第六章 自旋和角动量
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(6.2.17)
为求出 、在 表象的矩阵形式，注意 与 反对易， 与也只能是 矩
阵，令
(6.2.18)
a、b、c、是待求的矩阵元。由于厄米，因此也厄米，在(6.2.18)式中必
有,再由
==0
(6.2.19)
得
（6.2.20）
又因, 故有
(6.2.21)
即=1，,若取，则
(6.2.22)
利用(6.2.17)式、(6.2.22)及 (6.2.10)式,可求得为
(6.2.14)
(6.2.15)
、、之间相互反对易。
现在来找在特定表象下，、、算符的矩阵形式。由于与对易（或称与
对易），在它们的共同表象中，的矩阵必然是
(6.2.16)
这是因为只有两个本征值，因而它对应的矩阵只能是2×2的矩阵，而且 在自身表象中，对应对角矩阵，且矩阵对角线上的元素就是它的本征 值。由于(6.2.7)式，的矩阵是
动回转磁比率的两倍。
自旋是电子的一种固有的属性。千万不要认为，电子自旋是因为电
子在作机械的自转引起。可以证明，如果将电子想象成为一个电荷均匀
分布的小球，由于电子的半径约为2.810-13cm，要想使它的磁矩由于自
转而达到一个玻尔磁子，则它的表面旋转速度将超过光速。这当然是不
可能的。(请读者自己证明)电子自旋是一个新的自由度，与电子的空间
运动完全无关。电子自旋是电子的内禀属性.电子的自旋磁矩是内禀磁
矩。事实上，随着人们认识的深入，越来越发现对于某些粒子，除了时
空自由度还有其他的自由度。例如质子和中子，除时空、自旋外，还有
同位旋。夸克则还具有“味”和“色”等自由度。不过，自旋自由度是除时
空自由度外的第一个新发现。值得指出的是，电子自旋角动量与轨道角
为了解释旋特恩一格拉赫实验，乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱
(Goudsmit)提出了电子具有自旋角动量的说法，他们认为:
(1) 每个电子都具有自旋角动量S,S在空间任何方向上的投影只能取
两个值.若将空间的任意方向取为z方向，则
Sz=±/2
(6.1.3)
(2) 每个电子均具有自旋磁矩Ms，它与自旋角动量之间的关系是
(6.2.23)
综合上述,最后得出
,,
(6.2.24)相应地
,,
(6.2.25)
表示式(6.2.24)的、、称为泡利矩阵。
应该指出，泡利矩阵只是满足算符对易关系(6.2.9)式，在表象中给出
的一种可能的矩阵。它不是唯一的。在(6.2.21)式中，泡利矩阵固定了，
这只是一种最方便的取法，而不是唯一的取法。事实上，只取定，只固
动量不同，电子自旋的取值是±,而不是的整数倍。电子自旋的g因子是2,
轨道的为1.当然，自然界中也存在着自旋取整数值的粒子。我们在全同
粒子一章中再作讨论。
§6. 2 电子的自旋算符和自旋函数
电子具有自旋，这个新的自由度具有下述特色:
(1)它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间等变量表示。
(2)它完全是一种量子效应，没有经典的对应量。也可以说，当时，自
只发现只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中只有两种取向，是空间量
子化的，而且只取两个值。假定原子具有的磁矩为M，则它在沿z方向
的外磁场 中的势能为
U= -M =Mcos
(6.1.1)
为外磁场与原子磁矩之间的夹角。按(6.1.1)式，原子在z方向所受的力是
Fz=-=Mcos
(6.1.2)
实验证明，这时分裂出来的两条谱线分别对应于cos=+1和-1两个值。
(6
.2.32)
322
叻:〔x,
y,x,t〕=少(x,y‑z，一方/2,t)
