平面向量的线性运算课件

a
B
向量的加法满足 交换律和结合律.
a+ b = b+ a (a + b) + c = a + (b + c )
向量加法运算及其几何意义
学以致用：

例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡
进行运输.一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的
速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为 向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行 的速度（保留两个有效数字）；
向量加法运算及其几何意义
日常生活中遇到的向量加法问题:
例如:某对象从A点走到B点. 然后从B点走到C点. 思考:这个人所走过的位移是多少?
C
分析 :由物理知识可以知道: 从A点到B点然后到C点的 合位移,就是从A点到C点 的位移.
A
B
AB
+
BC
=
AC
向量加法运算及其几何意义
探究:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
向量加法的定义：我们把求两个向量
a, b
和的运算,叫做向量的加法, a b 叫做 的和. 两个向量的和仍然是一个向量.
a, b
向量加法运算及其几何意义
向量加法的三角形法则
已知非零向量a与b.如何求a+ b.
a b
首尾相接，首尾连 a+b=AB+BC=AC
C
B A
位移的合成可以看作向量 加法三角形法则的物理模型
2.2平面向量的线性运算
2.2.1向量加法运算及其几何意义
向量加法运算及其几何意义
复习回顾：
1、向量：
既有大小又有方向的量叫做向量
2、平行向量： 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 3、相等向量： 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
节引言：
数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷。 与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？人们从 向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量 的运算。 下面我们学习向量的线性运算。
D
a
b
因为 AC = AB + BC = a + b
C
b
A
a
B
AC = AD + DC = b a. r r 所以 a + b = b a.
向量加法运算及其几何意义
D
(a b) c (b c ) a
c b c
(a b) c a (b c).
C
b
a b
A
a
b
A
（ 1） B
a
b
（ 2）
C
ab
C
ab
A
B
若a， b方向相同，则 | a b || a | | b |
若a， b方向相反，则 | a b || a | | b（或 | | b | | a |）
向量加法运算及其几何意义
当向量 a、 b 不共线时，和向量的长度 | a b | 与向量
+a = a 结合律 a +0= 0 数学思想方法方面： (a + b ) + c= 1、具体与抽象的数学思维方法， 2、类比的思想方法 ) a +( b+ c
作业： 课本91页习题2.2A组2、3、4.(1)(2)(3)
向量加法运算及其几何意义
谢谢指导 再见
（2）
b
ab b
a
（4）
ab
a
b b
二、用平行四边形法则求向量的和
（1） （2）
b
ab b a
b a
ab
a
向量加法运算及其几何意义
探究：
数的加法满足交换律与结合律，即对任意 a，b∈R， 有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c) 任意向量 a、 b 的加法是否也满足交换律与结合律？
向量加法运算及其几何意义
向量加法的平行四边形法则
a b
起点相同，连对角 力的合成可以看作向量加 法平行四边形法则的物理模型
C B
对于零向量与任一向量a, 我们规定
A
a00a a
O
向量加法运算及其几何意义
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b ，求作向量
a b。
则 OB a b 作法1：在平面内任取一点O， 作 OA a ，AB b ，
a、 b 的长度和 | a | | b |之间的大小关系如何？
ab
b
三角形的两边之和大于第三边
当向量a、不共线时有 b | a b || a | | b |
综合以上探究我们可得结论：
a
| a b || a | | b |
向量加法运算及其几何意义
课堂练习：
一、用三角形法则求向量的和
OB b ， 作 OA a ， 以OA、OB为 作法2：在平面内任取一点O，
邻边作
连结OC，则 OC OA OB a b. OACB ，
b a
o·
a
ab
A
b
B
o·
b
B
a
ab
A C
向量加法运算及其几何意义
思考：
如图，当在数轴上表示两个共线向量时， 它们的加法与数的加法有什么关系？
E
O
E
O
F
F1+F2=F
力F对橡皮条产生的效果，与力F1和F2共同作用 产生的效果相同，物理学中把力F叫做F1和F2的合力.
向量加法运算及其几何意义
思考:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
E
O
E
O
F
四边形的对角线上，并且大小等于平 行四边形对角线的长.
力F在以F1、F2为邻边的Biblioteka 行向量加法运算及其几何意义
(2)求船实际航行的速度的大小和方向（用与江水
速度间的夹角表示，精确到度）.
向量加法运算及其几何意义
分析：
向量加法在实际生活中的应用，本例应解 决的问题是向量模的大小及向量的方向
C
解： 如图，设 AB表示水流的
速度， 表示渡船的速度， AD AC表示渡船实际过 江的速度.(由平行四边形 法则可以得到) 由AB AD得Rt ABC , D 5
方向与水的流速间的夹角为120 船行进的方向是___________________________. D C
o
A
B
AD 向量 AB 表示静水流速， 表示船行进方向，AC 表示 船实际行走路线，垂直于水 流方向，所以∠DAC即为所 求
向量加法运算及其几何意义
课堂练习：
（1）根据图示填空：
E D
AC AB BC _____
B 2 得 AC 22 52 29 ≈5.4 5 tan CAB , 查计算器可得CAB 68. 2 答：船实际航行速度的大小约为5.4km/h，方向与水的流 速间的夹角约为680
A
向量加法运算及其几何意义
变式：

在静水中船速为20m/min，水流速度为10m/min,
若船从岸边出发，垂直于水流航线到达对岸的，问
BC CD _____ BD
C
A
AD AB BC CD _____ AE AB BC CD DE _____
B
r r r r 14 （2）已知| a | 8, | b | 6, 则 | a b | 的最大值是_____
向量加法运算及其几何意义
归纳小结：
知识方面： 1、一个概念: 向量的加法 2、两个法则: 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 3、两条运算律: 向量加法的交换律 a +b = b+ a