2021-2022年高中数学集合必会基础题型1

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2021-2022年高中数学集合测试题1 新人教B版必修1

2021-2022年高中数学集合测试题1 新人教B 版必修1一．选择题1．下列说法正确的是（）A ．某个村子里的年青人组成一个集合B ．所有小正数组成的集合C ．集合｛１，２，３，４，５｝和｛５，４，３，２，１｝表示同一个集合D ．这些数组成的集合有五个元素 2．下面有四个命题：（１）集合Ｎ中最小的数是否；（２）０是自然数；（３）｛１，２，３｝是不大于３的自然数组成的集合；（４）,a N B N a b ∈∈+则不小于2 其中正确的命题的个数是（） A ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个3．给出下列关系：（１）（２）（３）（４）其中正确的个数为（）Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个4．给出下列关系：（１）｛０｝是空集；（２）（３）集合{}2210A x R x x =∈-+= （４）集合其中正确的个数为（）Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．０个５．下列四个命题：（１）空集没有了集；（２）空集是任何一个集合的真子集；（３）空集的元素个数为零；（４）任何一个集合必有两个或两个以上的子集．其中正确的有（）Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．3个６．已知集合{}{}5,1,A x R x B x R x =∈≤=∈>那么等于（）Ａ．｛１，２，３，４，５｝Ｂ．｛２，３，４，５｝Ｃ．｛２，３，４｝Ｄ．７．已知全集集合{}{}()0,1,2,0,3,4,I M N M N =--=--=则（）Ａ．｛０｝Ｂ．Ｃ．Ｄ．二．填空题８．方程的解集为{}22320,x R x x ∈--=用列举法表示为____________.９．用列举法表示不等式组()27211,325312x x x x x -⎧+->-⎪⎪⎨-⎪-≤-⎪⎩的整数解集合为____________.10．已知Ａ＝｛菱形｝，Ｂ＝｛正方形｝，Ｃ＝｛平行四边形｝，那么Ａ，Ｂ，Ｃ之间的关系是__________.11．已知全集Ｕ＝Ｎ，集合，则用列举法表示为_____________.三．解答题12．已知{}{}2230,2560,.A x x x B x x x AB =--==-+=求13．已知{}{}2246,,218,A y y x x y N B y y x x y N A B ==-+∈==--+∈,求．14．若集合{}{}{}21,3,,,1,1,3,,A x B x AB x ===且则满足于条件的实数的个数有（）Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个15．设集合{}{}23,0,1,1,A B t t AB A =-=-+=若，则实数______________．16．已知全集{}{}5,42,13,0,2U R A x x B x x P x x x ⎧⎫==-≤<=-<≤=≤≥⎨⎬⎩⎭或那么()_______,________A B A BP ==．17．已知集合{}{}{}220,20,1,.A x x px q B x x px q AB AB =++==--==-且求18．设{}{}1,,A x x B x x a =>=>⊆且A B,求a 的取值范围．19{},a R b R +∈∈连接起来．20．已知集合{}{}{}222430,10,10,A x x x B x x ax a C x x mx =-+==-+-==-+=,,,AB A AC C a m ==且求的值或取值范围．29693 73FD 珽28716 702C 瀬24166 5E66 幦N35051 88EB 裫40687 9EEF 黯Ji25059 61E3 懣 a21210 52DA 勚30417 76D1 监8。

2021-2022学年新教材湘教版高中数学必修第一册第一章集合与逻辑知识点考点重点题型归纳总结

第一章集合与逻辑1.1集合 (1)1.1.1集合 (1)第一课时集合与元素 (1)第二课时表示集合的方法 (5)1.1.2子集和补集 (9)1.1.3集合的交与并 (14)1.2常用逻辑用语 (19)1.2.1命题 (19)1.2.2充分条件和必要条件 (22)1.2.3全称量词和存在量词 (27)1.1集合1.1.1集合第一课时集合与元素知识点一元素与集合的相关概念1．集合：把一些对象放在一起考虑时，这些对象组成了一个集合或集．通常用大写拉丁字母表示，如A，B，…表示集合．2．元素：这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素．通常用小写拉丁字母表示，如a，b…表示元素．3．集合中元素的三个基本属性只作描述性说明．2．集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．1．集合中的元素只能是数、点、代数式吗？提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等．2．某班所有的高个子男生能否构成一个集合？提示：某班所有的高个子男生不能构成集合，因为高个子男生没有明确的标准．知识点二元素与集合的关系表达集合和它的元素之间的归属关系的符号是∈.(1)属于：若S是一个集合，a是S的一个元素，记作“a∈S”，读作：“a属于S”；(2)不属于：若a不是S的元素，记作a∉S(或a S)读作“a不属于S”．1．元素与集合之间有第三种关系吗？提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种关系．2．符号“∈”“∉”的左边可以是集合吗？提示：“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合，所以左边不可以是集合．知识点三常见的数集及符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋Z Q RN与N＋有何区别？提示：N是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集＋多一个元素0.合，所以N比N＋知识点四集合的分类1．有限集：元素个数有限的集合(或有穷集)． 2．无限集：元素无限多的集合叫无限集(或无穷集)． 3．空集：没有元素的集合叫空集．记作∅，空集也是有限集．集合的概念[例1] (多选)判断下列每组对象，能组成一个集合的是( ) A ．某校高一年级成绩优秀的学生 B ．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C ．不小于3的自然数D ．2018年第23届冬季奥运会金牌获得者[解析] A 中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能组成一个集合；B 、C 、D 中的对象都满足确定性，所以能组成集合．[答案] BCD判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．元素与集合的关系[例2] (1)(多选)由不超过5的实数组成集合A ，a ＝2＋3，则( ) A ．a ∈A B ．a 2∈A C.1a ∈AD ．a ＋1∈A(2)若集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________． [解析] (1)a ＝2＋3＜4＋4＝4＜5，所以a ∈A .a ＋1＜4＋4＋1＝5，所以a ＋1∈A ，a 2＝(2)2＋22×3＋(3)2＝5＋26＞5，所以a 2∉A ，1a ＝12＋3＝3－2（2＋3）（3－2）＝3－2＜5，所以1a ∈A .(2)由题意可得：x为自然数，所以63－x可以为2，3，6，因此x的值为2，1，0.因此A中元素有2，1，0.[答案](1)ACD(2)2，1，0判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：①使用前提：集合中的元素是直接给出的；②判断方法：首先明确集合由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可；(2)推理法：①使用前提：对于某些不便直接表示的集合；②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．元素特性的应用[例3]________．[解析]若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.[答案]－1[母题探究]1．(变条件)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a 的值．解：因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝2或a＝－ 2.经检验符合元素的互异性．2．(变条件)本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？解：因为A中有两个元素a和a2，所以a≠a2，解得a≠0且a≠1.3．(变条件)已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．解：由a∈A可知，当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1.当a＝a2时，a＝0或a＝1(舍去)．综上可知，a＝0.根据集合中元素的特性求值的三个步骤第二课时表示集合的方法知识点一列举法把集合中的元素一一列举出来，并用大括号“{}”括起来表示集合的方法叫作列举法．用列举法表示集合的注意点(1)元素与元素之间需用“，”隔开；(2)集合中的元素必须是确定的；(3)不必考虑元素出现的前后顺序，但不能重复．知识点二描述法把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合，这种表示方法叫作描述法．用描述法表示集合的注意点(1)写清楚集合中的代表元素，如数或点等；(2)说明该集合中元素的共同属性，如满足的方程、不等式、函数或几何图形等；(3)所有描述的内容都要写在大括号内，用于描述内容的语言力求简洁、准确；(4)“{}”有“所有”“全体”的含义，因此自然数集可以表示为{x|x为自然数}或N，但不能表示为{x|x为所有自然数}或{N}．知识点三区间的相关概念1．区间的概念及记法设a，b是两个实数，且a<b，我们规定：定义名称符号数轴表示{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a≤x<b}左闭右开区间[a，b){x|a<x≤b}左开右闭区间(a，b]2．无穷大实数集R可以表示为(－∞，＋∞)，符号“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．3．特殊区间的表示定义区间数轴表示{x|x≥a}[a，＋∞){x|x>a}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|x<b}(－∞，b)理解区间概念时的注意点(1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开；(2)区间表示实数集的三个原则：连续的数集，左端点必须小于右端点，开或闭不能混淆；(3)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数，以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小括号．用列举法表示集合[例1] 用列举法表示下列集合： (1)方程x 2－1＝0的解组成的集合； (2)单词“see ”中的字母组成的集合； (3)所有正整数组成的集合；(4)直线y ＝x 与y ＝2x －1的交点组成的集合．[解] (1)方程x 2－1＝0的解为x ＝－1或x ＝1，所求集合用列举法表示为{－1，1}．(2)单词“see ”中有两个互不相同的字母，分别为“s ”“e ”，所求集合用列举法表示为{s ，e}．(3)正整数有1，2，3，…，所求集合用列举法表示为{1，2，3，…}． (4)方程组⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2x －1的解是⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，所求集合用列举法表示为{(1，1)}．列举法表示集合的步骤及注意点分清元素列举法表示集合，要分清是数集还是点集书写集合列元素时要做到不重复、不遗漏[提醒] 二元方程组的解集、函数的图象、点形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2，3)，(5，－1)}．用描述法表示集合[例2](1)函数y ＝－x 的图象上的点组成的集合； (2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合； (3)不等式x －2＜3的解组成的集合． [解] (1){(x ，y )|y ＝－x }．(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合用描述法表示为{x ∈R ||x |＞3}．(3)不等式x－2＜3的解是x＜5，则不等式x－2＜3的解组成的集合用描述法表示为{x|x＜5}．描述法表示集合的2个步骤用区间表示集合[例3](链接教科书第5页例5)用区间表示下列集合：(1){x|x＞－1}＝________；(2){x|2＜x≤5}＝________；(3){x|x≤－3}＝________；(4){x|2≤x≤4}＝________．[解析](1)集合{x|x＞－1}可用开区间表示为(－1，＋∞)；(2)集合{x|2＜x≤5}可用半开半闭区间表示为(2，5]；(3)集合{x|x≤－3}可用半开半闭区间表示为(－∞，－3]；(4)集合{x|2≤x≤4}可用闭区间表示为[2，4]．[答案](1)(－1，＋∞)(2)(2，5](3)(－∞，－3](4)[2，4]用区间表示数集的方法(1)区间左端点值小于右端点值；(2)区间两端点之间用“，”隔开；(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．1.1.2子集和补集知识点一子集1．韦恩图(Venn图)用平面上封闭曲线的内部表示集合．如图，这类表示两集合间关系的示意图叫作韦恩图(即Venn图)．2．子集3．两个集合相等4．真子集定义：如果A⊆B但A≠B，就说A是B的真子集．集合间关系的性质(1)空集包含于任一集合，是任一集合的子集；(2)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A；(3)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；若A B，B⊆C，则A C.1．符号“∈”与“⊆”有什么区别？提示：①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N.②“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1，2，3}⊆{3，2，1}．③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合．2．∅与0，{0}，{∅}有何区别？提示：∅与0∅与{0}∅与{∅}相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合；0是实数∅不含任何元素；{0}含一个元素0∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅关系0∉∅∅{0}∅{∅}知识点二补集1．全集：如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合U的元素和子集，就可以约定集合U叫作全集(或基本集)．2．补集定义若A是全集U的子集，U中不属于A的元素组成的子集，叫作A的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言1．补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．2．补集的性质(1)若A⊆U，则①∁U A⊆U；②∁U(∁U A)＝A；③(∁U U)＝∅；④∁U∅＝U.(2)已知A⊆U，B⊆U，相关结论如下：①若A⊆B，则∁U A⊇∁U B；②若∁U A⊇∁U B，则A⊆B.特别地，若A＝B，则∁U A＝∁U B；反之，若∁U A＝∁U B，则A＝B.集合间关系的判断[例1]指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；(2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}；(5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}．[解](1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A B.(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N＋，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.(5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，因为任意n∈Z，n＝2×(－n)＋3n∈A，所以A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}＝Z，因为任意n∈Z，n＝4n－3n∈B，所以B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}＝Z，所以A＝B＝Z.判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系；(2)集合元素特征法：先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系．一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系；(3)数形结合法：利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法．确定有限集合的子集、真子集及其个数[例2](1)集合M＝{1，2，3}的真子集个数是()A．6 B．7C．8 D．9(2)满足{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}的集合M有________个．[解析](1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个元素的真子集为∅，含有1个元素的真子集有3个{1}，{2}，{3}，含有2个元素的真子集有{1，2}，{1，3}和{2，3}，共有7个真子集，故选B.(2)由题意可得{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；含有四个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；含有五个元素：{1，2，3，4，5}．故满足题意的集合M共有7个．[答案](1)B(2)7求集合子集、真子集个数的3个步骤补集的求法[例3](1)∁U M＝()A．U B．{1，3，5}C．{3，5，6} D．{2，4，6}(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－2或x＞2}，则∁U A＝________．[解析](1)因为U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，由补集的定义，可知∁U M＝{3，5，6}．(2)如图，在数轴上表示出集合A，可知∁U A＝{x|－2≤x≤2}．[答案](1)C(2){x|－2≤x≤2}求集合补集的2种方法(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．由集合间的关系求参数值(范围) [例4]已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1<x<m}(m>1)，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．[解析]由于B⊆A，结合数轴分析可知，m≤4，又m>1，所以1<m≤4.[答案](1，4][母题探究]1．(变条件)本例若将“B＝{x|1<x<m}(m>1)”改为“B＝{x|1<x<m}”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？解：若m≤1，则B＝∅，满足B⊆A.若m>1，则由例题解析可知1<m≤4.综上可知实数m的取值范围是(－∞，4]．2．(变条件)本例若将“B＝{x|1<x<m}(m>1)”改为“B＝{x|2m－1<x<m＋1}”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？解：因为B ⊆A ，①当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.②当B ≠∅时，有⎩⎨⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上得实数m 的取值范围为[－1，＋∞)．3．(变条件)本例若将集合A ，B 分别改为A ＝{－1，3，2m －1}，B ＝{3，m 2}，其他条件不变，则实数m 的值又是什么？解：因为B ⊆A ，所以m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，所以m ＝1，当m ＝1时，A ＝{－1，3，1}，B ＝{3，1}满足B ⊆A .所以m 的值为1.由集合间的包含关系求参数的方法(1)当集合为不连续数集时，常根据集合间包含关系的意义，建立方程(组)求解，此时应注意分类讨论；(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．[注意] (1)不能忽视集合为∅的情形；(2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论．1.1.3 集合的交与并知识点一两个集合的交两个集合交运算的性质A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝A⇔A⊆B.知识点二两个集合的并两个集合并运算的性质A∪B＝B∪A；A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝A⇔B⊆A.对并集、交集概念的再理解(1)A∪B、A∩B都是一个集合；(2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x∉B”；“x∈B，但x∉A”；“x∈A，且x∈B”；(3)交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素．集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？提示：不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和．交集的运算[例1](1)A∩B＝()A．∅B．{2}C．{0}D．{－2}(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}[解析](1)方程x2－x－2＝0的解为x＝－1或2，∴B＝{－1，2}，∴A∩B＝∅.故选A.(2)在数轴上表示出集合A与B，如图所示，则由交集的定义知，A∩B＝{x|0≤x≤2}．[答案](1)A(2)A求两个集合的交集的方法(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可；(2)对于元素是连续实数的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．并集的运算[例2](x≤5}，N＝{x|x ＜－5或x＞5}，则M∪N＝()A．{x|x＜－5或x＞－3} B．{x|－5＜x＜5}C．{x|－3＜x＜5} D．{x|x＜－3或x＞5}(2)已知集合M＝{0，1}，则满足M∪N＝{0，1，2}的集合N的个数是()A．2 B．3C．4 D．8[解析](1)在数轴上表示出集合M，N(图略)，可知M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}．故选A.(2)依题意，可知满足M∪N＝{0，1，2}的集合N有{2}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，共4个．故选C.[答案](1)A(2)C求集合并集的2种基本方法(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．交集、并集、补集的综合运算[例3](1)若全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{x|x2－4x＋3＝0}，N＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U(M∩N)＝()A．{4} B．{1，2} C．{1，2，4} D．{1，3，4}(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}[解析](1)∵M＝{1，3}，N＝{2，3}，∴M∩N＝{3}，∴∁U(M∩N)＝{1，2，4}，故选C.(2)由已知，得A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，故∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}，故选D.[答案](1)C(2)D解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解；(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．由集合的并集、交集求参数[例A∪B ＝A，试求k的取值范围．[解](1)当B＝∅，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.(2)当B≠∅时，要使A∪B＝A，只需⎩⎨⎧－3<k ＋1，4≥2k －1，k ＋1≤2k －1，解得2≤k ≤52. 综合(1)(2)可知，k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52. [母题探究]1．(变条件)把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∩B ＝A ”，试求k 的取值范围．解：由A ∩B ＝A 可知A ⊆B .所以⎩⎨⎧－3≥k ＋1，2k －1≥4，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤－4，k ≥52，所以k ∈∅.所以k 的取值范围为∅.2．(变条件)把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∪B ＝{x |－3<x ≤5}”，求k 的值．解：由题意可知⎩⎨⎧－3<k ＋1≤4，2k －1＝5，解得k ＝3. 所以k 的值为3.利用集合交集、并集的性质解题的方法(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B 等，解答时应灵活处理；(2)当集合B ⊆A 时，如果集合A 是一个确定的集合，而集合B 不确定，运算时一定要考虑B ＝∅的情况，切不可漏掉．1.2常用逻辑用语1.2.1命题知识点一命题的定义及分类1．逻辑用语：在数学乃至科学中常用于引入概念、表述规律、推导定理法则或交流信息的词语，经过规范化使之意义更为清楚严谨，这类词语叫做逻辑用语．2．命题的定义：可判断真假的陈述句叫做命题．3．命题的分类：判断为真(成立)的命题叫作真命题，判断为假(不成立)的命题叫作假命题．4．猜想：数学中暂时不知道真假的命题可以叫作猜想．知识点二命题及其否定的结构形式1．数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论．2．命题的否定：如果p是一个命题，则“p不成立”也是一个命题，叫作p 的否定，记作綈p，读作“非p”．对一般命题若p，则q的否定为若p，则綈q．3．命题的否定与原命题的真假性.命题p 綈p真假假真命题的概念[例1](1)π3是有理数；(2)3x2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)一个数的算术平方根一定是负数．[解] (1)“π3是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(2)因为无法判断“3x 2≤5”的真假，所以它不是命题．(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．(4)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．判断语句是否是命题的策略(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题；(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．判断命题的真假[例2] (链接教科书第14页例1)判断下列命题的真假，并说明理由．(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当x ＝4时，2x ＋1<0；(3)若x ＝3或x ＝7，则(x －3)(x －7)＝0.[解] (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．(2)是假命题，x ＝4不满足2x ＋1<0.(3)是真命题，x ＝3或x ＝7能得到(x －3)(x －7)＝0.命题真假的判定方法(1)真命题的判断方法：要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证；(2)假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．命题的结构形式[例3](1)6是12和18的公约数的否定；(2)当a >－1时，方程ax 2＋2x －1＝0有两个不等实根；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.[解](1)若一个数是6，则它不是12和18的公约数，是假命题．(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题．(4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则[注意]若判断一个命题的真假性时，从原命题入手不易判断时，可以考虑判断该命题的否定的真假性，根据p与綈p的真假关系得出结论．由命题的真假求参数的范围[例4](2021·苏州检测)已知集合A＝[－3，6)，B＝(－∞，a)，若A∩B＝∅是假命题，则实数a的取值范围是________．[解析]法一：若A∩B＝∅是真命题，则a≤－3，∴A∩B＝∅是假命题时，a>－3.法二：若A∩B＝∅是假命题，则A∩B≠∅是真命题，即集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，易得a>－3.[答案](－3，＋∞)由命题的真假求参数的取值范围的基本步骤第一步，明确命题的条件和结论；第二步，根据所学知识写出命题为真时参数所满足的条件；第三步，化简相应的条件，求出参数的取值范围．[注意]若求命题为假时参数的取值范围，可求命题为真时参数取值范围对应的补集．1.2.2充分条件和必要条件知识点一充分条件和必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p q条件关系p叫作q的充分条件；q叫作p的必要条件p不是q的充分条件；q不是p的必要条件1．判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．2．充分条件、必要条件的理解p⇒q可以理解为若p成立，则q一定也成立，即p对于q的成立是充分的；反过来，若q不成立，则p必不成立，即q对于p的成立是必要的．1．p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？提示：相同，都是p⇒q.2．以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？提示：这五种表述形式是等价的．知识点二充分必要条件(充要条件)1．定义：如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．即p既是q的充分条件，又是q的必要条件，此时我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件．当然，此时q也是p的充分必要条件．2．记法：如果p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”，或“p等价于q”．3．传递性：“⇒”和“⇔”都具有传递性，即(1)如果p⇒q，q⇒s，那么p⇒s；(2)如果p⇔q，q⇔s，那么p⇔s．对充分必要条件的再理解(1)如果一个命题和它的逆命题都成立，则此命题的条件和结论互为充分必要条件；(2)p是q的充分必要条件⇔p成立当且仅当q成立．1．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？提示：正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.2．“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示：p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；p的充要条件是q说明q 是条件，p是结论．充分、必要、充要条件的判断[例1]下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(2)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分；(3)p：xy>0，q：x>0，y>0；(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．[解](1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1，x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．(2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即p⇒q.反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即q p.所以p 是q 的充分不必要条件．(3)因为xy >0时，x >0，y >0或x <0，y <0.故p q ，但q ⇒p .所以p 是q 的必要不充分条件．(4)因为⎩⎨⎧四边形的对角线相等⇒/ 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形⇒/ 四边形的对角线相等，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．充分、必要、充要条件的判断方法(1)定义法若p ⇒q ，q p ，则p 是q 的充分不必要条件；若p q ，q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；若p q ，q p ，则p 是q 的既不充分又不必要条件．(2)集合法对于集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }，具体情况如下：若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若AB ，则p 是q 的充分不必要条件；若A B ，则p 是q 的必要不充分条件．充分条件与必要条件的应用[例2] 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．[解] p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎨⎧1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎨⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．[母题探究]1．(变条件)若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解：p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎨⎧1－m <－2，1＋m ≥10.解得m ≥9，故实数m 的取值范围是{m |m ≥9}．2．(变设问)本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解：p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎨⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，方程组无解．故不存在实数m ，使得p 是q 的充要条件．充分条件与必要条件的应用技巧及求解步骤(1)应用技巧：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题；(2)求解步骤：先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．充要条件的证明[例3] (相等实根的充要条件是－13<m <0.[证明] (1)充分性：∵－13<m <0，∴方程x 2－2x －3m ＝0的判别式Δ＝4＋12m >0，且－3m >0，∴方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等的实根．(2)必要性：若方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎨⎧Δ＝4＋12m >0，x 1x 2＝－3m >0，解得－13<m <0. 综合(1)(2)知，方程x 2－2x －3m ＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－13<m <0.充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p 的充要条件是q ”，那么“充分性”是q ⇒p ，“必要性”是p ⇒q ；若证明“p 是q 的充要条件”，则与之相反； (2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．[注意] 证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向．充分条件、必要条件、充要条件的探求( )A ．m <12B ．m <14C ．m <－12D ．m <－14(2)若a ，b 都是实数，试从①ab ＝0；②a ＋b ＝0；③ab >0中分别选出适合下列条件者，用序号填空．(ⅰ)a ，b 都为0的必要条件是________；(ⅱ)使a ，b 都不为0的充分条件是________．[解析] (1)由题意可得Δ＝b 2－4ac ＝1－4×1×m ≥0，解得m ≤14.四个选项中，只有m <12是m ≤14的必要条件，故选A.。

