中南大学高等数学问题详解

中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案

高等数学(专科)

一、填空题： 1.函数1

1

42-+

-=

x x y 的定义域是 。 解：),2[]2,(∞+--∞ 。

2.若函数52)1(2

-+=+x x x f ，则=)(x f 。 解：62

-x 3.sin lim

x x x

x

→∞-= 。

答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim

=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x

x

x x x x x x x x x

4.已知22

lim 2

22=--++→x x b

ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知，024=++b a ，得42--=a b ，

又由234

12lim 2lim 22

22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→)

1)((lim

0x a x b

e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a

b

e x a x x x ，∴0,1a b =≠ 6.函数⎪⎩⎪⎨⎧

≥+<=0

1

01sin

)(x x x x

x x f 的间断点是x = 。

解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01

sin

lim 00

==+=+-→→f x x

x x x

所以函数)(x f 在0=x 处是间断的，

又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7.设()()()n x x x x y -⋅⋅--= 21, 则()

=+1n y

(1)!n +

8.2

)(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。 答案：2

)12(+x 或1442

++x x 9.

函数22ln(1)

x y z

--=

的定义域为 。

解：函数z 的定义域为满足下列不等式的点集。

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧<+<≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+<+≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-->--≥-1040141101042222222222222y x x y y x y x x y y x y x y x z ⇒ 的定义域为：{

10|),(22<+

10.已知2

2

),(xy y x y x y x f +=-+,则=),(y x f .

解：令x y u +=，x y v -=，则,22

u v u v

x y +-=

=，()()()f x y x y xy x y +-=+ )(4

222),(22v u u u v u v u v u f -=-+=

，22(,)()4x

f x y x y =-

11.设22),(y

x x

xy y x f ++

=,则=')1,0(x f 。=')1,0(y f ∵ (0,1)000f =+=

20

00(,1)(0,1)

1(0,1)lim

lim 2x x x x

x f x f x f x

x

∆→∆→∆∆+

-∆-∆+'===∆∆ 0

0(0,1)(0,1)00

(0,1)lim

lim 0y y y f y f f y

y ∆→∆→∆+--'===∆∆。 12.设,,cos ,sin 3

2

t y t x y x z ==+=则t

z

d d ＝ 。 解：22sin 3cos dz

x t t y dt

=-+ 13.

=⎰⎰

dx x f d d dx d

)( 。 解：由导数与积分互为逆运算得，

)()(x f dx x f d d dx d

=⎰⎰

。 14.设)(x f 是连续函数，且

x dt t f x =⎰

-1

3)(，则=)7(f 。

解：两边对x 求导得1)1(332=-x f x ，令713

=-x ，得2=x ，所以12

131)7(2

2

=

=

=x x f . 15.若

2

1

d e 0

=

⎰

∞

+-x kx ，则_________=k 。 答案：∵)d(e 1lim d e 210

0kx k x b kx b kx

--==⎰⎰-+∞→∞+-

k

k k k kb b b kx b 1e 1lim 1e 1lim 0=-=-=-+∞→-+∞→

∴2=k

16.设函数f(x,y)连续，且满足⎰⎰

+=D

y d y x f x

y x f 2),(),(σ，

其中,:2

22a y x D ≤+则f(x,y)=______. 解：.4

44

2

x a y π+ 记⎰⎰=

D

d y x f A σ),(，则2

),(y

Ax y x f +=，两端在D 上积分有：⎰⎰⎰⎰+=

D

D

d y

Axd A σσ2

，其

中⎰⎰=D

xd A

0σ（由对称性）

，⎰⎰⎰⎰=

=a

D

a d d d y 0

4

2

3

20

2.4

sin πρϕρϕσπ

即 4

4

a A π=

，所以，.4

),(4

2

x a y y x f π+

=

17.求曲线2

,42

2ay

x ax y =

=所围成图形的面积为 ，（a>0） 解：22

3

a

18.

∑

∞

=--1

2

2212n n n

x n ； 解：令2

x y =，则原幂级数成为不缺项的幂级数

∑∞

=--1

1

212n n n

y n ，记其各项系数为n b ，因为21212lim 2122212lim lim 11

=+-=+⋅-==∞→+∞→+∞→n n n n b b R n n n n n n n ，则20222<≤⇒<<-x y ， 故22<

<-x .

当2±=x 时，幂级数成为数项级数∑∞

=-1)12(21n n ，此级数发散，故原幂级数的收敛区间为

)2,2(-.