高中数学 圆锥曲线的综合问题

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【解】
(1)由已知条件，直线 l 的方程为 y＝kx＋ 2， x2 代入椭圆方程得 ＋(kx＋ 2)2＝1， 2 1＋k2x2＋2 2kx＋1＝0.① 整理得 2 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 2 1＋k2＝4k2－2>0， Δ＝8k －4 2 2 2 解得 k<－ 或 k> . 2 2 2 2 即 k 的取值范围为 －∞，－ ∪ ，＋∞ . 2 2
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→ →
→ →
考点 2
相交弦问题
例2
x 2 y2 过点 P(－1,1)作直线与椭圆 ＋ ＝1 交于 A， 两点， B 4 2
若线段 AB 的中点恰为 P 点，求 AB 所在直线的方程和线 段 AB 的长度．
Байду номын сангаас【解】
x1＋2y1＝4， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 2 得 2 x2＋2y2＝4，
确定与之有关的一些问题．
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跟踪训练
3． 已知抛物线 C：y2＝4x， 过点 A(－1,0)的直线交抛物线 C 于 P、Q 两点，设 A P ＝λA Q . (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证：直线 MQ 经过抛 物线 C 的焦点 F； 1，1 ，求|PQ|的最大值． (2)若 λ∈ 3 2
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【规律小结】
在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时，
先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程， 如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方 程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系 数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别 式，另外还应注意斜率不存在的情形．
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→ (2)由题意知 A( 2，0)，B(0,1)，则AB＝(－ 2，1)． 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， → → 则OP＋OQ＝(x1＋x2，y1＋y2)． 4 2k 由方程①得，x1＋x2＝－ 2， 1＋2k 4 2k2 y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2 2＝－ 2＋2 2. 1＋2k
2
2
(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 显然 x1＝x2 不合题意， ∴x1≠x2，∴(x1＋x2)＋2(y1＋y2)·AB＝0. k
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1 ∵x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2，∴kAB＝ ， 2 1 从而直线 AB 的方程为 y－1＝ (x＋1)，即 x－2y＋3＝0. 2 x－2y＋3＝0， 2 2 由x y 得 3x2＋6x＋1＝0， 4 ＋ 2 ＝1， －3－ 6 －3＋ 6 解得 x1＝ ，x2＝ ， 3 3 1 24 30 ∴|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋ · ＝ . 4 3 3
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思考探究 由直线与圆锥曲线的位置关系知，直线与双曲线有且只有一 个交点的充要条件是什么？抛物线呢？
a≠0 提示：与双曲线有且只有一个公交点⇔ ，或 l 与 Δ＝0
渐近线平行；与抛物线有且只有一个公共点⇔Δ＝0 或 l 平行于抛物线的对称轴．
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2．圆锥曲线的弦长问题 设直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A、B 两点，A(x1，y1)，
→
→
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解：(1)证明：设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)． ∵A P ＝λA Q ，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2， ∴y2＝λ2y2，y2＝4x1，y2＝4x2，x1＝λ2x2， 1 2 1 2 ∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1)，λx2(λ－1)＝λ－1， 1 ∵λ≠1，∴x2＝ ，x1＝λ， λ 又 F(1,0)，∴M F ＝(1－x1，y1)＝(1－λ，λy2) 1－1，y2＝λF→， ＝λ λ Q ∴直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F.
答案：B
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x2 2 3．已知 F1、F2 分别为椭圆 ＋y ＝1 的左、右两个焦点， 2 π 过 F1 作倾斜角为 的弦 AB，则△F2AB 的面积为( ) 4 2 3 A. 3 4 4 3 4 2 B. C. D. －1 3 3 3
答案：B
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π 4． 过点 A(1,0)作倾斜角为 的直线，与抛物线 y2＝2x 交于 4 M、N 两点，则|MN|＝________.
1＋k2|x1－x2| B(x2，y2)，则弦长|AB|＝________________.
