高中数学-等差数列前n项和教案

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§2.3 等差数列的前n项和

授课类型:新授课备课人:

●教学目标

知识与技能:掌握等差数列前n项和公式及其获取思路;会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题,了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一

些相关问题;会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值

过程与方法:通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律,初步形成认识问题,解决问题的一般思路和方法;通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔性的训练,发展学生的思维水平.

情感态度与价值观:通过公式的推导过程,展现数学中的对称美。通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并数学地解决问题。

●教学重点

探索并掌握等差数列的前n项和公式,学会用公式解决一些实际问题,体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系。

●教学难点

等差数列前n项和公式推导思路的获得。

●教学过程

Ⅰ.课题导入

“小故事”:

高斯是伟大的数学家,天文学家,高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:1+2+…100=?”

过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10…算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说:

“1+2+3+…+100=5050。

教师问:“你是如何算出答案的?

高斯回答说:因为1+100=101;2+99=101;…50+51=101,所以101×50=5050”

这个故事告诉我们:

(1)作为数学王子的高斯从小就善于观察,敢于思考,所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西。

(2)该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法,这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。

Ⅱ.讲授新课

1.推导等差数列的前n项和

公式1:2

)(1n n a a n S += 证明: n n n a a a a a S +++++=-1321Λ ①

1221a a a a a S n n n n +++++=--Λ ②

①+②:)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=--Λ ∵ΛΛ=+=+=+--23121n n n a a a a a a

∴)(21n n a a n S += 由此得:2

)(1n n a a n S += 若将1(1)n a a n d =+-代入n S 得2

)1(1d n n na S n -+

= 等差数列的前n 项和公式2:2)1(1d n n na S n -+= 这两个公式中共有五个量,1,,,n n s a a d n ,知三求二

2[范例讲解]

(1)课本P43-44的例1

(2)讲解例2时

变式:若已知数列的23n n n s 及s 如何求s

结论:等差数列中依次k 项之和成等差数列即232,,k k k k k s s s s s --L L 成等差数列

(3)由例3得与n a 之间的关系:

由n S 的定义可知,当n=1时,1S =1a ;当n ≥2时,n a =n S -1-n S ,

即n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n

. 探究:如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++,其中p 、q 、r 为常数,且0p ≠,

那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是多少?

(4)课本P45的例4 解略

结论:对等差数列前项和的最值问题有两种方法:

(1) 利用n a :

当n a >0,d<0,前n 项和有最大值可由n a ≥0,且1+n a ≤0,求得n 的值 当n a <0,d>0,前n 项和有最小值可由n a ≤0,且1+n a ≥0,求得n 的值

(2) 利用n S : 由n )2

d a (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值

对等差数列前项和的最值问题有两种方法:

3等差数列前n 项和的性质

①若等差数列的项数为2n ,则有s s -=偶奇 s s =奇偶

, ②若等差数列的项数为2n+1,则21n s s s +=+=奇偶 ,1n a += ,

s s =奇偶 ③{}{}{}{}2121,,,n n n n n n n n n n a s a b s t a b b t --=为等差数列,分别为的前n 项和,则 ④等差数列{}{}n n n a s a ,为的前n 项和若,,m n m n s n s m s +===则 , ;m n m n s s s +==若则

Ⅲ.课堂练习

课本P52练习1、2、3、4

Ⅳ.课时小结

本节课学习了以下内容:

1.等差数列的前n 项和公式1:2

)(1n n a a n S += 2.等差数列的前n 项和公式2:2

)1(1d n n na S n -+=

Ⅴ.课后作业

课本P52-53习题[A组]2、3题

●板书设计

●授后记

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