2021-2022学年高一数学考点讲练(必修一)第一章集合与常用逻辑用语总结(解析版)

第一章集合与常用逻辑用语总结提升与检测知识归纳知识点1：集合的含义1．元素与集合的相关概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．2．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∈A.3．常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R知识点2：集合的表示1．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．知识点3：集合间的基本关系2．子集、真子集、集合相等的相关概念3．空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∈.(2)规定：空集是任何集合的子集．4．集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A∈A.(2)对于集合A，B，C，∈若A∈B，且B∈C，则A∈C；∈若A B，B C，则A C.(3)若A∈B，A≠B，则A B.知识点4：并集与交集1．并集2．交集3．并集与交集的运算性质知识点5：补集1．全集(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.2．补集知识点6：充要条件1．充分条件与必要条件p qp不是q的充分条件(1)一般地，如果既有p∈q，又有q∈p，就记作p∈q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p∈q，那么p与q互为充要条件．(2)若p∈q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．(3)若q∈p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．(4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．知识点7：全称量词与存在量词1．全称量词与全称量词命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∈”表示．(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∈x∈M，p(x)．2．存在量词与存在量词命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∈”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∈x∈M，p(x)”．3．含有一个量词的命题的否定﹁一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：全称量词命题p：∈x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∈x∈M，﹁p(x)；存在量词命题p：∈x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∈x∈M，﹁p(x)．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．题型讲解题型1：集合的并、交、补运算【例1】已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}．（1）用列举法表示集合A与B；（2）求A∩B及∈U(A∈B)．【解析】(1)由题知，A＝{2,3,4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1,2}．(2)由题知，A∩B＝{2}，A∈B＝{1,2,3,4}，所以∈U(A∈B)＝{0,5,6}．【方法技巧】集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可得.有些题目与解不等式或方程相结合，需要先正确求解不等式，再进行集合运算.还有的集合问题比较抽象，解题时需借助Venn图进行数形分析或利用数轴等，采用数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.【针对训练】1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∈U(A∈B)＝()A．{1,3,4}B．{3,4}C．{3} D．{4}【解析】D∈A＝{1,2}，B＝{2,3}，∈A∈B＝{1,2,3}，∈∈U (A ∈B )＝{4}．考点2：集合关系和运算中的参数问题【例2】已知集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}．（1）若(∈R A )∈B ＝R ，求a 的取值范围；（2）是否存在a 使(∈R A )∈B ＝R 且A ∩B ＝∈？【解析】(1)A ＝{x |0≤x ≤2}，∈∈R A ＝{x |x <0或x >2}． ∈(∈R A )∈B ＝R ，∈⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋3≥2. ∈－1≤a ≤0.(2)由(1)知(∈R A )∈B ＝R 时，－1≤a ≤0，而2≤a ＋3≤3， ∈A ∈B ，这与A ∩B ＝∈矛盾．即这样的a 不存在．【方法技巧】根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如A ∈B 的问题转化为A B 或A ＝B ，进而列出不等式组，使问题得以解决.在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体.要注意作图准确，分类全面.【针对训练】2．已知集合A ＝{x |－3≤x ＜2}，B ＝{x |2k －1≤x ≤2k ＋1}，且B ∈A ，求实数k 的取值范围. 【解析】由于B ∈A ，在数轴上表示A ，B ，如图，可得⎩⎪⎨⎪⎧2k －1≥－3，2k ＋1＜2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，k ＜12.所以k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪－1≤k ＜12. 题型3：充分条件与必要条件【例3】已知a ≥12，y ＝－a 2x 2＋ax ＋c ，其中a ，c 均为实数．证明：对于任意的x ∈{x |0≤x ≤1}，均有y ≤1成立的充要条件是c ≤34.【解析】因为a ≥12，所以函数y ＝－a 2x 2＋ax ＋c 的图象的对称轴方程为x ＝a 2a 2＝12a ，且0＜12a ≤1，当x ＝12a 时，y ＝14＋c . 先证必要性：对于任意的x ∈{x |0≤x ≤1}，均有y ≤1，即14＋c ≤1，所以c ≤34.再证充分性：因为c ≤34，当x ＝12a 时，y 的最大值为14＋c ≤14＋34＝1，所以对于任意x ∈{x |0≤x ≤1}， y ＝－a 2x 2＋ax ＋c ≤1，即y ≤1. 即充分性成立．【方法技巧】利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解.【针对训练】3．若p ：x 2＋x －6＝0是q ：ax ＋1＝0的必要不充分条件，则实数a 的值为________．【解析】－12或13 [p ：x 2＋x －6＝0，即x ＝2或x ＝－3.q ：ax ＋1＝0，当a ＝0时，方程无解；当a ≠0时，x ＝－1a.由题意知p q ，q ∈p ，故a ＝0舍去；当a ≠0时，应有－1a ＝2或－1a ＝－3，解得a ＝－12或a ＝13. 综上可知，a ＝－12或a ＝13.题型4：全称量词与存在量词【例4】（1）下列语句不是全称量词命题的是( )A ．任何一个实数乘以零都等于零B ．自然数都是正整数C ．高一(一)班绝大多数同学是团员D ．每一个实数都有大小（2）命题p ：“∈x ∈R ，x 2＞0”，则( )A ．p 是假命题；﹁p ：∈x ∈R ，x 2＜0B ．p 是假命题；￢p ：∈x ∈R ，x 2≤0C ．p 是真命题；￢p ：∈x ∈R ，x 2＜0D ．p 是真命题；￢p ：∈x ∈R ，x 2≤0 【答案】(1) C (2) B【解析】(1)A 中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A 是全称量词命题；B 中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B 是全称量词命题；C 中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C 不是全称量词命题；D 中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D 是全称量词命题．故选C.(2)由于02＞0不成立，故“∈x∈R，x2＞0”为假命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“∈x∈R，x2＞0”的否定是“∈x∈R，x2≤0”，故选B.【方法技巧】“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的区别与联系(1)一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词.(2)与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定.【针对训练】4．下列命题不是存在量词命题的是()A．有些实数没有平方根B．能被5整除的数也能被2整除C．在实数范围内，有些一元二次方程无解D．有一个m使2－m与|m|－3异号【解析】B选项A、C、D中都含有存在量词，故皆为存在量词命题，选项B中不含存在量词，不是存在量词命题．5．命题“能被7整除的数是奇数”的否定是________．【解析】存在一个能被7整除的数不是奇数原命题即为“所有能被7整除的数都是奇数”，是全称量词命题，故该命题的否定是：“存在一个能被7整除的数不是奇数”．章节检测(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列表示正确的是()A．{所有实数}＝R B．整数集＝{Z}C．∈＝{∈} D．1∈{有理数}【解析】D选项A不正确，因为符号“{}”已包含“所有”“全体”的含义，因此不用再加“所有”；选项B不正确，Z表示整数集，不能加花括号；显然选项C不正确，选项D正确．2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∈(∈R B)＝()A．{x|x>1} B．{x|x≥－1}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}【解析】B由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}可知∈R B＝{x|x≥1}，∈A∈(∈R B)＝{x|x≥－1}．3．满足{1}∈X{1,2,3,4}的集合X有()A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【解析】D 集合X 可以是{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，共7个． 4．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥1”的否定是( ) A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜1B ．不存在x ∈R ，使得x 2＜1C ．存在x ∈R ，使得x 2≥1 D.存在x ∈R ，使得x 2＜1【解析】D 因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥1”的否定是：存在x ∈R ，使得x 2＜1.故选D.5．命题“∈x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( ) A ．∈x ∈R ，x 3－x 2＋1<0 B ．∈x ∈R ，x 3－x 2＋1≥0 C ．∈x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 D ．∈x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0【解析】C 由存在量词命题的否定可得，所给命题的否定为“∈x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”．故选C. 6. “a ＝－1”是“函数y ＝ax 2＋2x －1与x 轴只有一个交点”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【解析】B 当a ＝－1时，函数y ＝ax 2＋2x －1＝－x 2＋2x －1与x 轴只有一个交点；但若函数y ＝ax 2＋2x －1与x 轴只有一个交点，则a ＝－1或a ＝0，所以“a ＝－1”是“函数y ＝ax 2＋2x －1与x 轴只有一个交点”的充分不必要条件．7．a 2＞b 2的一个充分条件是( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝bD ．a ＝2，b ＝1 【解析】D A 中，当a ＝0，b ＝－2时，a 2＝0，b 2＝4，不能推出a 2＞b 2；B 中，当a ＝－1，b ＝1时，a 2＝b 2，不能推出a 2＞b 2；C 中，当a ＝b 时，a 2＝b 2，不能推出a 2＞b 2；D 中，a 2＝4，b 2＝1，能推出a 2＞b 2，故选D.8．下列命题中，真命题是( )A ．若x ，y ∈R 且x ＋y ＞2，则x ，y 至少有一个大于1B ．∈x ∈R,2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab ＝－1D ．∈x ∈R ，x 2＋2≤0【解析】A 当x ＝2时，2x ＝x 2，故B 错误；当a ＝b ＝0时，满足a ＋b ＝0，但ab ＝－1不成立，故C错误；∈x ∈R ，x 2＋2＞0，故∈x ∈R ，x 2＋2≤0错误，故选A.9．一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0 (a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( ) A ．a <0 B ．a >0 C ．a <－1D ．a >1【解析】C 方程有一个正根和一个负根时，根据韦达定理知3a ＜0，即a ＜0，a <－1可以推出a ＜0，但a ＜0不一定推出a <－1，故选C.10．已知集合A ＝{x |x ＞2}，B ＝{x |x ＜2m }，且A ∈∈R B ，那么m 的值可以是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】A 根据补集的概念，∈R B ＝{x |x ≥2m }．又∈A ∈∈R B ，∈2m ≤2. 解得m ≤1，故m 的值可以是1.11．若集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |5≤x ≤16}，则能使A ∈B 成立的所有a 组成的集合为( ) A ．{a |2≤a ≤7} B ．{a |6≤a ≤7} C ．{a |a ≤7}D ．∈【解析】C 当3a －5<2a ＋1，即a <6时，A ＝∈∈B ；当3a －5≥2a ＋1，即a ≥6时，A ≠∈，要使A ∈B ，需有⎩⎪⎨⎪⎧3a －5≤16，2a ＋1≥5，解得2≤a ≤7.综上可知，a ≤7.12．满足“闭合开关K 1”是“灯泡R 亮”的充要条件的电路图是( )【解析】C 由题图A ，闭合开关K 1或者闭合开关K 2都可以使灯泡R 亮；反之，若要使灯泡R 亮，不一定非要闭合开关K 1，因此“闭合开关K 1”是“灯泡R 亮”的充分不必要条件．由题图B ，闭合开关K 1而不闭合开关K 2，灯泡R 不亮；反之，若要使灯泡R 亮，则开关K 1必须闭合．因此“闭合开关K 1”是“灯泡R 亮”的必要不充分条件．由题图C ，闭合开关K 1可使灯泡R 亮；反之，若要使灯泡R 亮，开关K 1一定是闭合的．因此“闭合开关K 1”是“灯泡R 亮”的充要条件．由题图D ，闭合开关K 1但不闭合开关K 2，灯泡R 不亮；反之，灯泡R 亮也可不闭合开关K 1，只要闭合开关K 2即可．因此“闭合开关K 1”是“灯泡R 亮”的既不充分也不必要条件．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＞1}，则A∈(∈U B)＝________.【解析】{x|x≤1}∈B＝{x|x＞1}，∈∈U B＝{x|x≤1}，则A∈(∈U B)＝{x|x≤1}．14．命题“∈1≤x≤2，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．【解析】{a|a≤1}命题p：a≤x2在1≤x≤2上恒成立，y＝x2在1≤x≤2上的最小值为1，∈a≤1.15．设集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)．【解析】充分不必要由于A＝{x|0＜x＜1}，所以A B，所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．16．定义集合运算：A∈B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A∈B的所有元素之和为________．【解析】18当x＝0时，y＝2、3，对应的z＝0；当x＝1时，y＝2、3，对应的z＝6、12.即A∈B＝{0,6,12}．故集合A∈B的所有元素之和为18.三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：（1）p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；（2）p：∈x∈R，x2＋2x＋5＞0.【解析】(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；又由于“任意”的否定为“存在一个”，因此，￢p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，即“∈x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”；(2)由于“∈x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，￢p：对任意一个x都有x2＋2x＋5≤0，即“∈x∈R，x2＋2x＋5≤0”．18．(本小题满分12分)已知A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}，求∈R A，∈R(A∩B)，(∈R A)∩B.【解析】结合数轴，由图可知∈R A＝{x|x≤－2或x≥3}，又∈A∩B＝{x|－2<x<3}＝A，∈∈R(A∩B)＝∈R A＝{x|x≤－2或x≥3}，∈(∈R A)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}．19．(本小题满分12分)判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件．（1）条件p：a，b∈R，a＋b＞0，结论q：ab＞0；（2）条件p ：A B ，结论q ：A ∈B ＝B .【解析】 (1)因为a ，b ∈R ，a ＋b ＞0，所以a ，b 至少有一个大于0，所以pq .反之，若ab ＞0，可推出a ，b 同号．但推不出a ＋b ＞0，即q p . 综上所述，p 既不是q 的充分条件，也不是必要条件．(2)因为A B ∈A ∈B ＝B ，所以p ∈q .而当A ∈B ＝B 时，A ∈B ，即q p ，所以p 为q 的充分不必要条件．20．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }．（1）当m ＝－1时，求A ∈B ；（2）若A ∈B ，求实数m 的取值范围．【解析】 (1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2＜x ＜2}，A ∈B ＝{x |－2＜x ＜3}．(2)由A ∈B ，知⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为{m |m ≤－2}．21．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |a ＜x ＜3a }且B ≠∈.（1）若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值范围；（2）若A ∩B ＝∈，求a 的取值范围．【解析】 (1)∈x ∈A 是x ∈B 的充分条件，∈A ∈B .∈⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4，解得a 的取值范围为43≤a ≤2. (2)由B ＝{x |a ＜x ＜3a }且B ≠∈，∈a ＞0.若A ∩B ＝∈，∈a ≥4或3a ≤2，所以a 的取值范围为0＜a ≤23或a ≥4. 22．(本小题满分12分)已知x ，y 都是非零实数，且x ＞y ，求证：1x ＜1y的充要条件是xy ＞0. 【解析】法一：充分性：由xy ＞0及x ＞y ，得x xy ＞y xy，即1x ＜1y.必要性：由1x ＜1y ，得1x －1y ＜0，即y －x xy＜0. 因为x ＞y ，所以y －x ＜0，所以xy ＞0.所以1x ＜1y的充要条件是xy ＞0. 法二：1x ＜1y ∈1x －1y ＜0∈y －x xy＜0. 由条件x ＞y ∈y －x ＜0，故由y －x xy <0∈xy ＞0. 所以1x ＜1y∈xy ＞0，即1x ＜1y的充要条件是xy ＞0.。

