测量误差的基本知识ppt课件
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误差测量基本知识-公路工程测量电子课件
三、一般函数的中误差 设函数
Z=f（x1，x2，…，xn）
xi（i=1，2，…，n）
函数的中误差为
mz
(
f x1
)
2
m21
Байду номын сангаас
(
f x2
)2
m2
2
( f )m2n xn
课堂练习
【例5—5】有一长方形，测得其长为 32.42±0.04m，宽为24.36±0.04m。求该长方形的面积 及其中误差。
3.865 3.877
课堂练习
【例5－1】对三角形的内角进行两组观 测（各测10次），根据两组观测值中的偶然 误差（真误差），分别计算其中误差。
（2）相对误差
1 相对误差：绝对误差的绝对值与观测值之比 N
绝对误差：真误差、中误差、容许误差
意义： 观测 1000m 观测 800m
中误差 中误差
m 2cm m 2cm
二、和差函数的中误差 设函数
z x1 x2 xn
函数的中误差为
mz
m2 x1
m2x2
m2xn
课堂练习
【例5—4】用经纬仪观测某角四个测回，其观 测值为L1=60°30′36″、L2=60°30′42″、 L3=60°30′24″、L4=60°30′38″，如果一测回测角 的中误差为6″，试求该角的中误差。
▪观测值：对该量观测所得的值，一般用Li表示 。 ▪真误差：观测值与真值之差， 一般用i= Li -X表示。
二、测量误差产生的原因
• 仪器误差: 如：i角误差、尺长误差等，一般由于仪器校正 不完善所致；
• 观测误差: 如：照准误差、读数误差等，由于观测者感官有 限所致；
• 外界条件误差: 如：地球曲率、大气折光等。
第5章测量误差的基本知识
2.全微分 dD (cos)dD (Dsin) d
3.化为中误差
[(cos15 ) 0.05]2 [(50 sin15 ) 30]2
mD 0.048(m)
六、应用误差传播定律的基本步骤
1. 列出观测值函数的表达式
Z f (x1, x2 ,xn )
2.对函数Z进行全微分
f
f
f
Z ( x1 ) x1 ( x2 ) x2 ( xn ) xn
消除方法 观测值偏离真值的程度称为观测值的准确度。系
统误差对观测值的准确度影响很大，但它们的符号和 大小有一定的规律。因此，系统误差可以采用适当的 措施消除或减弱其影响。
处理原则：找出规律，加以改正。 ◆ 测定系统误差的大小，对观测值加以改正。 如： 钢尺量距中进行尺长、温度、倾斜改正等。 ◆ 校正仪器，将系统误差限制在容许范围内。 ◆ 对称观测，水准测量中，使前后视距离相等 (中间法)；角度观测时，采用盘左盘右取平均值。
n
n
为该量的最可靠的数值，称为“最或是值”。
证明：设某量的真值为X，各次观测值为l1，l2……ln，
相应的真误差为 1，2， ，n ，则 1 l1 X ...2 l2 X
n ln X
相加并除以n得 [] [l] X
nn
X [l] [] x x nn
式中： x 为算术平均值，即 x l1 l2 ln [l]
处理原则：多余观测，制定限差。 为了提高观测值的精度，通常对偶然误差采用如下 处理方法 ◆.提高仪器等级； ◆.进行多余观测； ◆.求平差值。 3.粗差(错误) 测错，记错，算错……。错误在测量成果中不允许 存在。处理原则：细心，多余观测。遵守操作规程、严 格检查制度，及时发现和纠正错误。
工程测量课件第6章测量误差基础知识
DAB DAC
SinCSin61 SinBSi8n9
0.875
DAB C
DASCCinoBsC 5S0Ci8no69s 1 24.244
DAB B
DACSSiinn2C BCosB 50SSin6in218C9o8s9
0.763
利用误差传播定律公式计算
m D A B 0 .82 7 0 .0 5 2 2 2 .2 4 2 4 2 0 4 2 0 .72 6 2 0 3 2 0 .0m 1
计算结果：mA＜mB，表明A组的观测精度比B组高。
二、 相对误差
中误差是一种绝对误差，当观测误差与观测值的大小有关时， 必须用相对误差这一精度指标来衡量。
相对误差：某量观测值中误差与相应观测值的比值。即
K m 1 L
L
m
注意：经纬仪测角，不能用相对误差来衡量测角精度。
三、 极限误差 由于偶然误差的分布服从于正态分布，故它们出现的概率为：
m 2 m 半 2 1 2 1 "7"
（6）上、下半测回角值之差的容许误差
取 △容=2m
2 .4 1 7 4 0"
6.4 等精度直接观测值的最可靠值及其中误差
一、观测值的最可靠值
在相同的观测条件下，对真值为X的某量进行n次观测，其观 测值分别为l1 , l2 ，… ln ，。由真误差计算公式可得：
果误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误 差称为系统误差。 （2）特点：具有积累性，对测量结果的影响大。
