第9章 膨胀波和激波

T2 2kMa12 sin 2 (k 1) 2 (k 1) Ma12 sin 2 [ ][ ] 2 2 T1 k 1 (k 1) Ma1 sin

其中以法向速度表示的马赫数为 ：
v1n v1 sin Ma1n Ma1 sin c1 c1
◆
斜激波前后的气流参数比
c2 2kMa12 sin 2 (k 1) 2 (k 1) Ma12 sin 2 0.5 {[ ][ ]} 2 2 c1 k 1 (k 1) Ma1 sin

音速比：

斜激波后的马赫数：
v2 n v2 sin( ) Ma2 sin( ) c2 c2
定产生一扇型膨胀波组，此扇型膨胀波是有无 限多的马赫波所组成 2.经过膨胀波组时，气流参数是连续变化的， 其速度增大，压强、密度和温度相应减小,流动过程为绝热等熵的膨 胀过程. 3.气流通过膨胀波组后，将平行于壁面OB流动. 4.沿膨胀波束的任一条马赫线，气流参数不变，固每条马赫线也是 等压线。而且马赫线是一条直线 . 5. 膨胀波束中的任一点的速度大小仅与 该点的气流方向有关.
k 1 2 Ma1 k 1 2 2 Ma1 k 1
T2 2kMa12 (k 1) 2 (k 1)Ma12 [ ][ ] 2 T1 k 1 (k 1)Ma1

5.声速比
6.马赫数比
c2 2kMa12 (k 1) 2 (k 1)Ma12 0.5 {[ ][ ]} 2 c1 k 1 (k 1)Ma1
上式表示微弱压缩波是以声速传播的. 将式（9－1）代入式（b）得波面后得气流速度
v ( p2 p1 )( 2 1 )
1 2

p1 p2 ( 1)(1 1 ) 1 p1 2
（9－2）
由此式可见，激波的强度越弱，气体的流速越低。如果是微弱的扰动 波，波面后的气体是没有运动的，即 p2 / p1 1 ， 2 / 1 1 ， v 0 。
Ma2 sin( ) Ma12 sin 2 (k 1) / 2 Ma1 sin kMa12 sin 2 (k 1) / 2

波前后马赫数的关系：
斜激波前气流的法向分速度是超音速，斜激波后的法 向分速度是亚音速。斜激波后的气流的速度，则根据切向 气流的分速度大小的不同，可能大于音速也可能小于音速。
第六节

拉瓦尔喷管内的正激波
当
pamb / p0 1 时，管内无流动。

当 pamb / p0 1时，管内发生流动。 随pamb的减小，速度逐渐增加， 当降低 pamb至一定的值，喉道处 将达到声速。在收缩段，气体 是等熵的亚声速流动状态，根 据可压缩流动的性质，即使 p 再下降，这里仍将保持压声速 流动，不会产生超声速流。
正激波的形成过程：见图9－7直圆管在活塞右 侧是无限延伸的，开始时管道中充满静止气体 如(a)所示，活塞向右突然作加速运动，在一 段时间内速度逐步加大到v，然后以等速v运动. 活塞表面靠近的气体依次引起微弱的扰动， 这些扰动波一个个向右传播。 如(b)所示，当活塞不断向右加速时，一道接 一道的扰动波向右传播，而且后续波的波速总 是大于现行波的波速，所以后面的波一定能追 上前面的波。 如(c)所示，无数个小扰动弱波叠加在一起形 成一个垂直面的压缩波，这就是正激波。
2 v12n v2 h2 n h0 h1 2 2
h1
v v h2 h0 2 2
◆
斜激波前后的气流参数比
2 1
k 1 2 Ma1 sin 2 k 1 2 2 Ma1 sin 2 k 1