(6.2.33)
电子波函数(6.2.31)式的归一化必须同时对空间积分和对自旋求和，即
f
(6.2.34)
由沪 所给出的概率密度
(6.2.35)
表示在:时刻，在{x,y,x}点周围单位体积内找到电子的几率。其中!0112
和10"{’分别表示在(x,y,x)点周围单位体积内找到自旋人和自旋S,誉的电
足的对易关系决定。由于自旋具有角动量性质，而角动量算符J满足的
对易关系是
(6.2.1)
在量子力学中，千万不要有一种误解，即角动量就是，只是轨道角动
量，是角动量的一种，它也满足(6.2.1)式。在量子力学中，角动量的定
义是通过对易子给出的。按定义，凡满足对易关系(6.2.1)式的算符称为
角动量。自旋既然是角动量，自旋算符必须满足
只要粒子具有角动量，总存在角动量之间藕合的问题。而且，有许多问
题，在耦合后得出的总角动量表象中讨论会更方便。
1. 角动量升降算符
在讨论两个角动量耦合之前，先介绍一些角动量算符的基本性质.这
些性质对角动量运算会带来许多方便。
设为角动量算符，满足对易子
（6.5.1）
对和的共同本征函数，的本征值是l（l+1）, 的本征值是m,l和m是角动
在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加的量子数引入的。
本章只是根据电子具有自旋的实验事实，在定薛谔方程中硬加入自旋。
本章的理论也只是局限在这样的框架内。以后在相对论量子力学中，将
证明，电子的自旋将自然地包含在相对论的波动方程—狄拉克方程中。
电子轨道角动量在狄拉克方程中不再守恒，只有轨道角动量与自旋角动
第六章 自旋和角动量
非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功。用薛定谔方
程算出的谱线频率,谱线强度也和实验结果相符。但是，更进一步的实
验事实发现，还有许多现象，如光谱线在磁场中的分裂，光谱线的精细
给构等，用前面几章的理论无法解择，根本原因在于，以前的理论只涉
及轨道角动量。新的实验事实表明，电子还具有自旋角动量。
定了z轴，在x-y平面中没有确定,还具有相角不确定性。角度是相角不确
定性的反映。泡利矩阵选定了，是一种特定的选择。
另外，还应该指出，泡利矩阵非常有用。因为任何2×2的厄米矩阵都
可以表示为单位矩阵及、、三个矩阵的线性组合。这些矩阵在处理自旋
问题以及相对论性的狄拉克方程中特别有用。
例1试在(，)的共同表象中求算符、、对应的矩阵。
（SI） 或 （CGS）
(6.1.5)
MB是玻尔磁子。由(6.1.5)式可见，电子自旋磁矩和自旋角动量之比是
（SI）； （CGS）
(6.1.6）
比值称为电子自旋的回转磁比率。另外，由于轨道角动量和轨道磁矩满足
（CGS）
(6.1.7)
因而轨道运动的回转磁比率是(SI),或(CGS )。自旋回转磁比率是轨道运
量量子数和相应的角动量z分量的量子数。显然，在(，)的共同表象中，
和的矩阵元分别是
（） = l（l+1）
（6.5.2）
（）=m
(6.5.3)
引入算符和,令
=+
（6.5.4）
=-
（6.5.5）
则有
=
=
=
（6.5.6）
即
（6.5.7）
（6.5.8）
（6.5.8）表明，也是的本征函数，但本征值为(m+1)。因此与
将(6. 5. 18)式代入(6.5. 17)式，得
l(l+1)=
或者写成
（6.5.19） 即
(6.5-20) 由(6.5.9)，(6.5.12)及(6.5.20)式，我们最后得出
（6.5.21）
（6.5.22）
利用这些结果，可以求出在和:的共同表象中，和的矩阵元是 ， （6.5.23）
