高等数学复旦大学出版第三版下册课后答案习题全

习题七1、在空间直角坐标系中,定出下列各点的位置:A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0)、解:点A在第Ⅰ卦限;点B在第Ⅱ卦限;点C在第Ⅷ卦限;点D在xOy面上;点E在yOz面上;点F在x轴上、2、xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的点,z=0;在yOz面上的点,x=0;在zOx面上的点,y=0、3、x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答:x轴上的点,y=z=0;y轴上的点,x=z=0;z轴上的点,x=y=0、4、求下列各对点之间的距离:(1) (0,0,0),(2,3,4); (2) (0,0,0), (2,-3,-4);(3) (-2,3,-4),(1,0,3); (4) (4,-2,3), (-2,1,3)、解:(1)s=(2) s==(3) s==(4) s==5、求点(4,-3,5)到坐标原点与各坐标轴间的距离、解:点(4,-3,5)到x轴,y轴,z轴的垂足分别为(4,0,0),(0,-3,0),(0,0,5)、故s==xs==ys==5zs==、6、在z轴上,求与两点A(-4,1,7)与B(3,5,-2)等距离的点、解:设此点为M(0,0,z),则222222(4)1(7)35(2)z z-++-=++--解得149 z=即所求点为M(0,0,149)、7、 试证:以三点A (4,1,9),B (10,-1,6),C (2,4,3)为顶点的三角形就是等腰直角三角形、 证明:因为|AB |=|AC |=7、且有|AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2、故△ABC 为等腰直角三角形、8、 验证:()()++=++a b c a b c 、证明:利用三角形法则得证、见图7-1图7-19、 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v解:232(2)3(3)2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c10、 把△ABC 的BC 边分成五等份,设分点依次为D 1,D 2,D 3,D 4,再把各分点与A 连接,试以AB =u u u r c ,BC =u u u r a 表示向量1D A u u u u r ,2D A u u u u r ,3D A u u u u r 与4D A u u u u r 、解:1115D A BA BD =-=--u u u u r u u u r u u u u r c a 2225D A BA BD =-=--u u u u r u u u r u u u u r c a 3335D A BA BD =-=--u u u u r u u u r u u u u r c a 444.5D A BA BD =-=--u u u u r u u u r u u u u r c a 11、 设向量OM u u u u r 的模就是4,它与投影轴的夹角就是60°,求这向量在该轴上的投影、 解:设M 的投影为M ',则 1Pr j cos604 2.2u OM OM =︒=⨯=u u u u r u u u u r 12、 一向量的终点为点B (2,-1,7),它在三坐标轴上的投影依次就是4,-4与7,求这向量的起点A 的坐标、解:设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z ),则{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----u u u r解得x =-2, y =3, z =0故A 的坐标为A (-2, 3, 0)、13、 一向量的起点就是P 1(4,0,5),终点就是P 2(7,1,3),试求:(1) 12PP u u u u r 在各坐标轴上的投影; (2) 12PP u u u u r 的模;(3) 12PP u u u u r 的方向余弦; (4) 12PP u u u u r 方向的单位向量、解:(1)12Pr j 3,x x a PP ==u u u u r12Pr j 1,y y a PP ==u u u u r 12Pr j 2.z z a PP ==-u u u u r(2) 12PP ==u u u u r(3) 12cos x aPP α==u u u u r12cos y a PP β==u u u u r12cos z aPP γ==u u u u r(4) 12012PP PP ===+e j u u u u r u u u u r 、 14、 三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点、 求合力R 的大小与方向余弦、解:R =(1-2+3,2+3-4,3-4+5)=(2,1,4)||==Rcos cos cos αβγ=== 15、 求出向量a = i +j +k , b =2i -3j +5k 与c =-2i -j +2k 的模,并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a , b , c 、解:||=a||==b||3==c, , 3. a b c ==a b c e16、 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量、解:a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j 、 17、解:设{,,}x y z a a a a =r 则有cos (1,1)3x a i a a i a iπ⋅====⋅r r r r 求得12x a =、 设a r 在xoy 面上的投影向量为b r 则有{,,0}x y b a a =r则22cos 4a b a b π⋅=⇒=⋅r r r r 则214y a = 求得12y a =± 又1,a =r 则2221x y z a a a ++= 从而求得11{,,}222a =±r 或11{,,}222-± 18、 已知两点M 1(2,5,-3),M 2(3,-2,5),点M 在线段M 1M 2上,且123M M MM =u u u u u r u u u u u r ,求向径OM u u u u r 的坐标、解:设向径OM u u u u r ={x , y , z }12{2,5,3}{3,2,5}M M x y z MM x y z =--+=----u u u u u r u u u u u r 因为,123M M MM =u u u u u r u u u u u r所以,11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=--⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-⎩=⎪⎪⎩故OM u u u u r ={111,,344-}、 19、 已知点P 到点A (0,0,12)的距离就是7,OP uuu r 的方向余弦就是236,,777,求点P 的坐标、 解:设P 的坐标为(x , y , z ), 2222||(12)49PA x y z =++-=u u u r得2229524x y z z ++=-+126570cos 6, 749z z γ==⇒==又122190cos 2, 749x x α==⇒==123285cos 3, 749y y β==⇒== 故点P 的坐标为P (2,3,6)或P (190285570,,494949)、 20、 已知a , b 的夹角2π3ϕ=,且3,4==b a ,计算: (1) a ·b ; (2) (3a -2b )·(a + 2b )、 解:(1)a ·b =2π1cos ||||cos3434632ϕ⋅⋅=⨯⨯=-⨯⨯=-a b (2) (32)(2)3624-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b b a b b2223||44||334(6)41661.