人教版高中数学必修二2.1 平面 PPT课件
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高中数学人教A版必修课件:平面
②判断点在直线上.
高中数学人教A版必修2课件:2.1.1平 面(共2 2张PPT )
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随堂练习
1.如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之 间的位置关系.
a
B A
l
(1)
al
P
b
(2)
解:在(1)中, l,a A,a B.
平面公理 文字语言
存在性
基本性质2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平
面. 作用?
图形语言
确定平面的主要依据.
B
唯一性
A C
符号语言
不再一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面, 可以记成“平面ABC”.
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D A
C B
为了增强立体感,常常把被遮挡部分用虚线 画出来.
D
FC
A
E
B
被遮挡部分 用虚线表示
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平面的表示
常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边 形的一个角上,如平面α、平面β等;也可以用代表平 面的四边形的四个顶点,或者相对的两个顶点的大写 英文字母作为这个平面的名称.
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文字语言
平面公理
基本性质1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内.
作用?
判定直线是否在平面内.
图形语言
符号语言
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高中数学 2.1.1 平面 课件 新人教A版必修2
第三十页,共55页。
变式训练3:如图,已知平面α、β相交于l,设梯形ABCD中,AD∥BC,
且AB
α,CD β.
求证:AB、CD、l相交于一点.
第三十一页,共55页。
证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB、DC是梯形ABCD的两腰,∴AB
、DC必相交于一点,设AB∩DC=M,又∵AB α,CD
第十页,共55页。
3.准确理解公理的含义 公理1是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只
需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平 面内”是指“直线上的所有点都在平面内”. 公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要 依据.并可用来证“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在 一条直线上的三个点”这一条件.
∴P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q和R均在这条交线上. ∴P\,Q\,R三点共线.
第二十九页,共55页。
规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用.解决点共
线一般地先确定一条直线,再用平面的基本性质,证明其他的点 也在该直线上.直线共点问题的步骤:一先说明直线相交,二让交 点也在其他直线上.
第十七页,共55页。
变式训练1:判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)平面的形状是平行四边形;
(2)任何一个平面图形都是一个平面;
(3)圆和平面多边形都可以表示平面;
(4)因为
ABCD的面积大于
ABCD大于平面A′B′C′D′;
A′B′C′D的面积,所以平面
(5)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边 界线.
第四十四页,共55页。
7.三条直线相交于一点,可确定的平面有________个. 答案:1或3
变式训练3:如图,已知平面α、β相交于l,设梯形ABCD中,AD∥BC,
且AB
α,CD β.
求证:AB、CD、l相交于一点.
第三十一页,共55页。
证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB、DC是梯形ABCD的两腰,∴AB
、DC必相交于一点,设AB∩DC=M,又∵AB α,CD
第十页,共55页。
3.准确理解公理的含义 公理1是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只
需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平 面内”是指“直线上的所有点都在平面内”. 公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要 依据.并可用来证“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在 一条直线上的三个点”这一条件.
∴P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q和R均在这条交线上. ∴P\,Q\,R三点共线.
第二十九页,共55页。
规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用.解决点共
线一般地先确定一条直线,再用平面的基本性质,证明其他的点 也在该直线上.直线共点问题的步骤:一先说明直线相交,二让交 点也在其他直线上.
第十七页,共55页。
变式训练1:判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)平面的形状是平行四边形;
(2)任何一个平面图形都是一个平面;
(3)圆和平面多边形都可以表示平面;
(4)因为
ABCD的面积大于
ABCD大于平面A′B′C′D′;
A′B′C′D的面积,所以平面
(5)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边 界线.
第四十四页,共55页。
7.三条直线相交于一点,可确定的平面有________个. 答案:1或3
高中数学人教B版必修2配套课件:2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
第二章 2.1.2
平面直角坐标系中的基本公式
第二章
平面解析几何初步
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修2
课前自主预习
课堂典例讲练
方法警示探究 思想方法技巧
易错疑难辨析
课后强化作业
第二章
2.1 2.1.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修2
课前自主预习
[ 解析]
(1)∵|AB|= -7+32+22= 20,
|BC|= 1+32+6+22= 80, |AC|= 1+72+62= 100=10, ∴|AB|2+|BC|2=|AC|2, ∴△ABC是以∠B为直角的直角三角形. (2)∵△ABC为直角三角形,∴其外心为斜边AC的中点,
1-7 6+0 其坐标为 , 2 ,即(-3,3). 2
第二章
2.1 2.1.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修2
[正解]
(4,3)或(-2,-1)或(0,-5)
①当(1,1)与(2,-
1)为一条对角线的两端点时,第四个顶点的坐标为(4,3);②当 (1,1)与(-1,-3)为一条对角线的两端点时,第四个顶点的坐 标为 ( - 2 ,- 1) ;③当 (2 ,- 1) 与 ( - 1 ,- 3) 为一条对角线的
.又设C(x0,y0),则M为AC的中点,
x0=7 ,∴ y0=0
.∴C点坐标为(7,0).
第二章
2.1 2.1.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修2
[ 点评]
若给出平行四边形 ABCD 四点中三个 A、 B、 C ,
则 D 点是惟一的,如果该题不指出哪三个点,求第四个点坐 标,则第四个点坐标不惟一.