（3）处理方法：
1）计算改正；
2）采用一定的观测方法（对称观测）；
3）校正仪器，将系统误差限制在允许范围内。
2.偶然误差 在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如果误差出现 符号和大小均不确定，但从大量的误差总体来看，又符合一定 的统计规律，这类误差称为偶然误差。
测量误差基本知识PPT课件
大量的偶然误差具有统计性，或称之为 具有概率论的规律。
（三）误差处理原则
粗差（错误） 测错，记错，算错……可以避免
错误在测量成果中不允许存在，舍弃重测。
防止粗差和提高成果精度（偶然误差方面）
“ 多余观测”发现粗差剔除或重测，由 多余观测产生的往返差、不符值、闭合差， 可根据差值大小评定精度，超限重测，不超 限调整之。
系统误差应尽可能按其产生的原因和 规律加以改正、抵消或削弱，如： 校正 仪器、观测值加改正数、对称观测：水准， 前后视距离相等；测角，盘左盘右取平均 值。
不同时间的多次观测，有可能削弱部 分情况不明的系统误差
四、偶然误差的特性 测量误差理论主要讨论具有偶然误差的
一系列观测值中如何求得最可靠的结果和评 定成果的精度
n
n
可证明其合理性和可靠性
推导过程
设未知量的真值为X，可写出观测值的真 误差公式为
i li X （i=1，2，…，n） 将上式相加得
1 2 n ( l1 l2 ln ) nX
或
[][l]nX
故
X l
nn
观测值的算术平均值 x 算术平均值真误差x
则有
X xx
由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限 增多时，Δx趋近于零，
标准差为
第二节 评定精度的标准
为对观测值的精度作出科学的评定，常 用中误差、极限误差、相对误差为评定精度 的标准。
一.中误差
定义 在相同条件下，对某量（真值为X）
进行n次观测，观测值l1，l2，……，ln，偶然误
差（真误差）Δ1， Δ2，……，Δn，则中误 差M的定义式为：
M 2 lim n n
误差的容许误差，即Δ容=2m 或 Δ容=3m 。
（三）误差处理原则
粗差（错误） 测错，记错，算错……可以避免
错误在测量成果中不允许存在，舍弃重测。
防止粗差和提高成果精度（偶然误差方面）
“ 多余观测”发现粗差剔除或重测，由 多余观测产生的往返差、不符值、闭合差， 可根据差值大小评定精度，超限重测，不超 限调整之。
系统误差应尽可能按其产生的原因和 规律加以改正、抵消或削弱，如： 校正 仪器、观测值加改正数、对称观测：水准， 前后视距离相等；测角，盘左盘右取平均 值。
不同时间的多次观测，有可能削弱部 分情况不明的系统误差
四、偶然误差的特性 测量误差理论主要讨论具有偶然误差的
一系列观测值中如何求得最可靠的结果和评 定成果的精度
n
n
可证明其合理性和可靠性
推导过程
设未知量的真值为X，可写出观测值的真 误差公式为
i li X （i=1，2，…，n） 将上式相加得
1 2 n ( l1 l2 ln ) nX
或
[][l]nX
故
X l
nn
观测值的算术平均值 x 算术平均值真误差x
则有
X xx
由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限 增多时，Δx趋近于零，
标准差为
第二节 评定精度的标准
为对观测值的精度作出科学的评定，常 用中误差、极限误差、相对误差为评定精度 的标准。
一.中误差
定义 在相同条件下，对某量（真值为X）
进行n次观测，观测值l1，l2，……，ln，偶然误
差（真误差）Δ1， Δ2，……，Δn，则中误 差M的定义式为：
M 2 lim n n
误差的容许误差，即Δ容=2m 或 Δ容=3m 。
测量误差的基本知识
m乙 =
=
= 4.3
n
6
12
二、相对误差
l 绝对误差 :真误差、中误差 l 相对误差: 在某些测量工作中，绝对误差不能完全
反映出观测的质量。 相对误差K—— 等于误差的绝对值与相应观测值的
比值。常用分子为1的分式表示，即：
相对误差
=
误差的绝对值 观测值
=1 T
13
l 相对中误差：当误差的绝对值为中误差m 的绝对值时， K称为～，即 k=1/m 。
3
1．系统误差
l 系统误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列 观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变 化，这种误差称为～ 。
l 系统误差产生的原因 ： 仪器工具上的某些缺陷；观测者的 某些习惯的影响；外界环境的影响。
l 系统误差的特点： 具有累积性
4
系统误差消减方法 ❖1、在观测方法和观测程序上采取一定的措施;
中误差、相对误差、极限误差和容许误差