(6.5.24) 应该指出，上述各式并非只对轨道角动量才成立。对于轨道角动量， 就是球谐函数，对于其他角动量， 虽然不是球谐函数，但只要满足角 动量定义(6.5.1)式，并把l和m理解为相应的角动量平方和角动量Z分量 量子数，(6.5.21)---(6.5.24)式恒成立。例如对电子自旋角动量,S=1/2， m=1/2,由(6.5.23)及(6.5.24)式得
可见5，的本征函数为
公式省略
它们分别对应于h 12及一h12两个本征值。介和告是两个彼此正交而且
各自归一的本征函数。
由于电子自旋算符可用(6.2. 25)式表示，因此电子自旋算符的函数G也
可以表示成2X2的矩阵
7~
(6.2.30)
表示。包含自旋在内的电子波函数可表示为
公式省略
(6. 2.31)
其中
jb, (x，y，z,t)~O(x，y，-,h 12，t)
只能相差一个常数，即有
=
(6.5.9)
同理，可以证明
（6.5.10）
(6.5.11)
(6.5.12)
，.和是待定的常数。为了求出和，注意到矩阵元
（6.5.13）
（6.5.14）
又因
（6.5.15）
，最多
（6.5.16）
即
l(l+1)=
(6.5.17)
=
另外，由于和是厄米的，所以有
=
=
=
（6.5.18）
(6.2.7)
即
，，
(6.2.8)
由公式(6.2.2)及(6.2.7)式可得满足的对应关系是
是 (6.2.10)
(6.2.9)写成分量形式
由(6.2.7)式可见，、、的本征值为，而且 ===1
定义任何算符和的反对易关系为 （6.2.12）
由(6.2.10)式得
（6.2.11）
=
（6.2.13）同理，
旋效应消失这可以从(6.1.3)式看出。
(3)它是角动量，满足角动量算符的最一般的对易关系.而且电子自旋
在空间中任何方向的投影只取±两个值。
根据电子自旋的上述特点，可以找出自旋算符的矩阵表示，以及自旋
算符的本征函数。首先，自旋既然是个物理量，在量子力学中，它应该
用线性厄米算符表示。其次，既然是算符，它的性质就应该由算符所满
验之一，如图6.1.1，由K源射出的处于s态的氢原子束经过狭缝和不均匀
磁场，照射到底片PP上，结果发现射线束方向发生偏转，分裂成两条分
立的线.这说明氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用
而发生偏转.由于这是处于s态的氢原子，轨道角动量为零,s态氢原子的
磁矩不可能由轨道角动量产生，这是一种新的磁矩.另外，由于实验上
Ms=- (SI) 或 Ms=-(CGS)
(6.1.4.)
式中(SI)表示国际单位，CGS表示CGSE单位。由于在许多量子力学参考
书及文献中常用CGSE单位，为方便读者，我们主要用CGSE单位但将SI
单位的结果也写在这里。(6.1.4)式中，电子带的电荷是—e,质量是m。由
于s取值量子化，因此，Ms在空间任意方向上的投影也只能取两个值。
公式省略
(6.2.37)
最后，应该特别强调指出，本节的讨论只适用于自旋为112的体系，比
如电子。对于自旋取其他数值的粒子，比方自旋为1.自旋算符要用3X3
矩阵表示。但可仿照本节的方法另行讨论。
§6.5两个角动量的耦合
在同一个原子内，电子既有自旋角动量，也有轨道角动量，因此很自
然地，总要讨论两个角动量之问的耦合。对于由多个粒子组成的体系，
子的几率。在略去自旋和轨道运动 之间的相互作用的条件下，(6-
2.32)及(6.2.33)式的必:和叭对r有相同的函数形式。如果存在自旋一轨道
藕合，必，和沪:对r的函数形式可以不同。
算符G在自旋态中的平均值是
公式省略
(6 .2.36)
当然，如果只对自旋作平均，而不对空间作平均，则(6.2.36)式简化为
解 注意z本来就是空间中任意给定的方向，如果将原来的二轴看成
新的x轴，仍保持右手坐标系，则原来的x轴变为新的y轴，原来的y轴变
为新的z轴，在这个新的坐标系，或者说，在新的表象中、、对应的矩
阵是
,,
