_第6讲隐函数微分法

X ∈ R n 时, 相应地总有满足该
方程的唯一的 u 值存在 , 则称该方程 在 内确定隐函数 u = f ( X ) .
X = ( x1 , L , xn )
二. 一元函数的隐函数求导法
利用多元函数的偏导数求 一元函数的隐函数导数的公式
设 F ( x, y ) = 0 确定隐函数 y = f (x) . 若 F ( x, y ) ∈ C 1 , 则对方程 F ( x, y ) = 0 两边关于 x 求导, 得
( F , G) 当 ≠ 0 时, (u , v) ( F , G) v (u , y ) = ( F , G) y (u , v)
问题2 将 x 看成常数
例4
u v+ x = 0 确定函数 u = u ( x, y ), 设{ 2 u+v y =0 u u v v 。 , v = v( x, y ), 求 , , x y x y
如果在方程式 F ( x, y, z ) = 0 中, 2 ( x, y ) ∈ R 时, 相应地总有满足 该方程的唯一的 z 值存在, 则称该方 程在 内确定隐函数 z = f ( x, y ) .
注意, 隐函数不一定都能显化.
将概念推广到一般情形
如果在方程式 F ( X , u ) = 0 中,
z z , 其中, F ∈ C1. 求 , x y
F = F1′ + yzF2′ , 解 x
F F = F1′ + xyF2′ , = F1′ + xzF2′ , z y
故
F1′ + yzF2′ z = F1′ + xyF2′ x
F1′ + xzF2′ z = F1′ + xyF2′ y
( F1′ + xyF2′ ≠ 0)
( x + 2 y ln 2 ≠ 0 )
故
F dy y 2 x ln 2 = x = F x + 2 y ln 2 dx y
三.由一个方程确定的隐函数求导法
多元隐函数 的导数
一个方程确定 的隐函数 方程组确定 的隐函数
定理
(隐函数存在定理) 设 1. F ( x, y, z ) ∈ C 1 (U( x0 , y0 , z0 )) ; 2. F ( x0 , y0 , z0 ) = 0 ; 3. Fz′( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0 ,
由隐函数存在定理的条件及多元函数求导方法, 对方程 F(x, y, z) = 0 两边关于 x , y 求偏导, 得
F F z F F z + =0 + =0 , y z y x z x
因为 F ( x, y, z ) ∈ C 1 (U( x0 , y0 , z0 )) , Fz′( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0 , 由连续函数性质 U(( x0 , y0 )) , 在其中 Fz′( x, y, z ) ≠ 0 , 故
同理可得
2u ( F , G) = (u , x) 1 1 = 1 0
v 1 = x 4uv + 1
u u 1 = y 4uv + 1 v 2u = y 4uv + 1
0 1 ( F , G) = 1 = ( y, v) 1 2v
2u ( F , G) = (u , y ) 1
0 = 2u 1
隐函数存 在的条件
则方程 F ( x, y, z ) = 0 在 U(( x0 , y0 )) 内唯一 确定一个函数 z = f ( x, y ) ∈ C 1 (U( x0 , y0 )) 且 z0 = f ( x0 , y0 ) , F ( x, y, f ( x, y )) ≡ 0 .
隐函数存在定理只是告诉我们在一定 的条件下隐函数存在、唯一、可导 , 但没 有告诉我们求隐函数偏导数的方法 . 怎么 求隐函数的导数呢 ?
2. Fi ( X 0 , Y0 ) = 0 , i = 1, 2,L, m； 3.
问题2 想想, 怎么做 ？
利用问题 1 的结论 , 你 可能已经知道应该怎么做 了. 分别将 x 或 y 看成常数
依葫芦画瓢哦 ！
问题2 想想, 怎么做 ？
请自己动手做
问题2 想想, 怎么做 ？
对方程组中的每个方 程关于变量 x 求导, 然后 解关于 u v 和 x x 的二元一次方程组. 问题2 将 y 看成常数
追加 30 秒.
30 秒完成.
请同学们运用点函数, 将上面的隐函数 存在定理推广至一般的 n 元函数情形.
现在对答案
定理
(隐函数存在定理) 设 1. F ( X , u ) ∈ C 1 (U( X 0 , u0 )) ；
2. F ( X ) = 0 ； 0F 求导公式？ u F ′( Xxiu ) ≠ 0 , 3. = 0 , 0 (i = 1, 2, L , n) u F xi 则方程 F ( X , u ) = 0 在 U(( X 0 )) 内唯一确定函数 u 求导公式 1 u = f ( X ) ∈ C ( U( X 0 )) 且 u0 = f ( X 0 ) , F ( X , f ( X )) ≡ 0 .
雅可比行列式记号
F1 x1
F1 x2 F2 x2
L L
L
F1 xn F2 xn
=
F2 x1
L
Fn x1
L L L
Fn x2 Fn xn
当所出现的函数均有一阶连续偏导时, 雅可比行列式有以下两个常用的性质：
( u 1 , u 2 , L , u n ) ( x1 , x 2 , L , x n ) 1. ( x , x , L , x ) ( u , u , L , u ) = 1 . 1 2 n 1 2 n
,
F z G z
我们实际上已找到了求方程组确定的隐函数的偏 导数的公式(之一).