10
一、中误差
在测量实践中观测次数不可能无限多，实际应用中，以 有限次观测个数n计算出标准差的估值定义为中误差m，作 为衡量精度的一种标准：
m = ±sˆ = ± [ ]
n
在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的精度。
11
l 有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角 形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和 的真误差）分别为：
例：经纬仪的LL不垂直于VV对测角的影响
5
2．偶然误差 l 偶然误差：在相同的观测条件下，对某一未知量 进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有 明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号 均呈现偶然性，这种误差称为 ～。 l 产生偶然误差的原因： 主要是由于仪器或人的感 觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误 差等，以及环境中不能控制的因素(如不断变化着的 温度、风力等外界环境)所造成。
第五章测量误差的基本知识
mC
试求 中误差
5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中 误差
▪ 当观测次数n趋于无穷大时，算术平均值趋 于未知量的真值。当n为有限值时，通常取 算术平均值做为最可靠值。
▪ 利用观测值的改正数vi计算中误差：
m [vv] (n 1)
▪ 算术平均值中误差：
M m [vv] n n(n 1)
例：对某直线丈量了6次，丈量结果如表，求算术
▪ 4相同的观测条件下,一测站高差的中误差为 _______。
▪ 5衡量观测值精度的指标是_____、_______和 ______。
▪ 6对某目标进行n次等精度观测,某算术平均值的中 误差是观测值中误差的______倍。
▪ 7在等精度观测中,对某一角度重复观测多次,观测 值之间互有差异,其观测精度是______的。
第五章 测量误差的基本知识
第五章 测量误差基本知识
5.1 测量误差与精度 5.2误差传播定律 5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中误 差 5.4非等精度直接观测值的最可靠值及其中 误差
第五章 测量误差基本知识
▪ 主要内容：测量误差的概念、来源、分类 与处理方法；精度概念及评定标准；误差 传播定律；观测值中误差计算；直接观测 值的最可靠值及其中误差
Ｃ.水准管轴不平行与视准轴的误差
▪ 经纬仪对中误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 尺长误差和温度误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 下面是三个小组丈量距离的结果，只有（ 测量的相对误差不低于1/5000的要求
）组
▪ Ａ.100m 0.025m； Ｂ.200m 0.040m； Ｃ.150m 0.035m
测量误差分析与处理措施ppt课件
滑动平均滤波
对连续采样的数据进行滑 动平均处理，以减小随机 误差的影响，平滑数据波 动。
中值滤波
对采样数据进行排序处理 ，取其中位数作为滤波结 果，以消除异常值的干扰 。
测量结果的评估与决策
不确定度评估：通过对测量结果的不确定度进行分析，可以了解测量结 果的可靠程度，为后续决策提供依据。
基于测量结果的决策：根据测量结果的评估，制定相应的决策方案。例 如，在产品质量控制中，根据测量结果判断是否合格，并采取相应的处
人员培训与技能提升
提高测量人员的专业水平
通过定期培训和考核，提高测量人员的专业知识和技能水平，确保他们能够正确 、准确地进行测量操作。
增强测量人员的质量意识
加强质量教育，使测量人员充分认识到测量误差对产品质量和客户满意度的影响 ，增强他们的质量意识和责任心。
0进行设备校准
测量设备在使用过程中会出现漂移或 磨损，定期进行设备校准可以确保测 量结果的准确性和可靠性。
测量过程的控制与优化
控制环境条件
测量过程中的环境条件（如温度、湿度、压力等）会影响测量结果的准确性， 需要严格控制环境条件以减少误差。
优化测量流程
对测量流程进行优化，减少不必要的环节和操作，可以降低误差产生的可能性 。
本课程采用了讲解、案例分析、 讨论等多种教学方法，有效地激 发了同学们的学习兴趣和参与度
，取得了良好的教学效果。
学习收获与体会
知识层面
通过对误差理论的系统学习，同 学们对测量数据的处理和分析有
了更为全面和准确的认识。
能力提升