(6.2.26)同样的方法还可以用来求出(,)共同表
象中、、对应的矩阵。
再来求电子自旋算符对应的本征函数,在表象中,由本征 及
(6.5.25)
( 6. 5.26)
因此有:,,这正是自旋矩阵的泡利表示。
2.无耦合表象和耦合表象
讨论两个角动量和的耦合，和既可以是自旋角动量，也可以是轨道
角动量或其他角动量。按定义和满足
=ຫໍສະໝຸດ Baidu
(6. 5.27)
(6.5.28)
以及对易关系
(I=x,y,z)
(6.5.29)
（I=x,y,z）
(6.5.30)
量之和，总角动量才是守恒量。
本章将先从实验上引入自旋，分析自旋角动童的性质，建立包含自旋
在内的非相对论量子力学方程—泡利方程。然后讨论角动量的藕合，并
进一步讨论光错线在场中的分裂和精细结构，此外还会对电子在磁场中
的一些其他的有趣的重要现象作些探讨。
§6. 1电子自旋
施特恩(Stern)一盖拉赫(Gerlach)实验是发现电子具有自旋的最早的实
假定和是两个独立的角动量，因此和对易
[,]=0
(6.5.31)
是四个两两相互对易的算符，可以用它们的共同的本征函数系构成一个
表象，称为无耦合表象。这个无耦合表象的基矢必定是的共同本征矢与
(6.2.2)
写成分量形式是
(6.2.3)
由于在空间中任意方向的投影只能取±两个值。因此，任意选定x、y、z
坐标后，、、三个算符的本征值都是±；、、的值都是，即
(6.2.4)
(6.2.5)若将任何角动量平方算符的
本征值记为，称为角动量量子数，则自旋角动量量子数s满足
(6.2.6)为方便起见，引入算符，令
为求出 、在 表象的矩阵形式，注意 与 反对易， 与也只能是 矩
阵，令
(6.2.18)
a、b、c、是待求的矩阵元。由于厄米，因此也厄米，在(6.2.18)式中必
有,再由
==0
(6.2.19)
得
（6.2.20）
又因, 故有
(6.2.21)
即=1，,若取，则
(6.2.22)
利用(6.2.17)式、(6.2.22)及 (6.2.10)式,可求得为
(6.2.14)
(6.2.15)
、、之间相互反对易。
现在来找在特定表象下，、、算符的矩阵形式。由于与对易（或称与
对易），在它们的共同表象中，的矩阵必然是
(6.2.16)
这是因为只有两个本征值，因而它对应的矩阵只能是2×2的矩阵，而且 在自身表象中，对应对角矩阵，且矩阵对角线上的元素就是它的本征 值。由于(6.2.7)式，的矩阵是
动回转磁比率的两倍。
自旋是电子的一种固有的属性。千万不要认为，电子自旋是因为电
子在作机械的自转引起。可以证明，如果将电子想象成为一个电荷均匀
分布的小球，由于电子的半径约为2.810-13cm，要想使它的磁矩由于自
转而达到一个玻尔磁子，则它的表面旋转速度将超过光速。这当然是不
可能的。(请读者自己证明)电子自旋是一个新的自由度，与电子的空间
运动完全无关。电子自旋是电子的内禀属性.电子的自旋磁矩是内禀磁
矩。事实上，随着人们认识的深入，越来越发现对于某些粒子，除了时
空自由度还有其他的自由度。例如质子和中子，除时空、自旋外，还有
同位旋。夸克则还具有“味”和“色”等自由度。不过，自旋自由度是除时
空自由度外的第一个新发现。值得指出的是，电子自旋角动量与轨道角
为了解释旋特恩一格拉赫实验，乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱
(Goudsmit)提出了电子具有自旋角动量的说法，他们认为:
(1) 每个电子都具有自旋角动量S,S在空间任何方向上的投影只能取
两个值.若将空间的任意方向取为z方向，则
Sz=±/2
(6.1.3)
(2) 每个电子均具有自旋磁矩Ms，它与自旋角动量之间的关系是
(6.2.23)
综合上述,最后得出
,,
(6.2.24)相应地
,,
(6.2.25)
表示式(6.2.24)的、、称为泡利矩阵。