高中数学必修2第二章点直线平面之间的位置关系211平面及其表示法(含习题课)PPT课件
1,2,3(1)(2)
21
补充练习金太:阳教育网
l 1、A为直线 l上的点,又点A不在平面
与 的公共点最多有 _______1个.
品质来自专业 信赖源于诚信
内,则
2、四条直线过同一点,过每两条直线作一个平
面,则可以作_____1_或___4_或___6个不同的平面 .
22
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
2
金实太阳教例育网引入
品质来自专业 信赖源于诚信
观察活动室里的地面,它呈现出怎样的形象?
3
一.平面金太的阳教育概网 念:
品质来自专业 信赖源于诚信
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们
熟悉的平面形象,数学中的平面概念是现
实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征:
平面没有大小、厚薄和宽窄,平面在空 间是无限延伸的。
文字语金言太阳:教育网 公理1.如果一条直线上两点品信质赖在来源自于专诚一业信 个平面内,那么这条直线在此平
面内(即这条直线上的所有的点
23
点、线金、太阳面教之育网间的位置关系及语言表达
品质来自专业
信赖源于诚信
文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达
点A在直线a上 点A不在直线a上
A
a
A
a
A∈a A∈a
点A在平面α上 点A不在平面α上 直线a在平面α内
α
A
α
α
A
a a
A∈α A∈ α
aα
a b∩α=A
直线a在平面α外 α
A α
a∩α=φ 或 a∥α24
B A
B
CαA
C
公理2.过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.
高中数学必修二第二章第一节课件
如图2 1 21,已知两点Px1, y1 , Qx2, y2 ,如果 x1 x2,那么直线PQ 的斜率 slope为
k y2 y1 x1 x2 .
x2 x1
如果x1 x2,那么直线PQ的斜率不
存在(图2 1 22).
图2 1 2
y
l
第 2章 平面解析几何初步
如 果 代 数 与 几 何 各 自 分开 发 展, 那 它 的 进 步 将 十 分 缓 慢,而 且 应 用 范 围 也 很 有 限.但 若 两 者 互 相 结 合 而 共同 发 展, 则 就 会 互 相加 强, 并 以 快速 的 步 伐 向 着 完 美 化 的 方 向 猛 进.
点的集合是一条曲线.
我 们 知 道, 直 线 和 圆 是 基 本 的 几 何图 形.那 么 如何建立它们的方程? 如何通过方程来研究它们的性质?
2.1 直线与方程
高二(19)
直 线 是 最 常 见 的 图 形, 过 一 点 沿 着 确 定 的 方 向 就 可 以 画 出 一 条 直 线.
为 什 么?
在直角坐标系中, 对于一条与x 轴相交的直线,把 x 轴所在 的 直 线 绕 着 交 点 按 逆 时针 方 向 旋 转 到 和 直 线 重合 时 所 转
过的最小正角称为这条直线的倾 斜 角(inclination),并规定:
y B
A
O
N
图2 1 51
与 x 轴 平 行 或 重 合 的 直 线 的倾 斜 角 为00 . 由定义可知,直线的倾斜角 的取值范 围是00 1800 . 当 直 线 的 斜 率 为 正 时, 直 线 的 倾 斜 角
x 为锐角图2 1 51,此时,
k y BN tan .
k y2 y1 x1 x2 .
x2 x1
如果x1 x2,那么直线PQ的斜率不
存在(图2 1 22).
图2 1 2
y
l
第 2章 平面解析几何初步
如 果 代 数 与 几 何 各 自 分开 发 展, 那 它 的 进 步 将 十 分 缓 慢,而 且 应 用 范 围 也 很 有 限.但 若 两 者 互 相 结 合 而 共同 发 展, 则 就 会 互 相加 强, 并 以 快速 的 步 伐 向 着 完 美 化 的 方 向 猛 进.
点的集合是一条曲线.
我 们 知 道, 直 线 和 圆 是 基 本 的 几 何图 形.那 么 如何建立它们的方程? 如何通过方程来研究它们的性质?
2.1 直线与方程
高二(19)
直 线 是 最 常 见 的 图 形, 过 一 点 沿 着 确 定 的 方 向 就 可 以 画 出 一 条 直 线.
为 什 么?
在直角坐标系中, 对于一条与x 轴相交的直线,把 x 轴所在 的 直 线 绕 着 交 点 按 逆 时针 方 向 旋 转 到 和 直 线 重合 时 所 转
过的最小正角称为这条直线的倾 斜 角(inclination),并规定:
y B
A
O
N
图2 1 51
与 x 轴 平 行 或 重 合 的 直 线 的倾 斜 角 为00 . 由定义可知,直线的倾斜角 的取值范 围是00 1800 . 当 直 线 的 斜 率 为 正 时, 直 线 的 倾 斜 角
x 为锐角图2 1 51,此时,
k y BN tan .