通过课程中的实例分析和实践操作 ，同学们初步具备了运用所学知识 解决实际问题的能力。
测量误差的来源
01
02
第6章 测量误差基本知识
水准仪：
经纬仪：
⑵采用对称观测的方法 大小相等、符号相反的系统误差，相互抵消 水准测量：前、后视距大致相等 角度测量：盘左、盘右取平均值
⑶测定系统误差的大小，对观测值加以改正 钢尺量距：尺长改正、温度改正、倾斜改正
3）偶然误差 偶然误差：在一定观测条件下的一系列观测值中，其误差大小、 正负号不定，但符合一定统计规律的测量误差。 也称随机误差 偶然误差反映观测结果的精密度。 精密度：在一定观测条件下，一组观测值与其数学期望值接近 或离散的程度，也称内部符合精度。 如：对中误差、瞄准误差、估读误差等
设Z为独立变量 x1，x2， … ，xn的函数，即
Z=f x1，x2， xn
2
2
mZ =
f
x1
m12
f x2
m22
f xn
2
mn2
例1：
在1:500的地形图上量得A、B两点间的距离d=234.5mm，中误差 md=±0.2mm。求A、B两点间的实地水平距离D及其中误差mD。
h值越小，曲线两侧坡度越缓， 小误差出现的概率小，精度越低
2.中误差
与精度指数成反比
m n
式中：[△△]——偶然误差平方和 n——偶然误差个数
3.极限误差 由偶然误差的特性“误差绝对值不会超过一定限值”（有界性）
这个限值就是极限误差。
P m 0.683 68.3%
31.7%
P 2m 0.954 95.4% 4.6%
K
D往 D返
D
=
=
1
=1
1
2
D往 +D返
D平均
D平均 D
M
5.相对中误差
观测值中误差与相应观测值之比。
测量误差基础知识
二、偶然误差的特性
偶然误差表面没有规律性，但对同一量多次观测，表现出 一定的统计规律性。
案例 在相同的观测条件下，观测了358个三角形的全部内角，由 于观测存在误差，每一个三角形内角之和Li 都不等于180°，其 差值为三角形内角和的真误差，即△ = Li - 180° 。 将358个三角形内角和的真误差的大小和正负按一定的区 间统计误差个数，列于下表中。
三、评定精度的标准
（二）相对误差 真误差和中误差：有符号,有与观测值相同的单位,它们被
称为“绝对误差”。 相对误差是指误差的绝对值与相应观测值之比，通常以分
子为1、分母为整数的形式K表示。
即
相对误差K越小，精度越高。
相对误差是没有单位的。相对误差随着所用绝对误差的不同 而有不同的名称 。分子、分母长度单位应统一。
解析：DJ6 数字6指野外“一测回方向中误差”≤6″，即m方=±6″，因为一个角度是 两个方向值之差，由和差函数的中误差计算公式得一测回角值的中误差m=8.5″
误差传播定的几个主要公式：
函数名称
函数式
函数的中误差
倍数函数
z kx
mz kmx
和差函数
z x1 x2 xn
mz m12 m22 mn2
线性函数 z k1x1 k2x2 knxn mz k12m12 k22m22 kn2mn2
一般函数
Z f (x1, x2,xn )
2、设对某角观测一测回的中误差为±3″，要使该角的观测精度达到±1.4″，
需观测（ ）个测回。
A、2
B、3
C、4
D、5
解析：算术平均值的中误差
M
m n
得
n
m2 M2
32 1.4
《测量学》第五章测量误差基本知识
系统误差的来源与消除方法
总结词
系统误差的来源主要包括测量设备误差、环境因素误差和测量方法误差。消除系统误差的方法包括校准设备、改 进测量方法和采用适当的修正公式。
详细描述
系统误差的来源多种多样，其中最常见的是测量设备误差，如仪器的刻度不准确、零点漂移等。此外，环境因素 如温度、湿度和气压的变化也可能导致系统误差。为了消除这些误差，可以采用定期校准设备、选择适当的测量 方法和采用修正公式等方法。
相对测量法
通过比较被测量与标准量之间 的差异来得到被测量的值，并 评估误差。
组合测量法
将被测量与其他已知量进行组 合，通过测量组合量来得到被
测量的值，并评估误差。
测量结果的表示与处理
测量结果的表示
测量结果应包括被测量的值、单位、 测量不确定度以及置信区间等。
异常值的处理
在数据处理过程中，如果发现异常值， 应进行识别、判断和处理，以确保测 量结果的准确性和可靠性。
测量学第五章 测量误差 基本知识
contents
目录
• 测量误差概述 • 系统误差 • 随机误差 • 粗大误差 • 测量误差的估计与处理
测量误差概述
01
测量误差的定义
测量误差
在测量过程中，由于受到测量仪器、 环境条件、操作者技能等因素的影响 ，使得测量结果与被测量的真实值之 间存在一定的差异。
不确定度的评定方法
不确定度的传递
不确定度的评定方法包括A类评定和B类评 定，其中A类评定基于统计分析，B类评定 基于经验和信息。
在多个量之间存在函数关系时，需要将各 个量的不确定度传递到最终的测量结果中 ，以确保最终结果的准确性和可靠性。
THANKS.