=+⋅-=⨯+⨯--⨯=-a a b b 21、 已知a =(4,-2, 4), b =(6,-3, 2),计算:(1)a ·b ; (2) (2a -3b )·(a + b ); (3)2||-a b解:(1)46(2)(3)4238⋅=⨯+-⨯-+⨯=a b(2) (23)()2233-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b a b b b 222222222||3||2[4(2)4]383[6(3)2]23638349113=-⋅-=⨯+-+--+-+=⨯--⨯=-a a b b(3) 222||()()2||2||-=-⋅-=⋅-⋅+⋅=-⋅+a b a b a b a a a b b b a a b b 36238499=-⨯+=22、 已知四点A (1,-2,3),B (4,-4,-3),C (2,4,3),D (8,6,6),求向量AB u u u r 在向量CD uuu r 上的投影、解:AB u u u r ={3,-2,-6},CD uuu r ={6,2,3}Pr j CD AB CD AB CD ⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur 4.7==- 23、 若向量a +3b 垂直于向量7a -5b ,向量a -4b 垂直于向量7a -2b ,求a 与b 的夹角、 解: (a +3b )·(7a -5b ) =227||1615||0+⋅-=a a b b ①(a -4b )·(7a -2b ) = 227||308||0-⋅+=a a b b ② 由①及②可得:222221()1||||2||||4⋅⋅⋅==⇒=a b a b a b a b a b 又21||02⋅=>a b b ,所以1cos ||||2θ⋅==a b a b , 故1πarccos 23θ==、 24、 设a =(-2,7,6),b =(4, -3, -8),证明:以a 与b 为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直、 证明:以a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a +b ,a －b ,且a +b ={2,4, -2}a -b ={-6,10,14}又(a +b )·(a -b )= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0故(a +b )⊥(a -b )、25、 已知a =3i +2j -k , b =i -j +2k ,求:(1) a ×b ; (2) 2a ×7b ;(3) 7b ×2a ; (4) a ×a 、解:(1) 211332375122111--⨯=++=----a b i j k i j k(2) 2714()429870⨯=⨯=--a b a b i j k(3) 7214()14()429870⨯=⨯=-⨯=-++b a b a a b i j k(4) 0⨯=a a 、26、 已知向量a 与b 互相垂直,且||3, ||4==a b 、计算:(1) |(a ＋b )×(a －b )|;(2) |(3a ＋b )×(a －2b )|、(1)|()()|||2()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯a b a b a a a b b a b b a bπ2||||sin 242=⋅⋅=a b (2) |(3)(2)||362||7()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=⨯a b a b a a a b b a b b b aπ734sin 842=⨯⨯⨯= 27、 求垂直于向量3i -4j -k 与2i -j +k 的单位向量,并求上述两向量夹角的正弦、 解:411334555111221----⨯=++=--+--a b i j k i j k与⨯a b平行的单位向量()||3⨯==±--+⨯a b e i j k a b||sin ||||26θ⨯===⨯a b a b 、 28、 一平行四边形以向量a =(2,1,－1)与b =(1,－2,1)为邻边,求其对角线夹角的正弦、 解:两对角线向量为13=+=-l a b i j ,232=-=+-l a b i j k因为12|||2610|⨯=++l l i j k12||||==l l 所以1212||sin 1||||θ⨯===l l l l 、 即为所求对角线间夹角的正弦、29、 已知三点A (2,-1,5), B (0,3,-2), C (-2,3,1),点M ,N ,P 分别就是AB ,BC ,CA 的中点,证明:1()4MN MP AC BC ⨯=⨯u u u u r u u u r u u u r u u u r 、 证明:中点M ,N ,P 的坐标分别为31(1,1,), (1,3,), (0,1,3)22M N P -- {2,2,2}MN =--u u u u r3{1,0,}2MP =-u u u r {4,4,4}AC =--u u u r{2,0,3}BC =-u u u r22222235233100122MN MP ----⨯=++=++--i j k i j k u u u u r u u u r 44444412208033220AC BC ---⨯=++=++--i j k i j k u u u r u u u r故 1()4MN MP AC BC ⨯=⨯u u u u r u u u r u u u r u u u r 、 30、(1)解: x y zx y zi j k a b a a a b b b ⨯=r r r r r=-+-+-y z z y z x x z x y y x a b a b i a b a b j a b a b k r r r （）（）（）则 C=-C +-+-y z z y x z x x z y x y y x y a b a b a b a b a b C a b a b C ⨯⋅r r u r （）（）（）（）xy z xy z x y z a a a b b b C C C = 若,,C a b r r u r 共面,则有 a b ⨯r r 后与 C u r 就是垂直的、 从而C 0a b ⨯⋅=r r u r （） 反之亦成立、 (2) C x y z x y z xy z a a a a b b b b C C C ⨯⋅=r r u r Q（）a x y z x y z xy z b b b b C C C C a a a ⨯⋅=r u r r （） b x y z x y z xyz C C C C a a a a b b b ⨯⋅=u r r r （） 由行列式性质可得: x y z xy z x y z x y z x y z xy z x y z x y z x y z a a a b b b C C C b b b C C C a a a C C C a a a b b b == 故 C a ?b a b b C C a ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅r r u r r u r r u r r r Q（）（）（） 31、 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)与(3,-1,2)求四面体的表面积、解:设四顶点依次取为A , B , C , D 、{0,1,2}, {2,2,1}AB AD ==-u u u r u u u r则由A ,B ,D 三点所确定三角形的面积为111|||542|22S AB AD =⨯=+-=i j k u u u r u u u r 、同理可求其她三个三角形的面积依次为12故四面体的表面积12S =+ 32、解:设四面体的底为BCD ∆,从A 点到底面BCD ∆的高为h ,则13BCD V S h =⋅⋅V , 而11948222BCD S BC BD i j k =⨯=--+=V u u u r u u u r r r r 又BCD ∆所在的平面方程为:48150x y z +-+=则43h == 故1942323V =⋅⋅= 33、 已知三点A (2,4,1), B (3,7,5), C (4,10,9),证:此三点共线、证明:{1,3,4}AB =u u u r ,{2,6,8}AC =u u u r显然2AC AB =u u u r u u u r则22()0AB AC AB AB AB AB ⨯=⨯=⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故A ,B ,C 三点共线、34、 一动点与M 0(1,1,1)连成的向量与向量n =(2,3,-4)垂直,求动点的轨迹方程、 解:设动点为M (x , y , z )0{1,1,1}M M x y z =---u u u u u u r因0M M n ⊥u u u u u u r ,故00M M n ⋅=u u u u u u r 、即2(x -1)+3(y -1)-4(z -1)=0整理得:2x +3y -4z -1=0即为动点M 的轨迹方程、35、 求通过下列两已知点的直线方程:(1) (1,-2,1), (3,1,-1); (2) (3,-1,0),(1,0,-3)、解:(1)两点所确立的一个向量为s ={3-1,1+2,-1-1}={2,3,-2}故直线的标准方程为:121232x y z -+-==- 或 311232x y z --+==- (2)直线方向向量可取为s ={1-3,0+1,-3-0}={-2,1,-3}故直线的标准方程为:31213x y z -+==-- 或 13213x y z -+==-- 36、 求直线234035210x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩的标准式方程与参数方程、解:所给直线的方向向量为 12311223719522335--=⨯=++=----s n n i j k i j k另取x 0=0代入直线一般方程可解得y 0=7,z 0=17于就是直线过点(0,7,17),因此直线的标准方程为:7171719x y z --==-- 且直线的参数方程为:771719x t y t z t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩37、 求过点(4,1,-2)且与平面3x -2y +6z =11平行的平面方程、解:所求平面与平面3x -2y +6z =11平行故n ={3,-2,6},又过点(4,1,-2)故所求平面方程为:3(x -4)-2(y -1)+6(z +2)=0即3x -2y +6z +2=0、38、 求过点M 0(1,7,-3),且与连接坐标原点到点M 0的线段OM 0垂直的平面方程、 解:所求平面的法向量可取为0{1,7,3}OM ==-n u u u u u r故平面方程为:x -1+7(y -7)-3(z +3)=0即x +7y -3z -59=039、 设平面过点(1,2,-1),而在x 轴与z 轴上的截距都等于在y 轴上的截距的两倍,求此平面方程、解:设平面在y 轴上的截距为b 则平面方程可定为122x y z b b b++= 又(1,2,-1)在平面上,则有121122b b b-++= 得b =2、 故所求平面方程为1424x y z ++= 40、 求过(1,1,-1), (-2,-2,2)与(1,-1,2)三点的平面方程、解:由平面的三点式方程知1112121213131310x x y y z z xx y y z z x x y y z z ------=--- 代入三已知点,有1112121*********x y z --+----+=---+ 化简得x -3y -2z =0即为所求平面方程、41、 指出下列各平面的特殊位置,并画出其图形:(1) y =0;(2) 3x -1=0;(3) 2x -3y -6=0; (4) x – y =0;(5) 2x -3y +4z =0、解:(1) y =0表示xOz 坐标面(如图7-2)(2) 3x -1=0表示垂直于x 轴的平面、(如图7-3)图7-2 图7-3(3) 2x -3y -6=0表示平行于z 轴且在x 轴及y 轴上的截距分别为x =3与y =-2的平面、(如图7-4)(4) x –y =0表示过z 轴的平面(如图7-5)(5) 2x -3y +4z =0表示过原点的平面(如图7-6)、图7-4 图7-5 图7-642、 通过两点(1,1,1,)与(2,2,2)作垂直于平面x +y -z =0的平面、解:设平面方程为Ax +By +Cz +D =0则其法向量为n ={A ,B ,C }已知平面法向量为n 1={1,1,-1}过已知两点的向量l ={1,1,1}由题知n ·n 1=0, n ·l =0即0 0, .0A B C C A B A B C +-=⎧⇒==-⎨++=⎩所求平面方程变为Ax-Ay+D=0又点(1,1,1)在平面上,所以有D=0故平面方程为x-y=0、43、决定参数k的值,使平面x+ky-2z=9适合下列条件:(1)经过点(5,-4,6); (2) 与平面2x-3y+z=0成π4的角、解:(1) 因平面过点(5,-4,6)故有5-4k-2×6=9得k=-4、(2) 两平面的法向量分别为n1={1,k,-2} n2={2,-3,1}且1212πcos cos||||42θ⋅====n nn n解得k=±44、确定下列方程中的l与m:(1) 平面2x+ly+3z-5=0与平面mx-6y-z+2=0平行;(2) 