总体分布的正态性检验

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数据统计处理基本命令
– 相关系数
MATLAB提供了corrcoef函数，可以求出数据的相关系数矩阵。 corrcoef函数的调用格式为： • corrcoef(X)：返回从矩阵X形成的一个相关系数矩阵。此相关系数矩 阵的大小与矩阵X一样。它把矩阵X的每列作为一个变量，然后求它 们的相关系数。 • corrcoef(X,Y)：在这里，X,Y是向量，它们与corrcoef([X,Y])的作用一 样。
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– 排序
MATLAB中对向量X是排序函数是sort(X)，函数返回一个对X中的元素 按升序排列的新向量。
sort函数也可以对矩阵A的各列或各行重新排序，其调用 格式为： [Y,I]=sort(A,dim)
其中dim指明对A的列还是行进行排序。若dim=1，则按列排；若dim=2， 则按行排。Y是排序后的矩阵，而I记录Y中的元素在A中位置。
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– 求和： • (1) sum(X)，返回向量X各元素的和。 • (2) sum(A) ，返回一个行向量，其第i个元素是 A的第i列的元素和。 • (3)sum(A,dim) ，当dim为1时，该函数等同于sum(A)；当dim为 2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素之和。 – 乘积： • (1) prod(X) ，返回向量X各元素的乘积。 • (2) prod (A) , 返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列元素的 乘积。 • (3) prod(A,dim) ，当dim为1时，该函数等同于prod(A)；当dim 为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素之乘积。
• 当随机变量X服从正态分布时
v1 0, v2 3
若X服从正态分布，当n充分大时
G1 G2 B3 6(n 2) ~ N (0, ) 3/2 B2 (n 1)(n 2)
Bk E{( X E( X ))k }, k 2, 3, 4
B4 6 24n(n 2)(n 3) ~ N (3 , ) 2 2 B2 n 1 (n 1) (n 3)(n 5)
• 随机变量X的偏度和峰度指的是X的标准化变量的 三阶矩和四阶矩：
X E( X ) 3 E ( X E ( X )) 3 v1 E[( ) ] ( D( X )) 3/2 D( X ) X E( X ) 4 E ( X E ( X )) 4 v2 E[( ) ] ( D( X )) 2 D( X )
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– 累加和与累乘积 在MATLAB中，使用cumsum和cumprod函数能方便地求得向量和矩 阵元素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式为： • cumsum(X)：返回向量X累加和向量。 • cumprod(X)：返回向量X累乘积向量。 • cumsum(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累加和向量。 • cumprod(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累乘积向量。 • cumsum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumsum(A)；当 dim为2时，返回一个矩阵，其第i行是A的第i行的累加和向量。 • cumprod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumprod(A)；当 dim为2时，返回一个向量，其第i行是A的第i行的累乘积向量。
• 3.用样本容量n和显著水平a查出临界值Dna； • 4.通过Dn与Dna的比较做出判断，若Dn＜Dna，则认 为拟合是满意的即接收H0。
x

• K-s检验只能做标准正态分布的检验，所以， 用该方法检验前先将数据中心化Z = ZSCORE(X) ，然后再对Z进行检验。
正态性方法比较
• 1.经常使用的拟合优度检验和Kolmogorov-Smirnov检 验的检验功效较低，在许多计算机软件的KolmogorovSmirnov检验无论是大小样本都用大样本近似的公式，很 不精准，一般使用Shapiro-Wilk检验和Lilliefor检验。 • 2. Kolmogorov-Smirnov检验只能检验是否一个样本来 自于一个已知样本，而Lilliefor检验可以检验是否来自未 知总体。 • 3. Shapiro-Wilk检验和Lilliefor检验都是进行大小排序 后得到的，所以易受异常值的影响。 • 4. Shapiro-Wilk检验只适用于小样本场合（3n50）,其 他方法的检验功效一般随样本容量的增大而增大。
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类似的用法，请自己借助matlab在线 帮助功能自己了解：
– 中位数：median(x) – 标准差：std(x) – 方差：var(x) – 偏度：skewness(x) – 峰度：kurtosis(x)
常见的概率分布
二项式分布 卡方分布 指数分布 F分布 几何分布 正态分布 泊松分布 T分布 均匀分布 离散均匀分布 Binomial Chisquare Exponential F Geometric Normal Poisson T Uniform
141 147 126 140 141 150 142 148 148 140 146 149 132 137 132 144 144 142 148 142 134 138 150 142 137 135 142 144 154 149 141 148 148 143 146 142 145 140 154 152 153 147 150 149 145 137 143 149 140 146 158 135 139 144 146 142 155 143 147 143 141 149 140 158 141 146 140 143 138 137 150 144 141 131 147 142 152 140 144 136 143 146 149 145
（二）k-s检验（D检验） • 用 Fn(x)表示样本量为n的随机样本观察值 的累计分布函数，且Fn(x) =i/n（i是等于 或小于x的所有观察结果的数目，i=1， 2，…，n）。F(x)表示正态分布的累计概 率分布函数。

