偏微分方程数值解法期末考试题答案

期末考试

试题答案及评分标准

学年学期：

专业：数学与应用数学

班级：数学

课程：偏微分方程数值解法

教学大纲：《偏微分方程数值解法》教学大纲（自编，2006）使用教材：《偏微分方程数值解法》

教材作者：陆金甫、关治

出版社：清华大学出版社

一、判断题（每小题1分，共10分） 1、（O ） 2、（O ） 3、（X ） 4、（X ） 5、（O ） 6、（O ） 7、（O ） 8、（X ） 9、（X ） 10、（O ）

二、选择题（每小题2分，共10分） 11、（D ） 12、（A ） 13、（C ） 14、（B ）15、（C ）

三、填空题（每小题2分，共20分）

16、22

2

22212n

x x x ∂∂∂++

+∂∂∂ 17、A=[4 5 9;23 5 17;11 23 1] 18、y=exp(-t/3)*sin(3*t) 19、help 20、zeros(m,n) 21、inva(A)*b 或者A/b 22、A=sym('[cos(x-y),sin(x+y);exp(x-y),(x-1)^3]')

23、2

222

1[()]2()()[()]0a s b s s c s ϕϕϕϕ'''-+= 24()

i x

v e d λλλ+∞

-∞

⎰

25、

1(,)(,)

j n j n u x t u x t τ

+-

四、计算题：（每小题12分，共36分）

26、写成对流方程0u u

a t x

∂∂+=∂∂（,0x R t ∈>）的有限差分方程（两层显示

格式，用第n 层计算第n+1层），并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式/h λτ=为网格比。

解：在点(,)j n x t 处，差分方程为

110n n n n

j j

j j

u u u u a

h

τ

++--+=（0,1,2,

j =±±，0,1,2,

n =）（8分）

便于计算的形式为

11()n n n n j j j j u u a u u λ++=--，/h λτ= （4分）

27、写出扩散方程22u u

a t x

∂∂=∂∂的有限差分方程（中心差分格式，用第n 层计算第n+1层），并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式，2/h μτ=为网格比。

解 所给对流扩散方程的近似差分方程为

111

2

20n n n n n j j j j j u u u u u a h

τ++---+-=（0,1,2,j =±±，0,1,2,n =）（8分） 便于迭代计算的格式为

111

(2)n n n n n

j j j j j u u a u u u μ++-=--+，2/h μτ= （4分） 28、计算差分格式11()n n n n

j j j j u u a u u λ++=--，

（其中/h λτ=，0a >）的增长因子，并根据von Neumann 条件给出差分格式稳定性条件。

解 令n n ijkh j u v e =，代入11()n n n n

j j j j u u a u u λ++=--，得到

1(1)n ijkh n ijkh n ikh ijkh v e v e a v e e λ+-=--

消去公因子有

1[1(1)]n ikh n v a e v λ+-=-- （6分）

增长因子为

(,)1(1)1(1cos )sin ikh G k a e a kh a i kh τλλλ-=--=---

所以有

222|(,)|[1(1cos )][sin ]G k a kh a i kh τλλ=--+2

14(1)sin 2

kh a a λλ=-- 如果1a λ<，则有|(,)|1G k τ≤，根据von Neumann 条件，格式是稳定的。（6分）

五、证明题（12分）

29、把下列Richardson 格式改写为与其等价的二层差分格式，利用求增长矩阵的特征值的方法证明该格式破坏了von Neumann 条件，从而证明此格式不稳定。

11112(2)n n n n n

j j j j j u u a u u u λ+-+-=+-+，2/h λτ= 证明 把已知的三层格式化为二层差分方程组

11112(2)

n n n n n j j j j j n n

j j

u v a u u u v u λ++-+⎧=+-+⎪⎨=⎪⎩ 令[,]n n n T

j j j u u v =，则以上方程组可以改写为

1111

111204020001000n n n n

j j j j n j n n n n j j j j u u u u a a a u v v v v λλλ++-+++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

（4分） 或

1

11204020001000n n n n

j

j j j a a a u u u u λλλ++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

令n n ikjh

j j u v e

=，代入上式消去公因子ikjh e ，得到 1(1)(1)204020001000n ijkh

n i j kh n ijkh n i j kh

j

j j j a a a v e v e v e v e λλλ++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

204020001000ikh ikh n ijkh j a a a e e v e λλλ-⎧-⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭

（4分） 化简系数矩阵得到

218sin 1210n n kh a v v λ+⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥

⎣⎦

其特征值为

2

1,24sin 2kh a μλ=-±取正的为1μ，则有

2

1||14sin 2

kh

a μλ>+ 由此不满足von Neumann 条件，所有Richardson 格式是不稳定的。（4分）