8.27课上数学建模案例分析

1 (1 x) y" 1 y'2 (3) 5 初值条件为: y(0) 0 y' (0) 0
其解即为导弹的运行轨迹:
5 5 5 5 5 y (1 x) (1 x) 8 12 24
4
6
5 5 ) 处时被导弹击中. 当 x 1时 y ，即当乙舰航行到点 (1, 24 24 y 5 被击中时间为: t . 若 v0=1, 则在 t=0.21 处被击中. v0 24v0
即
bx dx , dt a 2 2 x y dy by , dt x2 y 2
x(0) 0, y(0) h.
(1.1)
又由初始条件有
(1.2)
(1.1)(1.2) 就是所求问题的一个微分方程模型。
模型求解
设时间步长为Δt, 则
P ( x , y ) (0, h), v (a,b), 0 0 0 0 bxi 1 byi 1 vi 1 (a 2 2 , 2 2 ), xi 1 yi 1 xi 1 yi 1 P ( x , y ) P v t , i 1,2, i i i i 1 i 1
(2) w=5时 建立M文件eq4．m如下: function dy=eq4(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt ((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2); dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2))/sqrt ((10+20*cos(t)- y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);
x0=0,xf=0.9999 [x,y]=ode15s('eq1',[x0 xf],[0 0]); plot(x,y(:,1),'b') hold on y=0:0.01:2;plot(1,y,'*r')
y '1 y2 y ' 1 1 y 2 /(1 x) 1 2 5
所求得的鸭子经过的路 线如右图所示。
慢跑者与狗
一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的速率 v=1跑步,设椭圆方程为: x=10+20cos t, y=20+5sin t． 突然有一只狗攻击他． 这只狗从 原点出发,以恒定速度 跑向慢跑者,狗的运动方向 始终指向慢跑者．分别求出 =20, =5时狗的运动 轨迹．
轨迹见下图
解法二(数值解法) 令y1=y, y2=y1’，将方程（3）化为一阶微分方程组．
1 (1 x) y ' ' 1 y2 5

1．建立M文件eq1．m function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x);
dx dt dy dt