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课前热身 1．(教材习题改编)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有 一个公交点，这样的直线有( )
A．1条
答案：C
B．2条
C．3条
D．4条
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2．设A、B∈R，A≠B，且A· B≠0，则方程Bx－y＋A＝0和方 程Ax2－By2＝AB在同一坐标系下的图象大致是( )
跟踪训练
x2 2 1．已知椭圆方程为 ＋y ＝1，过定点 M(0,2)的直线 l 与 4 椭圆交于不同的两点 A、B，且∠AOB 为锐角．其中 O 为坐标原点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围．
解：显然 k＝0 不满足题设条件． 可设直线 l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)． y＝kx＋2 由 2 消去 y 得：(4k2＋1)x2＋16kx＋12＝0. 2 x ＋4y ＝4 ∵l 与椭圆有两交点， ∴Δ＝(16k)2－4(4k2＋1)×12＝16(4k2－3)>0， 3 3 即 k<－ 或 k> .① 2 2
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→ → → ∵(OP＋OQ)⊥AB，∴(x1＋x2)· (－ 2)＋y1＋y2＝0， 4 2k 4 2k2 即：－ (－ 2)－ 2· 2＋2 2＝0. 1＋2k 1＋2k 2 1 ，由(1)知 k2> ，与此相矛盾，所以不存 4 2 → → → 在常数 k 使OP＋OQ与AB垂直． 解得：k＝－
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【规律小结】
解决弦中点问题有两种方法：一是利用一元
二次方程根与系数的关系及中点坐标公式来构造关系；二是 利用弦端点在曲线上，坐标满足曲线方程，用点差法构造出 中点坐标和斜率的关系．
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跟踪训练 2．已知中心在原点，焦点在 x 轴上的一椭圆与圆 x2＋y2－4x 5 －2y＋ ＝0 交于 A、B 两点，AB 恰是该圆的直径，且 AB 的 2 1 斜率为－ ，求此椭圆的方程． 2 5 2 2 解：圆的方程化为(x－2) ＋(y－1) ＝ ， 2 其圆心为(2,1)，直径|AB|＝ 10. x 2 y2 设椭圆方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)， a b A、B 的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
(1)由题意知 m＝2， x2 2 椭圆方程为 ＋y ＝1，c＝ 4－1＝ 3， 4 ∴左、右焦点坐标分别为(－ 3，0)，( 3，0)． x2 2 (2)m＝3，椭圆方程为 ＋y ＝1，设 P(x，y)，则 9 x2 |PA|2＝(x－2)2＋y2＝(x－2)2＋1－ 9 8 9 2 1 ＝ x－4 ＋ (－3≤x≤3)， 9 2 9 2 ∴当 x＝ 时，|PA|min＝ ；当 x＝－3 时，|PA|max＝5. 4 2
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【规律小结】
求范围的方法同求最值及函数的值域的方
法类似．求最值常见的解法有两种：代数法和几何法．若 题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利 用图形性质来解决；若题目的条件和结论能体现一种明确 的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的 最值．圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及 距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线 或圆锥曲线中几何元素的最值，以及这些元素存在最值时
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本节目录
教 材 回 顾 夯 实 双 基
考 点 探 究 讲 练 互 动
名 师 讲 坛 精 彩 呈 现
知 能 演 练 轻 松 闯 关
教材回顾夯实双基
基础梳理
1．直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系，通常是将直线方程与 曲线方程联立，消去变量y(或x)得变量x(或y)的方程： ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
