布莱克斯克尔斯期权定价模型.pptx
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为今后我国期权市场的公正合 理运作提供某些借鉴。
1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经 济学奖授予了两位美国学者,哈佛商学院 教授罗伯特·默顿(ＲｏｂｅｒｔＭｅｒ ｔｏｎ)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔 斯(ＭｙｒｏｎＳｃｈｏｌｅｓ)。他们 创立和发展的布莱克———斯克尔斯期 权定价模型(Ｂｌａｃｋ-Ｓｃｈｏｌｅ
Ｃ—期权初始合理价格 Ｌ—期权交割价格 Ｓ—所交易金融资产现价 Ｔ—期权有效期 ｒ—连续复利计无风险利率 σ2—年度化方差
Ｎ()—正态分布变量的累积概率分布函 数，在此应当说明两点：
第一,该模型中无风险利率必须是连续 复利形式。一个简单的或不连续的无风 险利率(设为ｒ0)一般是一年复利一次,而 ｒ要求利率连续复利。
ｓＯｐｔｉｏｎＰｒｉｃｉｎｇＭｏｄ
ｅｌ)
为包括股票、债券、货币、商品在内的 新兴衍生金融市场的各种以市价价格变 动定价的衍生金融工具的合理定价奠定 了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费 雪·布莱克(ＦｉｓｃｈｅｒＢｌａｃｋ) 在70年代初合作研究出了一个期权定价 的复杂公式。
与此同时,默顿也发现了同样的公式及许 多其它有关期权的有用结论。结果,两篇 论文几乎同时在不同刊物上发表。所以, 布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布 莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。默顿 扩展了原模型的内涵,使之同样运用于许 多其它形式的金融交易。
其次,求(ＳＴ>Ｌ)的概率Ｐ,也即求收益 大于(ＬＳ)的概率。已知正态分布有性 质:Ｐｒ06[ζ>χ]=1-Ｎ(χ-μσ)其中:ζ—正态 分布随机变量χ—关键值μ—ζ的期望值 σ—ζ的标准差所以:Ｐ=Ｐｒ06[ＳＴ>1]= Ｐｒ06[1ｎＳＴＳ]>1ｎＬＳ]=1Ｎ-1ｎＬ Ｓ-(γ-σ22)ＴσＴｎｃ4
3市场无摩擦,即不存在税收和交易成本;
4金融资产在期权有效期内无红利及 其它所得(该假设后被放弃);
5该期权是欧式期权,即在期权到期前 不可实施。
(二)荣获诺贝尔经济学奖的Ｂ-Ｓ定价公式 Ｃ=Ｓ·Ｎ(ｄ1)-Ｌ·ｅ-γＴ·Ｎ(ｄ2) 其中: ｄ1=1ｎＳＬ+(γ+σ22)Ｔσ·Ｔ ｄ2=ｄ1-σ·Ｔ
由对称性:1-Ｎ(ｄ)=Ｎ(-ｄ)Ｐ=Ｎ1ｎＳＬ +(γ-σ22)ＴσＴａｒS第三,求既定ＳＴ>Ｌ 下ＳＴ的期望值。因为Ｅ[ＳＴ|ＳＴ]>Ｌ ]处于正态分布的Ｌ到∞范围,所以,
Ｅ[ＳＴ|ＳＴ]>=Ｓ·ｅγＴ·Ｎ(ｄ1)Ｎ(ｄ2)
其中:ｄ1=ｌｎＳＬ+(γ+σ22)ＴσＴｄ2= ｌｎＳＬ+(γ-σ22)ＴσＴ=ｄ1-σＴ
布莱克--斯克尔斯期 权定价模型
在国际衍生金融市场的形成发展过程中， 期权的合理定价是困扰投资者的一大难 题。随着计算机、先进通讯技术的应用， 复杂期权定价公式的运用成为可能。在 过去的２０年中，投资者通过运用布莱 克———斯克尔斯期权定价模型，将这 一抽象的数字公式转变成了大量的财富。