人教A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系课件
C D
B A
C1 D1
B1 A1
知识小结
实例引 入平面
平面的画 法和表示
点和平面的 位置关系
平面三 个公理
空间图形
文字叙述
符号表示
2.1.2空间中两直线的位置 关系
平面有知识(复习 )
判断下列命题对错: 1、如果一条直线上有一个点在一个平面上,则这条直线上
的所有点都在这个平面内。( )
2、将书的一角接触课桌面,这时书所在平面和课桌所在平
直线。(既不相交也不平行的两条直线) 判断:
(1)
m
β
m
l
α
l
直线m和l是异面直线吗?
(2)
,则 与 是异面直线
(3)a,b不同在平面 内,则a与b异面
异面直线的画法:
通常用一个或两个平面来衬托,异面直线
不同在任何一个平面的特点
a
b
b
a
b
a
2、空间中两直线的三种位置关系
1、相交
m P
l
2、平行
m l
b′
平
a′ θ O
移
若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ的取值范围:
例 3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段所
成的角:
D1
C1
1)AB与CC1; 2)A1 B1与AC; A1
B1
3)A1B与D1B1。
1)AB与CC1所成的角 = 9 0°
4、平面的基本性质
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,
那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号表示为:
P l, Pl.
高中数学必修二2.1.1课件
(2)在“A∈α,A∉α,l⊂α”中视“A”为平面 α(集合)上的点(元 素),直线 l(集合)视为平面 α(集合)的子集.明确这一点,才能正确 使用集合符号.
典例剖析 题型一 平面概念的理解 【例 1】 下列对平面的描述语句: ①平静的太平洋面就是一个平面; ②8 个平面重叠起来比 6 个平面重叠起来厚; ③四边形确定一个平面; ④平面可以看作空间的点的集合,它当然是一个无限集. 其中正确的是________. 思路点拨:利用平面的概念来解答.
BD.
①
②
2.点、线、面之间的关系 (1)直线在平面内概念: 如果直线 l 上的_所__有__点___都在平面 α 内,就说直线 l 在平面 α 内,或者说___平__面___α_经__过__直__线___l__.
(2)一些文字语言与数学符号的对应关系:
文字语言表达 数学符号表示
文字语 言表达
数学符号表示
【解析】
序号 正误
原因分析
①
×
太平洋面只是给我们以平面的形象,而 平面是抽象的,可无限延展的
② × 平面是无大小、无厚薄之分的
③
×
如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能 确定一个平面
④ √ 平面是空间中点的集合,是无限集
【答案】AC
要点阐释 1.平面的概念 “平面”是一个只描述而不定义的原始概念(像“点”、“直 线”、“集合”等概念一样),常见的桌面、黑板面、平静的水面 等都给我们以平面的形象,几何里的平面就是从这些物体抽象出来 的.
2.平面的画法及表示 当我们从适当的角度和距离观察桌面或黑板面时,感到它们都 很像平行四边形,因此立体几何中我们通常用平行四边形来表示平 面.当平面水平放置时,通常把平行四边形的锐角画成 45°,横边 画成邻边的 2 倍长.如图 1 所示.
典例剖析 题型一 平面概念的理解 【例 1】 下列对平面的描述语句: ①平静的太平洋面就是一个平面; ②8 个平面重叠起来比 6 个平面重叠起来厚; ③四边形确定一个平面; ④平面可以看作空间的点的集合,它当然是一个无限集. 其中正确的是________. 思路点拨:利用平面的概念来解答.
BD.
①
②
2.点、线、面之间的关系 (1)直线在平面内概念: 如果直线 l 上的_所__有__点___都在平面 α 内,就说直线 l 在平面 α 内,或者说___平__面___α_经__过__直__线___l__.
(2)一些文字语言与数学符号的对应关系:
文字语言表达 数学符号表示
文字语 言表达
数学符号表示
【解析】
序号 正误
原因分析
①
×
太平洋面只是给我们以平面的形象,而 平面是抽象的,可无限延展的
② × 平面是无大小、无厚薄之分的
③
×
如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能 确定一个平面
④ √ 平面是空间中点的集合,是无限集
【答案】AC
要点阐释 1.平面的概念 “平面”是一个只描述而不定义的原始概念(像“点”、“直 线”、“集合”等概念一样),常见的桌面、黑板面、平静的水面 等都给我们以平面的形象,几何里的平面就是从这些物体抽象出来 的.
2.平面的画法及表示 当我们从适当的角度和距离观察桌面或黑板面时,感到它们都 很像平行四边形,因此立体几何中我们通常用平行四边形来表示平 面.当平面水平放置时,通常把平行四边形的锐角画成 45°,横边 画成邻边的 2 倍长.如图 1 所示.
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答案
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 旋转体的结构特征 例1 判断下列各命题是否正确: (1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线; 解 错. 由圆柱母线的定义知,圆柱的母线应平行于轴.
解析答案
(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几 何体是圆台; 解 错. 直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与 一个圆锥组成的简单组合体,如图所示.
答案
球的结构特征
球
图形及表示
定义:以 半圆的直径 所在直线为旋转轴, 半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体, 简称球
相关概念: 球心:半圆的 圆心 半径:半圆的 半径 直径:半圆的 直径
图中的球表示为: 球O
答案
知识点五 简单组合体
思考 下图中的两个空间几何体是柱、锥、台、球体中的一种吗? 它们是如何构成的?
