高等数学(上)期末试卷

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2009—2010学年第一学期

《高等数学I(一)》课程考试试卷(A 卷)参考答案及评分标准

注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟

3、姓名、学号必须写在指定地方 阅卷负责人签名：

一、填空题（共5个小题，每小题2分，共10分）.

1.设()lim 1t

t x f x t →+∞⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭

()0x ≠，则=)3(ln f 3 .

2.设x e x

sin +是()f x 的一个原函数，则()f 'x = sin x e x - ．

3.曲线1662

3-+=x x y 的拐点坐标是 ()2,0- . 4.若0

21

2

1A dx x -∞=

+⎰

，则A = 1π ．

5．2

1

lim(2)cos

2

x x x →-=- 0 .

二、单项选择题（共10个小题，每小题2分，共20分）. 将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中.

1．已知函数()f x 的定义域为[]12,-，则函数()()()22F x f x f x =++的定义域为（ ）. A ．[]30,-； B ．[]31,-； C ．112,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； D ．102,⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

.

2．3x =是函数1

()arctan

3f x x

=-的（ ）. A ．连续点； B ．可去间断点； C ．跳跃间断点； D ．第二类间断点. 3．当0→x 时，1ax e -与x 2sin 等价，则a =（ ）.

A ．1 ；

B ．2 ；

C ．2- ；

D ．

2

1. 4．函数()2

1sin

,00

,0x x f x x

x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0=x 处（ ）. A ．有定义但不连续； B ．连续但不可导； C ．连续且可导； D ．不连续且不可导.

5.下列等式中正确的是（ ）．

A ．

()()b a d f x dx f x dx =⎰； B . ()()()x

a d f x dx f x f a dx =-⎰

； C ．()()d

f x dx f x dx =⎰； D . ()()f x dx f x '=⎰

.

6．函数()21x

f x x =+（ ）.

A ．在(),-∞+∞内单调增加；

B ．在(),-∞+∞内单调减少；

C ．在()11,-内单调增加；

D ．在()11,-内单调减少.

7．若()f u 可导，且()

x y f e =，则（ ）.

A ．()x dy f e dx '=；

B ．()

x x dy f e e dx '=；

C ．()x

x

dy f e e dx =； D ．()x

x

dy f e e dx '

⎡⎤=⎣⎦

.

8．

20

|1|x dx -=⎰

（ ）.

A ．0 ；

B ．2 ；

C ．1 ；

D ．1-.

9．方程sin y x '''=的通解是( ). A .21231cos 2y x C x C x C =+

++； B .21231

sin 2

y x C x C x C =+++； C .1cos y x C =+； D .2sin 2y x =.

10.曲线x

e y =与该曲线过原点的切线及y 轴围成的图形的面积为（ ）． A ．10()x e ex dx -⎰ ； B ．1

(ln ln )e

y y y dy -⎰

； C ．1

()e

x

x

e xe dx -⎰

； D ．

10

(ln ln )y y y dy -⎰

．

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三、解下列各题（每小题6分，共12分）.

1．计算)

lim x x

x →+∞

.

解：)

lim x x

x →+∞

lim x

= 3分

1

2

=

. 6分 2．计算x

x x x 1022lim ⎪⎭⎫

⎝⎛-+→．

解：x

x x x 1022lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→()

222202lim 12x x

x x x x x x -⋅

-→⎛

⎫=+ ⎪-⎝⎭

3分

()02lim

2x x

x x e

→-=1e e == . 6分

四、解下列各题（每小题6分，共12分).

1.已知076333=--++y xy x y ，求

2

=x dx

dy

．

解：两边分别对x 求导，得

2

2333360dy dy dy

y x y x dx dx dx

+++-=， 3分 当2x =时，1y =-，代入上式，得

2

3x dy

dx

==-. 6分

2. 设函数)(x y y =由参数方程⎩

⎨⎧+==t t t y t x sin cos sin ln 所确定，求dx dy

和22dx y d .

解：dx

dy dy

dt

dx dt

=sin sin cos cos sin t t t t

t

t

-++=sin t t = 3分 22dx y d dy dt dx dt

'

=sin cos cos sin t t t t t +=2sin sin cos cos t t t t

t += . 6分

五、解下列各题（每小题6分，共18分).

1. 计算⎰++dx x x x 2

2

1)(arctan ． 解：⎰++dx x x x 2

21)(arctan ()222arctan 11x x

dx dx x x =+++⎰⎰ ()

()()2

2

2

11arctan arctan 21d x

x d x x

+=++⎰

⎰

3分 ()

()3

211ln 1arctan 23

x x C =+++ . 6分

2．计算20

4

ln(1)lim

x x t dt x

→-⎰.

解：20

4

ln(1)lim

x x t dt x →-⎰()23

2ln 1lim

4x x x x →-= 3分

220lim 2x x x →-=1

2

=-

. 6分

3. 计算

22

cos x e xdx π

⎰

.

解：

220

cos x

e xdx π

⎰

()220sin x

e d x π

=⎰222200sin 2sin x

x e x e xdx π

π⎡⎤=-⎣⎦⎰ 2分 ()22

2cos x

e e d x π

π

=+⎰22220

02cos 4cos x

x

e e x e xdx π

ππ

⎡⎤=+-⎣⎦⎰

220

24cos x e e xdx π

π

=--⎰ 5分

∴

220

cos x

e xdx π

⎰

()12

5

e π

=- . 6分