设 F , G ∈ C 1 , 方程组
F ( x, y , u , v ) = 0 G ( x, y, u , v) = 0
确定函数 u = u ( x, y ) , v = v( x, y ) ,
u u v v , , , 。 求 x y x y
F z = x F x z
,
公 式
F z y . = F y z
例
求方程 e
xy
2 z + e z = 0 所确定的
函数 z = z ( x, y ) 的偏导数. 令 F ( x, y, z ) = e xy 2 z + e z , 则
F xy = ye , x
解
F = xe xy , y
在实际求解时, 我们往往按照 前面分析的过程, 对方程组中的每 一个方程两边关于某一个变量求导, 然后解关于相应的偏导数的代数方 程组.
问题 1 和问题 2 的方法可以推广到 更一般的情形.
定理 (隐函数存在定理) 设 1. Fi ( X , Y ) ∈ C 1 (U( X 0 , Y0 )) , i = 1, 2,L, m；
设 F , G ∈ C 1 , 方程组
F ( x, y , z ) = 0 G ( x, y, z ) = 0
确定函数 z = z (x) , y = y (x) ,
dy dz 求 。 , dx dx
问题1 想想, 怎么做 ？
方程组中每个方程两边关于 x 求导：
F F d y + + x y d x G G d y + + x y d x
F d y F + y d x z G d y G + y d x z
F d z =0Leabharlann Baiduz d x
移项, 得
G d z =0 z d x
dz F = dx x
G dz = x dx
运用克莱满法则解此二元一次方程组
( F , G) ≠ 0 时, 方程组有唯一解： 当 ( y, z ) ( F , G) ( F , G) ( x, z ) ( y, x) dy dz
问题2 将 y 看成常数
对方程组中的每个方 程关于变量 y 求导, 然后 解关于 u v 和 y y 的二元一次方程组. 问题2 将 x 看成常数
( F , G) 当 ≠ 0 时, (u , v) ( F , G) u ( y, v) = ( F , G) y (u , v)
问题2 将 x 看成常数
四.由方程组确定的隐函数求导法
为了将一个方程确定的隐函数的求 导方法推广至由方程组确定的隐函数的 情形, 我们首先要介绍雅可比行列式.
雅可比行列式
设 ui = Fi ( x1 , x2 ,L, xn ) ∈ C 1 (), (i = 1,2,L n )
(u1 , u2 ,L, un ) ( F1 , F2 , L , Fn ) = J= ( x1 , x2 ,L, xn ) ( x1 , x2 , L , xn )
F xy = ye , x
解
F = xe xy , y
F = 2 + ez , z z
故
F xy xe xy z y xe = = = z z F y 2+e e 2 z
(e 2 ≠ 0)
z
例
设 F ( x + y + z , xyz ) = 0 确定 z = z ( x, y ),
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（三）
—— 多元微积分学
第六讲 隐函数的微分法
主讲教师：王利平 主讲教师：
脚本编写：王利平
课件制作：王利平
第一章 多元函数微分学 第六节 隐函数的微分法
本节教学要求： 本节教学要求： 正确理解多元隐函数的概念。 正确理解多元隐函数的概念。 熟练掌握一元隐函数微分法则。 熟练掌握一元隐函数微分法则。 熟练掌握一个方程确定的多元隐函数微分法则。 熟练掌握一个方程确定的多元隐函数微分法则。 了解由方程组确定的多元隐函数微分法则。 了解由方程组确定的多元隐函数微分法则。 了解隐函数存在定理。 了解隐函数存在定理。
F F d y + =0 x y d x
从而得到一元隐函数求导公式
F dy = x F dx y F ( ≠0 ) y
例
dy . 设 xy 2 + 2 = 0 , 求 dx
x y
解
令 F ( x, y ) = xy 2 + 2 , 则
x y
F y 2 x ln 2 , = x x
F = x + 2 y ln 2 y y
2. (u1 , u 2 , L , u n ) = (t1 , t 2 , L , t n )
复合函数情形
(u1 , u 2 , L , u n ) ( x1 , x 2 , L , x n ) . ( x1 , x 2 , L , x n ) (t1 , t 2 , L , t n )
dx
其中
=
( F , G) ( y, z )
F z G z
,
dx
=
( F , G) ( y, z )
F ( F , G ) y = G ( y, z ) y
.
F ( F , G ) x = G ( x, z ) x
,
F ( F , G ) y = ( y, x) G y
F x G x
F = 2 + ez , z z
故
F xy xy z ye x = ye = = z z F x e 2 2+e z
(e 2 ≠ 0)
z
例
求方程 e
xy
2 z + e z = 0 所确定的
函数 z = z ( x, y ) 的偏导数. 令 F ( x, y, z ) = e xy 2 z + e z , 则
本节关键概念和理论
隐函数 隐函数存在定理 雅可比行列式
第六节 隐函数的微分法
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隐函数(二元 二元)的概念 一. 隐函数 二元 的概念 二. 一元函数的隐函数求导法 三.由一个方程确定的隐函数求导法 由一个方程确定的隐函数求导法 四.由方程组确定的隐函数求导法 由方程组确定的隐函数求导法
一. 隐函数(二元)的概念
2
解
令 F ( x, y , u , v ) = u 2 v + x ,
G ( x, y , u , v ) = u + v y ,
2
则
2u ( F , G) = (u , v) 1
1 ( F , G) = 0 ( x, v )
1 2v
= 4uv + 1
1 = 2v 2v
2v u = x 4uv + 1
( F , G) 当 ≠ 0 时, (u , v) ( F , G) u ( x, v ) = ( F , G) x (u , v)
问题2 将 y 看成常数
( F , G) 当 ≠ 0 时, (u , v) ( F , G) v (u , x) = ( F , G) x (u , v)