下面着重分析了布莱克——— 斯克尔斯期权公式的推导并就 其应用与发展作了进一步的介 绍。认为该 模型的思想方法能
瑞士皇家科学协会(ＴｈｅＲｏຫໍສະໝຸດ BaiduａｌＳ ｗｅｄｉｓｈＡｃａｄｅｍｙｏｆＳｃ ｉｅｎｃｅｓ)赞誉他们在期权定价方面 的研究成果是今后25年经济科学中的最 杰出贡献。
一、布莱克—斯克尔斯定价模 型(以下简称Ｂ-Ｓ模型)及其假
设条件
(一)Ｂ-Ｓ模型有5个重要的假设
1金融资产收益率服从对数正态分布;
2在期权有效期内,无风险利率和金融 资产收益变量是恒定的;
Ｃ=ｐ×ｅ-ｒＴ×(Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>Ｌ]Ｌ)(*)这样期权定价转化为确定Ｐ和Ｅ[ ＳＴ|ＳＴ>Ｌ]。
首先,对收益进行定义。与利率一致,收益为金 融资产期权交割日市场价格(ＳＴ)与现价(Ｓ) 比值的对数值,即收益=1ｎＳＴＳ。由假设1收 益服从对数正态分布,即1ｎＳＴＳ～Ｎ(μｔ,σ ｔ2),所以Ｅ[1ｎ(ＳＴＳ]=μｔ,ＳＴＳ～ｅＮ(μ ｔ,σｔ2)可以证明,相对价格期望值大于ｅμｔ, 为:Ｅ[ＳＴＳ]=ｅμｔ+σｔ22=ｅμｔ+σ2Ｔ2=ｅ γＴ从而,μｔ=Ｔ(γ-σ22),且有σｔ=σＴ。
ｒ0必须转化为ｒ方能代入上式计算。 两者换算关系为:ｒ=ｌｎ(1+ｒ0)或ｒ0= ｅｒ-1。例如ｒ0=0.06,则ｒ=ｌｎ (1+0.06)=0853,即100以583%的连续复利 投资第二年将获106,该结果与直接用ｒ 0=0.06计算的答案一致。
第二,期权有效期Ｔ的相对数表 示,即期权有效天数与一年365天 的比值。如果期权有效期为100 天,则Ｔ=100365=0.274。
①求ｄ1:ｄ1=(1ｎ 164165+(0.052)+0.08412)×0.09590.29×0.0959 =0.0328
最后,将Ｐ、Ｅ[ＳＴ|ＳＴ]>Ｌ]代入(*) 式整理得Ｂ-Ｓ定价模型:Ｃ=Ｓ·Ｎ(ｄ1)Ｌ·ｅ-γＴ·Ｎ(ｄ2)
(二)Ｂ-Ｓ模型应用实例
假设市场上某股票现价Ｓ为164,无风 险连续复利利率γ是0.0521,市场方差σ2 为0.0841,那么实施价格Ｌ是165,有效期 Ｔ为0.0959的期权初始合理价格计算步 骤如下:
2、如果ＳＴ<Ｌ,则期权所有人放弃购买权力, 期权以出帐(Ｏｕｔ-ｏｆ-ｔｈｅ-ｍｏｎｅｙ) 失效,且有:
ｍａｘ(ＳＴ-Ｌ,Ｏ)=0
从而:
Ｅ[ＣＴ]=Ｐ×(Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>Ｌ)+(1-Ｐ)× Ｏ=Ｐ×(Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>Ｌ]-Ｌ)
其中:Ｐ—(ＳＴ>Ｌ)的概率Ｅ[ＳＴ|ＳＴ >Ｌ]—既定(ＳＴ>Ｌ)下ＳＴ的期望值将 Ｅ[Ｇ]按有效期无风险连续复利ｒＴ贴 现,得期权初始合理价格:
二、Ｂ-Ｓ定价模型的推导与 运用
(一)Ｂ-Ｓ模型的推导Ｂ-Ｓ模型的推导 是由看涨期权入手的,对于一项看涨期权 ,其到期的期值是:Ｅ[Ｇ]=Ｅ[ｍａｘ(ＳＴ -Ｌ,Ｏ)]
其中,Ｅ[Ｇ]—看涨期权到期期望值
ＳＴ—到期所交易金融资产的市场价值
Ｌ—期权交割(实施)价
到期有两种可能情况:
1、如果ＳＴ>Ｌ,则期权实施以进帐(ｉｎｔｈｅ-ｍｏｎｅｙ)生效,且ｍａｘ(ＳＴ-Ｌ, Ｏ)=ＳＴ-Ｌ
1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经 济学奖授予了两位美国学者,哈佛商学院 教授罗伯特·默顿(ＲｏｂｅｒｔＭｅｒ ｔｏｎ)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔 斯(ＭｙｒｏｎＳｃｈｏｌｅｓ)。他们 创立和发展的布莱克———斯克尔斯期 权定价模型(Ｂｌａｃｋ-Ｓｃｈｏｌｅ
Ｃ—期权初始合理价格 Ｌ—期权交割价格 Ｓ—所交易金融资产现价 Ｔ—期权有效期 ｒ—连续复利计无风险利率 σ2—年度化方差
Ｎ()—正态分布变量的累积概率分布函 数，在此应当说明两点：
第一,该模型中无风险利率必须是连续 复利形式。一个简单的或不连续的无风 险利率(设为ｒ0)一般是一年复利一次,而 ｒ要求利率连续复利。
ｓＯｐｔｉｏｎＰｒｉｃｉｎｇＭｏｄ
ｅｌ)
为包括股票、债券、货币、商品在内的 新兴衍生金融市场的各种以市价价格变 动定价的衍生金融工具的合理定价奠定 了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费 雪·布莱克(ＦｉｓｃｈｅｒＢｌａｃｋ) 在70年代初合作研究出了一个期权定价 的复杂公式。
与此同时,默顿也发现了同样的公式及许 多其它有关期权的有用结论。结果,两篇 论文几乎同时在不同刊物上发表。所以, 布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布 莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。默顿 扩展了原模型的内涵,使之同样运用于许 多其它形式的金融交易。
其次,求(ＳＴ>Ｌ)的概率Ｐ,也即求收益 大于(ＬＳ)的概率。已知正态分布有性 质:Ｐｒ06[ζ>χ]=1-Ｎ(χ-μσ)其中:ζ—正态 分布随机变量χ—关键值μ—ζ的期望值 σ—ζ的标准差所以:Ｐ=Ｐｒ06[ＳＴ>1]= Ｐｒ06[1ｎＳＴＳ]>1ｎＬＳ]=1Ｎ-1ｎＬ Ｓ-(γ-σ22)ＴσＴｎｃ4
3市场无摩擦,即不存在税收和交易成本;
4金融资产在期权有效期内无红利及 其它所得(该假设后被放弃);
5该期权是欧式期权,即在期权到期前 不可实施。
(二)荣获诺贝尔经济学奖的Ｂ-Ｓ定价公式 Ｃ=Ｓ·Ｎ(ｄ1)-Ｌ·ｅ-γＴ·Ｎ(ｄ2) 其中: ｄ1=1ｎＳＬ+(γ+σ22)Ｔσ·Ｔ ｄ2=ｄ1-σ·Ｔ
由对称性:1-Ｎ(ｄ)=Ｎ(-ｄ)Ｐ=Ｎ1ｎＳＬ +(γ-σ22)ＴσＴａｒS第三,求既定ＳＴ>Ｌ 下ＳＴ的期望值。因为Ｅ[ＳＴ|ＳＴ]>Ｌ ]处于正态分布的Ｌ到∞范围,所以,
Ｅ[ＳＴ|ＳＴ]>=Ｓ·ｅγＴ·Ｎ(ｄ1)Ｎ(ｄ2)
其中:ｄ1=ｌｎＳＬ+(γ+σ22)ＴσＴｄ2= ｌｎＳＬ+(γ-σ22)ＴσＴ=ｄ1-σＴ
布莱克--斯克尔斯期 权定价模型
在国际衍生金融市场的形成发展过程中， 期权的合理定价是困扰投资者的一大难 题。随着计算机、先进通讯技术的应用， 复杂期权定价公式的运用成为可能。在 过去的２０年中，投资者通过运用布莱 克———斯克尔斯期权定价模型，将这 一抽象的数字公式转变成了大量的财富。