K-S单样本检验通过样本的累计分布函数Fn(x)和 理论分布函数F(x)的比较来做拟合优度检验。检 验统计量是F(x)与Fn(x)间的最大偏差Dn：
z /4 1.96
计算样本中心距：
1 n k Ak X i n i 1 B2 A2 A12 , B3 A3 3 A2 A1 2 A13 B4 A4 4 A1 A3 6 A2 A12 3 A14
带入观察值得
g1 0.1363, g2 3.0948
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– 最值：max(x), min(x)
• (1) max(X)：返回向量X的最大值，如果X中包含复数元 素，则按模取最大值。 • (2) max(A)：返回一个行向量，向量的第i个元素是矩阵A 的第i列上的最大值。 • (3) [Y,U]=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量记录A的 每列的最大值，U向量记录每列最大值的行号。 • (4) max(A,[],dim)：dim取1或2。dim取1时，该函数和 max(A)完全相同；dim取2时，该函数返回一个列向量，其 第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值。
D n max F ( x) Fn ( x)


若对每一个x值来说， F(x)与Fn(x)都十分接近， 则表明实际样本的分布函数与理论分布函数的拟 合程度很高。
• 1.建立假设组： H0：Fn(x)=F(x) H1： Fn(x)≠ F(x) • 2.计算样本累计频率与理论分布累计概率的绝对差， 令最大的绝对差为Dn； Dn max F ( x ) Fn ( x ) ~ K 分布
非参数检验
正态检验法
• • • • 偏度、峰度检验法（样本容量大于100） K-s正态性检验 Lilliefor正态性检验 W检验（2<n ≤50 ）
（一）偏度、峰度检验法
• 由于中心极限定理知道，正态分布随机变量是较为 广泛地存在，因此，当研究一个连续型总体时候，往 往先考察它是否服从正态分布。上面介绍的拟合检验 法虽是一般方法，但他在检验正态时，犯第二类错误 的概率较大。下面来介绍“偏度、峰度检验法”，还 有 “夏丕罗-威尔克法”也较为有效。
U1
1
G1
1
6( n 2) ( n 1)( n 2)
U1 ~ N (0， 1)
U2 G2 2
2
2 =3
6 n 1
2
24n (n 2)( n 3) ( n 1) 2 ( n 3)( n 5)
U 2 ~ N (0， 1)
H0 : X 服从正态分布 H1 : X 不服从正态分布
检验统计量：
U1
1
G1
~ N (0， 1)
U2
G2 2
2
~ N (0， 1)
H0为真，当n充分大一般说来G1与v1的偏离不应 该太大，同样G2与v2的偏离也不应该太大。取显著 水平α下， H0的拒绝域为：
| u1 | z /4 或 | u2 | z /4
例1 下面给出了84个伊特拉斯坎（Etruscan）人 男子的头颅的最大宽度（mm）， 现在来画这些 数据的“频率直方图”.
• 5. 拟合优度检验和Kolmogorov-Smirnov检验 都采用实际频数和期望频数进行检验，前者既可 用于连续总体，又可用于离散总体，而 Kolmogorov-Smirnov检验只适用于连续和定量 数据。 • 6．拟合优度检验的检验结果依赖于分组，而其他 方法的检验结果与区间划分无关。 • 7.偏度和峰度检验易受异常值的影响，检验功效 就会降低。 • 8.假设检验的目的是拒绝原假设，当p值不是很大 时，应根据数据背景再作讨论。