平面3x-5y+lz-3=0与平面x+3y+2z+5=0垂直、解:(1)n1={2,l,3}, n2={m,-6,-1}12232,18613lm lm⇒==⇒=-=--n nP(2) n1={3, -5, l }, n2={1,3,2}12315320 6.l l⊥⇒⨯-⨯+⨯=⇒=n n45、通过点(1,-1,1)作垂直于两平面x-y+z-1=0与2x+y+z+1=0的平面、解:设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0其法向量n={A,B,C}n1={1,-1,1}, n2={2,1,1}12203203A CA B CA B C CB⎧=-⎪⊥⇒-+=⎪⇒⎨⊥⇒++=⎪=⎪⎩n nn n又(1,－1,1)在所求平面上,故A－B+C+D=0,得D=0故所求平面方程为233CCx y Cz-++=即2x-y-3z=046、求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k的单位向量、解:n1={3,-1,7}, n2={1,-1,2}、12,⊥⊥n n n n故1217733152122111--=⨯=++=+---n n n i j k i j k则2).n =+-e i j k 47、 求下列直线与平面的交点: (1)11126x y z -+==-, 2x +3y +z -1=0; (2) 213232x y z +--==, x +2y -2z +6=0、 解:(1)直线参数方程为1126x t y t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩代入平面方程得t =1故交点为(2,-3,6)、(2) 直线参数方程为221332x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入平面方程解得t =0、故交点为(-2,1,3)、48、 求下列直线的夹角:(1)533903210x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩ 与 2223038180x y z x y z +-+=⎧⎨++-=⎩; (2)2314123x y z ---==- 与 38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩ 解:(1)两直线的方向向量分别为:s 1={5, -3,3}×{3, -2,1}=533321ij k --={3,4, -1}s 2={2,2, -1}×{3,8,1}=221381i j k-={10, -5,10}由s 1·s 2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s 1⊥s 2从而两直线垂直,夹角为π2、(2) 直线2314123x y z ---==-的方向向量为s 1={4, -12,3},直线38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩的方程可变为22010y z x -+=⎧⎨-=⎩,可求得其方向向量s 2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于就是1212cos 0.2064785θθ⋅==≈⋅'≈︒s s s s 49、 求满足下列各组条件的直线方程:(1)经过点(2,-3,4),且与平面3x -y +2z -4=0垂直;(2)过点(0,2,4),且与两平面x +2z =1与y -3z =2平行;(3)过点(-1,2,1),且与直线31213x y z --==-平行、 解:(1)可取直线的方向向量为s ={3,-1,2}故过点(2,-3,4)的直线方程为234312x y z -+-==- (2)所求直线平行两已知平面,且两平面的法向量n 1与n 2不平行,故所求直线平行于两平面的交线,于就是直线方向向量12102{2,3,1}013=⨯==--i j ks n n 故过点(0,2,4)的直线方程为24231x y z --==- (3)所求直线与已知直线平行,故其方向向量可取为s ={2,-1,3}故过点(-1,2,1)的直线方程为121213x y z +--==-、 50、 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系: (1)34273x y z ++==--与4x -2y -2z =3; (2)327x y z ==-与3x -2y +7z =8; (3)223314x y z -+-==-与x +y +z =3、 解:平行而不包含、 因为直线的方向向量为s ={-2,-7,3}平面的法向量n ={4,-2,-2},所以(2)4(7)(2)3(2)0⋅=-⨯+-⨯-+⨯-=s n于就是直线与平面平行、又因为直线上的点M 0(-3,-4,0)代入平面方程有4(3)2(4)2043⨯--⨯--⨯=-≠、故直线不在平面上、(2) 因直线方向向量s 等于平面的法向量,故直线垂直于平面、(3) 直线在平面上,因为3111(4)10⨯+⨯+-⨯=,而直线上的点(2,-2,3)在平面上、51、 求过点(1,-2,1),且垂直于直线23030x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩的平面方程、解:直线的方向向量为12123111-=++-ij k i j k , 取平面法向量为{1,2,3}, 故所求平面方程为1(1)2(2)3(1)0x y z ⨯-+++-=即x +2y +3z =0、52、 求过点(1,-2,3)与两平面2x -3y +z =3, x +3y +2z +1=0的交线的平面方程、解:设过两平面的交线的平面束方程为233(321)0x y z x y z λ-+-++++= 其中λ为待定常数,又因为所求平面过点(1,-2,3)故213(2)33(13(2)231)0λ⨯-⨯-+-++⨯-+⨯+=解得λ=-4、故所求平面方程为2x +15y +7z +7=053、 求点(-1,2,0)在平面x +2y -z +1=0上的投影、解:过点(-1,2,0)作垂直于已知平面的直线,则该直线的方向向量即为已知平面的法向量,即s =n ={1,2,-1}所以垂线的参数方程为122x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩将其代入平面方程可得(-1+t )+2(2+2t )-(-t )+1=0 得23t =- 于就是所求点(-1,2,0)到平面的投影就就是此平面与垂线的交点522(,,)333-54、 求点(3,-1,2)到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离、解:过点(3,-1,2)作垂直于已知直线的平面,平面的法向量可取为直线的方向向量 即11133211==-=---ij k n s j k故过已知点的平面方程为y +z =1、联立方程组102401x y z x y z y z +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+=⎩解得131,,.22x y z ==-= 即13(1,,)22-为平面与直线的垂足于就是点到直线的距离为d == 55、 求点(1,2,1)到平面x +2y +2z -10=0距离、解:过点(1,2,1)作垂直于已知平面的直线,直线的方向向量为s =n ={1,2,2}所以垂线的参数方程为12212x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩将其代入平面方程得13t =、 故垂足为485(,,)333,且与点(1,2,1)的距离为1d == 即为点到平面的距离、56、 建立以点(1,3,-2)为中心,且通过坐标原点的球面方程、解:球的半径为R =设(x ,y ,z )为球面上任一点,则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程、57、 一动点离点(2,0,-3)的距离与离点(4,-6,6)的距离之比为3,求此动点的轨迹方程、 解:设该动点为M (x ,y ,z ),3.