X x , Y y
0
（2）
消去参数 ，可得狗的运动轨迹的参数方程
w dx (10 20cos t x) dt (10 20cos t x)2 (20 15sin t y)2 w dy (20 15sin t y) dt (10 20cos t x)2 (20 15sin t y)2 x(0) 0, y(0) 0
数学建模案例
微分方程模型
实验目的
1．学会用MATLAB分析求解微分方程模型．
实验内容
1． 数学建模实例． 鸭子过河问题 慢跑者与狗的问题 导弹追踪问题
2．实验作业．
• 为什么要建立模型来解决 问题呢？
• 我认为可用“曹冲称象”的例子来说明，如图3。 变
大 象
• •
石 头
小称
大象重量
图 3
5． 结果见图1
图1
图2
导弹大致在（1，0．2）处击中乙舰，与前面的结论一致．
2． 模型求解
(1) w=20时,建立Ｍ文件eq3．m如下: function dy=eq3(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt ((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2); dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2))/sqrt ((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2); 取t0=0，tf=10，建立主程序chase3．m如下： t0=0;tf=10; [t,y]=ode45('eq3',[t0 tf],[0 0]); T=0:0.1:2*pi; X=10+20*cos(T); Y=20+15*sin(T); To MATLAB(chase3) plot(X,Y,'-') hold on plot(y(:,1),y(:,2),'*') 在chase3．m中，不断修改tf的值,分别取tf=5, 2．5, 3．5,…,至3．15时, 狗刚好追上慢跑者．
2． 取x0=0，xf=0．9999，建立主程序ff6．m如下：
To MATLAB(ff6)
结论: 导弹大致在（1，0．2）处击中乙舰.
解法三(建立参数方程求数值解)
设时刻t乙舰的坐标为(X(t)，Y(t))，导弹的坐标为(x(t)，y(t))．
dx 2 dy 2 2 1．设导弹速度恒为 w ，则 ( ) ( ) w dt dt
返 回
导弹追踪问题 设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始 终对准乙舰．如果乙舰以最大的速度v0(常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的 速度是5v0，求导弹运行的曲线方程．乙舰行驶多远时，导弹将它击中？
解法一（解析法）
假设 t 时刻导弹的位置为 P(x(t), y(t))，乙舰位于 Q(1, v0 t ) .
•
石头重量
思想方法的体现
奥妙之一：直接去研究、解决问题（图中沿虚线 路径），往往很困难，有许多局限性。建立模型 是变“直接”为“间接”，能克服局限性，富于 智慧。例如没有大秤不能直接称大象，将大象变 成石头，对于大象重量而言，这些石头就是大象 的模型，问题简化了，就可以用小秤来称大象了； 奥妙之二：是同一问题，模型可以多种，充满灵 活性，如大象“变成”木头也可以；
2.0120 3.5928 2.0188 3.0693 1.9891 2.5680
0.8413 1.0801 1.2957 1.4867 1.6513 1.7880 1.8949 1.9701
8.2016 7.6047 7.0107 6.4207 5.8362 5.2588 4.6908 4.1344
dx dt X x 即： ， 0 dy Y y dt w dx ( X x) dt 2 2 ( X x) (Y y ) 消去λ 得： w dy (Y y ) 2 2 dt ( X x) (Y y )
奥妙之三：是建立模型解决问题如“大象”变 “石头”说明模型不是死板地“照像”，而是能 充分发挥人的能动性，如可以简化问题、突出重 点，又如可以猜想、创造等等。
示例1 鸭子过河
有只鸭子想游到河对岸的某个位置O，
如果它的方向始终朝着目标O。求这 只鸭子的游动曲线。
模型假设 1. 假设河的两岸为平行直线，河宽为h; 2. 鸭子游水的速率为b, 水流速率为a, 均为常数; 3. 初始时鸭子的位置为A;
取t0=0，tf=10，建立主程序chase4．m如下： t0=0;tf=10; [t,y]=ode45('eq4',[t0 tf],[0 0]); T=0:0．1:2*pi; X=10+20*cos(T); Y=20+15*sin(T); To MATLAB(chase4) plot(X,Y,'-') hold on plot(y(:,1),y(:,2),'*') 在chase3．m中，不断修改tf的值,分别取tf=20, 40, 80,…, 可以看出,狗永远追不上慢跑者．
（1）
2. 由于弹头始终对准乙舰，故导弹的速度平行于乙舰与导弹头位置的差向量，
（2）
（3）
3．因乙舰以速度v0沿直线x=1运动，设v0=1，则w=5，X=1，Y=t.
因此导弹运动轨迹的参数方程为：
5 dx (1 x) dt 2 2 (1 x) (t y ) dy 5 (t y ) 2 2 (1 x) (t y ) dt x(0) 0, y (0) 0 4坐标为(X(t)，Y(t))，狗的坐标为(x(t)，y(t))． 则 X=10+20cos t, Y=20+15sin t.
, 则( dx ) 2 ( dy ) 2 2 1.设狗的速度恒为
dt dt
（1）
2.由于狗的运动方向始终指向慢跑者，故狗的速度平行于慢跑者与狗的位 置的差向量，即
(1.3)
当yi<0时, 说明鸭子已经到达河对岸，应停止计算. 由(1.3)可以算出ti时刻鸭子的位置的近似值.
例如取a=1, b=2, h=10, Δt=0.3, 则求得结果为
i
1 2
xi
0
yi
10
i
xi
yi
3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 0.3000 9.4000 13 0.5809 8.8003 14
由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线 PQ 就是导弹的轨迹曲线弧 OP 在点 P 处的切线，
v0 t y y' 即有 1 x 即 v0t (1 x) y' y
(1)
又根据题意，弧 OP 的长度为 AQ 的 5 倍， 即

x
0
1 y '2 dx 5v0t
(2)
由(1),(2)消去t, 整理得模型:
15 16
17 18 19 20 21 22
1.9217 1.8160 1.6721 1.4913 1.2759 1.0300 0.7591 0.4702
2.0937 1.6516 1.2479 0.8891 0.5818 0.3329 0.1484 0.0333
计算(1.3)的Matlab代码
a=1;b=2;h=10;dt=0.3; i=1; p=[0,h]; while p(2)>0 i=i+1; v=[a-b.*p(1)./sqrt(p(1).^2+p(2).^2),-b.*p(2)./sqrt(p(1).^2+p(2).^2)]; p=p+v.*dt; hold on plot(p(1),p(2),'p') end p
4. 鸭子游动的方向始终指向O.
模型建立
取O为坐标原点， 河岸朝顺水方向 为x轴，y轴指向 对岸。
关键是如何求出P 点坐标(x,y)关于 时刻t的表达式.
t时刻鸭子本身的速度为
b b
PO | | PO
b x y
2 2
( x, y ),
河水速度为 a (a,0), 所以合速度为 bx by v a b (a , ), 2 2 2 2 x y x y
建立M文件eq2．m如下： function dy=eq2(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(1-y(1))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2); dy(2)=5*(t-y(2))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);
取t0=0，tf=2，建立主程序chase2．m如下： [t,y]=ode45('eq2',[0 2],[0 0]); Y=0:0．01:2; plot(1,Y,'-')， hold on To MATLAB(chase2) plot(y(:,1),y(:,2),'*')