密度比：

压强比：
温度比：
p2 2k k 1 Ma12 sin 2 p1 k 1 k 1
第二节
激 波
气流通过凹面时从B开始通道面逐 渐减小，在超声速流情况下,速度就会 逐渐减小，压强就会逐渐增大。与此同 时,气流的方向也逐渐转向，产生一系 列的微弱扰动，从而产生一系列的马赫波,这种马赫波称 为压缩波。气流沿整个凹曲面的流动，实际上是由这 一系列的马赫波汇成一个突跃面(图9－4)。气流经过 这个突跃面后，流动参数要发生突跃变化：速度会突 跃减小；而压强和密度会突跃增大。这个突跃面是个 强间断面，即是激波面。
◆
正激波和斜激波基本方程的对照表
正激波 速度下脚标 总焓 连续方程 动量方程 能量方程
，
斜激波 1n,2n
v h h0 t 2
0 2
1，2
h0
p1v1 p2 v2
2 p 2 p1 1v12 2 v2
2 1 2 2
p1n v1n p 2 n v2 n
2 p2 p1 1v12n 2v2 n
Ma2 Ma1 Ma12 (k 1) / 2 kMa12 (k 1) / 2

第四节 斜激波

当超音速气流流过图 中所示 的凹壁面时将产生斜激波,气 流的速度由超音速变为亚音 速，而且流动的方向也将发 ， 生变化。壁面的转折角为 用角标1和2分别表示波前和 波后，n和t分别表示速度与 激波面垂直和平行的分量， 激波与波前壁面的交角称激 波角，如图中 。

◆
气流通过激波时的基本方程

连续方程： 1v1n 2 v2n

法线方向动量方程： p2 p1 1v1n (v1n v2n )
能量方程： 由 得
切线方向动量方程： 1v1n (v2t v1t ) 0

2 v12 v2 h1 h2 h0 2 2
拉阀尔喷管 喷管前部进口处是滞止压强p0， 出口以后环境压强通常称为背压， 记以 。喉部的流动参量计以下 pb 标“cr”。
amb
第六节 拉瓦尔喷管内的正激波
（1）
在喷管上下游压强差的作用下，气体流过喷管。在 收缩段内是亚声速流，流动速度越来越快，压强不 断下降。在喉部，马赫数最大，但小于1，压强最低。 在扩张段内也是亚声速流，速度逐渐减慢，压强逐 步上升，在出口处，出口压 p 。 pamb pamb p1 （2）
（9－1 ）
1 1 1 2
二、正激波

2 / 1 增大），激波 由式（9－1）可见，随着激波强度的增大（ p2 / p1 ， 的传播速度也增大。若激波强度很弱，即 p2 / p1 1 ， 。 2 / 1 1 此时激波已成为微弱压缩波，则式（9－1）可写成：
vs p2 p1 2 1 dp c d
激波的相交
同侧激波的相交 在壁面的同一侧先后有两次转折， 产生两条斜激波AC和BC，这两 条斜激波相交于C后合成一条较 强的斜激波CD。斜激波AC和BC 在处A、B分别转折了 和 1 角 。 2
异向转折两斜激波的相交 超声速气流通过的管道两对壁 上都有转折处，上、下壁分别 在A1、A2处转折了1 , 2 角。 A1处发出的斜激波和A2发出 的斜激波相交于B处
第五节 激波的反射与相交

自由界面上的反射

在自由界面上的反射
在固体避面上的反射
λ型激波系

从等压自由界面发生出来的应是膨胀波。在固体壁面上反射 时反射斜激波的激波角会大于入射斜激波的激波角 。若转折 角大于该来流马赫数下的最大转折角，此时入射激波与反射 激波就会如图所示的那样，形成λ型的激波系
◆
二、正激波
激波的传播速度：
（1）v s －激波向右的传播速度，激波
后气体的运动速度则为活塞向右移动的 速度v ,见图9－8(a)
（2）当把坐标系建立在激波面上时， 激波前的气体以速度 v1 vs 向左流向 激波，经过激波后气体速度为 vs v , 见图9－8(b).
二、正激波