=化简得:8x 2+8y 2+8z 2-68x +108y -114z +779=0即为动点的轨迹方程、58、 指出下列方程所表示的就是什么曲面,并画出其图形:(1)22()()22a a x y -+=; (2)22149x y -+=; (3)22194x z +=; (4)20y z -=; (5)220x y -=; (6)220x y +=、解:(1)母线平行于z 轴的抛物柱面,如图7-7、(2)母线平行于z 轴的双曲柱面,如图7-8、图7-7 图7-8(3)母线平行于y 轴的椭圆柱面,如图7-9、(4)母线平行于x 轴的抛物柱面,如图7-10、图7-9 图7-10(5)母线平行于z 轴的两平面,如图7-11、(6)z 轴,如图7-12、图7-11 图7-1259、 指出下列方程表示怎样的曲面,并作出图形: (1)222149y z x ++=; (2)22369436x y z +-=; (3)222149y z x --=; (4)2221149y z x +-=;(5)22209z x y +-=、 解:(1)半轴分别为1,2,3的椭球面,如图7-13、(2) 顶点在(0,0,-9)的椭圆抛物面,如图7-14、图7-13 图7-14(3) 以x 轴为中心轴的双叶双曲面,如图7-15、(4) 单叶双曲面,如图7-16、图7-15 图7-16(5) 顶点在坐标原点的圆锥面,其中心轴就是z 轴,如图7-17、图7-1760、 作出下列曲面所围成的立体的图形:(1) x 2+y 2+z 2=a 2与z =0,z =2a (a >0); (2) x +y +z =4,x =0,x =1,y =0,y =2及z =0; (3) z =4-x 2, x =0, y =0, z =0及2x +y =4; (4) z =6-(x 2+y 2),x =0, y =0, z =0及x +y =1、 解:(1)(2)(3)(4)分别如图7-18,7-19,7-20,7-21所示、图7-18 图7-19图7-20 图7-2161、 求下列曲面与直线的交点: (1) 222181369x y z ++=与342364x y z --+==-; (2) 22211694x y z +-=与2434x y z +==-、 解:(1)直线的参数方程为334624x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程解得t =0,t =1、得交点坐标为(3,4,-2),(6,-2,2)、(2) 直线的参数方程为4324x t y tz t =⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程可解得t =1,得交点坐标为(4,-3,2)、62、 设有一圆,它的中心在z 轴上,半径为3,且位于距离xOy 平面5个单位的平面上,试建立这个圆的方程、解:设(x ,y ,z )为圆上任一点,依题意有2295x y z ⎧+=⎨=±⎩ 即为所求圆的方程、63、 试考察曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕的形状,并写出其方程、 (1) 平面x =2; (2) 平面y =0;(3) 平面y =5; (4) 平面z =2、解:(1)截线方程为2212x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩ 其形状为x =2平面上的双曲线、(2)截线方程为221940x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩为xOz 面上的一个椭圆、(3)截线方程为2215y ==⎩为平面y =5上的一个椭圆、(4) 截线方程为2209252x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩为平面z =2上的两条直线、64、 求曲线x 2+y 2+z 2=a 2, x 2+y 2=z 2在xOy 面上的投影曲线、 解:以曲线为准线,母线平行于z 轴的柱面方程为2222a x y += 故曲线在xOy 面上的投影曲线方程为22220a x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩65、 建立曲线x 2+y 2=z , z =x +1在xOy 平面上的投影方程、 解:以曲线为准线,母线平行于z 轴的柱面方程为x 2+y 2=x +1即2215()24x y -+=、故曲线在xOy 平面上的投影方程为2215()240x y z ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩习题八1、 判断下列平面点集哪些就是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集与边界: (1) {(x , y )|x ≠0};(2) {(x , y )|1≤x 2+y 2<4}; (3) {(x , y )|y <x 2};(4) {(x , y )|(x -1)2+y 2≤1}∪{(x , y )|(x +1)2+y 2≤1}、 解:(1)开集、无界集,聚点集:R 2,边界:{(x , y )|x =0}、 (2)既非开集又非闭集,有界集, 聚点集:{(x , y )|1≤x 2+y 2≤4},边界:{(x , y )|x 2+y 2=1}∪{(x , y )| x 2+y 2=4}、 (3)开集、区域、无界集, 聚点集:{(x , y )|y ≤x 2}, 边界:{(x , y )| y =x 2}、(4)闭集、有界集,聚点集即就是其本身,边界:{(x , y )|(x -1)2+y 2=1}∪{(x , y )|(x +1)2+y 2=1}、 2、 已知f (x , y )=x 2+y 2-xy tanxy,试求(,)f tx ty 、 解:222(,)()()tan(,).tx f tx ty tx ty tx ty t f x y ty=+-⋅= 3、 已知(,,)w u vf u v w u w+=+,试求(,,).f x y x y xy +-解:f ( x + y , x -y , x y ) =( x + y )xy +(x y )x +y +x -y =(x + y )xy +(x y )2x 、 4、 求下列各函数的定义域:2(1)ln(21);z y x =-+(2)z =(3)z =(4)u =(5)z =(6)ln()z y x =-+(7)u =解:2(1){(,)|210}.D x y y x =-+>(2){(,)|0,0}.D x y x y x y =+>->22222(3){(,)|40,10,0}.D x y x y x y x y =-≥-->+≠(4){(,,)|0,0,0}.D x y z x y z =>>> 2(5){(,)|0,0,}.D x y x y x y =≥≥≥ 22(6){(,)|0,0,1}.D x y y x x x y =->≥+< 22222(7){(,,)|0,0}.D x y z x y x y z =+≠+-≥5、 求下列各极限:10y x y →→ 22001(2)lim;x y x y →→+00x y →→x y →→00sin (5)lim ;x y xy x →→2222221cos()(6)lim.