课
时
上看是由八个圆柱组合成的一个组合体,我们周围的很多建筑物
栏 目
和它一样,也都是由一些简单几何体组合而成的组合体.本节我
开 关
们就来学习旋转体与简单组合体的结构特征.
填一填 研一研 练一练
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 圆柱的结构特征
问题 1 如图所示的空间几何体叫做圆柱,那么圆
柱是怎样形成的呢?与圆柱有关的几个概念是
为旋转轴,将直角梯形绕旋转轴旋转一周而形成的旋转
体叫做圆台
相关概念:
圆台的轴: 旋转轴
圆台的底面: 垂直于轴 的边旋转一周所形成的圆面
圆台的侧面: 不垂直于轴 的边旋转一周所形成的曲面 图中圆台表示为:
母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边
人教A版高中数学必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系课件(5)
4.等角定理的推论是什么? 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.
5.什么是异面直线?什么是异面直线所成的角?
什么是异面直线垂直?
精品PPT
一、研探新知
(1)一支笔所在直线与一个作业本所在 的平面,可能有几种位置关系?
(2)如图,线段A´B所在直线与长方体 ABCD-A´B´C´D´的六个面所在平面有几 种位置关系?
图形
b
a
文字语言(读法)
两直线共面且无公 共点两直线平行
符号语言
a∥b
Ab
a
两直线共面且有一个 公共点两直线相交
aIbA
b
a
两直线不共面且无 公共点两直线异面
a、b异面
精品PPT
(3)空间中线与面的位置关系
图形
a
a
A
文字语言(读法)
直线与平面无公共点 直线与平面平行
直线与平面有一个公 共点直线与平面相交
③ 精品PPT
如何用符号语言表示直线与平面的位置关系:
(1)直线在平面内-----有无数个公共点
a 如图:
a
a (2)直线在平面外:
a
.A
①直线a和面α相交 :
a A 如图:
②直线a和面α平行 :
a
a // 如图:
精品PPT
三、尝试 练习
X X X
例1、判断下列命题的正确
(1)若直线l上有无数个点不在平面 内,则
2、若直线a在平面α外,则a ∥α; ( ) ×
3、若直线a∥b,直线b α,则a∥α; ( ) ×
4、若直线a∥b,b α,那么直线a就平行于平面α内
的无数条直线;
5.什么是异面直线?什么是异面直线所成的角?
什么是异面直线垂直?
精品PPT
一、研探新知
(1)一支笔所在直线与一个作业本所在 的平面,可能有几种位置关系?
(2)如图,线段A´B所在直线与长方体 ABCD-A´B´C´D´的六个面所在平面有几 种位置关系?
图形
b
a
文字语言(读法)
两直线共面且无公 共点两直线平行
符号语言
a∥b
Ab
a
两直线共面且有一个 公共点两直线相交
aIbA
b
a
两直线不共面且无 公共点两直线异面
a、b异面
精品PPT
(3)空间中线与面的位置关系
图形
a
a
A
文字语言(读法)
直线与平面无公共点 直线与平面平行
直线与平面有一个公 共点直线与平面相交
③ 精品PPT
如何用符号语言表示直线与平面的位置关系:
(1)直线在平面内-----有无数个公共点
a 如图:
a
a (2)直线在平面外:
a
.A
①直线a和面α相交 :
a A 如图:
②直线a和面α平行 :
a
a // 如图:
精品PPT
三、尝试 练习
X X X
例1、判断下列命题的正确
(1)若直线l上有无数个点不在平面 内,则
2、若直线a在平面α外,则a ∥α; ( ) ×
3、若直线a∥b,直线b α,则a∥α; ( ) ×
4、若直线a∥b,b α,那么直线a就平行于平面α内
的无数条直线;
甘肃省武威市高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面课件新人教A版必修2
点在直线上 点不在直线上
点在平面内 点不在平面内 直线a、b交于点A
A
A
A
A
b a
a b A
图形
符号语言
a
a
a
文字语言(读法)
a
a
A
a A
l
直线a在平面 内 直线a与平面 无公共点 直线a与平面 交于点A 平面 与 相交于直线 l
2、平面的画法
平面通常画成一个平行四边形,锐角通常 画成45°,且横边等于其邻边长的2倍 .
D
C
B
A
3、记法 ①平面α 、平面β 、平面γ (标记在锐角上) ②平面ABCD
③平面AC 或平面BD
4、相交平面画法:
β
β
α
α β α
画两个平面相交时,当一个平面的一部分被 另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成 虚线或不画
3.经过两条平行直线,有且只有一个平面.
探究三
把三角板的一个角立在课桌面上,三角板所在平 面与桌面所在平面是否只相交于一点B?为什么?
B
B
公理3
文字语言 如果两个不重合的平面有一个公共
点,那么它们有且只有一条过该点的公共直 线.
