数值分析期末考试复习题及其答案

数值分析期末考试复习题及其答案

1. 已知325413.0,325413*

2*

1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分）

解：

由已知可知,n=6

5.01021

,0,6,10325413.0016*1=⨯=

=-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分 620*

21021,6,0,10325413.0-⨯=-=-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分

2. 已知⎢⎢

⎢⎣⎡=001A 220

- ⎥

⎥⎥⎦⎤440求21,,A A A ∞ （6分）

解：

{},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 ()

A A A T max 2λ= 1分

⎢⎢⎢⎣⎡=001A A T 420 ⎥⎥

⎥⎦

⎤

-420⎢⎢⎢⎣⎡001 220

- ⎥⎥⎥⎦⎤440=⎢⎢⎢⎣⎡001 080 ⎥⎥⎥⎦

⎤3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分

3. 设3

2

)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式

② 当a 为何值时，)(1k k x x ϕ=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2

解：

①Newton 迭代格式为：

x

a x x x a

x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2

2

32

1

+=

+=---=-=+ϕ 3分

②时迭代收敛即当222,112

10)2(',665)('2<<-<-=-=

a a x a x ϕϕ 3分 4. 给定线性方程组Ax=

b ，其中：⎢

⎣⎡=1

3A ⎥⎦⎤

22，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13b 用迭代公式

)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收

敛 （8分）

解：

所给迭代公式的迭代矩阵为⎥⎦

⎤

--⎢

⎣⎡--=-=ααααα21231A I B 2分

其特征方程为

0)

21(2)31(=----=

-αλα

ααλλB I 2分

即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(

5. 设方程Ax=b ，其中⎢⎢⎢⎣⎡=211A 212 ⎥⎥⎥⎦⎤-112，⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=765b 试讨论解此方程的Jacobi 迭代法的收

敛性，并建立Gauss-Seidel 迭代格式 （9分）

解：

⎢⎢⎢⎣⎡--=+-=-210

)(1U L D B J 202-- ⎥⎥⎥⎦

⎤-012 3分

0,03213=====-λλλλλJ B I 2分

即10)(<=J B ρ，由此可知Jacobi 迭代收敛 1分 Gauss-Seidel 迭代格式：

⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+-=++++++)1(2)1(1)1(3

)

(3)1(1)

1(2

)

(3)(2)1(12276225k k k k k k k k k x x x x x x x x x （k=0,1,2,3……） 3分 6. 用Doolittle 分解计算下列3个线性代数方程组：i i b Ax =（i=1,2,3）其中

⎢⎢⎢⎣⎡=222A 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421，23121,,974x b x b b ==⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡= （12分）

解：

①11b Ax =

A=⎢⎢

⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤

100⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦

⎤

211=LU 3分 由Ly=b1，即⎢⎢

⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡974 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 1分 由Ux1=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 得x1=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡111 2分 ②22b Ax =

⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x2=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡111 由Ly=b2=x1，即⎢⎢

⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡111 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 1分 由Ux2=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 得x2=⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡005.0 2分

③33b Ax =

⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x3=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡005.0 由Ly=b3=x2，即⎢⎢

⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡005.0 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 1分 由Ux3=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 得x3=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-025.0375.0 2分 7. 已知函数y=f(x)有关数据如下：

要求一次数不超过3的H 插值多项式，使

'11'

33)(,)(y x H y x H i i == （6分）