2022版数学人教A版必修1基础训练：集合的含义与表示含解析

第一章集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示基础过关练题组一集合的含义与元素的特征1.(2021辽宁阜新二中高一月考)下列各组对象不能构成集合的是()A.中国古代四大发明B.2020年高考数学难题C.所有有理数D.小于π的正整数2.(2021山东省实验中学高一月考)下列各组中的集合P与Q表示同一个集合的是()A.P是由元素1,√3,π构成的集合,Q是由元素π,1,|-√3|构成的集合B.P是由元素π构成的集合,Q是由元素3.141 59构成的集合C.P是由元素2,3构成的集合,Q是由有序实数对(2,3)构成的集合D.P是由满足不等式-1≤x≤1的整数构成的集合,Q是由方程x2=1的解构成的集合3.已知集合S中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形4.设x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.(1)求实数x应满足的条件;(2)若-2是集合A中的元素,求实数x的值.题组二元素与集合的关系5.下列所给关系中正确的个数是()①π∈R;②√3∉Q;③0∈N*;④|-4|∉N*.A.1B.2C.3D.46.已知集合A中元素x满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示正确的是()A.-1∉AB.-11∈AC.3k2-1∈AD.-34∉A7.已知集合A中有三个元素:a-3,2a-1,a2+1,集合B中也有三个元素:0,1,x.(1)若-3∈A,求a的值;(2)是否存在实数a,x,使集合A与集合B中的元素相同?题组三集合的表示方法8.下列各组集合中,表示同一集合的是()A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={3,2},N={2,3}C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}D.M={3,2},N={(3,2)}9.(2020河南周口项城三高高一第一次月考)用描述法表示函数y=3x+1图象上的所有点为()A.{x|y=3x+1}B.{y|y=3x+1}C.{(x,y)|y=3x+1}D.{y=3x+1}∈N,m∈N,m≤10.(2021上海嘉定高一上学期期中)用列举法表示集合{m|m-2310}=.11.用适当的方法表示下列集合:(1)所有能被3整除的整数;(2)图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合;(3)满足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值构成的集合B.能力提升练一、选择题 1.()实数1不是下面哪一个集合中的元素( )A.整数集ZB.{x |x =|x |}C.{x ∈N|-1<x <1}D.{x ∈R|x -1x+1≤0}2.(2020山东烟台龙口高一调研,)设集合B ={x |x 2-4x +m =0},若1∈B ,则B =( ) A.{1,3}B.{1,0}C.{1,-3}D.{1,5}3.(2019山西大同一中高一上第一次月考,)方程组{x +y =2,x -y =0的解构成的集合是( )A.{(1,1)}B.{1,1}C.(1,1)D.{1}4.(2020广西南宁三中高一上月考,)设集合A ={1,2,3},B ={4,5},M ={x |x =a +b ,a ∈A ,b∈B },则M 中元素的个数为 ( )A.3B.4C.5D.65.(2020山西吕梁中学高一上期中,)设集合A ={x ∈N|3≤x <6},B ={3,4},若x ∈A 且x ∉B ,则x 等于 ( )A.3B.4C.5D.66.(2020山东潍坊一中高一上期中,)已知集合M ={x |x =k 2+14,k ∈Z},N ={x |x =k 4+12,k ∈Z},若x 0∈M ,则x 0与N 的关系是 ( )A.x 0∈NB.x 0∉NC.x 0∈N 或x 0∉ND.不能确定7.(2019四川成都实验外国语学校高一上期中,)已知集合A ={a ,|a |,a -2},若2∈A ,则实数a 为 ( ) A.±2或4 B.2 C.-2 D.4 8.(2020上海洋泾中学高一月考,)给定集合A ,B ,定义A*B ={x |x =m -n ,m ∈A ,n ∈B },若A ={4,5,6},B ={1,2,3},则集合A*B 中的所有元素之和为( )A.15B.14C.27D.-149.(2021山东济宁鱼台第一中学高一月考,)给定集合S ={1,2,3,4,5,6,7,8},对于x ∈S ,如果x +1∉S ,x -1∉S ,那么x 是S 的一个“好元素”,由S 的3个元素构成的所有集合中,不含“好元素”的集合共有 ( ) A.6个 B.12个 C.9个D.5个二、填空题10.(2020河北承德一中高一上月考,)已知集合A ={-2,2,3,4},B ={x |x =t 2,t ∈A },用列举法表示B = .11.(2020山东济南外国语学校第一次段考,)设a ,b ,c 为非零实数,m =a |a |+b |b |+c |c |+abc |abc |,则m 的所有值组成的集合为 .三、解答题12.(2020江西赣州赣县中学高一上月考,)已知集合M ={1,a ,b },N ={a ,a 2,ab },且集合M 与N 相等,求a ,b 的值.13.(2020上海金山中学高一期中,)设数集A 由实数构成,且满足:若x ∈A (x ≠1且x ≠0),则11-x ∈A.(1)若2∈A ,试证明A 中还有另外两个元素; (2)判断集合A 是不是双元素集合,并说明理由;(3)若A 中元素个数不超过8,所有元素的和为143,且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积,求集合A 中的所有元素.答案全解全析第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示基础过关练1.B2.A3.D 5.B 6.C 8.B 9.C1.B 根据集合的概念,可知集合中的元素具有确定性,可得选项A 、C 、D 中的元素都是确定的,能构成集合,但B 选项中“难题”的标准不明确,不满足集合中元素的确定性,不能构成集合.故选B . 方法技巧判断一组对象的全体能否构成集合的重要依据是元素的确定性,若考查的对象是确定的,就能构成集合,否则不能构成集合.2.A 由于选项A 中集合P ,Q 的元素完全相同,所以P 与Q 表示同一个集合,而B ,C ,D 中P ,Q 的元素不相同,所以P 与Q 不能表示同一个集合.故选A .3.D 因为集合中的元素必须是互异的,所以三角形的三边互不相等,故选D .4.解析(1)根据集合中元素的互异性,可知{x ≠3,x ≠x 2-2x ,x 2-2x ≠3,解得x ≠0且x ≠3且x ≠-1.(2)因为x 2-2x =(x -1)2-1≥-1,且-2是集合A 中的元素,所以x =-2.此时集合A ={3,-2,8},符合题意.5.B 由常见数集的定义知①②正确,③④错误.故选B.6.C 令3k -1=-1,解得k =0∈Z ,∴-1∈A ; 令3k -1=-11,解得k =-103∉Z ,∴-11∉A ; ∵k 2∈Z ,∴3k 2-1∈A ;令3k -1=-34,解得k =-11∈Z ,∴-34∈A. 故选C .7.解析 (1)由-3∈A 且a 2+1≥1, 可知a -3=-3或2a -1=-3, 当a -3=-3时,a =0; 当2a -1=-3时,a =-1.经检验,0与-1都符合要求. ∴a =0或a =-1. (2)易知a 2+1≠0.若集合A 与集合B 中元素相同, 则a -3=0或2a -1=0.若a -3=0,则a =3,此时集合A 包含的元素为0,5,10,与集合B 包含的元素不相同.若2a -1=0,则a =12,此时集合A 包含的元素为0,-52,54,与集合B 包含的元素不相同.故不存在实数a ,x ,使集合A 与集合B 中元素相同.8.B A 中,集合M 表示点(3,2),集合N 表示点(2,3),故M 与N 不是同一集合;B 中,由于集合中的元素具有无序性,故{3,2}与{2,3}是同一集合;C 中,集合M 表示点集,集合N 表示数集,故M 与N 不是同一集合;D 中,集合M 表示数集,集合N 表示点集,故M 与N 不是同一集合.9.C 因为集合是点集,所以代表元素是(x ,y ),所以用描述法表示为{(x ,y )|y =3x +1}.故选C .10.答案 {2,5,8}解析由m ∈N ,m ≤10得m =0,1,2, (10)经检验,可知当m =2时,2-23=0∈N ,当m =5时,5-23=1∈N ,当m =8时,8-23=2∈N ,所以{m|m -23∈N ,m ∈N ,m ≤10}={2,5,8}.11.解析 (1){x |x =3n ,n ∈Z }.(2)(x ,y )-1≤x ≤2,-12≤y ≤1,且xy ≥0. (3)B ={x |x =|x |,x ∈Z }.能力提升练1.C2.A3.A4.B5.C6.A7.C8.A9.A一、选择题1.C 1∉{x ∈N|-1<x <1},故选C.2.A ∵集合B ={x |x 2-4x +m =0},1∈B , ∴1-4+m =0,解得m =3.∴B ={x |x 2-4x +3=0}={1,3}.故选A .3.A 解方程组{x +y =2,x -y =0得{x =1,y =1,用集合表示为{(1,1)},故选A . 4.B 由题意知x =a +b ,a ∈A ,b ∈B ,列表如下:a +b a 1 2 3 b 4 5 6 7 5 6 7 8则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 中共有4个元素,故选B . 5.C A ={x ∈N|3≤x <6}={3,4,5}, B ={3,4},由x ∈A 且x ∉B ,知x =5. 6.A M ={x|x =2k+14,k ∈Z}, N ={x |x =k+24,k ∈Z}, ∵2k +1(k ∈Z )是一个奇数,k +2(k ∈Z )是一个整数,∴x 0∈M 时,一定有x 0∈N ,故选A . 7.C 由条件2∈A 可知,a =2或|a |=2或a -2=2,解得a =±2或a =4.由集合中元素的互异性可知a <0,所以满足条件的只有a =-2,故选C . 解题模板由集合中元素的特征求解字母的值的步骤:8.A 由题可知,m =4,5,6,n =1,2,3, 当m =4,n =1,2,3时,m -n =3,2,1; 当m =5,n =1,2,3时,m -n =4,3,2; 当m =6,n =1,2,3时,m -n =5,4,3.所以A*B ={1,2,3,4,5},元素之和为15,故选A .9.A 要不含“好元素”,说明这三个数必须相连,故不含“好元素”的集合有{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8},共6种可能.故选A . 二、填空题10.答案 {4,9,16}解析 ∵集合A ={-2,2,3,4},B ={x |x =t 2,t ∈A },∴t =±2时,x =4;t =3时,x =9;t =4时,x =16,∴B ={4,9,16}. 11.答案 {-4,0,4}解析因为a ,b ,c 为非零实数,所以当a >0,b >0,c >0时,m =a |a |+b |b |+c |c |+abc|abc |=1+1+1+1=4;当a ,b ,c 中有一个小于0(不妨设a <0,b >0,c >0)时,m =a |a |+b |b |+c |c |+abc |abc |=-1+1+1-1=0;当a ,b ,c 中有两个小于0(不妨设a <0,b <0,c >0)时,m =a |a |+b |b |+c |c |+abc |abc |=-1-1+1+1=0; 当a <0,b <0,c <0时,m =a |a |+b |b |+c |c |+abc |abc |=-1-1-1-1=-4.所以m 的所有值组成的集合为{-4,0,4}. 三、解答题12.解析由集合M 与N 相等得{1=a 2,b =ab或{1=ab ,b =a 2,解得{a =-1,b =0或{a =1,b =1, 经检验,{a =1,b =1不满足集合中元素的互异性,故舍去. 综上,a =-1,b =0.13.解析 (1)证明:∵2∈A ,∴11-2=-1∈A. ∵-1∈A ,∴11-(-1)=12∈A. 又∵当12∈A 时,11-12=2∈A , ∴A ={2,-1,12}.∴A 中还有另外两个元素,分别为-1,12. (2)不是双元素集合.理由:由题意得,若x ∈A (x ≠1且x ≠0),则11-x∈A ,11-11-x=x -1x ∈A ,且x ≠11-x ,11-x ≠x -1x ,x ≠x -1x, 故集合A 中至少有3个元素,不是双元素集合.(3)由(2)可知若x ∈A (x ≠1且x ≠0),则11-x ,x -1x 都为A 中的元素,∵x ·11-x ·x -1x=-1,且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积,∴A 中元素个数不为3,又∵A 中元素个数不超过8,∴A 中有6个元素,且(11-x )2=1或(x -1x)2=1,解得x =2或x =12.结合(1)可知此时A 中有2,-1,12这三个元素.设A 中其他三个元素分别为m ,11-m ,m -1m (m ≠1且m ≠0),则A =2,-1,12,m ,11-m ,m -1m .∵A 中所有元素之和为143,∴12+2-1+m +11-m +m -1m =143⇒m =-12,3,23, ∴A 中的所有元素为12,2,-1,-12,3,23.。

2021-2022学年高一数学考点讲练(必修一)集合的表示(解析版)

1.1.2 集合的表示考点1：用列举法表示集合把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．【例1】用列举法表示下列给定的集合：（1）不大于8的非负偶数组成的集合A ；（2）小于10的质数组成的集合B ；（3）方程2x 2－x －3＝0的实数根组成的集合C ；（4）一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合D . 【解析】 (1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8，所以A ＝{0,2,4,6,8}． (2)小于8的质数有2,3,5,7，所以B ＝{2,3,5,7}．(3)方程2x 2－x －3＝0的实数根为－1，32，所以C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，32.(4)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋3，y ＝－2x ＋6，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.所以一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的交点为(1,4)，所以D ＝{(1,4)}．【方法技巧】用列举法表示集合的3个步骤（1）求出集合的元素；（2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；（3）用花括号括起来.【提醒】二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.如{(2，3)，(5，－1)}.【针对训练】1．用列举法表示下列集合：（1）满足－2≤x ≤2且x ∈Z 的元素组成的集合A ；（2）方程(x －2)2(x －3)＝0的解组成的集合M ；考点讲解（3）方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝8，x －y ＝1的解组成的集合B ；（4）15的正约数组成的集合N .【解析】 (1)满足－2≤x ≤2且x ∈Z 的元素有－2，－1,0,1,2，故A ＝{－2，－1,0,1,2}． (2)方程(x －2)2(x －3)＝0的解为x ＝2或x ＝3， ∈M ＝{2,3}．(3)解⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝8，x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，∈B ＝{(3,2)}．(4)15的正约数有1,3,5,15，故N ＝{1,3,5,15}．考点2：用描述法表示集合一般地，设A 是一个集合，把集合A 中所有具有共同特征P (x )的元素x 所组成的集合表示为{x ∈A |P (x )}，这种表示集合的方法称为描述法．【例2】用描述法表示下列集合：（1）比1大又比10小的实数组成的集合；（2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；（3）被3除余数等于1的正整数组成的集合．【解析】 (1){x ∈R |1<x <10}．(2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x ，y )|x <0，且y >0}． (3){x |x ＝3n ＋1，n ∈N }．【方法技巧】描述法表示集合的2个步骤【针对训练】2. 用描述法表示下列集合：（1）函数y ＝－2x 2＋x 图象上的所有点组成的集合；（2）不等式2x －3<5的解组成的集合；（3）如图中阴影部分的点(含边界)的集合；（4）3和4的所有正的公倍数构成的集合．【解析】 (1)函数y ＝－2x 2＋x 的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x ，y )|y ＝－2x 2＋x }． (2)不等式2x －3<5的解组成的集合可表示为{x |2x －3<5}，即{x |x <4}． (3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎭⎬⎫0≤x ≤32，0≤y ≤1. (4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x |x ＝12n ，n ∈N *}．考点3：集合表示方法的综合应用【问题探究】下面三个集合：∈{x |y ＝x 2＋1}；∈{y |y ＝x 2＋1}；∈{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．（1）它们各自的含义是什么？（2）它们是不是相同的集合？【解析】(1)集合∈{x |y ＝x 2＋1}的代表元素是x ，满足条件y ＝x 2＋1中的x ∈R ，所以实质上{x |y ＝x 2＋1}＝R ；集合∈的代表元素是y ，满足条件y ＝x 2＋1的y 的取值范围是y ≥1，所以实质上{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}；集合∈{(x ，y )|y ＝x 2＋1}的代表元素是(x ，y )，可以认为是满足y ＝x 2＋1的数对(x ，y )的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x ，y )构成的集合，且这些点的坐标满足y ＝x 2＋1，所以{(x ，y )|y ＝x 2＋1}＝{P |P 是抛物线y ＝x 2＋1上的点}．(2)由(1)中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合．【例3】集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，求实数k 的值组成的集合．【解析】 (1)当k ＝0时，方程kx 2－8x ＋16＝0变为－8x ＋16＝0，解得x ＝2，满足题意；(2)当k ≠0时，要使集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx 2－8x ＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k ＝0，解得k ＝1，此时集合A ＝{4}，满足题意．综上所述，k ＝0或k ＝1，故实数k 的值组成的集合为{0,1}．综合∈∈可知，实数k 的取值集合为{k |k ≤1}．【方法技巧】1．若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3中集合A 中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．2．在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想．1．表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法，一般地，若集合元素为有限个，常用列举法，集合元素为无限个，多用描述法．2．处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特别要分清数集和点集；其次要确定元素满足的条件是什么.一、选择题1．已知集合A ＝{x ∈N |x <6}，则下列关系式不成立的是( ) A ．0∈A B ．1.5∈A C ．－1∈AD ．6∈A【解析】D ∈A ＝{x ∈N |x <6}＝{0,1,2,3,4,5}， ∈6∈A ，故选D.2．把集合{x |x 2－3x ＋2＝0}用列举法表示为( ) A ．{x ＝1，x ＝2} B ．{x |x ＝1，x ＝2} C ．{x 2－3x ＋2＝0}D ．{1,2}【解析】D 解方程x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，所以集合{x |x 2－3x ＋2＝0}用列举法可表示为{1,2}． 3．下列四个集合中，不同于另外三个的是( ) A ．{y |y ＝2} B ．{x ＝2}C ．{2}D ．{x |x 2－4x ＋4＝0}【解析】B {x ＝2}表示的是由一个等式组成的集合．4．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}知识小结考点演练【解析】D 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4，故解集为{(5，－4)}，选D.5．下列集合的表示方法正确的是( )A ．第二、四象限内的点集可表示为{(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R }B ．不等式x －1<4的解集为{x <5}C ．{全体整数}D ．实数集可表示为R【解析】D 选项A 中应是xy <0；选项B 的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x ；选项C 的“{}”与“全体”意思重复．二、填空题6．能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为________．【答案】{x |x ＝2n ，n ∈N *}【解析】正整数中所有的偶数均能被2整除．7．设集合A ＝{1，－2，a 2－1}，B ＝{1，a 2－3a,0}，若A ，B 相等，则实数a ＝________. 【答案】1【解析】由集合相等的概念得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2，解得a ＝1.8．设－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2＋ax ＋3＝0}＝________. 【答案】{1,3}【解析】由题意知，－5是方程x 2－ax －5＝0的一个根，所以(－5)2＋5a －5＝0，得a ＝－4，则方程x 2＋ax ＋3＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．三、解答题9．选择适当的方法表示下列集合．（1）由方程x (x 2－2x －3)＝0的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于6的有理数；（3）由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．【解析】 (1)方程的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3}，当然也可以用描述法表示为{x |x (x 2－2x －3)＝0}．(2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x ∈Q |2<x <6}．(3)用描述法表示该集合为M ＝{(x ，y )|y ＝－x ＋4，x ∈N ，y ∈N }；或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．10．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪43－x ∈Z. （1）用列举法表示集合A ；（2）求集合A 的所有元素之和．【解析】 (1)由43－x ∈Z ，得3－x ＝±1，±2，±4.解得x ＝－1,1,2,4,5,7.又∈x ∈Z ，∈A ＝{－1,1,2,4,5,7}．(2)由(1)得集合A 中的所有元素之和为－1＋1＋2＋4＋5＋7＝18.1．设集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，若a ＝5，则有( ) A ．a ∈A B ．－a ∈A C ．{a }∈AD ．{a }∈A【解析】A [由题意，当k ＝2时，x ＝5，所以a ∈A .当k ＝－3时，x ＝－5，所以－a ∈A .故选A. 2．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6【解析】B [当a ＝1，b ＝4时，x ＝5；当a ＝1，b ＝5时，x ＝6；当a ＝2，b ＝4时，x ＝6；当a ＝2，b ＝5时，x ＝7；当a ＝3，b ＝4时，x ＝7；当a ＝3，b ＝5时，x ＝8.由集合元素的互异性知M 中共有4个元素．3．已知集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{y |y ＝|x |，x ∈A }，则B ＝________. 【答案】{0,1}【解析】∈x ∈A ，∈当x ＝－1时，y ＝|x |＝1；当x ＝0时，y ＝|x |＝0；当x ＝1时，y ＝|x |＝1.4．已知集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,10}，若－3∈A ，则a ＝______. 【答案】－32【解析】因为－3∈A ，所以a －2＝－3或2a 2＋5a ＝－3，当a －2＝－3时，a ＝－1，此时2a 2＋5a ＝－3，与元素的互异性不符，所以a ≠－1. 当2a 2＋5a ＝－3时，即2a 2＋5a ＋3＝0，解得a ＝－1或a ＝－32.显然a ＝－1不合题意．当a ＝－32时，a －2＝－72，满足互异性．巩固提升综上，a ＝－32.5．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}．（1）若集合A 中只有一个元素，求实数a 的值；（2）若集合A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围；（3）若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝0时，原方程可化为－3x ＋2＝0，得x ＝23，符合题意．当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0为一元二次方程，由题意得，Δ＝9－8a ＝0，得a ＝98.所以当a ＝0或a ＝98时，集合A 中只有一个元素．(2)由题意得，当⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝9－8a >0，即a <98且a ≠0时方程有两个实根，又由(1)知，当a ＝0或a ＝98时方程有一个实根．所以a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≤98. (3)由(1)知，当a ＝0或a ＝98时，集合A 中只有一个元素．当集合A 中没有元素，即A ＝∈时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝9－8a <0，解得a >98.综上得，当a ≥98或a ＝0时，集合A 中至多有一个元素.。