图形语言 符号语言
l P
P ,P l, 且P l
D A
B
A1
l
F1
C D1 B1 E1 C1
证明三点共线的方法: 1、先证直线为两平面的交线; 2、再证三点分别在两平面上。
证明:ABCD所在平面为 A , B AB
A1 AB A1 A1 A1在平面与平面的交线上
高中数学 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 新人教A版必修2
符号表示:P ∈α ∩β α ∩β = l,且 P ∈l。
公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据。
精品课件
例1、用符号表示下列图形中点、直线、平 面之间的关系。
解 :左边的图中, α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B。 右边的图中, α∩β=l,a α,b β, a∩l=P,b∩l=P。
精品课件
新疆 王新敞
奎屯
求证: P 在直线 BD 上新疆 王新敞 奎屯
A
P EH
D
G
B
C
F
精品课件
证明:∵ EH FG P ,∴ PEH , P FG , ∵ E, H 分别属于直线 AB, AD , ∴ EH 平面 ABD,∴ P 平面 ABD, 同理: P 平面 CBD , 又∵平面 ABD 平面 CBD BD ,
集合中“∈”的符号只能用于点与直线,点与平面的关系,“ ”和“∩”的符号只能
用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系,虽然借用于集合符号,但在读法上仍用
几何语言.(平面α外的直线 a)表示 a (平面α外的直线 a)表示 a 或 a A.
精品课件
问题4:如果直线l与平面α有一个公共点P,直线l是否在平面α内? 直线l不一定在平面α内。
答案:(1)×(2)√(3)×(4)√
精品课件
2.①一条直线与一个平面会有几种位置关系
.
②如图所示,两个平面、,若相交于一点,则会发生什么现象.
③几位同学的一次野炊活动,带去一张折叠方桌,不小心弄坏了桌脚,
有一生提议可将几根一样长的木棍,在等高处用绳捆扎一下作桌脚(如图
所示),问至少要几根木棍,才可能使桌面稳定?
(5)
直线在平面内
aα
直线与平面相交
公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据。
精品课件
例1、用符号表示下列图形中点、直线、平 面之间的关系。
解 :左边的图中, α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B。 右边的图中, α∩β=l,a α,b β, a∩l=P,b∩l=P。
精品课件
新疆 王新敞
奎屯
求证: P 在直线 BD 上新疆 王新敞 奎屯
A
P EH
D
G
B
C
F
精品课件
证明:∵ EH FG P ,∴ PEH , P FG , ∵ E, H 分别属于直线 AB, AD , ∴ EH 平面 ABD,∴ P 平面 ABD, 同理: P 平面 CBD , 又∵平面 ABD 平面 CBD BD ,
集合中“∈”的符号只能用于点与直线,点与平面的关系,“ ”和“∩”的符号只能
用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系,虽然借用于集合符号,但在读法上仍用
几何语言.(平面α外的直线 a)表示 a (平面α外的直线 a)表示 a 或 a A.
精品课件
问题4:如果直线l与平面α有一个公共点P,直线l是否在平面α内? 直线l不一定在平面α内。
答案:(1)×(2)√(3)×(4)√
精品课件
2.①一条直线与一个平面会有几种位置关系
.
②如图所示,两个平面、,若相交于一点,则会发生什么现象.
③几位同学的一次野炊活动,带去一张折叠方桌,不小心弄坏了桌脚,
有一生提议可将几根一样长的木棍,在等高处用绳捆扎一下作桌脚(如图
所示),问至少要几根木棍,才可能使桌面稳定?
(5)
直线在平面内
aα
直线与平面相交
人教A版 必修二 第2章 2.1 2.1.3 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
判断直线与平面的位置关系
例 1:两条相交直线 a、b 都在平面α内且都不在平面β内, ) 且平面α与β相交,则 a 和 b( A.一定与平面β都相交 B.至少一条与平面β相交 C.至多一条与平面β相交 D.可能与平面β都不相交 思维突破:设α∩β=c,∵若 a、b 都不与β相交,则 a∥c, b∥c,∴a∥b,这与 a、b 相交矛盾,故 a、b 中至少一条与β相 交. 答案:B
高中数学人教版必修2课件
解:(1)(2)是真命题,(3)(4)是假命题.
(3)会出现三点在这个平面的两侧且符合条件的情况,所以
这两个平面还可能相交. (4)会出现两个相交平面同时与另外一个平面垂直的情况, 如正方体中共顶点的三个面. 要判断一个命题是假命题,只需举出一个 反例;而要想说明一个命题是真命题,则需理论上的证明.
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1-1.下列命题:①若直线 l 平行于平面α内的无数条直线, 则 l∥α;②若直线 a 在平面α外,则 a∥α;③若直线 a∥b,直 线 b⊂α,则 a∥α;④若直线 a∥b,b⊂α,那么直线 a 就平行 于平面α内的无数条直线.其中真命题的个数为( A.1 个 B.2 个 A )
作AB⊥平面α于点B,BC⊥a1 于点C,BD⊥b1 于点D,记∠AOB
=θ1,∠BOC=θ2,(θ2=25°或65°), 则有cosθ=cosθ1· cosθ2, 因为0°≤θ≤90°,所以0≤cosθ≤cosθ2.
