高等数学复旦大学出版第三版下册课后答案习题全

习题七

1、在空间直角坐标系中,定出下列各点的位置:

A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);

D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0)、

解:点A在第Ⅰ卦限;点B在第Ⅱ卦限;点C在第Ⅷ卦限;

点D在xOy面上;点E在yOz面上;点F在x轴上、

2、xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的点,z=0;

在yOz面上的点,x=0;

在zOx面上的点,y=0、

3、x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？

答:x轴上的点,y=z=0;

y轴上的点,x=z=0;

z轴上的点,x=y=0、

4、求下列各对点之间的距离:

(1) (0,0,0),(2,3,4); (2) (0,0,0), (2,-3,-4);

(3) (-2,3,-4),(1,0,3); (4) (4,-2,3), (-2,1,3)、

解:(1)s=

(2) s==

(3) s==

(4) s==

5、求点(4,-3,5)到坐标原点与各坐标轴间的距离、

解:点(4,-3,5)到x轴,y轴,z轴的垂足分别为(4,0,0),(0,-3,0),(0,0,5)、

故

s==

x

s==

y

s==

5

z

s==、

6、在z轴上,求与两点A(-4,1,7)与B(3,5,-2)等距离的点、

解:设此点为M(0,0,z),则

222222

(4)1(7)35(2)

z z

-++-=++--

解得

14

9 z=

即所求点为M(0,0,14

9

)、

7、 试证:以三点A (4,1,9),B (10,-1,6),C (2,4,3)为顶点的三角形就是等腰直角三角形、 证明:因为|AB |=|AC |=7、且有

|AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2、

故△ABC 为等腰直角三角形、

8、 验证:()()++=++a b c a b c 、

证明:利用三角形法则得证、见图

7-1

图7-1

9、 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v

解:

232(2)3(3)

2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c

10、 把△ABC 的BC 边分成五等份,设分点依次为D 1,D 2,D 3,D 4,再把各分点与A 连接,试以AB =u u u r c ,BC =u u u r a 表示向量1D A u u u u r ,2D A u u u u r ,3D A u u u u r 与4D A u u u u r 、

解:1115D A BA BD =-=--u u u u r u u u r u u u u r c a 2225D A BA BD =-=--u u u u r u u u r u u u u r c a 3335D A BA BD =-=--u u u u r u u u r u u u u r c a 444.5D A BA BD =-=--u u u u r u u u r u u u u r c a 11、 设向量OM u u u u r 的模就是4,它与投影轴的夹角就是60°,求这向量在该轴上的投影、 解:设M 的投影为M ',则 1Pr j cos604 2.2

u OM OM =︒=⨯=u u u u r u u u u r 12、 一向量的终点为点B (2,-1,7),它在三坐标轴上的投影依次就是4,-4与7,求这向量的起点A 的坐标、

解:设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z ),则

{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----u u u r

解得x =-2, y =3, z =0

故A 的坐标为A (-2, 3, 0)、

13、 一向量的起点就是P 1(4,0,5),终点就是P 2(7,1,3),试求:

(1) 12PP u u u u r 在各坐标轴上的投影; (2) 12PP u u u u r 的模;

(3) 12PP u u u u r 的方向余弦; (4) 12PP u u u u r 方向的单位向量、

解:(1)12Pr j 3,x x a PP ==u u u u r

12Pr j 1

,y y a PP ==u u u u r 12Pr j 2.z z a PP ==-u u u u r

(2) 12PP =

=u u u u r

(3) 12

cos x a

PP α==u u u u r

12

cos y a PP β==u u u u r

12cos z a

PP γ==u u u u r

(4) 12012

PP PP ===+e j u u u u r u u u u r 、 14、 三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点、 求合力R 的大小与方向余弦、

解:R =(1-2+3,2+3-4,3-

4+5)=(2,1,4)

||==R

cos cos cos αβγ=== 15、 求出向量a = i +j +k , b =2i -3j +5k 与c =-2i -j +2k 的模,并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a , b , c 、

解

:||=a

||==b

||3==c

, , 3. a b c ==a b c e

16、 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上