2021高考数学475道必考题型总结(全国卷新高考)

梅花香自苦寒
2021 年高考数学必考题型总结
第一章集合与常用逻辑用语
题型 1 集合元素的“三性” （详见《专题课-集合的概念与运算》）
例 1：设集合 A={2，3，a2-3a，a+
2
+7}，B={|a-2|，3}，已知 4∈A，且 4∉B，则 a 的取值集合为
a
.
题型 2 集合间的关系（详见《专题课-集合的概念与运算》）
题型 6 单调性+奇偶性解不等式（详见《专题课-函数的单调性、奇偶性》）
1
例 9：(1)已知偶函数 f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，则满足 f (2 x 1) f 的 x 的取值范围是________.
3
(2)已知函数 f(x-2)为奇函数，f(-2)=0 且 f(x)在区间[-2，+∞)上单调递减，则 f(3-x)>0 的解集为
A.c<b<a
B.a<b<c
C.a<c<b
例 33：设 x，y，z 为正数，且 2x=3y=5z，则（
A.2x<3y<5z
B.5z<2x<3y
D.c<a<b
）
C.3y<5z<2x
D.3y<2x<5z
（
）
梅花香自苦寒
题型 20 构造法解抽象函数（详见《专题课-指数、对数、幂函数》）
1
例 34：已知函数 f(x)定义域为(0，+∞)，且满足 f(xy)=f(x)+f(y)， f 1, 如果对于 0<x<y,都有 f(x)>f(y),则不等式
第二章基本初等函数

高考中集合常考题型的总结

高考中集合常考题型的总结# 题型一：集合的基本概念。

题目1：已知集合A = {x∈Nmid x^2 2x 3≤slant0}，B = {xmid y = lg(x 1)}，则A∩B=______。

解析：1. 先求解集合A：解不等式x^2 2x 3≤slant0，因式分解得(x 3)(x + 1)≤slant0，则其解为-1≤slant x≤slant3。

又因为x∈ N（自然数集），所以A={0,1,2,3}。

2. 再求解集合B：对于y = lg(x 1)，根据对数函数的定义域，真数须大于0，即x 1>0，解得x>1，所以B={xmid x>1}。

3. 最后求A∩ B：A∩ B是由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合，所以A∩ B={2,3}。

答案：{2,3}# 题型二：集合间的关系。

题目2：设集合A={xmid -2≤slant x≤slant5}，B={xmid m + 1≤slant x≤slant2m 1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是______。

解析：1. 当B = varnothing时：满足B⊆ A，此时m + 1>2m 1，解这个不等式得m<2。

2. 当B≠varnothing时：因为B⊆ A，所以有m + 1≤slant2m 1 m + 1≥slant 2 2m 1≤slant5，解m + 1≤slant2m 1得m≥slant2；解m + 1≥slant 2得m≥slant 3；解2m 1≤slant5得m≤slant3。

综合起来，取交集得2≤slant m≤slant3。

3. 综合B = varnothing和B≠varnothing两种情况：取并集，得到m的取值范围是m≤slant3。

答案：m≤slant3# 题型三：集合的运算。

题目3：已知全集U = R，集合A={xmid x^2 3x + 2<0}，B={xmid x^2 (a + 1)x + a<0}。

高中数学必修一集合题型归纳总结

题型一集合的表示（列举法、描述法）1 .下列说法：①集合{xC N|x3=x }用列举法表示为{—1,0,1};x + y = 3②实数集可以表示为{x|x 为所有实数}或3};③方程组的解集为{x=1,x —y=—1其中正确的有（）.A. 3 个B. 2C. 1 个D. 0 个题型二集合与集合的关系（子集）1、已知集合 A={x|x 个2— x — 2<0}, B={x[—1<x<1},则 A. A BB. B AC. A=BD.A n B=2 .设集合 P {x|x 1}, Q {x|x 2x3 .若全集U0,1,2,3且C U A 2 ,则集合A 的真子集共有（）个，非空子集有（题型三集合的运算 ※有限集：直接算21、已知集合 A { 2,0, 2}, B {x|x x 2 0},则 AI B （）2.已知全集 U {1,2,3,4,5,6},集合 A {1,2} , B {x|2 x 4,x Z}则集合 C U (A个数为()A .1B .2 C.3 D .4X 无限集：借助数轴算4 .已知集合 A {x| 2 x 3}, B {x|x 1或x 4},那么集合 A (C R B)()A. {x | -2<x< 4}B.{x | xw 3 或 x>4} C . {x | -2<x<-1} D.{-1 | -1<x< 3}.. 一一 x 4 _ _ _ 2一5 .已知集合 A {x ------ 0} , B {x x 4x 3 0}x 4(1)求 AU B, (2)求 A Cu B集合题型归纳总结A.B. 2C. {0}D. { 2}y=2} -0},则下列结论正确的是A. P Q B .PUQR CP Q D . Q PB ）中元素的X .有限集与无限集的混合运算:1、设集合 M= {0,1,2}, N= x|x 2 3x 200，则 M N =()A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}2.(2015 汕头高一统考)已知全集 U=R, A={1,2,3,4,5,6,7} , B={x|x < V 2 },则 AAC u B=()A.{2,3,4,5,6,7}B.{ 3,4,5,6,7}C.{x Z |x22}D.{x|x 72}题型四Venn 图在解题中的应用1.设全集U 1,2,3,4,5, 6,7,8，集合A 1, 2, 3,5 , B 2, 4,6，则图中的阴影部分表示的集合题型五含参问题派有限集(注意检验满不满足互异性)(1)求M I N (2)若M Q ,求实数a 的值2,若集合 A={x|x 2—2x —3 = 0} , B = {x|ax —1=0},且/A,求实数 a 的化x 无限集(画数轴计算)1.设关于x 的不等式x(x a 1) 0(a R)「的解集为M ,不等式x 2 2x 3 0的解集为N . (I)当「a 1时，求集合M ； ( n )若M N ,求实数a 的取值范围.{2} B. {4,6} C. {1,3,5} D. {4,6,7,8}2、设全集 U={1,2,3,4,5} ，AC B= {2}，(?U A ) n B= {4} , ?U (AU B ) = {1,5},下列结论正确的是 ( )3. A. 3C A,3 BB . 3 A,3C BC. 3c A, 3c B全集 U= {1,2,3,4,5,6} ，岫{2,3} , N= {1,4} ,则集合{5,6} 等于(A. MJ N C . (?UM ) U (?U N).(?U M n( ?uN)2__一一1、已知集合 M x|x 3x 2 0 ,N xZ| 1 x 12 ,Q 1,a 21,a 12、设 A={x|y=&1}, B={x|1 < x< 3}, C={x|x>a} (1)求集合AUB, AH (CRB). (2)若B CB ，求a 的取值范围(3)若B C，求a 的取值范围集合基础练习题1 .下列命题正确的是（）A.很大的实数可以构成集合 B .自然数集N 中最小的数是1C.集合｛y|y=x 2-1｝与集合｛（x, y ） |y=x 2-1｝是同一个集合 D .空集是任何集合的子集. 2 .下列说法正确的是（A.空集是任何集合的子集 BC.自然数集N 中最小的数是1・｛y|y x 2 1｝｛（x, y ）|y x 2 1｝D .很小的实数可以构成集合x （k 2）x 2 2kx 1 0有且仅有2个子集，则实数k 的值是（）4 .满足条件 M U{1}={1 , 2, 3}的集合M 的个数是( )A. 1 B . 2 C . 3 D . 415 .设集合M 11 ,N x|— 2 ,则下列结论正确的是（）xA. N MB. M NC. N I MD. MIN R 6 .记全集 U1,2,3,4,5,6,7,8 , A1,2,3,5 , B2,4,6 ,则图中阴影部分所表示的集合是()A. 4,6,7,8B . 2C .7,8D . 1,2,3,4,5,67 .设全集 U ={1 , 2, 3, 4},集合 S = {1 , 3}, T ={4},则3.若集合A A.-2 B.-2 或-1 C.2 或-1 D. 2或-1 等于()A 、{2,4}B 8.设集合 Mx x 22x 3 0 , NA. 1,1 B . ( 1,0) C , 1,3、{4} C 、① D 、{1 , 3, 4}x2x 2 ,则 MC RN 等于()D . (0,1)9.已知集合A ｛x | 1八■, 2 … _ _ .x 1}, B {x | xx 0},则 AB 等于(17 .已知集合 A= {m+ 2,2m2+m},若3CA,则 m 的值为18 .设全集为 R,集合 A= {x|x <3 或 x>6}, B= {x| -2<x< 9}. (1)求 AU B, (?RA AB;1(1)若 a —2(2)若AI B ,求实数a 的取值范围20. (12分)已知集合 A x1 x 3 ,集合B x 2m x 1 mA. {x|0 x 1}B. {x|0 x 1}C. {x|0 x 1} 10 .已知全集U2, . {x|0 1,0,123, 1}1,0,1,3 , N 2,0,2,3 ,则(？u M )I N 为()A.1,12,22,0,211 .若集合A {y|02}, B {x||x| 1},则 AI (C R B)A. {x|0 x1}.{x|12}C. {x|0} D.{x|1 x 2}12 .已知集合 x| x|A. ( 2,1)B.(1,1) C .(1,3)D.(2,3)13 .已知函数 f (x) 的定义域为M, g(x) ln(1 x)的定义域为A. xx 1B.xx C.D.14 .已知集合 x|0 xx|x 2 0,则集合AIA. (0, 2) . (0,3)C.(2,3) D.(2,)15 .己知集合 x| 2x|lg(x 2)(A) ( 2,)(B)1,3(C) 2, 1(D)(2,3)16 .已知非空集合 A x|a x 5 ,B x|x 2 ,且满足AB,则实数 a 的取值范围是(2)已知 C= {x|a <x<a+ 1},若C=B,求实数a 的取值范围.19.已知集合A{x|a 1 x 2a 1} , B {x|0 x 1},(1)当 m 1 时，求AUB；(2)若A B ,求实数m的取值范围；(3)若AI B ,求实数m的取值范围.。

2021-2022年高考数学总复习专题01集合与常用逻辑用语分项练习含解析文

2021年高考数学总复习专题01集合与常用逻辑用语分项练习含解析文一．基础题组1. 【xx 全国1，文1】已知集合{}{}|13,|21M x x N x x =-<<=-<<，则（）A. B. C. D.【答案】B2. 【xx 课标，文1】已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5}, 则P 的子集共有（）A.2个B.4个C.6个D.8个【答案】B【解析】因为中有两个元素，所以其子集个个数为个，选B.3. 【xx 全国1，文1】设集合U=,则（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【解析】，.4. 【xx 全国1，文5】下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】A【精讲精析】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b ，而由a>b 推不出的选项.即寻找条件p 使pp ，逐项验证可知选A.5. 【xx 全国1，文2】设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,4}，N ＝{1,3,5}，则N ∩(M )等于( )A ．{1,3}B ．{1,5}C ． {3,5}D ．{4,5}【答案】：C【解析】∵ M ＝{2,3,5}，∴N ∩(M )＝{1,3,5}∩{2,3,5}＝{3,5}．6. 【xx 全国卷Ⅰ,文2】设集合A=｛4,5,7,9｝,B=｛3,4,7,8,9｝,全集U=A ∪B,则集合(A∩B)中的元素共有( )A.3个B.4个C.5个D.6个【答案】:A【解析】:由题意知A ∪B={3,4,5,7,8,9},A∩B={4,7,9},∴(A∩B)={3,5,8}.∴共3个元素.7. 【xx 高考新课标1，文1】已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合中的元素个数为( )（A） 5 （B）4 （C）3 （D）2【答案】D【解析】8. 【xx新课标1文数】设集合，，则( )（A）{1,3} （B）{3,5} （C）{5,7} （D）{1,7}【答案】B【解析】试题分析：集合与集合的公共元素有3，5，故，故选B.【考点】集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题的形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行运算,如果是不等式的解集、函数的定义域及值域等有关数集之间的运算,常借助数轴求解.9.【xx新课标1，文1】已知集合A=，B=，则( )A．AB= B．ABC．AB D．AB=R【答案】A【解析】试题分析：由得，所以33{|2}{|}{|}22A B x x x x x x=<<=<，选A．【考点】集合运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．二．能力题组1. 【xx课标全国Ⅰ，文1】已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝( ) A．{1,4} B．{2,3} C．{9, 16} D．{1,2}【答案】：A2. 【xx全国1，文1】设，，则( )A. B. C. D.【答案】：D【解析】：15{|},{|}23S x x T x x=>-=<，∴.三．拔高题组1. 【xx课标全国Ⅰ，文5】已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )．A．p∧q B．p∧q C．p∧q D．p∧q【答案】：B【解析】：由20＝30知，p为假命题．令h(x)＝x3－1＋x2，∵h(0)＝－1＜0，h(1)＝1＞0，∴x3－1＋x2＝0在(0,1)内有解．∴∃x∈R，x3＝1－x2，即命题q为真命题．由此可知只有p∧q为真命题．故选B.2. 【xx全国1，文1】已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( )A．AB B．CB C．DC D．AD【答案】B【解析】∵正方形组成的集合是矩形组成集合的子集，∴CB．3. 【xx全国1，文1】设I为全集，是的三个非空子集，且，则下面论断正确的是（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】。

