1
r r r 4. vC = vA + vCA
vC = vA + vCA = 2ωO (r + r2 ) 1
2.速度投影定理 2.速度投影定理
由
r r r vB = vA + vBA
沿AB连线方向上投影 连线方向上投影
r r ( vB ) AB = ( vA ) AB
椭圆规尺的A端以速度 端以速度v 例 9-6 椭圆规尺的 端以速度 A沿x 轴的负向 运动，如图所示， 运动，如图所示，AB=l。 。 用瞬心法求B 求：用瞬心法求 端的速度以及尺AB的 端的速度以及尺 的 角速度。 角速度。
作平面运动， 解：AB作平面运动，速度瞬心为点 。 作平面运动 速度瞬心为点C。
B A
BA
其中
r vBA =
大小
vBA = AB ⋅ ω
方向垂直于 AB ，指向同 ω
平面图形内任一点的速度等于基点的速 度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。 度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。
椭圆规尺的A端以速度 端以速度v 例9-1 椭圆规尺的 端以速度 A沿x 轴的负向运 如图所示， 动，如图所示，AB=l。 。 端的速度以及尺AB的角速度 求：B端的速度以及尺 的角速度。 端的速度以及尺 的角速度。