唯一性定理

然后进行 证明.同样可得出结论 ,其解唯一.
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S ?n
S曲面内 S曲面上
? ?? ? 0 ?
?? ? ? 0
?n
?? ? C
S曲面上
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第二章 2.7
当 ?1 和?2 选择相同的参考点时 , C ? 0
? 1 ? ? 2 ? 解唯一.
三类边界问题
3. ? ? 1 ? f 1 ( s )
??
? ? n ?2
f2 (s)
将格林第一恒等到式的积分曲面写成 ? ? ?1 ? ?2 ，
?
(? ?
2? ?
?
?
??
??
?
? )dV
?
?
?
??
?
ds
V
S ?n
而 ? 2?? ? ? 2(?1 ??2) ? ? 2?1 ? ? 2?2 ? 0
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第二章 2.7
? ? 则
( ? ? ? ) 2 dV ? ? ? ? ? ? ds
V
S
?n
又 ∵ 由边界条件有 ?1 ? ? ? 2 ? ? ? ?
∴ 在 ? 曲面边界上， ? ? ? ?1 ? ? ? 2 ? ? 0
? ? 故
( ? ? ? ) 2 dV ? ? ? ? ? ? ds ? 0
V
S
?n
源自文库
即 ? ? ? ? 0 S曲面内 ? ? ? C (常数 )
S曲面上 ? ? ? 0
C?0
故在S曲面内，其解是唯一的。 ? 1 ? ? 2
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? 2? ? 0
? 2? ? ? ? ?
拉普拉斯方程
泊松方程
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2
第二章 2.7
见书218面，
由格林第一恒等式：对任意标量函数 ?
?(?? 2?
V
? ? ? ?? ?
)dV ?
??
s
??
?n
ds
令 ? ?? 则
? ? (? ? 2? ? ? ? ?? ? )dV ? ? ? ? ds
f1 ( s )
??
,
?
?n ?2
（混合边界条件）
f2 (s)
1
第二章 2.7
唯一性定理：
在静电场中，满足以上三类边值之一的
泊松方程和拉普拉斯方程的解是唯一的。
唯一性定理的证明：
一类边值问题
1. ? ? ? f1 ( s )
采用反证法来证明解的唯一。
设在闭合面 S内的体积V中，其电位函数
满足拉普拉斯方程。
边值问题:
第二章 2.7
1.
给定边界上的电位函数,即已 ?
知
?
?
f1 ( s)
s
，
?
S为边界 ? 上的点。(狄里克利边界条件)
2. 给定边界上的电位函数的法向导数 ,即已知
??
?n
? ? f 2( s ) 。（牛曼边界条件）
?1
3. 边界 ? ? ?1 ? ?2 ，即已知
?2
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?? ?1
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第二章 2.7
2. ?? ?
?n ?
f2 (s)
二类边值问题
仍然采用反证法证明 .设有两个解满足拉氏方程 .
则 ??1 ? ??2 ? ??
?n ?
?n ?
?n ?
即
?? ?
? ??1 ? ?? 2
?0
?n ?
?n ?
?n ?
? ? 则
(? ? ? )dV ? ? ? ? ? ? ds ? 0
V
V
S ?n
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第二章 2.7
设在体积V内，其满足边值 ? ? ? f1(s) 的拉普拉 斯方程的解不是唯一的，有?1 和 ? 2两个解。
即有 ? 2?1 ? 0
? 2?2 ? 0
令 ? ? ? ?1 ? ?2
即 ?? ? f1(s)? f2(s)
将 ? ? 代入格林第一恒等式：
? ? 即