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当θ2=25°时,由θ≤cosθ≤cos25°,得 25°≤θ≤90°. 当θ2=65°时,由θ≤cosθ≤cos65°,得 65°≤θ≤90°. 故当θ<25°时,直线 l 不存在;
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数学:2.1.1《平面》课件(新人教A版必修2)
β
l
典型例题
如图,用符号表示下列图形中点、直线、 例1 如图,用符号表示下列图形中点、直线、平 面之间的位置关系. 面之间的位置关系.
β
a
α
A l
α
a l b P (2) )
B
β
(1) )
解:在(1)中, α ∩ β = l, a ∩α = A, a ∩ β = B. 在(2)中, α ∩ β = l, a α, b β , a ∩l = P, b ∩l = P.
α
A
A ∈ l, B ∈ l, A ∈α , B ∈α l α
作用: 作用: 判定直线是否在平面内. 判定直线是否在平面内.
图形、文字、符号 图形、文字、
l A A 在直线l上 点A在直线 上. 在直线
A∈ l
l
点A在直线l外.
A l
l A
α
α
A
l B
直线l在平面 直线 在平面 α 外.
l α
随堂练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1中,判断下列命题是否 正确,并说明理由: 正确,并说明理由: ①直线 AC1在平面 CC1 B1 B 内;错误
CB AD源自C1 D1A1B1
随堂练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,判断下列命题是否 正确,并说明理由: 正确,并说明理由: 设正方形ABCD与 A1 B1C1D1 的中心分别为 O1 的中心分别为O, ②设正方形 与 , AA1C1 BB1 D1 D 则平面 与平面C 的交线为 ; OO1
平面公理
公理1 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内. 那么这条直线在此平面内. l B
高中数学人必修二课件平面与平面平行的判定
高中数学人必修 二课件平面与平 面平行的判定
汇报人:
目录
01
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04
平面与平面平行的 判定定理的应用
02
平面与平面平行的 判定方法
05
平面与平面平行的 判定定理的证明方 法
03
平面与平面平行的 性质
定义法
两个平面平行的定义:如果两个平面没有公共点,那么这两个平面平行。
两个平面平行的判定方法:如果两个平面的法向量平行,那么这两个平面平行。
应用场景:在几何、物理等领域 中,常常需要判定一个点是否与 平面共面。
判定定理:如果一个点在平面内, 且与平面内其他三个点构成的向 量共面,则该点与平面共面。
判定方法:利用向量叉积为零的 性质,判断该点与平面内任意两
向量构成的向量是否共线。
注意事项:在三维空间中,点与平 面的位置关系有三种:点在平面内、
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平行公理的推论
如果一个平面内的一条直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行。 如果两个平面都与第三个平面平行,那么这两个平面平行。 如果两个平面都与第三个平面垂直,那么这两个平面平行。 如果两个平面都与第三个平面相交,那么这两个平面不平行。
判定两平面是否平行
定理:如果两个平面的法向量 平行,那么这两个平面平行
平行公理的应用:平行公理是平面几何中的基本公理之一,可以用来证明其他几何命题。 平行公理的局限性:平行公理在非欧几何中并不成立,因此需要引入其他公理来代替。
反证法
单击此处输入你的项正文,文字是您思想的提炼,请尽量言简意赅的阐述观点;
a. 假设两个平面不平行 b. 推导出矛盾 c. 得出结论:两个平面平行
例子:在几何图形中,如果已知一条直 线与一个平面内的两条相交直线都平行,
汇报人:
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04
平面与平面平行的 判定定理的应用
02
平面与平面平行的 判定方法
05
平面与平面平行的 判定定理的证明方 法
03
平面与平面平行的 性质
定义法
两个平面平行的定义:如果两个平面没有公共点,那么这两个平面平行。
两个平面平行的判定方法:如果两个平面的法向量平行,那么这两个平面平行。
应用场景:在几何、物理等领域 中,常常需要判定一个点是否与 平面共面。
判定定理:如果一个点在平面内, 且与平面内其他三个点构成的向 量共面,则该点与平面共面。
判定方法:利用向量叉积为零的 性质,判断该点与平面内任意两
向量构成的向量是否共线。
注意事项:在三维空间中,点与平 面的位置关系有三种:点在平面内、
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平行公理的推论
如果一个平面内的一条直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行。 如果两个平面都与第三个平面平行,那么这两个平面平行。 如果两个平面都与第三个平面垂直,那么这两个平面平行。 如果两个平面都与第三个平面相交,那么这两个平面不平行。
判定两平面是否平行
定理:如果两个平面的法向量 平行,那么这两个平面平行
平行公理的应用:平行公理是平面几何中的基本公理之一,可以用来证明其他几何命题。 平行公理的局限性:平行公理在非欧几何中并不成立,因此需要引入其他公理来代替。
反证法
单击此处输入你的项正文,文字是您思想的提炼,请尽量言简意赅的阐述观点;
a. 假设两个平面不平行 b. 推导出矛盾 c. 得出结论:两个平面平行
例子:在几何图形中,如果已知一条直 线与一个平面内的两条相交直线都平行,
高中人教版必修2数学课件第二章2.1.2精选ppt课件
() A.2 对
B.3 对
C.6 对
D.12 对
解析:选 C.如图所示,在长方体 AC1 中,与对角线 AC1 成异面 直线位置关系的是:A1D1、BC、BB1、DD1、A1B1、DC,所以 组成 6 对异面直线.