应用动量方程:
由上面三式可得
普朗特（Prandtl）关系式 ：
M a,1 M a,2 1
三、正激波前、后参数的关系式

1.速度比 2.压强比 3.密度比 4.温度比
p2 1 v2 1 ( 1)v1 2 kMa1 p1

p2 2k k 1 2 Ma1 p1 k 1 k 1

2 1
工程流体力学
第九章 膨胀波和激波
第一节

膨胀波
当超声速流流过凸 曲面或凸折面时，通道 面积加大，气流发生膨 胀，而在膨胀伊始因受 扰动而产生马赫波。这 种气流受扰后压强将下 降，速度将增大情况下 的马赫波称为膨胀波。 （ 图9-1、9-2)
◆膨胀波产生的特点：
1.超声速来流为定常二维流动,在壁面折转处必
A( p1 p2 ) A1vs [(vs v) vs ]
vs v p2 p1
1
(a)
A －为圆管横截面的面积
应用连续性方程： A1vs A2 (vs v)
v
2 1 vs 2
(b )
联立 ( a ) 和(b)
得正激波的传播速度 ：
vs p2 p1 2 2 1 1 p1 p2 1 p1
p1 p2 1T1 2T2
2
2
2
2
2Baidu Nhomakorabea
状态方程 ：
二、普朗特关系式
由能量方程和动量方程可得：
2 2 p2 p1 c2 c1 v1 v2 2 v2 1v1 kv2 kv1
而
c12
k 1 2 k 1 2 c v1 2 2
2 c2
k 1 2 k 1 2 c v2 2 2
第三节

正激波前后的参数关系
气体在绝热的管内流动产生正激波。激波上游 （波后）和下游（波前）的参数分别以下脚标“1”、 “2” 表示。设激波等速移动，并将坐标系固连在激波 上，这样无论激波运动与否，均可将激波视为静止 的。通常把这种激波叫做定常运动的正激波或驻址 正激波。若激波面的面积为A（垂直于纸面），并设 正激波前后的气流参数分别为 p2 2 T2 v2 p1 1 T v1 1 ， ， ，和 ， ， ， ， 则可以根据以下四个方程—连续性方程、动量方 程、能量方程和状态方程来建立正激波前后各参数 之间的关系式。
一、激波的分类

1. 斜激波（超声速气流 经过激波流动方向变化）
2.正激波 （超声速气流 经过激波流动方向不变化）

一、激波的分类

3.脱体激波（超声速气流
流过钝头物体产生的激波）
激波实例： 美军超音速飞机
激波的流动不能作为 等熵流动处理。但是， 气流经过激波可以看作是绝热过程。

6
二、正激波
v12 v12n v12t
2 2 2 v2 v2 v n 2t
2 v12n v2 vt21 n h1 h2 h0 h0 2 2 2
由上面的分析我们可以知道，气流通过斜激波时，只有法 向速度分量减小，而切向速度不变。同时气流通过斜激波 时，法向总焓的值没有变化。因此，可以将斜激波视为以 法向分速度为波前速度的正激波。
一、激波的基本控制方程
连续性方程： 动量方程： 能量方程： 或
1v1 2v2
p2 p1 1v1 2v2
2
2 2
2
v1 k p1 v2 k p2 2 k 1 1 2 k 1 2
v1 c v c k 1 c 1 2 1 2 k 1 2 k 1 k 1 2
p0 p0
p p1 amb 1 p0 p0
此时喉部达声速 ， ，在收缩段和扩张段均为 Mt 1 亚声速流。 p p2 p （3） amb 1 拉伐尔喷管内的流动
p0 p0 p0
在扩张段中将产生激波现象。喉部处的声速流进入扩张段后成为超声速流，而在 某处截面产生正激波，超声速流通过正激波后成为亚声速流，压强升高，直到出口 处达到了背压 p p 。激波的位置是和压强比有关的，随着背压的降低，激波逐 amb 渐从喉道移向出口处。当小于一定值后，激波移出管道成为斜激波，整个扩张段为 超声速流，并且不再随背压的变化而变。