应该指出，泡利矩阵只是满足算符对易关系(6.2.9)式，在表象中给出
的一种可能的矩阵。它不是唯一的。在(6.2.21)式中，泡利矩阵固定了，
这只是一种最方便的取法，而不是唯一的取法。事实上，只取定，只固
动量不同，电子自旋的取值是±,而不是的整数倍。电子自旋的g因子是2,
轨道的为1.当然，自然界中也存在着自旋取整数值的粒子。我们在全同
粒子一章中再作讨论。
§6. 2 电子的自旋算符和自旋函数
电子具有自旋，这个新的自由度具有下述特色:
(1)它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间等变量表示。
(2)它完全是一种量子效应，没有经典的对应量。也可以说，当时，自
只发现只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中只有两种取向，是空间量
子化的，而且只取两个值。假定原子具有的磁矩为M，则它在沿z方向
的外磁场 中的势能为
U= -M =Mcos
(6.1.1)
为外磁场与原子磁矩之间的夹角。按(6.1.1)式，原子在z方向所受的力是
Fz=-=Mcos
(6.1.2)
实验证明，这时分裂出来的两条谱线分别对应于cos=+1和-1两个值。
(6
.2.32)
322
叻:〔x,
y,x,t〕=少(x,y‑z，一方/2,t)
(6.2.33)
电子波函数(6.2.31)式的归一化必须同时对空间积分和对自旋求和，即
f
(6.2.34)
由沪 所给出的概率密度
(6.2.35)
表示在:时刻，在{x,y,x}点周围单位体积内找到电子的几率。其中!0112
和10"{’分别表示在(x,y,x)点周围单位体积内找到自旋人和自旋S,誉的电
足的对易关系决定。由于自旋具有角动量性质，而角动量算符J满足的
对易关系是
(6.2.1)
在量子力学中，千万不要有一种误解，即角动量就是，只是轨道角动
量，是角动量的一种，它也满足(6.2.1)式。在量子力学中，角动量的定
义是通过对易子给出的。按定义，凡满足对易关系(6.2.1)式的算符称为
角动量。自旋既然是角动量，自旋算符必须满足
只要粒子具有角动量，总存在角动量之间藕合的问题。而且，有许多问
题，在耦合后得出的总角动量表象中讨论会更方便。
1. 角动量升降算符
在讨论两个角动量耦合之前，先介绍一些角动量算符的基本性质.这
些性质对角动量运算会带来许多方便。
设为角动量算符，满足对易子
（6.5.1）
对和的共同本征函数，的本征值是l（l+1）, 的本征值是m,l和m是角动
在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加的量子数引入的。
本章只是根据电子具有自旋的实验事实，在定薛谔方程中硬加入自旋。
本章的理论也只是局限在这样的框架内。以后在相对论量子力学中，将
证明，电子的自旋将自然地包含在相对论的波动方程—狄拉克方程中。
电子轨道角动量在狄拉克方程中不再守恒，只有轨道角动量与自旋角动
第六章 自旋和角动量
非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功。用薛定谔方
程算出的谱线频率,谱线强度也和实验结果相符。但是，更进一步的实
验事实发现，还有许多现象，如光谱线在磁场中的分裂，光谱线的精细
给构等，用前面几章的理论无法解择，根本原因在于，以前的理论只涉
及轨道角动量。新的实验事实表明，电子还具有自旋角动量。
定了z轴，在x-y平面中没有确定,还具有相角不确定性。角度是相角不确
定性的反映。泡利矩阵选定了，是一种特定的选择。
另外，还应该指出，泡利矩阵非常有用。因为任何2×2的厄米矩阵都
可以表示为单位矩阵及、、三个矩阵的线性组合。这些矩阵在处理自旋
问题以及相对论性的狄拉克方程中特别有用。
