线性分组码

• 伴随式是校验矩阵列向量的线性表示。以 下列校验矩阵为例，考察不同错误模式下 的伴随式结构。
• 因此，列向量的线性无关性，与纠错能力 密切相关。：任意d-1个列向量线性无关。
1 0 1 1 0 0 0 H 1 1 1 0 1 0 0
1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
n-k+1，即d<=n-k+1。
伴随式的计算电路
• 根据校验矩阵H，得到校正子S各元素的数学 表达式，进而给出对应的电路。
• 软件实现方式， sT=HRT为算法。
1 0 1 1 0 0 0 H 1 1 1 0 1 0 0
1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
C3 =C6 C4 C2 =C6 C5 C4 C1=C6 C5 C0 =C5 C4
C6

1
1
1 0
0 1 1 1
1 1 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0
0
0 1
C5 CC43 C2 C1

• 汉明码定义：最小码距d=3的（n=2m-1，k=2m-m-1）线性 分组码的统称。
两种特殊的H矩阵
• 系统的H矩阵：将重量为1的n-k个列向量排 列成单位阵形式，其他列向量任意放置。 构成系统汉明码的H矩阵。
• 按列向量的二进制数从小到大排列，得到 特殊的非系统汉明码。当发生单个错误的 时候，伴随式的二进制数的大小，就是接 收码字发生错误的位置。因此，译码非常 简单。这种汉明码是最常用的。
• （n,k）的线性分组码，H矩阵列向量中没有0向量，且任 意两列互不相等，即可构成最小码距为3的分组码。H矩阵 为n-k行n列的矩阵，列向量一共有2n-k-1个，即n= 2n-k-1， 满足这种关系，最小码距为3的（n,k）线性分组码称为汉 明码。
• 因此，汉明码的H矩阵构造方式比较特殊。对于n, k，给出 n-k个元素除0向量之外的全排列，任意顺序即可构造出对 应汉明码的校验矩阵。
例题3
1 0 0 1 1 1 G 0 1 0 1 1 0
0 0 1 0 1 1
1. 用门电路实现该系统码的编码 2. 采用软件编程的方式实现编码
MATLAB编程实现
m = [0 0 0
001
010 011 100 101 110 1 1 1]; G = [1 0 0 1 1 1
s1 = (rem(H*r',2))'; biaozhi = 0; j = 0; while biaozhi == 0
j = j+1; if s1 == s(j,:)
biaozhi = j; end end c = rem(r+e(biaozhi,:),2);
汉明码的思想
• 第一个实用的纠错码型
• 利用校验矩阵列向量的相关性与最小汉明距的关系，提出 的最小汉明距为3，能纠正一个错误的码型。
C= 000000 001011 010110 011121 100111
010110
101122
0 0 1 0 1 1];
110221
C = zeros(8,6);
111232
for k =1:8
C(k,:) = m(k,:)*G;
end
C =rem(C,2);
C= 000000 001011 010110 011101 100111 101100 110001 111010
练习5
• 构造m=4的系统汉明码，对应的G,H
练习3
• 对于给定的（6,3）线性分组码生成矩阵， 写出其系统码生成矩阵G，校验矩阵H，最 小码距；进一步地，给出该码的对偶码生成 矩阵和校验矩阵。
1 0 1 0 0 1 G 1 1 0 1 0 0
0 1 0 1 0 0
最小码距与纠错性能
• 复习：码重、码距，线性分组码的码距d。 • 检错能力：能够检测出的最大错误位数。 • 纠错能力：能够纠正的最大错误位数。 • 检错能力与最小码距d的关系：
查表译码
%分组码简化译码表的译码 r = [1 0 1 1 1]; e = [0 0 0 0 0
10000 01000 00100 00010 00001 00011 0 0 1 1 0]; s = [0 0 0 111 101 100 010 001 011 1 1 0];
H = [1 1 1 0 0 10010 1 1 0 0 1];
标准阵列译码
• 对于2n个向量构成的空间，划分为2k个集的阵列， 则该阵列有2n-k行。采用查表法译码。
1. 将2k个码字作为第一行，全零码字处于第一列； 2. 余下的向量中，找码重最轻的向量，放在第二行第一列，再与许用码字求和，得 到第二行； 3. 依次类推，直到所有2n个向量都用完，且每个向量只被使用了一次。
G 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1
0
0
1
1
1
0
1

对偶码
• 线性分组码的生成矩阵与校验矩阵之间存 在密切的关系：GHT=0。
• 这种关系是相对的。对于（n，k）的线性 分组码，G,H分别为对应的生成、校验矩阵。 而对于（n，n-k）的线性分组码，则可以视 H为生成矩阵，而G为校验矩阵。
H=Q Irr r n k
• 思考：如何由校验矩阵得到码字空间？
线性分组码的生成矩阵
• n维空间中k维线性子空间V中，存在k个n 维向量（码字） ，线性无关。
• “基”的概念：V中任意向量都可以用无关 组线性表示，该线性无关组称为一个 “基”。
• 采用矩阵形式的表示方式。 • 生成矩阵G：C=mG
• 建立错误图样与伴随式的一一对应表，其译码效 果是等效的。
G

