算法7-- 二叉树的应用

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优点:
在算法执行过程中，通过建立一个高度为2p 的满二叉树来实现对一个2PX2P的二维数组的动 态说明，p可以是一个变量。可以自由地使用动 态数组。 付出的代价: 数组的说明不再是常数时间可完成的了，它 需耗时O(22P)，与矩阵中元素个数成正比。类似 地，对一个元素(i，j)的存取也不再是常数时间的 操作，它耗时O(p)，与矩阵中元素个数的对数成 正比。在一般情况下，动态地说明一个m*n矩阵， 耗时O(mn)，存取其中的元素耗时O (logm+logn)。
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A00 A01 B00 B01 C 00 C 01 A10 A11 B10 B11 C 10 C 11 Cij Ai 0 B0 j Ai 1 B1 j( 0 i , j 1 )
图4-22 分块矩阵乘法
容易看出，如果每个子矩阵的乘积 也用上 述方法递归地进行计算，我们便需要使用动 态数组。
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用二叉树可以解决该问题
设矩阵A、B和C均为n*n矩阵，且n＝2p， p>0。当p=0时，n＝1，此时A、B和C均 由单个元素组成。假设各矩阵的行、列下 标为0…n-1，而不是1…n。我们用一个高 度为2p的满二叉树来表示每一个2p*2p的 矩将矩阵中的元素存储在这棵满二叉树的 叶结点中，如图所示。
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在表示矩阵A的满二叉树中，各边的0、1标记 按从上层到下层的次序交替地指示出子矩阵的行 列划分。 例如，A00 和A01的元素在根结点的左子树 中，而A10和A11的元素在根结点的右子树中。
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一般地，矩阵A的第I行第J列(0≤i，j≤n-1)元素 在满二叉树中的存储位置可按如下方法找到。 首先分别将i和j表示成p位的二进制数
二叉树的应用
树和二叉树在计算机科学中有广泛的 应用。在程序设计语言的编译和符号代数 系统中对表达式进行代数处理。在这里， 我们要讨论二叉树的另外一个应用，即用 二叉树来实现动态数组。
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我们不能在一个过程或一个函数中对数 组作动态的说明，如：
Var A：array[l．．m] of integer；其中m 是一个变量。 例如：在计算两个 2n*2n 的矩阵 A 和 B 的 积时，我们可以用矩阵分块的方法来递归地 进行计算。我们将 A 和 B 各划分成4个 n*n 的子矩阵，则 A 和 B 的乘积 C＝AB 可分 块地表示为如下图所示。
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二叉树中存储矩阵元素(0，0)的叶结点可沿路径 0000找到；存储矩阵元素(0，3)的结点可沿路径
0101找到；存储矩阵元素(1，1)的结点可沿路径
0011找到；
子矩阵A00由路径00所确定的子树给出；子矩阵A10
由路径10所确定的子树给出；等等。在这种二叉 树表示方式下，很容易对矩阵进行分块处理。 对于任何 0≤ q < p，容易将矩阵划分成的子矩阵。
i i0 i1 ... i p1和j j0 j1 ... j p1
i p 1 j p 1 然后按照二进位串 i0 j0 i1 j1 ...
指示的边的标号序列，从根结点开始搜索到叶 结点，则该叶结点中存储的就是A的第i行第j列 元素。
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图4—24是当P＝2时，一个4X4矩阵 的二叉树表示。
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