2021-2022学年度人教版高一第一章集合真题实战

2021-2022学年度人教版高一第一章集合真题实战1．已知全集U ＝{}|4x x ≥-，集合A ＝{}|13x x -<≤，B ＝{}|05x x ≤<，求A∩B ，（∁U A ）∁B ，A∩（∁U B ）.，【答案】{}|03x x ≤≤，{}|410x x x -≤≤-≥或，{}|10x x -<<【详解】试题分析：两集合的交集是由两集合相同的元素构成的集合，并集由两集合所有的元素构成的集合，集合的补集为全集中除去该集合中的元素，剩余的元素构成的集合试题解析：因为A ＝∁U A ＝{}413x x x -≤≤-或，∁U B ＝{}|405x x x -≤<≥或，所以A∩B ＝{}|03x x ≤≤，（∁U A ）∁B ＝{}|410x x x -≤≤-≥或，A∩（∁U B ）＝{}|10x x -<<.考点：集合的交并补运算2．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：（1）p ：对任意的x ∈R ，210x x ++≠都成立；（2）q ：x R ∃∈，使2350x x ++≤．【答案】（1）全称量词命题，p ⌝：“x R ∃∈，使210x x ++=”，假命题；（2）存在量词命题，q ⌝：“x R ∀∈，有2350x x ++>”，真命题．【分析】（1）根据全称命题和特称命题的定义即可判断，即可写出其否定形式并判断真假；（2）根据全称命题和特称命题的定义即可判断，即可写出其否定形式并判断真假；【详解】（1）由于命题中含有全称量词“任意的”，因此，该命题是全称量词命题．又因为“任意的”的否定为“存在一个”，所以其否定是：存在一个x ∈R ，使210x x ++=成立，即p ⌝：“x R ∃∈，使210x x ++=”，因为=30∆-<，所以方程210x x ++=无实数解，此命题为假命题．（2）由于“x R ∃∈”表示存在一个实数x ，即命题中含有存在量词“存在一个”，因此，该命题是存在量词命题．又因为“存在一个”的否定为“任意一个”，所以其否定是：对任意一个实数x ，都有2350x x ++>成立．即q ⌝：“x R ∀∈，有2350x x ++>”．因为=110∆-<，所以对x R ∀∈，2350x x ++>总成立，此命题是真命题．3．用描述法表示下列集合：（1）函数y ＝－2x 2＋x 图象上的所有点组成的集合；（2）不等式2x －3<5的解组成的集合；（3）如图中阴影部分的点(含边界)的集合；（4）3和4的所有正的公倍数构成的集合．【答案】（1）{(x ，y )|y ＝－2x 2＋x }；（2）{x |x <4}；（3）()3,0,012x y x y ⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭；（4）{x |x ＝12n ，n ∈N *}.【分析】根据描述法的表示形式，（1），（3）表示的是点集，都用(,)x y 表示元素，再根据条件写出,x y 满足的条件，从而可表示出集合，对于（2），（4）都用x 表示元素，再根据条件写出x 满足的条件，从而表示出这个集合【详解】（1）函数y ＝－2x 2＋x 的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x ，y )|y ＝－2x 2＋x }．（2）不等式2x －3<5的解组成的集合可表示为{x |2x －3<5}，即{x |x <4}．（3）图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为()3,0,012x y x y ⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭. （4）3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x |x ＝12n ，n ∈N *}．4．已知集合{}|28A x R x =∈≤≤，106x B x R x ⎧⎫-=∈<⎨⎬-⎩⎭. （1）求A B ；（2）求A B ，()U A B ⋂【答案】（1）{}26x x ≤<；（2）{}18A B x x ⋃=<≤，(){}12U A B x x ⋂=<<.【分析】（1）先解分式不等式，得到{}16B x x =<<，根据交集的概念，即可得出结果；（2）根据并集的概念，求出A B ；再由补集的概念，求出U A ，进而可得出结果.【详解】（1）因为{}10166x B x R x x x ⎧⎫-=∈<=<<⎨⎬-⎩⎭，{}|28A x R x =∈≤≤，所以{}26A B x x ⋂=≤<；（2）由（1）可得，{}18A B x x ⋃=<≤，又{2U A x x =<或}8x >，所以(){|12}U A B x x =<<.【点睛】本题主要考查求集合的交集、并集，以及交集和补集的混合运算，属于基础题型.5．设{}12345U =，，，，，{}1,2,3A =，{}2,3,4B =．（1）求A B ；（2）求()U A B ⋃．【答案】（1）{}2,3；（2）{}2,3,4,5【分析】（1）根据交集定义直接求出即可；（2）先求出U A ，再根据并集定义即可求出. 【详解】（1）{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，{}2,3A B ∴=；（2）{}12345U =，，，，，{}1,2,3A =，{}2,3,4B =， {}4,5U A ∴=，()2,3,4,5U A B .6．写出下列全称量词命题的否定：（1）p ：每一个四边形的四个顶点共圆；（2）p ：所有自然数的平方都是正数；（3）p ：任何实数x 都是方程5x －12＝0的根；（4）p ：对任意实数x ，x 2＋1≥0.【答案】答案见解析.【分析】由命题的否定的定义完成，同时全称量词需改为存在量词．【详解】解（1）￢p ：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.（2）￢p ：有些自然数的平方不是正数.（3）￢p ：存在实数x 0不是方程5x 0－12＝0的根.(4)￢p ：存在实数x 0，使得20x ＋1<0.【点睛】本题考查命题的否定，掌握命题的否定的概念是解题基础．写命题否定时存在量词与全称量词需互换．7．设U =R ，{}|56A x x =-<≤，{|6B x x =≤-或}22x >，求：（1）A B ；（2）()()U U C A C B ⋂【答案】（1）{}16x x <≤；（2）{}65x x -<≤-【分析】求解出集合B ；（1）根据交集定义直接求得结果；（2）根据补集定义分别求得,A B 的补集，根据交集定义求得结果.【详解】由题意得：{6B x x =≤-或}1x >（1）{}16A B x x ⋂=<≤（2）{5U C A x x =≤-或}6x >，{}61U C B x x =-<≤()(){}65U U C A C B x x ∴⋂=-<≤-【点睛】本题考查集合运算中的交集运算和补集运算，属于基础题.8．方程ax =b 是关于x 的方程.当a 、b 满足什么条件时，该方程的解集是有限集？当a 、b 满足什么条件时，该方程的解集是无限集？【答案】当a ≠0时，或a =0且b ≠0时，解集是有限集；当a =b =0时，解集是无限集.【分析】解方程ax =b ，对a 、b 直接分类讨论即可.【详解】当a ≠0时，方程的解为b a，有一个解，有限集；当a =0且b ≠0时，方程无解，解集为空集，有限集；当a =b =0时，方程有无数个解，则解集为无限集.9．已知集合{}|3A x a x a =≤≤+,24{|}120B x x x =--＞（1）若A B =∅，求实数a 的取值范围；（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[]2,3-；（2）{5|a a -＜或6}a ＞．【分析】（1）求出集合{}32|{|A x a x a B x x =≤≤+=<-，或6}x >，由A B =∅，列出不等式组，能求出实数a 的取值范围．（2）由A B B ⋃=，得到A B ⊆，由此能求出实数a 的取值范围．【详解】解：（1）∵集合{}|3A x a x a =≤≤+，24120{|}2{|B x x x x x =-->=<-或6}x >，A B =∅，∴236a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得23a -≤≤ ∴实数a 的取值范围是[]2,3-（2）A B B A B =∴⊆，32a ∴+-＜或6a ＞，解得5a -＜或6a ＞．∴实数a 的取值范围是{5|a a <-或6}a >【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．将集合的运算转化成子集问题需注意，若A B B ⋃=则有A B ⊆，进而转化为不等式范围问题.10．已知区间(6,1),[7,3)A B =-=-，求,A B A B .【答案】(6,1),[7,3)--【分析】根据交集、并集的定义计算．【详解】∁(6,1),[7,3)A B =-=-，∁(6,1)A B =-，[7,3)A B =-．【点睛】本题考查交集和并集的运算，属于基础题．11．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假.（1）对数函数都是单调函数.（2）至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除.（3）∀x ∈{x |x >0}，x +1x≥2. （4）020,log 2x Z x ∃∈>【答案】（1）（3）是全称命题，都是真命题.【分析】对每一个命题判断是全称命题还是特称命题，再判断其真假.【详解】（1）该命题可以写成“所有对数函数都是单调函数”，所以该命题是全称命题，因为对数函数都是单调函数，所以它是真命题;（2）该命题可以改写成“存在一个整数，它既能被11整除，又能被9整除”，所以它是特称命题，它是真命题；（3）∀x ∈{x |x >0}，x +1x ≥2，它是全称命题，因为12x x +≥=，所以它是真命题；（4）020,log 2x Z x ∃∈>，它是特称命题，当08x =时，2log 832=>，所以该命题是真命题.【点睛】本题主要考查全称命题和特称命题的判断，考查命题真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．判断下列命题是全称命题还是特称命题.（1）∀x ∈R ，x 2+1≥1；（2）所有素数都是奇数；（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（4）有些整数只有两个正因数.【答案】（1）全称命题；（2）全称命题；（3）特称命题；（4）有存在量词“有些”；是特称命题.【分析】根据全称量词和特称命题的定义判断.【详解】（1）有全称量词“任意”，是全称命题；（2）有全称量词“所有”，是全称命题；（3）有存在量词“存在”，是特称命题；（4）有存在量词“有些”；是特称命题13．（1）已知集合M满足{1，2}∁M∁{1，2，3，4，5}，写出集合M所有可能情况．（2）已知非空集合M∁{1，2，3，4，5}，且当a∈M时，有6-a∈M，试求M所有可能的结果．【答案】（1）{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}；（2）{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．【分析】（1）列举法，按元素个数分类写出所有可能情况；（2）将元素分为三组3，2和4，1和5，按元素个数分类列举写出所有结果即可.【详解】（1）因为{1，2}∁M，所以1∈M，2∈M，又因为M∁{1，2，3，4，5}，所以M是含有1，2的{1，2，3，4，5}的子集，故M的所有可能情况是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共8个．（2）若M只含1个元素，则M={3}；若M只含2个元素，则M={1，5}，{2，4}；若M只含3个元素，则M={1，3，5}，{2，3，4}；若M只含4个元素，则M={1，2，4，5}；若M含5个元素，则M={1，2，3，4，5}．所以M 可能的结果为：{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．【点睛】关于集合子集个数的结论：一个集合有n 个元素，则这个集合的子集的个数为2n ，真子集的个数为21n -.14．设集合{}1,2A =，（1）请写出一个集合B ，使“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，但“x A ∈”不是“x B ∈”的必要条件；（2）请写出一个集合B ，使“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，但“x A ∈”不是“x B ∈”的充分条件．【答案】（1）{}1,2,3B =（答案不唯一）；（2）{}1B =（答案不唯一）【分析】根据充分必要性判断集合A 与集合B 之间的包含关系，从而写出符合题意的集合B .【详解】（1）由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，但“x A ∈”不是“x B ∈”的必要条件，所以集合A 是集合B 的真子集，由此可得{}1,2,3B =符合题意.（2）由于于“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，但“x A ∈”不是“x B ∈”的充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集，由此可知{}1B =符合题意.15．已知全集{}4U x x =≤，集合{}240A x x =+<，{}2230B x x x =+-≤，（1）求U C A ；（2）()U C A B .【答案】（1）{}24x x -≤≤（2）{}324x x x <--≤≤或【分析】（1）化简A 集合得到：A ={}2x x <-，利用补集定义即得解；（2）先计算A B ，利用补集定义即得解.【详解】解：（1）集合A ={}2x x <-，U C A ∴={}24x x -≤≤.（2）集合B ={}31x x -≤≤，A B ∴={}32x x -≤<-，()U C A B ∴={}324x x x <--≤≤或.【点睛】本题考查了集合的交并补运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 16．指出下列语句中的全称量词或存在量词：（1）任一个质数都是奇数；（2）所有实数的绝对值都是正数；（3）有些相似三角形全等；（4）有的四边形有外接圆；（5）任意一个矩形都是轴对称图形（6）有一个数不能做除数.【答案】（1）任一个；（2）所有；（3）有些；（4）有的；（5）任意；（6）有一个.【分析】根据全称量词、存在量词的定义判断即可.【详解】（1）语句“任一个质数都是奇数”中量词是任一个，为全称量词；（2）语句“所有实数的绝对值都是正数”中量词是所有，是全称量词；（3）语句“有些相似三角形全等”中量词是有些，是存在量词；（4）语句“有的四边形有外接圆”中量词是有的，是存在量词；（5）语句“任意一个矩形都是轴对称图形”中量词是任意，是全称量词；（6）语句“有一个数不能做除数”中量词是有一个，是存在量词.17．已知0m >，2:4120p x x --≤，:22q m x m -≤≤+.（1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；（2）若5m =，命题p 、q 其中一个是真命题，一个是假命题，求实数x 的取值范围．【答案】（1）[)4,+∞；（2）[)(]3,26,7--.【分析】（1）由p 是q 的充分条件，可得出[][]2,62,2m m -⊆-+，可得出关于正实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围；（2）求出q ，分p 真q 假和p 假q 真两种情况讨论，求出两种不同情况下x 的取值范围，综合可求得结果.【详解】解：解不等式24120x x --≤，解得26x -≤≤，即:26p x -≤≤.（1）p 是q 的充分条件，[]2,6-∴是[]2,2m m -+的子集，故02226m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，解得：4m ≥，所以m 的取值范围是[)4,+∞；（2）当5m =时，:37p m -≤≤，由于命题p 、q 其中一个是真命题，一个是假命题，分以下两种情况讨论： ①p 真q 假时，2673x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或，解得x ∈∅； ②p 假q 真时，6237x x x ><-⎧⎨-≤≤⎩或，解得32x -≤<-或67x <≤. 所以实数x 的取值范围为[)(]3,26,7--．【点睛】结论点睛：本题考查利用充分条件求参数，一般可根据如下规则求解：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应集合与p 对应集合互不包含． 18．已知集合A ={x |x <-2或x >3}，B ={x |0<x <5}，集合C ={x |m -1<x <m +1}（1）求A ∩B ，()R A B ∶（2）若B ∩C =C ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}|35A B x x ⋂=<<；(){}|25R A B x x =-≤<；（2）[]1,4【分析】（1）进行根据交集、并集和补集的定义运算即可；（2）根据B C C =可得出C B ⊆，然后确定C 是否为空集：当C ≠∅时得到不等式组，然后解出m 的范围即可．【详解】解：（1）因为A ={x |x <-2或x >3}，{}B |05x x =<<所以{}|35A B x x ⋂=<<，{}|23R A x x =-≤≤(){}{}{}|23|05|25R A B x x x x x x =-≤≤<<=-≤<（2）由B C C =，则C B ⊆,由C ={x |m -1<x <m +1}，所以C ≠∅，当C ≠∅时，1015m m -≥⎧⎨+≤⎩，所以14m ≤≤ 综上：实数m 的取值范围为[]1,419．已知集合{}2A x x =≥，{}35B x x =<≤.（1）求A B ；（2）定义{M N x x M -=∈且}x N ∉，求A B -.【答案】（1）{}2x x ≥；（2）{23x x ≤≤或}5x >.【分析】（1）利用集合的并运算即可求解.（2）根据集合的定义，写出属于集合A 不属于集合B 的元素即可.【详解】（1）由{}2A x x =≥，{}35B x x =<≤，则{}2A B x x ⋃=≥.（2）由{M N x x M -=∈且}x N ∉，所以A B -{x x A =∈且}{23x B x x ∉=≤≤或}5x >.20．已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合{|010,A x x x =<<为偶数}，集合B ={2，3，6，8}.（1）求A B ；（2）求U (A ∩B ).【答案】（1）{2,3,4,6,8}A B =（2）U (A ∩B ) {1,3,4,5,7}=【分析】（1）由集合的描述写出集合A ，再由集合的并运算求A B .（2）利用集合的交、补运算求U (A ∩B )即可.（1）由题设，{2,4,6,8}A =，而B ={2，3，6，8}，∴{2,3,4,6,8}A B =.（2）由（1）知：{2,6,8}A B =，而U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，∴U (A ∩B ) {1,3,4,5,7}=.21．设全集为R ，已知{4A x x =<或}7x >，集合{}25B x x =<<（1）求集合A B ；（2）求()R A B ⋃.【答案】（1）{}24A B x x ⋂=<<（2）(){}27R A B x x ⋃=<≤【分析】由集合的运算求解即可.（1）A B ={4x x <或}7x >{}25x x ⋂<<={}24x x <<（2）因为{}47R A x x =≤≤，所以{}()27R A B x x ⋃=<≤22．在“∁A B =∅，∁A B ⋂≠∅”这两个个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题．已知集合{211}A xa x a =-<<+∣，{01}B x x =<≤∣．（1）若1a =，求A B ；（2）若________，求实数a 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．【答案】（1）{02}x x <<∣；（2）(,1][1,)-∞-+∞，()1,1-.【分析】（1）由1a =得到{12}A xx =<<∣，然后利用并集运算求解.（2）若A B =∅，分A =∅，A ≠∅两种情况讨论求解；若A B ⋂≠∅，则由21121110a a a a -<+⎧⎪-<⎨⎪+>⎩求解.【详解】（1）当1a =时，{12}A xx =<<∣，{01}B x x =<≤∣；所以{02}A B xx =<<∣ （2）若A B =∅，当A =∅时，211a a -≥+，解得2a ≥，当A ≠∅时，2211a a <⎧⎨-≥⎩或210a a <⎧⎨+≤⎩，解得12a ≤<，或1a ≤-，综上：实数a 的取值范围(,1][1,)-∞-+∞．若A B ⋂≠∅，则21121110a a a a -<+⎧⎪-<⎨⎪+>⎩，即211a a a <⎧⎪<⎨⎪>-⎩，解得11a -<<，所以实数a 的取值范围()1,1-．23．已知集合{}()(){}2|230,,|220,,A x x x x R B x x m x m x R m R =--≤∈=-+--≤∈∈．（1）若{}|03A B x x ⋂=≤≤，求实数m 的值；（2）若R A C B ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（1）；（2）()(),35,-∞-⋃+∞．【解析】试题分析：（1）{}{}|13,|22A x x B x m x m =-≤≤=-≤≤+，根据{}|03A B x x ⋂=≤≤，有20m -=，求得2m =；（2）先求得{}|22R C B x x m x m =-+或，由于R A C B ⊆，所以23m ->或21m +<-，解得5m >或3m <-.试题解析：（1）{}{}|13,|22A x x B x m x m =-≤≤=-≤≤+，由于{}|03A B x x ⋂=≤≤，则20m -=，∁2m =；{}|22R C B x x m x m =-+或，R A C B ⊆，所以2321m m ->+<-或，解得5m >或3m <-.（2）{}|22R C B x x m x m =-+或，∁R A C B ⊆，∁2321m m ->+<-或，∁5m >或3m <-，∁m 的取值范围是()(),35,-∞-⋃+∞．考点：一元二次不等式；集合交集、并集和补集；子集.24．已知全集U =R ∁集合3{|0log 1}A x x =<<∁集合{|21}B x m x m =<<-. ∁1）当1m =-时，求A B ∁()U C A B ⋂∁（2）若A B A =∁求实数m 的取值范围.【答案】(1)A ∁B ∁{x |∁2<x <3}∁()(2,1]U C A B ⋂=-∁(2)(∁∞∁∁2]∁【解析】试题分析：（1）求解集合A,B 根据集合交并补的定义求解即可；（2）由A ∩B ∁A ，得A ∁B ，从而得122113m m m m ->⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，解不等式求解即可.试题解析：∁1∁由题得集合A ∁{x |0∁3log x ∁1}={x |1∁x ∁3}当m ∁∁1时，B ∁{x |∁2<x <2}∁则A ∁B ∁{x |∁2<x <3}∁()(]{|13}{|22}2,1U C A B x x x x x ⋂=≤≥⋂-<<=-或∁2∁由A ∩B ∁A ，得A ∁B ..解得m ≤∁2∁即实数m 的取值范围为(∁∞∁∁2]∁25．已知全集U =R ，集合{}|4216x A x =≤<，{}|13B x x =<≤，求：（1）A B ；（2）U A ；（3）()U A B ⋂．【答案】（1）{}|14A B x x ⋃=<<；（2）U {|2A x x =<或4}x ≥；（3）()U {|2A B x x =<或3}x >．【分析】（1）由集合的并集运算可得答案.∁2∁∁∁∁∁∁∁∁∁∁∁∁∁∁∁3∁∁∁∁∁∁∁∁∁∁∁∁∁∁∁∁.【详解】集合{}{}{}24|4216|222|24x x A x x x x =≤<=≤<=≤<，{}|13B x x =<≤，（1）{}|14A B x x ⋃=<<；（2）U {|2A x x =<或4}x ≥；（3）因为{}|23A B x x =≤≤，所以()U {|2A B x x =<或3}x >．26．已知集合{}52A x x =-<≤．（1）若{}B x x m =≥，A B B ⋃=，求实数m 的取值范围；（2）若B x x m ，A B B ⋃=，求实数m 的取值范围．【答案】（1）5m ≤-；（2）2m >．【分析】（1）根据A B B ⋃=，则A B ⊆，又{}52A x x =-<≤，{}B x x m =≥，列出不等式，即可得解；（2）根据A B B ⋃=，则A B ⊆，又{}52A x x =-<≤，B x x m ，列出不等式，即可得解；【详解】（1）因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，又{}52A x x =-<≤，{}B x x m =≥，所以5m ≤-，所以实数m 的取值范围为5m ≤-；（2）因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，又{}52A x x =-<≤，B x x m ，所以2m >，所以实数m 的取值范围为2m >．27．设全集为R ，集合{}{}|36,|29A x x B x x =≤<=<<.（1）分别求A B ，()R C B A ；（2）已知{}|1C x a x a =<<+，已知CB C =，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）A ∩B ={x |3≤x <6}；(C R B )∁A ={x ≤2或3≤x ＜6或x 9}；（2）2≤a ≤8.【分析】（1）根据已知集合，利用集合的交并补运算求A B 、()R C B A ；（2）由题意知C ⊆B ，列不等式组即可求a 的取值范围.【详解】（1）由已知，有A ∩B ={x |3≤x <6}，且R C B ={x |x9或x ≤2}，所以(R C B )∁A ={x ≤2或3≤x ＜6 或 x 9}；（2）C ∩B =C ，则 C ⊆B ，有 219a a ≥⎧⎨+≤⎩，得2≤a ≤8； 28．设全集U {}1,2,3,4,5,6=，集合A {}1,3,4=，B {}1,4,5,6=.（1）求A B 及A B .（2）求()()U U A B ⋂.【答案】（1）{}1,4A B ⋂=，{}1,3,4,5,6A B =；（2）{}2.【分析】（1）根据集合的交并集运算求解即可；（2）根据集合的补集的运算和交集的运算求解即可.【详解】（1）{}1,4A B ⋂=；{}1,3,4,5,6A B =（2）{}2,5,6U A =，{}2,3U B =，所以()(){}2U U A B =29．设集合{|2A x x =≤或6}x ≥，{|13}B x x =-<<，{|13}C x m x m =-<<+. （1）求A B ；（2）若C A ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|12}A B x x =-<≤；（2）{|1m m ≤-或7}m ≥.【分析】（1）由集合的交集运算求解即可；（2）根据集合的包含关系求解实数m 的取值范围.【详解】解：（1）{|2A x x =≤或6}x ≥，{|13}B x x =-<<{|12}A B x x ∴⋂=-<≤；（2）{|13}C x m x m =-<<+，C A ⊆32m ∴+≤或16m -≥，即1m ≤-或7m ≥∴实数m 的取值范围是{|1m m ≤-或7}m ≥.30．设集合{}33A x a x a =-<<+，{|1B x x =<-或}3x >.（1）若3a =，求A B ；（2）若A B =R ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|1x x <-或}0x >；（2）()0,2.【分析】（1）先求出集合A ，再求A ∪B ；（2）根据A B =R 得到31,33,a a -<-⎧⎨+>⎩解不等式组即得解. 【详解】（1）若3a =，则{}06A x x =<<，故{|1A B x x ⋃=<-或}0x >.（2）若A B =R ，则31,33,a a -<-⎧⎨+>⎩解得02a <<. ∴实数a 的取值范围为()0,2.【点睛】本题主要考查集合的补集运算和根据集合的关系求参数的范围，意在考查学生对这些知识的解掌握水平和分析推理能力.31．已知集合{}22,,A x x m n m n Z ==-∈，（1）判断8、9、10是否属于集合A ；（2）集合{}21,B x x k k Z ==+∈，证明：B 是A 的真子集.【答案】（1）8A ∈，9A ∈，10A ∉；（2）证明见解析.【分析】（1）将8x =、9、10分别代入关系式()22,x m n m n Z =-∈，若满足的关系式，则属于A ，若不满足关系式，则不属于A ，由此可得出结论；（2）由()22211k k k +=+-，可得B A ⊆，再由8A ∈且8B ∉，可证明出结论成立.（1）因为22831=-，22930=-，所以8A ∈且9A ∈.假设10A ∈，则()()2210m n m n m n =-=+-，所以101m n m n ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩或52m n m n ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，均无满足条件的整数解，故10A ∉；（2）因为()22211k k k +=+-，所以21k A +∈，故B 是A 的子集.由（1）知8A ∈，但8B ∉，所以B 是A 的真子集.【点睛】本题考查元素与集合关系的判断，同时也考查了真子集的证明，考查推理能力，属于基础题.32．设集合{|128,,}A x x m n m n Z ==+∈，{|2016,,}B x x p q p q Z ==+∈，求证：A B =.【答案】证明见解析【分析】根据集合相等定义证明，即证A B ⊆和B A ⊆．任取A 中元素，把它改写成B 中元素形式，再任取B 中元素，把它改写成A 中元素形式．从而完成证明．【详解】（1）任取1x A ∈，即1128,,x m n m n Z =+∈.当m ，n 同奇或同偶时，120162n m x m -=+⨯；当m ，n 一奇一偶时，1520(2)162n m x m -+=-+⨯. ∁,m n Z ∈，∁2-∈n m Z （m ，n 同奇或同偶），且52-+∈n m Z （m ，n 一奇一偶）. ∁12016,,x p q p q Z =+∈，∁1x B ∈，∁A B ⊆.（2）任取2x B ∈，即22016,,x p q p q Z =+∈，∁2128(2)x p p q =++.∁,p q Z ∈，∁2p q Z +∈，∁2128,,x m n m n Z =+∈，∁2x A ∈，∁B A ⊆.由（1）（2）可知A B =.本题考查集合相等的定义，解题方法是证明两个包含关系：A B ⊆和B A ⊆．本题属于基础题．33．设函数()f x =+A ，已知集合{}3217B x x =<+<，{}C x x m =≥，全集为R .（1）求()R A B ；（2）若()A B C ≠∅，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}12x x <≤；（2）(,3)-∞.【分析】（1）利用偶次根式下被开方数大于等于零、分式分母不为零，求解出()f x 的定义域，然后根据补集和交集的概念与运算求解出()R A B ；（2）先计算出A B 的结果，然后根据()A B C ≠∅写出m 的取值范围.【详解】（1）{{}{}{}{302023,13,2x x R A x x x B x x C A x x ->->==<<=<<=≤或}3x ≥ {}()12R C A B x x ∴⋂=<≤；（2）{}()13,,3A B x x A B C m ⋃=<<⋃⋂≠∅∴<即实数m 的取值范围为(,3)-∞.【点睛】本题考查集合的交、并、补运算以及根据集合的运算结果求解参数范围，其中涉及到具体函数求解定义域的问题，难度较易.34．已知22{2,334,4}A x x x x =-+-+-，且2A ∈，求x 的值【答案】2x =或3x =-【分析】分别讨论23342x x +-=，242x x +-=两种情况结合集合中元素的互异性，求解即可.【详解】当23342x x +-=时，即1x =或2x =-经检验当1x =或2x =-时，242x x +-=-，不满足集合中元素的互异性.当242x x +-=时，即2x =或3x =-经检验当2x =时，2334126414x x +-=+-=当3x =-时，2334279414x x +-=--=综上，2x =或3x =-【点睛】本题主要考查了根据元素与集合的关系求参数问题，在求解时要满足集合的互异性，属于中等题.35．已知集合{2A x x =<-或3}x >，{123,}B x m x m m =-<≤+∈R .（1）若2m =，求A B 和A B ；（2）若A B B =，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|2A B x x ⋃=<-或1}x >，{|37}A B x x =<≤；（2）52m <-或4m ≥. 【分析】（1）根据并集和交集的概念运算可得结果；（2）化为B A ⊆，再分类讨论集合B ，根据子集关系列式可求出结果.【详解】（1）若2m =，则{17}B x x =<≤，所以{|2A B x x ⋃=<-或1}x >，{|37}A B x x =<≤.（2）因为A B B =，所以B A ⊆，当B =∅时，123m m -≥+，解得4m ≤-，满足B A ⊆；当B ≠∅时，123232m m m -<+⎧⎨+<-⎩或12313m m m -<+⎧⎨-≥⎩，解得542m -<<-或4m ≥，综上所述：实数m 的取值范围是52m <-或4m ≥. 36．给出如图所示程序框图，令输出的()y f x =.若命题0:p x ∃，0()f x m ≤为假命题，求m 的取值范围.【答案】1m <-【分析】判断出程序框图是解决分段函数问题，求出命题的否定是真命题时，使()min f x m >即可. 【详解】程序构图表示分段函数22log ,2()1,2x x y f x x x >⎧==⎨-≤⎩命题0:p x ∃，0()f x m ≤为假命题，所以命题“,()x f x m ∀>”为真命题，即x ∀，()f x m >恒成立，则()min f x m >. 函数()y f x =的最小值为(0)1f =-，所以1m <-. 【点睛】本题考查了命题的真假求参数的取值范围，同时考查了分段函数的最值，属于基础题. 37．已知集合{}13A x x =<<，{}21B x m x m =<<-，（1）当1m =-时，求：∁A B ；∁()RAB ；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围；（3）若A B =∅时，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}23A B x x ⋃=-<<，(){}23R A B x x ⋂=≤<；（2）2m ≤-；（3）0m ≥. 【分析】（1）由1m =-得{}22B x x =-<<，由并集，交集以及补集的概念，即可得出结果；（2）由A B ⊆，根据题中条件，列出不等式组求解，即可得出结果；（3）分别讨论B =∅与B ≠∅的情况，根据题中条件，即可求出结果；【详解】（1）当1m =-时，{}{}2122B x m x m x x =<<-=-<<，所以{2R B x x =≤-或}2x ≥，又{}13A x x =<<，所以{}23A B x x ⋃=-<<，(){}23R A B x x ⋂=≤<；（2）因为A B ⊆，所以211213m mm m <-⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，解得2m ≤-；即实数m 的取值范围是2m ≤-；（3）因为A B =∅，当B =∅，则21m m ，即13m ≥；当B ≠∅，则2123m m m <-⎧⎨≥⎩或2111m m m <-⎧⎨-≤⎩，解得103m ≤<；综上，实数m 的取值范围是0m ≥. 【点睛】本题考查集合的并集、交集、以及补集运算，考查已知集合的包含关系求参数，考查由集合的交集结果求参数，属于基础题型.38．已知集合{|3}A x x a =≤+，{|15}B x x x =-或．（1）若2a =-，求R A C B ⋂；（2）若A B A ⋂=，求a 的取值范围．【答案】（1）{|11}R A C B x x ⋂=-≤≤；（2）4a <-．【详解】试题分析：（1）先求得R C B ，再借助于数列数轴可求得R A C B ⋂；（2）由,A B A A B ⋂=∴⊂，可得关于a 的不等式，解得a 的范围．试题解析：（1）当2a =-时，集合{|1}A x x =≤，{|15}R C B x x =-≤≤ ∁{|11}R A C B x x ⋂=-≤≤．（2）∁{|3}A x x a =≤+，{|15}B x x x =-或，A B ⊆， ∁31a +<-，∁4a <-．考点：集合的运算；集合间的关系．【易错点睛】本题主要考查了集合的运算，集合间的关系．集合的运算方法：（1）数轴图示法：对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考查等号．（2）韦恩图示法：对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图，这是数形结合思想的又一体现． 39．写出下列命题的否定并判断真假：（1）所有自然数的平方都是正数；（2）任何实数x 都是方程5x －12＝0的根；（3）∁x ∁R ，x 2＋3＜0；（4）有些质数不是奇数．【答案】答案见解析. 【分析】（1）根据含有一个量词的命题的否定的定义写出，再由自然数的平方不是正数判断；（2）根据含有一个量词的命题的否定的定义写出，再求出方程的根判断；（3）根据含有一个量词的命题的否定的定义写出，再由一元二次不等式的解判断；；（4）根据含有一个量词的命题的否定的定义写出，再由质数都是奇数判断．【详解】（1）命题的否定：至少存在一个自然数的平方不是正数．真命题．（2）命题的否定：∁x ∁R ，5x －12≠0.真命题．（3）命题的否定：∁x ∁R ，x 2＋3≥0.真命题．（4）命题的否定：所有的质数都是奇数．假命题．【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定以及真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.40．用描述法表示如图所示的阴影（含边界）中的点P 组成的集合．【答案】{(,)|13,03}x y x y -≤≤≤≤ 【分析】根据图象分别得到x 与y 的范围即可,注意为点的集合【详解】解:题图阴影中的点(,)P x y 的横坐标x 的取值范围为13x -≤≤,纵坐标y 的取值范围为03≤≤y故阴影（含边界）中的点P 组成的集合为{(,)|13,03}x y x y -≤≤≤≤ 【点睛】本题考查描述法表示集合,考查点集,属于基础题41．设U =R ，{|22,0}A x a x a a =-<<+>，{|41}B x x =-≤≤. （1）若2a =，求()U A B ∩；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|14}x x <<；（2）6a > 【分析】（1）由集合B 可求得UB ,再由2a =可得到集合A ,然后将集合A 与UB 取并集即可;（2）由A B A ⋃=可知B A ⊆,进而可得2421a a -<-⎧⎨+>⎩,求解即可.【详解】（1）由{|41}B x x =-≤≤,则{4UB x x =<-或}1x >,2a =,则{|04}A x x =<<,所以(){|14}U A B x x ⋂=<<. （2）由A B A ⋃=,则B A ⊆,可得2421a a -<-⎧⎨+>⎩,解得6a >.所以实数a 的取值范围是6a >. 【点睛】本题考查了集合间的运算,考查了子集的性质,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.42．设全集为R ，{|37}A x x =≤≤，{}2|14400B x x x =-+<．（Ⅰ）求()R A B ⋃及()R A B ⋂；（Ⅱ）若集合{|214}C x m x m =+≤≤+，且A C A ⋃=，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(){}|710R A B x x ⋂=<<；{()3R A B x x ⋃=<或}10x ≥；（2）{}|1m m ≥；【分析】（1）求解一元二次不等式，得集合B ，然后根据集合的交并补集的定义计算即可；（2）由A C A ⋃=，可得C A ⊆，然后分别讨论集合C φ=与C φ≠两种情况. 【详解】（1）求解得集合{}{}2|14400|410B x x x x x =-+<=<<，所以{3R A x x =<或}7x >，所以(){}|710R A B x x ⋂=<<，{()3R A B x x ⋃=<或}10x ≥；（2）因为A C A ⋃=，所以C A ⊆.当集合C =∅时，214m m +>+，得3m >；当集合C ≠∅时，21421347m m m m +≤+⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，得13m ≤≤，综上，m 的取值范围为{}|1m m ≥. 43．写出下列命题的否定并判断其真假．（1）所有正方形都是矩形；（2）至少有一个实数x 0使x 3＋1＝0；（3）存在θ∁R ，函数y ＝sin(2x ＋θ)为偶函数；（4）任意x ，y ∁R ，|x ＋1|＋|y －1|≥0．【答案】答案见解析．【分析】由命题的否定的定义写出命题的否定，根据原命题的真假判断否命题的真假．【详解】利用真假命题的定义解：（1）原命题是真命题，命题的否定：有的正方形不是矩形，假命题．（2）原命题是真命题，命题的否定：不存在实数x ，使x 3＋1＝0，假命题．（3）原命题是真命题，命题的否定：任意θ∁R ，函数y ＝sin(2x ＋θ)不是偶函数，假命题． (4) 原命题是真命题，命题的否定：存在x ，y ∁R ，|x ＋1|＋|y －1|＜0，假命题．44．已知命题:p “反比例函数254a a y x-+=的图象位于第二、四象限”，命题:q “x ∀∈R ，2(1)10x a x +-->恒成立”.（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）在p ，q 均为真命题的情况下，甲同学认为p 是q 的充分不必要条件，乙同学认为p 是q 的必要不充分条件，请谈一下你的观点.【答案】（1）14a <<；（2）甲乙两名同学说法均不正确，正确的说法为：p 是q 的既不充分也不必要条件. 【分析】（1）利用反比例函数性质可知2540a a -+<，解不等式即可得解；（2）若q 为真命，求出a 的取值范围，结合（1）与充分必要条件的定义即可判断. 【详解】（1）命题p “反比例函数254a a y x -+=的图象位于第二、四象限”，2540a a ∴-+<，解得：14a <<，所以实数a 的取值范围是：14a <<（2）若命题:q “x ∀∈R ，2(1)10x a x +-->恒成立”为真命题，则有2(1)40a ∆=--<，解得：13a -<<，此时p 推不出q ，q 也推不出p ，即p 是q 的既不充分也不必要条件，所以甲乙两名同学说法均不正确，正确的说法为：p 是q 的既不充分也不必要条件45．已知集合{}{}222|2240,,|430,A x x x x R B x x ax a x R =--<<∈=-+∈.(1)若A B =∅，求实数a 的取值范围； (2)若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(]{}[),406,-∞-+∞；（2）4,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】先求出集合A .（1）就B =∅和B ≠∅分类讨论，再根据集合关系得到两个集合中范围的端点满足的不等式，其解即为实数a 的取值范围.（2）就B =∅和B ≠∅分类讨论，再根据B A ⊆得到两个集合中范围的端点满足的不等式，其解即为实数a 的取值范围. 【详解】()4,6A =-，()(){}|30B x x a x a --<=. （1）若0a =，则B =∅，符合；若0a >，则(),3B a a =，因为A B =∅，故6a ≥；若0a <，则()3,B a a =，因为A B =∅，故4a ≤-；所以A B =∅时，实数a 的取值范围为(]{}[),406,-∞-+∞.（2）因为A B A ⋃=，B A ⊆. 若0a =，则B =∅，符合；若0a >，则(),3B a a =，因为B A ⊆，故036a <≤即02a <≤；若0a <，则()3,B a a =，因为B A ⊆，故430a -≤<即403a -≤<；所以A B A ⋃=时，实数a 的取值范围为4,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查集合的包含关系以及一元二次不等式的解的求法，注意根据集合关系得到不同集合中的范围的端点满足的不等式时，要验证等号是否可取，还要注意含参数的集合是否为空集或全集.46．已知A ={0，2，a 2-3a -1}，B ={0，-3}，A B ={-3，0}，求实数a 【答案】1或2 【分析】根据交集结果得3A -∈,列方程解得a ，最后再经验的结果. 【详解】因为A B ={-3，0}，所以3A -∈所以223313201a a a a a -=--∴-+=∴=或2 经检验满足题意. 【点睛】本题考查根据交集结果求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.47．已知集合{A x y =，{}2,03xB y y x ==<<．（1）若1m =，求A B ；（2）设p ：x A ∈，q ：x B ∈，若q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[)0,8；（2）27m <<．【分析】（1）由1m =，分别求出集合A ，集合B ，然后求并集即可；（2）先表示出集合A ，集合B ，根据题意判断出集合A 是集合B 的真子集，即可求出实数m 的取值范围．【详解】（1）若1m =，由()20x x -≤，解得02x ≤≤，所以[]0,2A =，当03x <<时，128x <<，所以()1,8B =，所以[)0,8A B ⋃=．（2）由()()110x m m x -++≥-，可得11m x m -≤≤+，所以集合[]1,1A m m =-+，由（1）知()1,8B =，因为q 是p 的必要不充分条件，则集合A 是集合B 的真子集，所以1118m m ->⎧⎨+<⎩，解得27m <<，所以实数m 的取值范围为27m <<．【点睛】本题主要考查集合间的基本关系，以及对充分条件，必要条件的理解，属于中档题．48．设集合{}2|230A x x x =+-<，集合{|||1}B x x a =+<.（1）若3a =，求A B ；（2）设命题 : p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|41}A B x x =-<<；（2）02a ≤≤. 【分析】（1）解一元二次不等式、绝对值不等式化简集合,A B 的表示，再利用集合并集的定义，结合数轴进行求解即可；（2）根据必要不充分对应的集合间的子集关系，结合数轴进行求解即可. 【详解】（1）{}{}2|230|31A x x x x x =+-<=-<<.因为3a =，所以{||3|1}{|42}B x x x x =+<=-<<-，因此{|41}A B x x =-<<；（2）{}|31A x x =-<<，{|||1}{|11}B x x a x a x a =+<=--<<-，因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集，因此有1113a a -≤⎧⎨-->-⎩或1113a a -<⎧⎨--≥-⎩，解得02a ≤≤.【点睛】本题考查了集合的并集的运算，考查了由必要不充分条件求参数问题，考查了一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查了数学运算能力.49．已知函数()()lg 1f x x +的定义域为集合A ,函数()()2lg 2g x x x a =-+的定义域为集合B ． (1)当8a =-时,求A B ；(2)若{}|13R A C B x x ⋂=-<≤,求a 的值．【答案】（1）{}|45x x <≤；（2）3-.。