()ex y x y x y x y +→→-++解:(1)原式0ln 2.=(2)原式=+∞、 (3)原式=01.4x y →→=-(4)原式=002.x y →→=(5)原式=00sin lim100.x y xyy xy →→⋅=⨯=(6)原式=22222222222()00001()2lim lim 0.()e 2ex y x y x x y y x y x y x y ++→→→→++==+6、 判断下列函数在原点O (0,0)处就是否连续:33222222sin(),0,(1)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩33333333sin(),0,(2)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩(3) 222222222,0,(2)()0,0;x y x y z x y x y x y ⎧+≠⎪=+-⎨⎪+=⎩解:(1)由于3333333322223333sin()sin()sin()0()x y x y x y x y y x x y x y x y x y++++≤=≤+⋅++++ 又00lim()0x y y x →→+=,且3333000sin()sin lim lim 1x u y x y ux y u →→→+==+, 故0lim 0(0,0)x y z z →→==、故函数在O (0,0)处连续、 (2)000sin lim lim1(0,0)0x u y uz z u→→→==≠=故O (0,0)就是z 的间断点、(3)若P (x ,y ) 沿直线y =x 趋于(0,0)点,则2222000lim lim 10x x y x x x z x x →→=→⋅==⋅+, 若点P (x ,y ) 沿直线y =-x 趋于(0,0)点,则22222220000()lim lim lim 0()44x x x y x x x x z x x x x →→→=-→-===⋅-++ 故00lim x y z →→不存在、故函数z 在O (0,0)处不连续、7、 指出下列函数在向外间断:(1) f (x ,y )=233x y x y -+;(2) f (x ,y )=2222y xy x+-;(3) f (x ,y )=ln(1－x 2－y 2);(4)f (x ,y )=222e ,0,0,0.x y x y yy -⎧⎪≠⎨⎪=⎩解:(1)因为当y =-x 时,函数无定义,所以函数在直线y =-x 上的所有点处间断,而在其余点处均连续、(2)因为当y 2=2x 时,函数无定义,所以函数在抛物线y 2=2x 上的所有点处间断、而在其余各点处均连续、(3)因为当x 2+y 2=1时,函数无定义,所以函数在圆周x 2+y 2=1上所有点处间断、而在其余各点处均连续、(4)因为点P (x ,y )沿直线y =x 趋于O (0,0)时、1200lim (,)lime x x y x xf x y x-→→=→==∞、 故(0,0)就是函数的间断点,而在其余各点处均连续、 8、 求下列函数的偏导数: (1)z = x 2y +2x y ; (2)s =22u v uv+;(3)z = x; (4)z = lntan x y; (5)z = (1+xy )y ; (6)u = z xy ;(7)u = arctan(x -y )z; (8)y zu x =、解:(1)223122,.z z x xy x x y y y∂∂=+=-∂∂ (2)u v s v u =+ 2211,.s v s u u v u v v u∂∂=-=-+∂∂(3)2222212ln(),2z x x x x y x x y ∂==++∂+222.z xy x y y x y ∂==∂+ (4)21122sec csc ,tan z x x x x y y y yy∂=⋅⋅=∂222122sec ()csc .tan z x x x x x y y y y yy∂=⋅⋅-=-∂ (5)两边取对数得ln ln(1)z y xy =+故[]221(1)(1)(1).ln(1)1y yy x z y xy xy y xy y xy x xy-∂'=+⋅=+⋅=++∂+[]ln(1)(1)(1)ln(1)1ln(1)(1).1y y y y x z xy yxy xy y xy xy y xy xy xy xy ∂⎡⎤'++=+⋅=++⎢⎥+∂⎣⎦⎡⎤++=+⎢⎥+⎣⎦(6)1ln ln xy xy xy u u uz z y z z x xy z x y z-∂∂∂=⋅⋅=⋅⋅=⋅∂∂∂ (7)11221()().1[()]1()z z z z u z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+- 112222()(1)().1[()]1()()ln()()ln().1[()]1()z z z z z zz z u z x y z x y y x y x y u x y x y x y x y z x y x y --∂-⋅--==-∂+-+-∂----==∂+-+-(8)1.yzu y x x z-∂=∂ 2211ln ln .ln ln .yyzz yy z zu x x x x y z zu y y x x x x z z z ∂=⋅=∂∂⎛⎫=⋅=-- ⎪∂⎝⎭9、已知22x y u x y =+,求证:3u uxy u x y∂∂+=∂∂、 证明: 222223222()2()()u xy x y x y x y xy x x y x y ∂+-+==∂++、 由对称性知 22322()u x y yx y x y ∂+=∂+、 于就是 2223()3()u u x y x y x y u x y x y ∂∂++==∂∂+、 10、设11ex y z ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=,求证:222z z xy z x y∂∂+=∂∂、 证明: 11112211e e x y x y z x xx ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦, 由z 关于x ,y 的对称性得1121ex y z y y⎛⎫+- ⎪⎝⎭∂=∂ 故 11111122222211e e 2e 2.x y x y x y z z x y x y z x y x y⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂+⋅=⋅+⋅==∂∂11、设f (x ,y ) = x +(y,求f x (x ,1) 、 解:1(,)1(x f x y y y =+- 则(,1)101x f x =+=、12、求曲线2244x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线与正向x 轴所成的倾角、解:(2,4,5)1,1,2z z x x x ∂∂==∂∂ 设切线与正向x 轴的倾角为α, 则tan α=1、 故α=π4、 13、求下列函数的二阶偏导数: (1)z = x 4+ y 4-4x 2y 2; (2)z = arctan y x; (3)z = y x ;(4)z = 2ex y+、解:(1)2322224812816z z z x xy x y xy x x x y∂∂∂=-=-=-∂∂∂∂ ，， 由x ,y 的对称性知22222128.16.z z y x xy y y x∂∂=-=-∂∂∂ (2)222211zy y xx y x y x ∂⎛⎫=⋅=-- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭,2222222222222222222222222222222222222222()022,()()11,12,()()2,()()2.()()z x y y x xyx x y x y z x y x x y y x z xyy x y z x y y y y x x y x y x y z x y x x y x y x x y x y ∂+⋅-⋅=-=∂++∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∂=-∂+∂+-⋅-=-=∂∂++∂+-⋅-=-=∂∂++ (3)222ln ,ln ,xx z z y y y y x x∂∂==∂∂ 21222112111,(1),1ln (1ln ),ln (1ln ).x x x x x x x x z z xy x x y y y z y xy y y x y x y y zy x y y y x y y x-------∂∂==-∂∂∂=⋅+=+∂∂∂=+⋅⋅=+∂∂ (4)22e 2,e ,x y x y z zx x y++∂∂=⋅=∂∂ 222222222e 22e 22e (21),e ,2e ,2e .x y x y x y x y x y x y z x x x xz z z x x y x y y x++++++∂=⋅⋅+⋅=+∂∂∂∂===∂∂∂∂∂14、设f (x , y , z ) = xy 2+yz 2+zx 2,求(0,0,1),(0,1,0),(2,0,1).xx yz zzx f f f -解:2(,,)2x f x y z y zx =+22(,,)2,(0,0,1)2,(,,)2(,,)2,(0,1,0)0,(,,)2(,,)2(,,)0,(2,0,1)0.xx xx y yz yz z zz zzx zzx f x y z z f f x y z xy z f x y z z f f x y z yz x f x y z yf x y z f ===+=-==+===15、设z = x ln ( x y ),求32z x y ∂∂∂及32zx y ∂∂∂、解:ln()1ln(),z yx xy xy x xy∂=⋅+=+∂ 232223221,0,11,.z y zx xy x x y z x z x y xy y x y y∂∂===∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂16、求下列函数的全微分: (1)22ex y z +=;(2)z =;(3)zy u x =; (4)yzu x =、解:(1)∵2222e 2,e 2x y x y z zx y x y++∂∂=⋅=⋅∂∂ ∴222222d 2e d 2e d 2e (d d )x y xy xy z x x y y x x y y +++=+=+(2)∵22223/21()z xy y x y x x y ∂⎛⎫-=⋅=- ⎪+∂+⎝⎭2223/2()z x yx y ∂==∂+ ∴ 223/2d (d d ).()xz y x x y x y =--+(3)∵11,ln z z z y y z u u y x x x zy x y--∂∂==⋅⋅∂∂ 2ln ln y z ux x y y z∂=⋅⋅⋅∂ ∴211d d ln d ln ln d .z z zy y z y z u y x x x x zy y x x y y z --=+⋅+⋅⋅⋅(4)∵1yz u y x x z-∂=∂ 1ln yz u x x y z∂=⋅⋅∂ln yz u y x x z z 2∂⎛⎫=⋅⋅- ⎪∂⎝⎭∴121d d ln d ln d .y y yz z z y y u x x x x y x x z z z z -⎛⎫=+⋅⋅+⋅⋅- ⎪⎝⎭17、 求下列函数在给定点与自变量增量的条件下的全增量与全微分: (1)222,2,1,0.2,0.1;z x xy y x y x y =-+==-∆=∆=- (2)e ,1,1,0.15,0.1.xy z x y x y ===∆=∆=解:(1)22()()()2()9.688 1.68z x x x x y y y y z ∆=+∆-+∆+∆++∆-=-=d (2)(4) 1.6z x y x x y y =-∆+-+∆=(2)()()0.265ee e(e 1)0.30e.x x y y xy z +∆+∆∆=-=-=d e e e ()0.25e xy xy xy z y x x y y x x y =∆+∆=∆+∆=18、利用全微分代替全增量,近似计算: (1) (1、02)3·(0、97)2;(3)(1、97)1、05、解:(1)设f (x ,y )=x 3·y 2,则223(,)3,(,)2,x y f x y x y f x y x y ==故d f (x ,y )=3x 2y 2d x +2x 3y d y =xy (3xy d x +2x 2d y ) 取x =1,y =1,d x =0、02,d y =-0、03,则(1、02)3·(0、97)2=f (1、02,0、97)≈f (1,1)+d f (1,1)d 0.02d 0.03x y ==-=13×12+1×1[3×1×1×0、02+2×12×(-0、03)]=1、(2)设f (x ,y,则(,)(,)x y f x y f x y ===故d (,)d d )f x y x x y y =+取4,3,d 0.05,d 0.07x y x y ====-,则d0.05d0.07(4.05,2.93)(4,3)d(4,3)0.053(0.07)]15(0.01)54.998xyf f f==-=≈+=⨯+⨯-=+⨯-=(3)设f(x,y)=x y,则d f(x,y)=yx y-1d x+x y ln x d y,取x=2,y=1,d x=-0、03,d y=0、05,则1.05d0.03d0.05(1.97)(1.97,1.05)(2,1)d(2,1)20.0393 2.0393.xyf f f=-==≈+=+=19、矩型一边长a=10cm,另一边长b=24cm, 