3.如图,点 G、H、M、N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中 点,则表示直线 GH,MN 是异面直线的图形是________.
(1)判断两直线平行仍是立体几何中的一个重要组成部分,除了 平面几何中常用的判断方法以外,公理 4 也是判断两直线平行的 重要依据. (2)证明角相等,利用空间等角定理是常用的思考方法;另外也 可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等.在应用等 角定理时,应注意说明这两个角同为锐角、直角或钝角.
(2)异面直线所成的角 两条异面直线所成的角是由两条相交直线所成的角扩充而成的, 由平移原理可知,当两条异面直线在空间的位置确定后,它们所 成的角的大小也就随之确定了.
1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )
A.异面
B.平行
C.相交
D.以上均有可能
答案:D
2.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有
章 点、直线、面之间的位置关系
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1.会判断空间两直线的位置关系. 2.理解两异面直线的 定义,会求两异面直线所成的角. 3.能用公理 4 解决一些简单的相关问题.
1.空间直线的位置关系 (1)异面直线 ①定义:把不同在_任__何__一__个__平面内的两条直线叫做异面直线. ②画法:(通常用平面衬托)
A.6 C.5 答案:B
B.4 D.8
3.若正方体 ABCD-A1B1C1D1 中∠BAE=25°.
人教A版高一数学必修2人教版精品课件第2章 2.1 2.1.1《平面》
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2.下列命题正确的是( C ) A.因为直线向两方无限延伸,所以直线不可能在平面内 B.如果线段的中点在平面内,那么线段在平面内 C.如果线段上有一个点不在平面内,那么线段不在平面内 D.当平面经过直线时,直线上可以有不在平面内的点 3.下列说法中正确的是( C ) A.两个平面相交有两条交线 B.两个平面可以有且只有一个公共点 C.如果一个点在两个平面内,那么这个点在两个平面的交 线上 D.两个平面一定有公共点
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例 4:如图 5,在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,E、F 分别是 AA′、AB 上一点,且 EF∥CD′,求证:平面 EFCD′、 平面 AC 与平面 AD′两两相交的交线 ED′、FC、AD 交于一点.
图5
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错因剖析:遇到此类证明多线共点问题,找不到解决问题 的突破口.
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正确地用图形和符号表示点、直线、平面以 及它们之间的关系.点看成是元素,线、面看成是点的集合, 所以点与线、面的关系用“∈、∉”表示,线与线、线与面及面 与面的关系用“⊂、⊄”表示.
1-1.试用集合符号表示下列各语句,并画出图形: (1)点 A 在平面α内,但不在平面β内; (2)直线 l 经过平面α外一点 P,且与平面α相交于点 M; (3)平面α与平面β相交于直线 l,且 l 经过点 P.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平面
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1.下列命题正确的是( C ) A.画一个平面,使它的长为 14 cm,宽为 5 cm B.一个平面的面积可以是 16 m2 C.平面内的一条直线把这个平面分成两部分,一个平面把 空间分成两部分 D.10 个平面重叠起来,要比 2 个平面重叠起来厚
高中数学新人教A版必修2 第2章 2-1空间点、直线、平面的位置关系
A B
AB
B
A
作用:用于判定线在面内
小结:公理2及其推论 A,B,C不共线
A,B,C确定一平面.
A∈ a
A和a确定一平面.
aIb=P
a和b确定一平面.
ab
a和b确定一平面.
作用:用于确定一个平面.
A
B C
Aa
aP
b
a
b
公理3:若两个不重合平面有一个公共点, 则它们有且只有一条过该点的公共直线。
空间中基本图形:点、线、面
一、平面的表示方法
1.特点:平面是无限延展,没有厚度的.
(但常用平面的一部分表示平面)
2.画法:水平或竖直的平面常用平行四边形表示.
D
D
C
C
A
B
A
3.记法:
B
①平面α、平面β、平面γ(标记在边上)
②平面ABCD、平面AC或平面BD
巩固:判断下列各题的说法正确与否,在正 确的说法的题号后打 ,否则打 .
CA
C (G)
A
G
E
H
DB
HE F
D
B(F)
空间两条不重合直线的位图关系有且只有三种:
若从有没有公共点的角度来看,可分为两类 :
(1) 有且仅有一个公共点相交直线
(
2)
没有公共点
平行直线 异面直线
若从有没有共面的角度来看,也可分为两类:
(1)
在同一个平面内
相交直线 平行直线
( 2)不同在任何一个平面内异面直线
A1
B1
(2) 直线MB1与CC1异面直线关系
主要特征:既不平行,也不相交
异面直线的定义:
D A
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应用1: 几位同学的一次野炊活动,带去一 张折叠方桌,不小心弄坏了桌脚,有一生提 议可将几根一样长的木棍,在等高处用绳 捆扎一下作桌脚(如图所示),问至少要
答:至少3根
应用2:过空间中一点可以做几个平面? 过空间中两点呢?三点呢?