高中数学集合基础知识复习

集合复习题一、选择题1．下列各项中，不可以组成集合的是（）A ．所有的正数B ．等于2的数C ．接近于0的数D ．不等于0的偶数2．若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为（）A ．0X ⊆B ．{}0X ∈C ．X φ∈D ．{}0X ⊆3．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形3．如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是（）A ．0B ．0 或1C ．1D ．不能确定4．集合A ＝{0，2，a}，B ＝{1，2a }．若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．45．下列四个集合中，是空集的是（）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．},01|{2R x x x x ∈=+-6．下列表述中错误的是（）A ．若AB A B A =⊆ 则, B ．若B A B B A ⊆=，则C ．)(B A A )(B AD ．()()()B C A C B A C U U U =7、集合{a ，b ，c }的真子集共有个（）A 7B 8C 9D 108、若{1，2}⊆A ⊆{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是（）A. 6B. 7C. 8D. 9 9、方程组 11x y x y +=-=- 的解集是 ( )A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1}10．已知集合A ＝{1，3，5，7，9}，B ＝{0，3，6，9，12}，则A∩B＝ ( )A ．{3，5}B ．{3，6}C ．{3，7}D ．{3，9}11．设集合A ＝{x|2≤x＜4}，B ＝{x|3x －7≥8－2x}，则A ∪B 等于 ( )A ．{x|x≥3}B ．{x|x≥2}C ．{x|2≤x＜3}D ．{x|x≥4}12．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为（）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．1或1-或013.若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （）A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4}14．已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合()U A B 等于（）A ．{}|24x x -<≤B ．{}|34x x x ≤≥或C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤15．已知U =R ，A ={}|0x x >，B ={}|1x x ≤-，则()()U U A B B A =A ．∅B ．{}|0x x ≤C ．{}|1x x >-D ．{}|01x x x >≤-或16.设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ⊆B ，则a 的取值范围是（） A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{2a a ≤17．50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人， 2项测验成绩均不及格的有4人，2项测验成绩都及格的人数是（）A ．35B ．25C ．28D ．1518．已知集合{}2|10,A x x A R φ=++==若，则实数m 的取值范围是（）A ．4<mB ．4>m C.40<≤m D ．40≤≤m19.下列说法中，正确的是（）A.任何一个集合必有两个子集；B.若,A B φ=则,A B 中至少有一个为φC.任何集合必有一个真子集；D.若S 为全集，且,A B S =则,A B S ==20．设集合A={x |1＜x ＜2}，B={x |x ＜a }满足A ≠⊂B ，则实数a 的取值范围是（）A ．[)+∞,2B ．(]1,∞-C ．[)+∞,1D ．(]2,∞- 二、填空题二、填空题1．用适当的关系符号填空．（1）0______N , 5______N , 16______N（2）1{}______,_______,{}______2R Q Q e C Q π-（e 是个无理数） 2. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B =，则集合C = ，C 的非空子集的个数为3．若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则A B =_____________．4．设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ⊇，则实数k 的取值范围是5．已知{}{}221,21A y y x x B y y x ==-+-==+，则A B =_________6．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为人。