例1试在(，)的共同表象中求算符、、对应的矩阵。
（SI） 或 （CGS）
(6.1.5)
MB是玻尔磁子。由(6.1.5)式可见，电子自旋磁矩和自旋角动量之比是
（SI）； （CGS）
(6.1.6）
比值称为电子自旋的回转磁比率。另外，由于轨道角动量和轨道磁矩满足
（CGS）
(6.1.7)
因而轨道运动的回转磁比率是(SI),或(CGS )。自旋回转磁比率是轨道运
量量子数和相应的角动量z分量的量子数。显然，在(，)的共同表象中，
和的矩阵元分别是
（） = l（l+1）
（6.5.2）
（）=m
(6.5.3)
引入算符和,令
=+
（6.5.4）
=-
（6.5.5）
则有
=
=
=
（6.5.6）
即
（6.5.7）
（6.5.8）
（6.5.8）表明，也是的本征函数，但本征值为(m+1)。因此与
将(6. 5. 18)式代入(6.5. 17)式，得
l(l+1)=
或者写成
（6.5.19） 即
(6.5-20) 由(6.5.9)，(6.5.12)及(6.5.20)式，我们最后得出
（6.5.21）
（6.5.22）
利用这些结果，可以求出在和:的共同表象中，和的矩阵元是 ， （6.5.23）
(6.5.24) 应该指出，上述各式并非只对轨道角动量才成立。对于轨道角动量， 就是球谐函数，对于其他角动量， 虽然不是球谐函数，但只要满足角 动量定义(6.5.1)式，并把l和m理解为相应的角动量平方和角动量Z分量 量子数，(6.5.21)---(6.5.24)式恒成立。例如对电子自旋角动量,S=1/2， m=1/2,由(6.5.23)及(6.5.24)式得
可见5，的本征函数为
公式省略
它们分别对应于h 12及一h12两个本征值。介和告是两个彼此正交而且
各自归一的本征函数。
由于电子自旋算符可用(6.2. 25)式表示，因此电子自旋算符的函数G也
可以表示成2X2的矩阵
7~
(6.2.30)
表示。包含自旋在内的电子波函数可表示为
公式省略
(6. 2.31)
其中
jb, (x，y，z,t)~O(x，y，-,h 12，t)
只能相差一个常数，即有
=
(6.5.9)
同理，可以证明
（6.5.10）
(6.5.11)
(6.5.12)
，.和是待定的常数。为了求出和，注意到矩阵元
（6.5.13）
（6.5.14）
又因
（6.5.15）
，最多
（6.5.16）
即
l(l+1)=
(6.5.17)
=
另外，由于和是厄米的，所以有
=
=
=
（6.5.18）
(6.2.7)
即
，，
(6.2.8)
由公式(6.2.2)及(6.2.7)式可得满足的对应关系是
是 (6.2.10)
(6.2.9)写成分量形式
由(6.2.7)式可见，、、的本征值为，而且 ===1
定义任何算符和的反对易关系为 （6.2.12）
由(6.2.10)式得
（6.2.11）
=
（6.2.13）同理，
旋效应消失这可以从(6.1.3)式看出。
(3)它是角动量，满足角动量算符的最一般的对易关系.而且电子自旋
在空间中任何方向的投影只取±两个值。
根据电子自旋的上述特点，可以找出自旋算符的矩阵表示，以及自旋
算符的本征函数。首先，自旋既然是个物理量，在量子力学中，它应该
用线性厄米算符表示。其次，既然是算符，它的性质就应该由算符所满
验之一，如图6.1.1，由K源射出的处于s态的氢原子束经过狭缝和不均匀
磁场，照射到底片PP上，结果发现射线束方向发生偏转，分裂成两条分
立的线.这说明氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用
而发生偏转.由于这是处于s态的氢原子，轨道角动量为零,s态氢原子的
磁矩不可能由轨道角动量产生，这是一种新的磁矩.另外，由于实验上
Ms=- (SI) 或 Ms=-(CGS)
(6.1.4.)