下面着重分析了布莱克——— 斯克尔斯期权公式的推导并就 其应用与发展作了进一步的介 绍。认为该 模型的思想方法能
瑞士皇家科学协会(ＴｈｅＲｏຫໍສະໝຸດ BaiduａｌＳ ｗｅｄｉｓｈＡｃａｄｅｍｙｏｆＳｃ ｉｅｎｃｅｓ)赞誉他们在期权定价方面 的研究成果是今后25年经济科学中的最 杰出贡献。
一、布莱克—斯克尔斯定价模 型(以下简称Ｂ-Ｓ模型)及其假
设条件
(一)Ｂ-Ｓ模型有5个重要的假设
1金融资产收益率服从对数正态分布;
2在期权有效期内,无风险利率和金融 资产收益变量是恒定的;
Ｃ=ｐ×ｅ-ｒＴ×(Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>Ｌ]Ｌ)(*)这样期权定价转化为确定Ｐ和Ｅ[ ＳＴ|ＳＴ>Ｌ]。
首先,对收益进行定义。与利率一致,收益为金 融资产期权交割日市场价格(ＳＴ)与现价(Ｓ) 比值的对数值,即收益=1ｎＳＴＳ。由假设1收 益服从对数正态分布,即1ｎＳＴＳ～Ｎ(μｔ,σ ｔ2),所以Ｅ[1ｎ(ＳＴＳ]=μｔ,ＳＴＳ～ｅＮ(μ ｔ,σｔ2)可以证明,相对价格期望值大于ｅμｔ, 为:Ｅ[ＳＴＳ]=ｅμｔ+σｔ22=ｅμｔ+σ2Ｔ2=ｅ γＴ从而,μｔ=Ｔ(γ-σ22),且有σｔ=σＴ。
ｒ0必须转化为ｒ方能代入上式计算。 两者换算关系为:ｒ=ｌｎ(1+ｒ0)或ｒ0= ｅｒ-1。例如ｒ0=0.06,则ｒ=ｌｎ (1+0.06)=0853,即100以583%的连续复利 投资第二年将获106,该结果与直接用ｒ 0=0.06计算的答案一致。
第二,期权有效期Ｔ的相对数表 示,即期权有效天数与一年365天 的比值。如果期权有效期为100 天,则Ｔ=100365=0.274。
①求ｄ1:ｄ1=(1ｎ 164165+(0.052)+0.08412)×0.09590.29×0.0959 =0.0328
最后,将Ｐ、Ｅ[ＳＴ|ＳＴ]>Ｌ]代入(*) 式整理得Ｂ-Ｓ定价模型:Ｃ=Ｓ·Ｎ(ｄ1)Ｌ·ｅ-γＴ·Ｎ(ｄ2)
(二)Ｂ-Ｓ模型应用实例
假设市场上某股票现价Ｓ为164,无风 险连续复利利率γ是0.0521,市场方差σ2 为0.0841,那么实施价格Ｌ是165,有效期 Ｔ为0.0959的期权初始合理价格计算步 骤如下:
2、如果ＳＴ<Ｌ,则期权所有人放弃购买权力, 期权以出帐(Ｏｕｔ-ｏｆ-ｔｈｅ-ｍｏｎｅｙ) 失效,且有:
ｍａｘ(ＳＴ-Ｌ,Ｏ)=0
从而:
Ｅ[ＣＴ]=Ｐ×(Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>Ｌ)+(1-Ｐ)× Ｏ=Ｐ×(Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>Ｌ]-Ｌ)
其中:Ｐ—(ＳＴ>Ｌ)的概率Ｅ[ＳＴ|ＳＴ >Ｌ]—既定(ＳＴ>Ｌ)下ＳＴ的期望值将 Ｅ[Ｇ]按有效期无风险连续复利ｒＴ贴 现,得期权初始合理价格:
二、Ｂ-Ｓ定价模型的推导与 运用
(一)Ｂ-Ｓ模型的推导Ｂ-Ｓ模型的推导 是由看涨期权入手的,对于一项看涨期权 ,其到期的期值是:Ｅ[Ｇ]=Ｅ[ｍａｘ(ＳＴ -Ｌ,Ｏ)]
其中,Ｅ[Ｇ]—看涨期权到期期望值
ＳＴ—到期所交易金融资产的市场价值
Ｌ—期权交割(实施)价
到期有两种可能情况:
1、如果ＳＴ>Ｌ,则期权实施以进帐(ｉｎｔｈｅ-ｍｏｎｅｙ)生效,且ｍａｘ(ＳＴ-Ｌ, Ｏ)=ＳＴ-Ｌ