结论:过空间中一点或两点可以做无数 个平面,过空间中不共线的三点只能做一个, 否则有无数个。
A
B
结论2 :空间中线与面的位置关系
直线a在平面a内 记作:a
直线a在平面a外
记作:a a
a
强调: 空间中点与线(面)只有∈和 空间中线与面只有 与 推导符号“ 条件
关系 的关系
”的使用: 条件1 结论 结论 条件2
}
思考2:固定一扇门需要几样东西?
回答:确定一个平面需要什么条件?
第二章空间点、直线、平面之间的位置关系
复习引入
1、初中《几何》中我们认识了哪些平面几何图形? 三角形、四边形、多边形、圆形、椭圆等。
点、线 平面内基本图形: 2、高中《几何》中我们认识了哪些立体几何图形? 棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等。
空间中基本图形: 点、线、面
一、平面的表示方法
公理2:过不在同一条直线上的三点,有 且只有一个平面。
B
A
C
A、B、C不共线 A、B、C确定一个平面 作用:用于确定一个平面.
强调:推导符号跟着结论一起换行。
确定一平面还有哪些方法?
公理2.不共线的三点确定一个平面.
B
A
C
推论1.一条直线和直线外一点确定一个平面。 推论2.两条相交直线确定一个平面。 推论3.两条平行直线确定一个平面。
1.特点:平面是无限延展,没有厚度的. (但常用平面的一部分表示平面) 2.画法:水平或竖直的平面常用平行四边形表示. D D C C
3.记法: B ①平面α、平面β、平面γ(标记在边上) ②平面ABCD、平面AC或平面BD
A
B
A
巩固: 判断下列各题的说法正确与否,在正 确的说法的题号后打 ,否则打 . 1、一个平面长 4 米,宽 2 米; ( )
2、平面有边界;
3、一个平面的面积是 25 cm 2; 4、平面是无限延展、没有厚度的 ; ( )
(
(
)
)
5、一个平面可以把空间分成两部分. (
)
结论1:空间中点与线、点与面的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言
A
A
a a
点在直线上 点在直线外 点在平面内 点在平面外
A a A a A
记作:a a
a
强调: 空间中点与线(面)只有∈和 空间中线与面只有 与 推导符号“ 条件
关系 的关系
”的使用: 条件1 结论 结论 条件2
}
布置作业
1、课后作业: 课本P56习题2.1 A组 1、2、
5
2、预习作业: 课本48页-52页
思考:B组 3
∴直线AB、BC、AC共面于a A
B
C
例3:△ABC在平面a外, AB∩a =P, BC ∩a=Q, AC∩a =R,求证:P、Q、R三点共线.(共线问题) 证明:∵P∈AB 且 AB 平面ABC ∴ P∈平面ABC 又P∈a ∴ P∈平面ABC∩a (公理3) 设平面ABC∩a = l C l R A
思考3:如图所示,两个平面 、 交于一点,则会发生什么现象?
,若相
l
P
公理3:若两个不重合平面有一个公共点, 则它们有且只有一条过该点的公共直线。 即: P∈a且P∈b I=l且l
P∈a
P∈b
} {
I=l
P∈l
作用:用于证明点在线上或多点共线.
用符号表示下列图形中点、直线、 例 1: 平面之间的位置关系。
P∈b
} {
I=l
P∈l
作用:用于证明点在线上或多点共线
结论1:空间中点与线、点与面的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言
A
A
a a
点在直线上 点在直线外
A a A a A
A A
点在平面内
点在平面外
A
结论2 :空间中线与面的位置关系
直线a在平面a内 记作:a
直线a在平面a外
作用:用于判定线在面内
A
B
A和a确定一平面.
小结:公理2及其推论 A,B,C不共线 A,B,C确定一平面. A∈ a
A
B
C
A
a a
a
P b
aIb=P a和b确定一平面. a∥b a和b确定一平面.
作用:用于确定一个平面.
b
公理3:若两个不重合平面有一个公共点, 则它们有且只有一条过该点的公共直线。 即: P∈a且P∈b I=l且l P∈a
β
B
α
α
A
a
a
P
b
β
P48练习1- 4
例2:求证两两相交于不同点的三条直线 必在同一个平面内(共面问题) 已知: AB∩AC=A,AB∩BC=B,AC∩BC=C.
求证:直线AB、BC、AC共面.
证明∵AB∩AC=A ∴AB和AC确定一平面a(公理2的推论2)
∵B∈AB a,C∈AC a ∴BC a(公理1)
B
P
则 P∈ l
Байду номын сангаас
Q
同理 Q∈l 且 R ∈ l Q、R三点共线于直线l 故 P、
小结:平面的基本性质 若一条直线的两点在一个平面内,则 公理1:
这条直线上所有的点都在这个平面内, 即:这条直线在这个平面内 即 : A ∈ a且 B ∈ a AB a
A AB B
A A
A
思考1:把一根木条固定在墙面上需要几根钉子?
二、平面的基本性质
公理1:若一条直线的两点在一个平面内, 则这条直线上所有的点都在这个平面内, 即:这条直线在这个平面内。 即 : A ∈ a且 B ∈ a AB a
A AB B
作用:用于判定线在面内