高中数学集合、复数必做题型(含解析)

集合，复数---高考题型一．选择题（共40小题）1．已知集合M＝{x||x﹣1|≥2}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁R M）∩N＝（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{﹣1，0，1，2}D．{2，3}2．已知集合U＝{0，1，2，3}，S＝{0，3}，T＝{2}，则∁U（S∪T）＝（）A．{1}B．{0，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3} 3．设集合A＝{x|x＜2}，，则（∁U A）∩B＝（）A．（1，2）B．[1，2]C．[2，3）D．[2，3]4．设集合M＝{2m﹣1，m﹣3}，若﹣3∈M，则实数m＝（）A．0B．﹣1C．0或﹣1D．0或15．已知集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}，集合，则M∪N＝（）A．{x|﹣3＜x＜1}B．{x|﹣4＜x＜1}C．{x|﹣4＜x＜2}D．{x|﹣3＜x＜2} 6．设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣3，﹣2，2，3}，B＝{﹣3，0，1，2}，则（∁U A）∩B＝（）A．∅B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2} 7．已知集合A＝{x|﹣1≤2x﹣1≤3}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∪B＝（）A．（0，2]B．[0，2]C．[0，3）D．[0，3]8．设集合A＝{x|0＜x≤1}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝（）A．[0，+∞）B．[0，1]C．（0，1]D．[0，1）9．已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，0）C．[﹣2，+∞）D．（0，2]10．已知集合A＝{x|x2﹣2＜0}，且a∈A，则a可以为（）A．﹣2B．﹣1C．D．11．设集合A＝{x|1＜2x＜8}，B＝{x||x+1|≥3}，则A∩B＝（）A．（0，2]B．[2，3）C．（2，3]D．（0，3）12．已知集合，N＝{x||x﹣1|≤2}，则M∩N＝（）A．[﹣1，3]B．[1，2]C．[﹣1，2）D．（2，3]13．若集合A＝{x|2x2+3x﹣9≤0}，B＝{x|2x＞﹣3，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}14．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合A的子集个数为（）A．3B．4C．8D．16 15．若集合M＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，N＝{x|﹣2≤x≤2}，则M∪N＝（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，4]C．[﹣2，2]D．[﹣2，4] 16．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则A∪B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0}D．{0，1}17．已知集合，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（）A．[2，3]B．[2，3）C．（2，3）D．（2，3] 18．已知集合A＝{x|﹣5＜x＜2}，B＝{x||x|＜3}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，3）C．（﹣3，2）D．（﹣5，3）19．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A∪B＝R D．A∩B＝∅20．已知集合A＝{x|≥1}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣2，2）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）21．设i是虚数单位，复数，则在复平面内z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限22．设复数z＝1﹣i，则＝（）A．B．C．D．23．已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限24．若复数z满足z•（2+3i）＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．0B．﹣1C．D．1 25．复数的共轭复数是（）A．i+2B．i﹣2C．﹣i﹣2D．2﹣i26．若复数z＝2﹣i，则i•z的虚部是（）A．2i B．i C．2D．127．若复数z＝i（i﹣1），则|z﹣1|＝（）A．﹣2﹣i B．﹣i C．D．528．已知复数z满足z＝（2+i）（1+3i）（i为虚数单位），则复数z的共轭复数的虚部为（）A．﹣7i B．7i C．﹣7D．﹣129．已知a，b∈R，i为虚数单位，若，则|a+bi|＝（）A．3B．5C．9D．230．已知a，b∈R，a+i与3+bi互为共轭复数，则|a﹣bi|＝（）A．2B．3C．D．431．复数（2﹣3i）i的实部为（）A．﹣2B．2C．﹣3D．332．设复数z在复平面内对应的点为（2，5），则1+z在复平面内对应的点为（）A．（3，﹣5）B．（3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，5）33．已知复数（为虚数单位），则|z|＝（）A．2B．C．D．34．若复数z满足，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．35．复平面内表示复数的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限36．已知z+i＝zi，则|z|＝（）A．B．0C．D．137．已知，i为虚数单位，则z＝（）A．﹣2+i B．2﹣i C．2+i D．﹣2﹣i38．已知复数，则＝（）A．B．C．D．39．若（z+1）i＝z，则z2+i＝（）A．B．C．D．40．已知复数z满足（1﹣i）（z+4i）＝2i，则z的虚部为（）A．﹣3B．﹣3i C．﹣1D．﹣i集合，复数---高考题型参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．已知集合M＝{x||x﹣1|≥2}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁R M）∩N＝（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{﹣1，0，1，2}D．{2，3}【解答】解：集合M＝{x||x﹣1|≥2}＝{x|x≥3或x≤﹣1}，则∁R M＝{x|﹣1＜x＜3}，又N＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁R M）∩N＝{0，1，2}．故选：A．2．已知集合U＝{0，1，2，3}，S＝{0，3}，T＝{2}，则∁U（S∪T）＝（）A．{1}B．{0，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}【解答】解：U＝{0，1，2，3}，S＝{0，3}，T＝{2}，根据集合补集的概念和运算得：S∪T＝{0，2，3}，∁U（S∪T）＝{1}．故选：A．3．设集合A＝{x|x＜2}，，则（∁U A）∩B＝（）A．（1，2）B．[1，2]C．[2，3）D．[2，3]【解答】解：集合A＝{x|x＜2}，＝{x|1≤x＜3}，∴∁U A＝{x|x≥2}，（∁U A）∩B＝{x|2≤x＜3}．故选：C．4．设集合M＝{2m﹣1，m﹣3}，若﹣3∈M，则实数m＝（）A．0B．﹣1C．0或﹣1D．0或1【解答】解：设集合M＝{2m﹣1，m﹣3}，∵﹣3∈M，∴2m﹣1＝﹣3或m﹣3＝﹣3，当2m﹣1＝﹣3时，m＝﹣1，此时M＝{﹣3，﹣4}；当m﹣3＝﹣3时，m＝0，此时M＝{﹣3，﹣1}；所以m＝﹣1或0．故选：C．5．已知集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}，集合，则M∪N＝（）A．{x|﹣3＜x＜1}B．{x|﹣4＜x＜1}C．{x|﹣4＜x＜2}D．{x|﹣3＜x＜2}【解答】解：集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}＝{x|﹣3＜x＜2}，集合＝{x|﹣4＜x＜1}，则M∪N＝{x|﹣4＜x＜2}．故选：C．6．设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣3，﹣2，2，3}，B＝{﹣3，0，1，2}，则（∁U A）∩B＝（）A．∅B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2}【解答】解：∵U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣3，﹣2，2，3}，B＝{﹣3，0，1，2}，∴∁U A＝{﹣1，0，1}，（∁U A）∩B＝{0，1}．故选：C．7．已知集合A＝{x|﹣1≤2x﹣1≤3}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∪B＝（）A．（0，2]B．[0，2]C．[0，3）D．[0，3]【解答】解：因为A＝{x|﹣1≤2x﹣1≤3}＝{x|0≤x≤2}＝[0，2]，B＝{x|x2﹣3x＜0}＝{x|0＜x＜3}＝（0，3），所以A∪B＝[0，2]∪（0，3）＝[0，3）．故选：C．8．设集合A＝{x|0＜x≤1}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝（）A．[0，+∞）B．[0，1]C．（0，1]D．[0，1）【解答】解：x2﹣2x≤0，x（x﹣2）≤0，∴0≤x≤2，B＝[0，2]，又A＝（0，1]，则A∩B＝（0，1]．故选：C．9．已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，0）C．[﹣2，+∞）D．（0，2]【解答】解：由题意A＝{x|x2≤4}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＞0}，所以A∪B＝{x|﹣2≤x≤2}∪{x|x＞0}＝{x|x≥﹣2}＝[﹣2，+∞）．故选：C．A．﹣2B．﹣1C．D．【解答】解：由题意可得集合A＝{x|﹣＜x＜}，因为a∈A，所以﹣＜a＜，故选项B正确，ACD错误．故选：B．11．设集合A＝{x|1＜2x＜8}，B＝{x||x+1|≥3}，则A∩B＝（）A．（0，2]B．[2，3）C．（2，3]D．（0，3）【解答】解：因为1＜2x＜8⇒20＜2x＜23，所以0＜x＜3，即A＝（0，3），且|x+1|≥3⇒x+1≥3或x+1≤﹣3，所以x≥2或x≤﹣4，即B＝（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞），所以A∩B＝[2，3）．故选：B．12．已知集合，N＝{x||x﹣1|≤2}，则M∩N＝（）A．[﹣1，3]B．[1，2]C．[﹣1，2）D．（2，3]【解答】解：∵，N＝{x|﹣1≤x≤3}，∴M∩N＝（2，3]．故选：D．13．若集合A＝{x|2x2+3x﹣9≤0}，B＝{x|2x＞﹣3，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}【解答】解：由2x2+3x﹣9≤0解得，所以，因为B＝{x|2x＞﹣3，x∈Z}，所以，所以A∩B＝{﹣1，0，1}，故选：C．A．3B．4C．8D．16【解答】解：∵集合A＝{x|x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x∈Z|﹣1＜x＜3}＝{0，1，2}，∴集合A的子集个数为23＝8．故选：C．15．若集合M＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，N＝{x|﹣2≤x≤2}，则M∪N＝（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，4]C．[﹣2，2]D．[﹣2，4]【解答】解：∵M＝{x|﹣1≤x≤4}，N＝{x|﹣2≤x≤2}，∴M∪N＝[﹣2，4]．故选：D．16．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1}，则A∪B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0}D．{0，1}【解答】解：∵B＝{﹣2，﹣1，0，1}，集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}＝{0，1，2}，∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}．故选：B．17．已知集合，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（）A．[2，3]B．[2，3）C．（2，3）D．（2，3]【解答】解：∵，B＝{x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B＝（2，3）．故选：C．18．已知集合A＝{x|﹣5＜x＜2}，B＝{x||x|＜3}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，3）C．（﹣3，2）D．（﹣5，3）【解答】解：∵A＝{x|﹣5＜x＜2}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，∴A∪B＝（﹣5，3）．故选：D．19．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A∪B＝R D．A∩B＝∅【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，∴B⊆A，A∪B＝A，A∩B＝B，因此选项B正确，选项A，C，D错误；故选：B．20．已知集合A＝{x|≥1}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣2，2）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：A＝{x|≥1}＝{x|x＜﹣1或x≥2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则∁R B＝{x|x≥1或x≤﹣2}，故A∩（∁R B）＝（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故选：C．21．设i是虚数单位，复数，则在复平面内z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：＝，故在复平面内z所对应的点（﹣1，1）在第二象限．故选：B．22．设复数z＝1﹣i，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，，故．故选：B．23．已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：因为，所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限．故选：B．24．若复数z满足z•（2+3i）＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．0B．﹣1C．D．1【解答】解：z•（2+3i）＝3﹣2i，则z＝，故|z|＝＝．故选：D．25．复数的共轭复数是（）A．i+2B．i﹣2C．﹣i﹣2D．2﹣i【解答】解：∵复数＝＝﹣2﹣i，∴共轭复数是﹣2+i故选：B．26．若复数z＝2﹣i，则i•z的虚部是（）A．2i B．i C．2D．1【解答】解：z＝2﹣i，则iz＝i（2﹣i）＝1+2i，其虚部为2．故选：C．27．若复数z＝i（i﹣1），则|z﹣1|＝（）A．﹣2﹣i B．﹣i C．D．5【解答】解：z＝i（i﹣1）＝﹣1﹣i，则z﹣1＝﹣2﹣i，故|z﹣1|＝|2﹣i|＝．故选：C．28．已知复数z满足z＝（2+i）（1+3i）（i为虚数单位），则复数z的共轭复数的虚部为（）A．﹣7i B．7i C．﹣7D．﹣1【解答】解：因为z＝（2+i）（1+3i）＝﹣1+7i，所以，所以复数z的共轭复数的虚部为﹣7．故选：C．29．已知a，b∈R，i为虚数单位，若，则|a+bi|＝（）A．3B．5C．9D．2【解答】解：若，则a+bi＝（2+i）（1﹣2i）＝4﹣3i，故|a+bi|＝＝5．故选：B．30．已知a，b∈R，a+i与3+bi互为共轭复数，则|a﹣bi|＝（）A．2B．3C．D．4【解答】解：∵a+i与3+bi互为共轭复数，∴a＝3，b＝﹣1，∴|a﹣bi|＝|3+i|＝＝．故选：C．31．复数（2﹣3i）i的实部为（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3【解答】解：（2﹣3i）i＝3+2i，其实部为3．故选：D．32．设复数z在复平面内对应的点为（2，5），则1+z在复平面内对应的点为（）A．（3，﹣5）B．（3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，5）【解答】解：复数z在复平面内对应的点为（2，5），则z＝2+5i，故1+z＝1+2+5i＝3+5i，其在复平面内对应的点为（3，5）．故选：B．33．已知复数（为虚数单位），则|z|＝（）A．2B．C．D．【解答】解：，则＝．故选：D．34．若复数z满足，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则，∵，∴a﹣bi﹣3i＝a+bi，即﹣b﹣3＝b，解得b＝．故选：B．35．复平面内表示复数的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：＝﹣1﹣i，则z在复平面对应的点（﹣1，﹣1）位于第三象限．故选：C．36．已知z+i＝zi，则|z|＝（）A．B．0C．D．1【解答】解：z+i＝zi，则z（1﹣i）＝﹣i，故z＝，所以|z|＝．故选：A．37．已知，i为虚数单位，则z＝（）A．﹣2+i B．2﹣i C．2+i D．﹣2﹣i 【解答】解：，则z＝（1﹣2i）i＝2+i．故选：C．38．已知复数，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：＝＝，则．故选：D．39．若（z+1）i＝z，则z2+i＝（）A．B．C．D．【解答】解：由（z+1）i＝z得：（1﹣i）z＝i，即，所以．故选：D．40．已知复数z满足（1﹣i）（z+4i）＝2i，则z的虚部为（）A．﹣3B．﹣3i C．﹣1D．﹣i【解答】解：因为，所以z的虚部为﹣3．故选：A．。

