高中数学抛物线的概念与性质

精锐教育学科教师辅导讲义

讲义编号

年 级：高二 辅导科目：数学 课时数：3

课 题

抛物线概念与性质

教学目标

1、掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程；

2、抛物线的对称性、顶点、范围、焦点坐标和准线方程；应用抛物线定义解决一些与焦点 弦长有关的问题。

教学内容

一、知识梳理

1、抛物线的定义

定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （定点F 不在定直线l 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。 思考：如果定点F 在定直线l 上，动点的轨迹是什么？ 2、抛物线的标准方程和性质

标准方程

图形

顶点 对称轴

焦点 准线

px y 22=

(0,0)

x 轴

(

2

p

,0) 2

p x -

= px y 22-=

(0,0)

x 轴

(-

2

p

,0) 2

p x =

py x 22=

(0,0)

y 轴

(0,

2p

) 2

p y -= py x 22-=

(0,0)

y 轴

(0,-

2

p ) 2

p y =

我们把上述四种位置的抛物线方程都称为抛物线的标准方程。

3、直线与抛物线

它们的位置关系无外乎三种情况，即相切、相交、相离。具体来说：

A ．x=p

B ．p x 2

3=

C ．p x 2

5=

D ．3p

4、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为（ D ） A ．y x 82= B ．y x 42= C ．y x 42-= D ．y x 82-=

5、已知抛物线x 2=4y ，过焦点F ，倾斜角为

4

π

的直线交抛物线于A 、B 两点，则线段AB 的长为 （ A ） A.8 B.42 C.6 D.32

6、过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有（ C ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条

7、直线2-=kx y 与抛物线x y 82

=交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值为（ ） （A ）1-或2

（B ）1-

（C ）2

（D ）31±

8、抛物线y 2=8x 的焦点为F 、P 在抛物线上，若|PF |=5，则P 点的坐标为（ C ） A. (3，26)

B.(3，-26)

C.(3，26)或(3，-26)

D.(-3，26)或(-3，-26)

9、设F 为抛物线y 2

=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0=++FC FB FA 则|FA|+|FB|+|FC|=（ B ）

(A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3

10、动圆M 经过点()0,3A 且与直线l ：3-=x 相切，则M 的轨迹方程为 x y 122

=

11、若点M 到点()0,1F 的距离比它到直线0=x 的距离大1，则点M 的轨迹方程为 x y 42

=或

()00≤=x y

12、抛物线x y 42

=上的两点A 、B 到焦点的距离之和为10，则线段AB 中点到y 轴的距离为 4 13、顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线1243=-y x 上的抛物线方程是 x y 162

=或

y x 122-=

14、等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2=2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积为

24p

15、抛物线y =4x 2 上的点到直线y =4x －5的最近距离是

16、顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线，截直线012=+-y x 所得弦长为15，求抛物线方程。 答案：x y 122

=或x y 42

-=