当a边增加4mm,而b边缩小1mm时,求对角线长的变化、解:设矩形对角线长为l,则d d).l l x x y y==+当x=10,y=24,d x=0、4,d y=-0、1时,d0.4240.1)0.062l=⨯-⨯=(cm)故矩形的对角线长约增加0、062cm、20、解:因为圆锥体的体积为21.3V r hπ=⋅0030,0.1,60,0.5r r h h====-V V而221.33V VV dV r h yh r r hr hππ∂∂≈=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂V V V V V0030,0.1,60,0.5r r h h====-V V时,2213.1430600.130(0.5)33Vπ≈⨯⨯⨯⨯+⨯⨯-V230()cm=-21、解:设水池的长宽深分别为,,x y z则有:V xyz=精确值为:50.242 2.850.22 3.6 2.80.2V=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯V313.632()m=近似值为:V dV zx y xy z≈=+V V V0.4,0.4,0.2x y z ===V V V430.4530.4540.2V dV ≈=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 314.8()m =22、 求下列复合函数的偏导数或全导数:(1)22,cos ,sin ,z x y xy x u v y u v =-==求z u ∂∂,z v∂∂; (2)z ＝arc tanx y , x ＝u ＋v ,y ＝u －v , 求z u ∂∂,z v∂∂; (3)ln(e e )xyu =+, y ＝x 3, 求d d ux; (4) u ＝x 2＋y 2＋z 2, x ＝e cos tt , y ＝e sin tt , z ＝e t, 求d d u t、 解:(1)222(2)cos (2)sin 3sin cos (cos sin )z z x z y xy y v x xy v u x u y u u v v v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-∂∂∂∂∂=-223333(2)sin (2)cos 2sin cos (sin cos )(sin cos ).z z x z yxy y u v x xy u v v x v y v u v v v v u v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=--⋅+-⋅∂∂∂∂∂=-+++ (2)222222211111x z z x z y y x v y u x u y uyx y u v x x y y ∂∂∂∂∂--⎛⎫-=⋅+⋅=⋅+⋅== ⎪∂∂∂∂∂++⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222111(1)11.x z z x z y y v x v y vyx x y y y x ux y u v-∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==++ (3)33222d d d 11e 3e e 3e e e 3.d d d e e e e e e e ex y x x x y x y x y x y x x u u x u y x x x x x x y x ∂∂++=⋅+⋅=⋅+⋅⋅==∂∂++++ (4)d d d d d d d d u u x u y u z t x t y t z t∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂ 22(e cos e sin )2(e sin e cos )2e 4e t t t t t t x t t y t t z =-+++⋅=、23、 设f 具有一阶连续偏导数,试求下列函数的一阶偏导数:(1)22(,e );xyu f x y =- (2),;x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3)().,,u f x xy xyz = 解:(1)12122e 2e .xy xy uf x f y xf y f x∂''''=⋅+⋅⋅=+∂ 1212(2)e 2e .xy xy uf y f x yf x f y∂''''=⋅-+⋅⋅=-+∂ (2)1111u f f x y y∂''=⋅=∂ 121222222211..x u x f f f f y y z y z u y y f f z z z ∂⎛⎫''''-=⋅+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫''=⋅=-- ⎪∂⎝⎭(3)1231231,uf f y f yz f yf yzf x∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂ 12323330,.uf f x f xz xf xzf yuf xy xyf z∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂∂''=⋅=∂24、设(),,()yz xy xF u u F u x=+=为可导函数,证明: .z z xy z xy x y∂∂+=+∂∂ 证明:2()()()()z y y y xF u F u F u y F u x x x ∂⎛⎫''=+⋅+=+-- ⎪∂⎝⎭1()().z x xF u x F u y x∂''=+⋅=+∂ 故[]()()()()()()().z z F u y xy x y x F u F u y x y x xF u xy yF u xy yF u xy xF u xy z xy '∂∂⎡⎤'+=+++-⎢⎥∂∂⎣⎦''=+-++=++=+25、 设22()yz f x y =-,其中f (u )为可导函数,验证: 211z z zx x y y y∂∂+=∂∂、 证明:∵2222z yf x xyf x f f''∂⋅=-=-∂, 222(2)2z f y f y f y f y f f''∂-⋅⋅-+==∂, ∴22222112211z z yf f y f y zx x y y f yf yf f y y ''∂∂++=-+==⋅=∂∂⋅ 26、 22()z f x y =+,其中f 具有二阶导数,求22222,,.z z zx x y y∂∂∂∂∂∂∂ 解:2,2,z zxf yf x y∂∂''==∂∂ 222222224,224,zf x xf f x f xzxf y xyf x y∂''''''=+⋅=+∂∂''''=⋅=∂∂ 由对称性知,22224.z f y f y∂'''=+∂27、 设f 具有二阶偏导函数,求下列函数的二阶偏导数: (1),;x x z f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)()22;,z f xy x y =(3)().sin ,cos ,e x y z f x y += 解:(1)1212111,z f f f f x y y∂''''=⋅+⋅=+∂。