1 0
0 1
1 1
1 0
1 1
练习4
• 设线性分组码的校验矩阵如下，构造该 分组码的译码表，简化的译码表。
1 0 1 1 0 0 0 H 1 1 1 0 1 0 0
1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
了变化，但码字空间未发生变化。
1 1 1 0 1 0 G 1 1 0 0 0 1
0 1 1 1 0 1 信息位： 000,001,010,011,100,101,110,111
线性分组码的实现
• 硬件实现：在专用高速的场合，如何构造 实现单元。
• 软件实现：对编码速度要求不苛刻，且要 求有很好的兼容性，能够为信息序列提供 多种编码选择。
线性分组码概念
• 通过预定的线性运算将长度k的信息分组变 换为n重的码字（n>k），所构成的码字集 合称为线性分组码。
• 一个(n,k)分组码C，如果满足下列条件：
1，全零码组(0,0,…,0)在C中；
2，C中任意的两个码字之和，也在C中，则称 C为线性分组码。
例题1
构造一个（7,3）的线性分组码，设码字为C6 C5 C4 C3 C2 C1 C0 ，
L=3 U
V
纠错与检错能力示意图
t
U
V
d
L
t U
V
线性分组码的译码
• 译码是信道编码理论与技术的核心问题。 • 考虑到校验矩阵与许用码字之间的关系：
HCT=0，接收码字是否有效，由校验矩阵确 定的运算来衡量。 • 设sT=HRT为接收码字的伴随式（校正子）， 该伴随式只与错误图样有关，而与发送码字 无关。 • 错误图样与伴随式是一一对应的。知道了伴 随式，即可做出译码结果。
编码程序
%信息序列的线性分组编码 n = 7; k = 4; xinxi = [1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 ...
1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1]; G = [1 0 0 0 1 0 1
0100111 0010110 0 0 0 1 0 1 1]; changdu = size(xinxi); fenzu = ceil(changdu(1,2)/k); for s = changdu(1,2)+1:fenzu*k xinxi(1,s) = 0; end jiucuoma = zeros(fenzu,n); for s = 1:fenzu m = xinxi(1,(s-1)*4+1:s*4); jiucuoma(s,:) = rem(m*G,2); end
校验矩阵的获取
• 由计算规则定义求解。 • 方程求解法：
G·HT=0 • 当G是系统码的生成矩阵时,
若G=[Ik,Ak,n-k],则有： H=[ATk,n-k, In-k]
构造C(4,3)系统码的G,H。
练习2
• 构造下列（7,4）的线性分组码系统形 式的校验矩阵H
1 1 1 1 1 1 1
例题2
生成矩阵：
1 1 1 0 1 0 G 1 1 0 0 0 1
0 1 1 1 0 1 信息位m： 000,001,010,011,100,101,110,111
对生成矩阵做初等变换，码字如何 变化？
• 系统码与非系统码 • 构造系统码的方法：初等变换，或构造法，获
得生成矩阵的标准型。 • 例题2做初等变换，得到对应的系统码。 • 生成矩阵不同，信息序列与码字对应关系发生
=
0
0
0 0

C0
HCT =0 为什么称之为校验矩阵？ 很多参考书中，线性分组码以校验矩阵的方式来定义。
练习1
• 4比特长的信息分组，第一与第三，第二与第四 比特模二加，构造系统的（6,4）线性分组码。 写出该分组码的校验矩阵。
• 系统码的校验矩阵。非系统码的校验矩阵？
• 不同的陪集首，对应的陪集向量互不相同。 • 2n个向量，每个在标准阵列中只出现一次， 且每个陪集中的各向量互不相同。
• 每个陪集首，对应着不同的错误图样，因此 与校正子s间是一一对应的关系。
许用码字
差错图样
00000
01101
10111
11010
10000
11101
00111
01010
01000
00101
11111
10010
00100
01001
10011
11110
禁
00010
01111
10101
11000
用 码
00001
01100
10110
11011
组
00011
01110
10100
11001
00110
01011
10001
11100
陪集首：选择陪集首的方法
标准阵列的简化
• 伴随式与错误图样间是一一对应的，因此，可以 简化标准阵列译码表的形式。
• 在（n，k）的线性分组码中，任意两个码 字间对应位元素不同的位数之和，称为这 两个码字的汉明距。
• 汉明距的性质：非负性，对称性，三角不 等式。
• 两个码字的汉明距，等于这两个码字之和 的汉明重。与最大似然译码结合理解。
• 线性分组码的最小汉明距。
线性分组码的校验矩阵
• 例题1中，校验矩阵的由来
• 差错模式图样 e=R+c
e+R=c，对于一确定的e，满足该式的R，与e一起， 构成一个陪集，而e称为陪集首。 • 根据陪集，构造译码表。
设C是n, k 线性分组码，a是2n向量空间中的一个， 称集合a c | c C为a所确定的C的陪集。
• 陪集中任意一个向量，与C之和还在这个陪 集中。
• 对于GHT=0，由H所生成的（n，k）线性分 组码，称为G所生成的（nБайду номын сангаасn-k）线性分组 码的对偶码。
例题4
对于（7,4）的线性分组码，已知其校验矩阵H， 给出其对偶码的生成矩阵、校验矩阵的标准形式。
1 1 1 0 1 0 0 H 0 1 1 1 0 1 0
1 1 0 1 0 0 1
其中C6 C5 C4为信息位，C3 C2 C1 C0为校验位（也称监督位）， 构造规则如下。写出该线性分组码的码字空间。
C3 =C6 C4 C2 =C6 C5 C4 C1=C6 C5 C0 =C5 C4
汉明重量与汉明距
• 对于一个（n，k）的线性分组码，码字中 非0元素的个数称为该码字的汉明重。
• 最小汉明距为d的充要条件为：H中至少有 一个组合使得d列线性相关，而任意d-1列 线性无关。
• 纠错能力由H矩阵中列向量的线性组合直接 确定，而与排列顺序无关。因此，交换H列 向量的位置，不会影响纠错能力，也不会 影响校验的效果，而只是信息位与码字空 间对应关系发生了变化。
• （n，k）线性分组码最大的最小码距为：