式中(SI)表示国际单位，CGS表示CGSE单位。由于在许多量子力学参考
书及文献中常用CGSE单位，为方便读者，我们主要用CGSE单位但将SI
单位的结果也写在这里。(6.1.4)式中，电子带的电荷是—e,质量是m。由
于s取值量子化，因此，Ms在空间任意方向上的投影也只能取两个值。
公式省略
(6.2.37)
最后，应该特别强调指出，本节的讨论只适用于自旋为112的体系，比
如电子。对于自旋取其他数值的粒子，比方自旋为1.自旋算符要用3X3
矩阵表示。但可仿照本节的方法另行讨论。
§6.5两个角动量的耦合
在同一个原子内，电子既有自旋角动量，也有轨道角动量，因此很自
然地，总要讨论两个角动量之问的耦合。对于由多个粒子组成的体系，
子的几率。在略去自旋和轨道运动 之间的相互作用的条件下，(6-
2.32)及(6.2.33)式的必:和叭对r有相同的函数形式。如果存在自旋一轨道
藕合，必，和沪:对r的函数形式可以不同。
算符G在自旋态中的平均值是
公式省略
(6 .2.36)
当然，如果只对自旋作平均，而不对空间作平均，则(6.2.36)式简化为
解 注意z本来就是空间中任意给定的方向，如果将原来的二轴看成
新的x轴，仍保持右手坐标系，则原来的x轴变为新的y轴，原来的y轴变
为新的z轴，在这个新的坐标系，或者说，在新的表象中、、对应的矩
阵是
,,
(6.2.26)同样的方法还可以用来求出(,)共同表
象中、、对应的矩阵。
再来求电子自旋算符对应的本征函数,在表象中,由本征 及
(6.5.25)
( 6. 5.26)
因此有:,,这正是自旋矩阵的泡利表示。
2.无耦合表象和耦合表象
讨论两个角动量和的耦合，和既可以是自旋角动量，也可以是轨道
角动量或其他角动量。按定义和满足
=ຫໍສະໝຸດ Baidu
(6. 5.27)
(6.5.28)
以及对易关系
(I=x,y,z)
(6.5.29)
（I=x,y,z）
(6.5.30)
量之和，总角动量才是守恒量。
本章将先从实验上引入自旋，分析自旋角动童的性质，建立包含自旋
在内的非相对论量子力学方程—泡利方程。然后讨论角动量的藕合，并
进一步讨论光错线在场中的分裂和精细结构，此外还会对电子在磁场中
的一些其他的有趣的重要现象作些探讨。
§6. 1电子自旋
施特恩(Stern)一盖拉赫(Gerlach)实验是发现电子具有自旋的最早的实
假定和是两个独立的角动量，因此和对易
[,]=0
(6.5.31)
是四个两两相互对易的算符，可以用它们的共同的本征函数系构成一个
表象，称为无耦合表象。这个无耦合表象的基矢必定是的共同本征矢与
(6.2.2)
写成分量形式是
(6.2.3)
由于在空间中任意方向的投影只能取±两个值。因此，任意选定x、y、z
坐标后，、、三个算符的本征值都是±；、、的值都是，即
(6.2.4)
(6.2.5)若将任何角动量平方算符的
本征值记为，称为角动量量子数，则自旋角动量量子数s满足
(6.2.6)为方便起见，引入算符，令