2022年数学高考集合专题知识点专项练习含答案

专题1 集合（原卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）B)=1.若A、B是全集I的真子集，则下列四个命题：①A∩B=A； ②A∪B=A; ③A∩(∁I ⌀; ④A∩B=I⑤x∈B是x∈A的必要不充分条件.其中与命题A⊆B等价的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.已知非空集合A，B满足以下两个条件：(1)A∪B={1,2，3，4}3，A∩B=⌀；(2)A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素.则有序集合对(A,B)的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 43.已知集合M，P满足M∪P=M，则下列关系中：①M=P；②M⫌P；③M∩P=P；④P⊆M.一定正确的是()A. ①②B. ③④C. ③D. ④4.有下列命题：①mx2+2x−1=0是一元二次方程；②二次函数y=ax2+2x−1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．真命题有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.对于任意两个数x，y(x,y∈N∗)，定义某种运算“◎”如下：①当或，时，x◎y=x+y；②当，时，x◎y=xy则集合A= {(x,y)|x◎y=10}的子集个数是()A. 214个B. 213个C. 211个D. 27个6.已知集合A={x|−2<x<3}，B={x|m<x<m+9}.若A∩B≠⌀，则实数m的取值范围为()A. {m|m<3}B. {m|m⩾−11}C. {m|−11⩽m⩽3}D. {m|−11<m<3}7.已知集合A={x|−2⩽x⩽5}，B={x|m+1⩽x⩽2m−1}.若B⊆A，则实数m的取值范围为()A. m⩾3B. 2⩽m⩽3C. m⩾2D. m⩽38.设集合S，T中至少有两个元素，且S，T满足：①对任意x,y∈S，若x≠y，则x+y∈T②对任意x,y∈T，若x≠y，则x−y∈S，下列说法正确的是()A. 若S有2个元素，则S∪T有4个元素B. 若S有2个元素，则S∪T有3个元素C. 存在3个元素的集合S，满足S∪T有5个元素D. 存在3个元素的集合S，满足S∪T有4个元素9.已知集合A={x∈R|12x+1≤1}，B={x∈R|(x−2a)(x−a2−1)<0}，若(∁R A)∩B=⌀，则实数a 的取值范围是()A. [1,+∞)B. [0,+∞)C. (0,+∞)D. (1,+∞)10.设集合M={x|x2−x>0}.N={x|1x<1}，则()A. M⊊NB. N⊊MC. M=ND. M∪N=R11.若集合A={x|x−3x+1≥0}，B={x|ax+1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是()A. [−13,1) B. (−13,1]C. (−∞,−1)⋃[0,+∞)D. [−13,0)⋃(0,1)12.设集合S={−20,21，5，−11，−15，30，a}，我们用f(S)表示集合S的所有元素之和，用g(S)表示集合S的所有元素之积，例如：若A={2}，则f(A)=g(A)=2；若B={2,3}，则f(B)=2+3，g(B)= 2×3.那么下列说法正确的是()A. 若a=0，对S的所有非空子集A i，f(A i)的和为320B. 若a=0，对S的所有非空子集B i，f(B i)的和为−640C. 若a=−1，对S的所有非空子集C i，g(C i)的和为−1D. 若a=−1，对S的所有非空子集D i，g(D i)的和为0二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知集合A={x|x2−6x+8=0}，B={x|mx−4=0}，且B∩A=B，则实数m所取到的值构成的集合C=，则A∪C=．14.设集合A={0,3}，B={m+2,m2+2}，若A∩B={3}，则集合A∪B的子集的个数为．15.已知集合M={(x,y)|y=f(x)}，若对于任意(x1,y1)∈M，存在(x2,y2)∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合是“好集合”，给出下列4个集合：①M={(x,y)|y=1x}；②M={(x,y)|y=e x−2}；③M={(x,y)|y=cosx}；④M={(x,y)|y=lnx}.其中为“好集合”的序号是______．16.已知集合{a,b，c}={0，1，2}，有下列三个关系①a≠2；②b=2；③c≠0，若三个关系中有且只有一个正确的，则a+2b+3c=____________．专题1 集合一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）17. 若A 、B 是全集I 的真子集，则下列四个命题：①A ∩B =A ； ②A ∪B =A; ③A ∩(∁I B)=⌀; ④A ∩B =I⑤x ∈B 是x ∈A 的必要不充分条件.其中与命题A ⊆B 等价的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】解：由A ⊆B 得Venn 图，①A ∩B =A ⇔A ⊆B;②A ∪B =A ⇔B ⊆A;③A ∩(∁I B )=⌀⇔A ⊆B;④{A ∩B =IA ⊆IB ⊆I ⇔A =B =I ⇒A ⊆B,但A ⊆B 不一定能得出A =B =I ，故A ∩B =I 与A ⊆B 不等价;⑤x ∈B 是x ∈A 的必要不充分条件，则A ⊆B ，但A ⊆B 不一定能得x ∈B 是x ∈A 的必要不充分条件，所以不等价．故和命题A ⊆B 等价的有①③，故选B ．18. 已知非空集合A ，B 满足以下两个条件：(1)A ∪B ={1,2，3，4}3，A ∩B =⌀；(2)A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素.则有序集合对(A,B )的个数为() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有3个元素，则1∉A ，3∉B ，即3∈A ，1∈B ，此时有1对;同理，若集合B只有1个元素，则集合A中有3个元素，有1对;若集合A中有2个元素，则集合B中有2个元素，2∉A，2∉B，不满足条件．所以满足条件的有序集合对(A,B)的个数为1+1=2，故选B．19.已知集合M，P满足M∪P=M，则下列关系中：①M=P；②M⫌P；③M∩P=P；④P⊆M.一定正确的是()A. ①②B. ③④C. ③D. ④【答案】B已知集合M，P满足M∪P=M，则P⊆M，故④正确，①错误，②错误；由P⊆M可得M∩P=P，故③正确，故选B20.有下列命题：①mx2+2x−1=0是一元二次方程；②二次函数y=ax2+2x−1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．真命题有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】①当m=0时，方程是一元一次方程，错误；②方程ax2+2x−1=0(a≠0)的判别式Δ=4+ 4a，其值不一定大于或等于0，所以与x轴至少有一个交点不能确定，错误；③正确；④空集不是空集的真子集，错误.故选A．21.对于任意两个数x，y(x,y∈N∗)，定义某种运算“◎”如下：①当或，时，x◎y=x+y；②当，时，x◎y=xy则集合A= {(x,y)|x◎y=10}的子集个数是()A. 214个B. 213个C. 211个D. 27个【答案】C【解析】按照题意，将集合A中元素逐一列举出来如下：A={(10,1),(2,5),(1,9),(9,1),(2,8),(8,2),(3,7),(7,3),(4,6),(6,4),(5,5)}，故集合A中共有11个元素，所以集合A的子集个数为211．故选C．22.已知集合A={x|−2<x<3}，B={x|m<x<m+9}.若A∩B≠⌀，则实数m的取值范围为()A. {m|m<3}B. {m|m⩾−11}C. {m|−11⩽m⩽3}D. {m|−11<m<3}【答案】D【解析】若A∩B=⌀，利用下图的数轴可得m+9⩽−2或m⩾3，∴m⩽−11或m⩾3.∴满足A∩B≠⌀的实数m的取值范围为{m|−11<m<3}．故选D．23.已知集合A={x|−2⩽x⩽5}，B={x|m+1⩽x⩽2m−1}.若B⊆A，则实数m的取值范围为()A. m⩾3B. 2⩽m⩽3C. m⩾2D. m⩽3【答案】D【解析】A={x|−2⩽x⩽5}，B={x|m+1⩽x⩽2m−1}，而B⊆A，(1)当B=⌀时，满足B⊆A，此时m+1>2m−1，解得m<2；(2)当B≠⌀时，B⊆A，则计算得出2≤m≤3．综上，m≤3．故选D．24.设集合S，T中至少有两个元素，且S，T满足：①对任意x,y∈S，若x≠y，则x+y∈T②对任意x,y∈T，若x≠y，则x−y∈S，下列说法正确的是()A. 若S有2个元素，则S∪T有4个元素B. 若S有2个元素，则S∪T有3个元素C. 存在3个元素的集合S，满足S∪T有5个元素D. 存在3个元素的集合S，满足S∪T有4个元素【答案】B【解析】若S有2个元素，不妨设S={a,b}，由 ②知集合S中的两个元素必为相反数，故可设S={a,−a};由 ①得0∈T，由于集合T中至少有两个元素，故至少还有另外一个元素m∈T，当集合T有2个元素时，由 ②得：−m∈S，则m=±a，T={0,−a}或T={0,a}，当集合T有多于2个元素时，不妨设T={0,m，n}，由 ②得：m，n，−m，−n，m−n，n−m∈S，由于m，n≠0，所以m≠m−n，n≠n−m，又m≠n，故集合S中至少有3个元素，矛盾，综上，S∪T={0,a，−a}，故B正确；若S有3个元素，不妨设S={a,b，c}，其中a<b<c，则{a+b,b+c,c+a}⊆T，所以c−a，c−b，b−a，a−c，b−c，a−b∈S，集合S中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合S中至少有4个元素，矛盾，排除C，D．故选B．25.已知集合A={x∈R|12x+1≤1}，B={x∈R|(x−2a)(x−a2−1)<0}，若(∁R A)∩B=⌀，则实数a 的取值范围是()A. [1,+∞)B. [0,+∞)C. (0,+∞)D. (1,+∞)【答案】B【解析】∵集合A={x∈R|12x+1≤1}={x|−2x2x+1≤0}={x|x<−12或x≥0}，B={x∈R|(x−2a)(x−a2−1)<0}，∵2a≤a2+1，∴当2a=a2+1时，a=1，B=⌀，满足题意；当2a<a2+1时，a≠1，B={x|2a<x<a2+1}，∁R A={x|−12≤x<0}，∴a2+1≤−12或2a≥0，a≠1，解得a≥0，且a≠1，综上，a≥0，即实数a的取值范围是[0,+∞)．故选：B．26.设集合M={x|x2−x>0}.N={x|1x<1}，则()A. M⊊NB. N⊊MC. M=ND. M∪N=R 【答案】C【解析】解：解x2−x>0得，x<0或x>1；解1x<1得，x>1，或x<0；∴M=N．故选：C．27.若集合A={x|x−3x+1≥0}，B={x|ax+1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是()A. [−13,1) B. (−13,1]C. (−∞,−1)⋃[0,+∞)D. [−13,0)⋃(0,1)【答案】A【解析】因为x−3x+1≥0，所以{x+1≠0(x−3)(x+1)≥0，所以x<−1或x≥3，所以A={x|x<−1或x≥3}，当a=0时，1≤0不成立，所以B=⌀，所以B⊆A满足，当a>0时，因为ax+1≤0，所以x≤−1a，又因为B⊆A，所以−1a<−1，所以0<a<1，当a<0时，因为ax+1≤0，所以x≥−1a，又因为B⊆A，所以−1a ≥3，所以−13≤a<0综上可知：a∈[−13,1)．故选：A28.设集合S={−20,21，5，−11，−15，30，a}，我们用f(S)表示集合S的所有元素之和，用g(S)表示集合S的所有元素之积，例如：若A={2}，则f(A)=g(A)=2；若B={2,3}，则f(B)=2+3，g(B)= 2×3.那么下列说法正确的是()A. 若a=0，对S的所有非空子集A i，f(A i)的和为320B. 若a=0，对S的所有非空子集B i，f(B i)的和为−640C. 若a=−1，对S的所有非空子集C i，g(C i)的和为−1D. 若a=−1，对S的所有非空子集D i，g(D i)的和为0【答案】C【解析】由于S={−20,21，5，−11，−15，30，a}中的所有元素的和为a，则在S的所有非空子集中，对任意x∈S，含有x的非空子集的个数为26，从而∑fA⊂S (A)=26⋅∑xA⊂S=a⋅26．从而当a=0时，∑fA⊂S(A)=0，故选项A，B均错误．当a=−1时，S={−20,21，5，−11，−15，30，−1}，对于S中的任意子集A，若−1∈A，则将元素−1从集合A中删除得集合B=A={−1}，则g(A)=−g(B);若−1∉A，则将元素−1添加到集合A中得集合B=A∪{−1}，则g(A)=−g(B).由此∑gA⊂S(A)=g({−1))=−1,因此C选项正确．故选C．二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）29.已知集合A={x|x2−6x+8=0}，B={x|mx−4=0}，且B∩A=B，则实数m所取到的值构成的集合C=，则A∪C=．【答案】{0,1，2}；{0,1，2，4}．【解析】A={x|x2−6x+8=0}={2,4}，∵B∩A=B，∴B⊆A，当m=0时，B=⌀，满足条件，B⊆A，当m≠0时，B={4m}，若满足条件，B⊆A，则4m =2或4m=4，即m=2或m=1，综上实数m的值构成的集合C={0,1，2}；∵A={2,4}，C={0,1，2}，则A∪C={0,1，2，4}．故答案为：{0,1，2}；{0,1，2，4}．30.设集合A={0,3}，B={m+2,m2+2}，若A∩B={3}，则集合A∪B的子集的个数为．【答案】8【解析】因为集合A={0,3}，B={m+2,m2+2}，且A∩B={3}，所以3∈B，所以m+2=3或m2+2=3，解得m=1或m=−1，当m=1时，此时B={3,3}，不满足集合中元素的互异性，故舍之，当m=−1时，B={1,3}，满足题意，此时A∪B={0,1,3}，所以集合A∪B的子集的个数为23=8．故答案为8．31.已知集合M={(x,y)|y=f(x)}，若对于任意(x1,y1)∈M，存在(x2,y2)∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合是“好集合”，给出下列4个集合：}；②M={(x,y)|y=e x−2}；③M={(x,y)|y=cosx}；④M={(x,y)|y=lnx}.①M={(x,y)|y=1x其中为“好集合”的序号是______．【答案】②③=0无实数解，因此①不是“好集合”；【解析】对于①，注意到x1x2+1x1x2对于②，如下左图，注意到过原点任意作一条直线与曲线y=e x−2相交，过原点与该直线垂直的直线必与曲线y=e x−2相交，因此②是“好集合”；对于③，如下中图，注意到过原点任意作一条直线与曲线y=cosx相交，过原点与该直线垂直的直线必与曲线y=cosx相交，因此③是“好集合”；对于④，如下右图，注意到对于点(1,0)，不存在(x2,y2)∈M，使得1×x2+0×lnx2=0，因为x2=0与真数的限制条件x2>0矛盾，因此④不是“好集合”．故答案为：②③32.已知集合{a,b，c}={0，1，2}，有下列三个关系①a≠2；②b=2；③c≠0，若三个关系中有且只有一个正确的，则a+2b+3c=____________．【答案】5【解析】由已知，若a≠2正确，则a=0或a=1，即a=0，b=1，c=2或a=0，b=2，c=1或a=1，b=0，c=2或a=1，b=2，c=0，均与“三个关系有且只有一个正确”矛盾；若b=2正确，则a≠2正确，不符合题意；所以，只有c≠0正确，a=2，b=0，c=1，故a+2b+3c=5.故答案为：5．。

2022年人教版高一数学必修一集合知识点以及习题

高一数学必修 1第一章集合一、集合有关概念1.集合旳含义:一定范畴旳、拟定旳、可区别旳事物，当作一种整体来看待，就叫作集合，简称集，其中各事物叫作集合旳元素或简称元。

2.集合旳中元素旳三个特性：(1)元素旳拟定性如：世界上最高旳山(2)元素旳互异性如：由HAPPY旳字母构成旳集合{H,A,P,Y}(3)元素旳无序性如：{a,b,c}和{a,c,b}是表达同一种集合3.集合旳表达：{ … } 如：{我校旳篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表达集合：A={我校旳篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合旳表达措施：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z有理数集Q 实数集R列举法：{a,b,c……}描述法：将集合中旳元素旳公共属性描述出来，写在大括号内表达集合旳措施。

{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2}语言描述法：例：{不是直角三角形旳三角形}Venn图:4、集合旳分类：有限集具有有限个元素旳集合无限集具有无限个元素旳集合空集不含任何元素旳集合例：{x|x2=－5｝二、集合间旳基本关系1.“涉及”关系—子集A⊆有两种也许（1）A是B旳一部分，；注意：B（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不涉及于集合B,或集合B不涉及集合A,记作A⊆/B或B⊇/A2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相似则两集合相等”即：①任何一种集合是它自身旳子集。

A⊆A②真子集:如果A⊆B,且A≠ B那就说集合A是集合B旳真子集，记作A B(或B A)③如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C④如果A⊆B 同步 B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素旳集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合旳子集，空集是任何非空集合旳真子集。

有n个元素旳集合，具有2n个子集，2n-1个真子集三、集合旳运算例题1.下列四组对象，能构成集合旳是( ）A某班所有高个子旳学生 B出名旳艺术家 C一切很大旳书 D 倒数等于它自身旳实数2.集合{a ，b ，c }旳真子集共有个3.若集合M={y|y=x 2-2x+1,x ∈R},N={x|x ≥0}，则M 与N 旳关系是 .4.设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ⊆B ，则a 旳取值范畴是5.50名学生做旳物理、化学两种实验，已知物理实验做得对旳得有40人，化学实验做得对旳得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对旳有人。

2021-2022学年上学期高中数学人教新版高一同步经典题精练之集合综合题.docx

2021-2022学年上学期高中数学人教新版高一同步经典题精练之集合综合题一. 选择题(共7小题)1.(2019-南充模拟)设集合P={ 3 y) |x+y<4, x, y€N*},则集合P的非空子集个数是( )A. 2B. 3C. 7D. 82.(2021 •新乡二模)定义集合M^N={x{xEM5.x- 1GN),已知集合A={x\x2+3x- 10<0),B={x\ - 7<x<0),则A^B=( )A.{x\ - 5<x< - 1}B. {x\ - Kx<2}C. {x| - 5<x<l}D. (x\ - 5<x<0}3.(2020秋•玄武区校级月考)集合A = {x|4- |2x- 1|€N*},则A的非空真子集的个数是( )A.62B. 126C. 254D. 5104.(2020-东城区模拟)某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8, 10,14,若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20,则这三天都开车上班的职工人数至多是( )A. 8B. 7C. 6D. 55.(2021 •浙江模拟)已知非空集合AUR,设集合S= {x+y\x&A, yGA且T={x-y\xEA,yWA且x>y}.分别用|A|、|S|、|7]表示集合A、S、T中元素的个数，则下列说法不正确的是( )A.若Hl=4,则|S|+|7]N8B.若|A|=4,则|5|+|7]^12C.若|A|=5,则\S\+\T\可能为18D.若区|=5,则|S|+|7]不可能为196.(2019 春•孝感期末)设集合A=( (x, >) | (x - 4) 2+j2=l), B=( (x, y) | (x - f) 2+(y-at+2) 2=1},若存在实数f,使得AAB#0,则实数a的取值范围是( )A. (0, 1]B. [1, A)C. [0, A]D. [0, 2]3 37.(2019 秋•台州月考)若集合A— ( (m, 〃)| (m+1) + (m+2) +•••+ (m+n) =1O2015, mGN,nGN*},则集合A中的元素个数是( )A. 2016B. 2017C. 2018D. 2019二. 填空题(共4小题)8.（2020秋•瑶海区校级期末）已知函数/（x） =?+2ax+8 （a>0）,集合A = {x『（x） WO}, B={x\f（/（%）） W8},若A=3尹0,则a的取值范围为.9.（2018秋•岳麓区校级月考）已知集合A={4?+x+m=0},若AAR=0,则实数m的取值范围是.10.（2020秋•山东期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A = {-1,2}, B={x\（vc=2, aNO},若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为. 11.（2019秋•松江区校级期末）已知集合M={（x, y） iJ+^Wl},若实数入，曰满足：对任意的3y） GM,均有（疝，叫）EM,则称（入，Q是集合肱的“可行数对”.以下集合中，不存在“可行数对”的是.入 2 ] ] 2①{（入，口）I入+日=1}; ②{（人，|1）③{（入，U）|入2-『4 3=2}；④（（入，口）|入2=却}.三. 解答题（共5小题）12.（2020 秋•利通区校级期末）已知集合A = {x|2 - aWxW2+a}, B=（x|x2 - 5x+4>0）.（1）当o=3 时，求APIB, AU （C R B）；（2）若AC1B=0,求实数a的取值范围.13.（2020 秋•襄阳期中）已知集合。

专题01 集合-2022年(新高考)数学高频考点重点题型

集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
符号
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U，且 }
5．集合的运算性质
并集的性质：＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
交集的性质：＝；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
补集的性质：＝U；＝；＝A.
【解析】
【分析】由对数函数性质确定集合，再确定出集合，然后由集合的运算得出值．
【详解】因为log2(x－1)<1，所以x－1>0且x－1<2，即1<x<3，则N＝{x|1<x<3}，因为U＝R，所以 N＝{x|x≤1或x≥3}，又因为M＝{x|x＋2a≥0}＝{x|x≥－2a}，M∩(∁UN)＝{x|x＝1或x≥3}，所以－2a＝1，得a＝－，
二、教学建议
1．能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.
2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，在具体情境中，了解全集与空集的含义.
3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集，能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
∴ ，
∴ ．
故选：B.
【点睛】本题考查了集合的基本运算，首先根据图表示出所求的集合，然后利用集合的交补运算求集合，属于简单题.
（2020·浙江高三练习）
2.设全集，集合，那么图中的阴影部分所表示的集合是（）.
A. B. C. D.
【答案】A

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2021-2022年高中数学集合必会基础题型1
【知识点】
1.集合的三个特性：确定性，互异性，无序性
2.自然数集，正整数集或，整数集，有理数集，实数集。

3.集合的三种表示方法：列举法，描述法，文氏图。

4.集合的分类：有限集，无限集，空集
5.子集：若，则，称为是的子集，记作：或，
读作：“集合包含于集合”或“集合包含集合”。

6.真子集：若且，则称集合与集合相等，记作：；
若且,则称集合是集合的真子集，记作：
【注意】空集是任何集合的真子集。

一个集合的子集个数为，真子集个数为，非空真子集个数为。

7.补集：已知，由所有属于但不属于中的元素组成的集合称为的补集，记作:, 读作：在中的补集。

即：
8.交集：由两个集合中的公共元素组成的集合，即：{|}A B x x A x B =∈∈，且
9.并集：由两个集合中的所有元素组成的集合，即：{|}A B x x A x B =∈∈，或
10.集合的包含关系：
题型1.集合性质的应用
1.判断能否构成集合：【根据集合的确定性】
（1）我国的所有直辖市；（2）我校的所有大树；
（3）深圳机场学校的所有优秀学生；（4）深圳市的全体中学生；
（5）不等式的所有实数解；（6）所有的正三角形。

2.用填空：2 ，， -3 ，，；
已知，则1 ，2 ，-1 ，-2 。

3.集合中有个元素；中有个元素。

3.已知集合，则不能取哪些值？
4.（1），则；（2）若，则。

5.已知，且，求实数的值。

6.已知，，且，求实数的值。

题型2.把描述法集合变为列举法集合
1. 2.
3.{|}x x 为不大于9的正奇数
4.
5.{(,)|03,02,,}x y x y x y N ≤<≤<∈
6.“students ”中字母组成的集合
7.若，，用列举法表示。

题型3.写出一个集合的所有子集或真子集
1.写出下列集合的所有子集：（1）（2）（3）
2.写出下列集合的真子集：（1）（2）
（3）
题型4.求集合的补集
1.已知，，则。

2.已知，，则。

3.已知，，则。

题型5.求交集和并集
1.已知，，则；。

2.已知，，则；。

3.已知{|}A x x 是小于7的正偶数，，则
；。

4.已知，，；。

5.已知，，；。

6.已知为全集，集合为的子集,则：，
，，，，。

7.已知，，，求，，。

8.已知，，，求，，。

9.已知，，，求，，。

10.若，，求。

11.已知，，求；。

12.已知，，若，求的取值范围。

13.写出所有满足的集合。

14.满足的集合有个。

15.写出所有满足的集合。

题型6.即时定义问题
1.定义一个集合运算*{|,,}A B z z xy x A y B ==∈∈，已知，，请用列举法写出。

2.定义一个集合运算*{|,,}A B z z x y x A y B ==+∈∈，已知，，请用列举法写出。

3.定义一个集合运算
*{|,,}x A B z z x A y B y ==∈∈，已知，，请用列举法写出。

题型7.根据集合的关系求参数的范围
1.若，{|121}B x m x m =+≤≤-，且，求的取值范围。

2.若，，且，求的范围。

3.已知，，（1）若，求的范围；
（2）若，求的范围。

4.已知，，（1）若，求的范围；
（2）若，求的范围；38110 94DE 铞]bE29711 740F 琏24437 5F75 彵x 7 34707 8793 螓
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