高等数学上函授试卷

《高等数学上》课程期末试卷(A 卷) 考试时间： 120 分钟

一、选择题（每小题4分，共计40分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设函数()22x x f x a -=+是奇函数，则a =（ ） A.1- B.0 C.1 D.2 2.当0x +→时，下列变量为无穷小量的是（ ） A.1e x B.ln x C.x sin 1x D.1sin x x 3.设函数f (x )=2ln(1), 0,, 0x x x x +≥⎧⎨<⎩则f (x )在点x =0处（ ） A.左导数存在，右导数不存在 B.左导数不存在，右导数存在 C.左、右导数都存在 D.左、右导数都不存在 4.若y =f (cos x )，则y ′=（ ） A.f ′(cos x )cos x B.－f ′(cos x )sin x

C.f ′(cos x )

D.f ′(cos x )sin x

5.下列函数中为偶函数的是（ ）

学专业班级姓名学号

A.x +sin x

B.x 3cos x

C.2x +2-x

D.2x -2-x

6.设()f x 的定义域是[0，1]，则(ln )f x 的定义域是（ ）

A [0，1]

B [1，e]

C [0，e]

D [e ，2]

7.函数f (x )=x 2+1在区间[1,2]上满足拉格朗日中值公式的中值ξ=（

）

A.1

B.6

5 C.5

4 D.3

2

8.在区间［－1，1］上满足罗尔定理条件的函数是（ ）

A.y =2x －1

B.y =1

x

C.y =x 2

D.2

3y x =

9.下列无穷限反常积分发散的是（ ）

A.e d x

x -+⎰1∞ B.d x +⎰1e x ∞ C.211d x x +⎰∞ D.21

d 1x x ++⎰1∞

10. 设y=log a x （a>0，a≠1），则dy=（ ） A.x 1

dx B. x 1

C. a x ln 1

D. a x ln 1

dx

二、填空题：（每小题4分，共计20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.极限22

32lim 14x x x →∞+=-_______________. 12.设函数()f x 在点0x 连续且0

lim ()1,x x f x →=则0()f x =_______________. 13.设4(5),y x =+则y '=_______________.

14.

根据定积分的几何意义知1-=⎰

_______________. 15.2

0cos 1sin x dx x

π=+⎰ _______________.

三、计算或证明题：（每小题10分，共计40分）

16. 求不定积分2

2arctan d 1x x x x ++⎰

.

17.证明：方程531x x -=至少有一个根介于1和2之间.

18. 求.幂级数11(1)1n n n x n +∞=-+∑的收敛半径

19. 设F (x )=sin 20

ln(1)x t dt +⎰,求F ′(x )，并求F ′(x )在x=2

π处的函数值.

A 卷参考答案：

一、选择题

1—5：A C C B C

6—10：B D C B D

二、填空题 11. 3

4-;

12, 1;

13. 34(5)y x =+;

14. π;

15. ln2;

三、计算题或证明题

16．解：2

2arctan d 1x x x x ++⎰ =222arctan 11x x dx dx x x

+++⎰⎰………………………………………….….….2 =()()2211arctan arctan 1d x xd x x

+++⎰⎰……………………………...….5 =()2ln 1x ++()21arctan 2

x (10)

17. 证明：设5()31f x x x =--，则易知()f x 在闭区间[1,2]上连续................2 又因为(1)2f =-，()225f =，则(1)(2)0f f •<..........................6 所以在开区间(1,2)之间至少存在一点ξ，使()0f ξ=。.................8 即，531x x -=在1和2之间至少存在一个根。. (10)

18. 1

1lim lim 11n x x n a n b n

ρ→∞→∞+=== …………………………………………….…8 所以，收敛半径为

11ρ= (10)

19. 由变上限积分得

()()2ln(1sin )sin F x x x '=+⋅'.....................................4 =2ln(1sin )cos x x +⋅ (6)

所以 02F π⎛⎫'= ⎪⎝⎭ (10)