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1 (2)由(1)知 x2＝ ，x1＝λ， λ 得 x1x2＝1，y2·2＝16x1x2＝16， 1 y2 ∵y1y2>0，∴y1y2＝4，则|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2 ＝x2＋x2＋y2＋y2－2(x1x2＋y1y2) 1 2 1 2 λ＋1 2＋4λ＋1 －12 ＝ λ λ λ＋1＋22－16， ＝ λ 1，1， 1∈5，10 ， λ＋1＝10， λ＝1时， 2 λ∈ 3 2 λ＋ 当 即 |PQ| λ 2 3 λ 3 3 112 4 7 有最大值 ，|PQ|的最大值为 . 9 3
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－1x＋2 2＝4b2， 把直线方程代入椭圆方程得 x ＋4 2
2
即 x2－4x＋8－2b2＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝8－2b2. ∵|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|. 1＋－1 2 [(x1＋x2)2－4x1x2] 即 10＝ 2 5 ＝ [16－4(8－2b2)]， 4 解之得 b2＝3，a2＝12. x 2 y2 所以所求椭圆方程为 ＋ ＝1. 12 3
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考点 3
圆锥曲线中的最值及范围问题
x2 例3 已知椭圆 C： 2＋y2＝1(常数 m>1)，P 是曲线 C 上的 m 动点，M 是曲线 C 的右顶点，定点 A 的坐标为(2,0)． (1)若 M 与 A 重合，求曲线 C 的焦点坐标； (2)若 m＝3，求|PA|的最大值与最小值．
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【解】
第9课时
圆锥曲线的综合问题
2014高考导航
考纲展示 备考指南
1.能解决直线与椭 圆、抛物线的位置 关系等问题． 2.理解数形结合的 思想． 3.了解圆锥曲线的 简单应用.
直线与圆锥曲线的位置关系是高考必 考点，其中弦长、中点弦、面积、最 值、定值等问题是高考的热点，题型 既有选择题、填空题，又有解答 题．客观题注重考查性质，解答题全 面考查，对基础知识、思想方法以及 数学能力的考查都会达到一定深度.
若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： 相交 Δ＞0⇔直线与圆锥曲线_________；
相切 Δ＝0⇔直线与圆锥曲线_________； 相离． Δ＜0⇔直线与圆锥曲线__________
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若a＝0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．若曲线为 渐近线 双曲线，则直线与双曲线的___________平行；若曲线为抛物 对称轴 线，则直线与抛物线的____________平行．
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由根与系数的关系知： －16k 12 x1＋x2＝ 2 ，x1x2＝ 2 . 4k ＋1 4k ＋1 又 0° <∠AOB<90° ⇔cos∠AOB>0⇔O A · B >0. O 而 O A · B ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(k2 ＋ O 1)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4， －16k 12 2 ∴(k ＋1)· 2 ＋2k· 2 ＋4>0. 4k ＋1 4k ＋1 即 k2<4. ∴－2<k<2，② 3 3 由①②得：－2<k<－ 或 <k<2. 2 2
答案：2 6
5．已知抛物线x2＝－4y的切线l垂直于直线x＋y＝0， 则l的方程为________． 答案：x－y＋1＝0
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考点探究讲练互动
考点突破 考点 1 直线与圆锥曲线的位置关系问题 例1 在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0， 2)且斜率为 k x2 2 的直线 l 与椭圆 ＋y ＝1 有两个不同的交点 P 和 Q. 2 (1)求 k 的取值范围； (2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B， → → → 是否存在常数 k， 使得向量OP＋OQ与AB垂直？如果存在， 求 k 值；如果不存在，请说明理由．
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y1－y2 1 1 又 kAB＝－ ，则 ＝－ . 2 2 x1－x2 2 x 2 y2 x2 y2 1 1 2 A、B 在椭圆上，有 2＋ 2＝1， 2＋ 2＝1， a b a b 2 2 x1－x2 y2－y2 2 1 得 2 ＋ 2 ＝0. a b y1＋y2y1－y2 1 b2 ＝ ，∴a2＝4b2. 2＝－ a x1＋x2x1－x2 4 椭圆方程化为 x2＋4y2＝4b2， 1 直线 AB 的方程为 y－1＝－ (x－2)， 2 1 即 y＝－ x＋2. 2