数据修约
根据测量不确定度对数据进行修约， 以确保数据的完整性和一致性。
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晰度、风力以及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中 带有误差。
(2) 仪器条件 仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪 器的结构能满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来 误差。
(3) 观测者的自身条件 由于观测者感官鉴别能力所限以及技 术熟练程度不同，也会在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误 差。
1）系统误差
在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出 现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，这种误差称为 系统误差。系统误差一般具有累积性。
系统误差产生的主要原因之一，是由于仪器设备制造不 完善。例如，用一把名义长度为50m的钢尺去量距，经检定钢 尺的实际长度为50.005 m，则每量一尺，就带有+0.005 m的 误差(“+”表示在所量距离值中应加上)，丈量的尺段越多，所 产生的误差越大。所以这种误差与所丈量的距离成正比。
k
n d
0.045
0.092
0.031
0.083
0.028
0.074
0.025
0.046
0.015
0.037
0.012
0.028
0.009
0.009
0.003
0.000
0.000
0.503
0.168
10
k ◆在一定观测条件下，偶然误差 n d 的绝对值不会超过一定的限值
◆绝对值较小的误差比绝 对值较大的误差出现的概 率大；
本章的主要内容就是在观测值具有大量偶然误差 的情况下如何求得最接近观测对象真值的值及如何评 定其精度高低的方法。
12/39
三、评定精度的标准
◆测量成果中都不可避免地 含有误差，在测量工作中， 是使用“精度”来判断观测 成果质量好坏的。所谓精度， 就是指误差分布的密集或离 散程度。误差分布密集，误 差就小，精度就高；反之， 误差分布离散，误差就大， 精度就低。
◆绝对值相等的正误 差和负误差出现的概 率相同；
◆偶然误差的数学 期望为零，即
E() 0,
lim [] 0 n n
正态分布曲线
e f ()
1
2
2
2
2
偶然误差具 有正态分布 的特性
-24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+2411
11
不可避免，无法消除，有互补性 Nhomakorabea7/39
◆粗差与多余观测
1、粗差：因读错、记错、测错造成的错误， 并非误差。
2、多余观测：观测某未知量时进行的多于 必要观测数外的观测。 多余观测为什么不多余？
（为什么要进行多余观测）
目的：发现错误，剔除粗差；
提高观测质量，进行精度评定。
8
二、偶然误差的统计特性
在某测区，等精度观测了217个三角形的 内角之和，得到217个三角形闭合差i(偶然 误差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差 i 进行分析。
第五章 测量误差的基本知识
本章重点： 1、偶然误差的特点 2、评定精度的指标 3、中误差的计算 4、误差传播定律
本章难点： 1、中误差的计算 2、误差传播定律
1/39
一、概 述
1、误差的概念
从测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在
误差，比如： 1)对同一量多次观测，其观测值不相同。 2)观测值不等于理论值：
3
通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境三 个方面综合起来，称为观测条件。观测条件不理想 和不断变化，是产生测量误差的根本原因。
通常把观测条件相同的各次观测，称为等精度观测； 观测条件不同的各次观测，称为不等精度观测。
4/39
3、测量误差的分类
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统 误差和偶然误差。
分析结果表明：当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。
9
误差的区间 个数 k
０“～３＂
30
３“～６＂
21
６“～９＂
15
９“～１２＂ 14
１２“～１
12
１５５“＂～１
8
１８８“＂～２
5
２１１“＂～２
2
２４４“＂～２
1
７ 总＂ 和
108
为正值
k
计算改正、观测方法、仪器检校
6/39
2）偶然误差
在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果 单个误差出现的大小和符号均不一定(无规律)，则这 种误差称为偶然误差，又称为随机误差。例如，用经 纬仪测角时的照准误差，钢尺量距时的读数误差等， 都属于偶然误差。
偶然误差，就其个别值而言，在观测前我们确实 不能预知其出现的大小和符号。但若在一定的观测条 件下，对某量进行多次观测，误差列却呈现出一定的 规律性，称为统计规律。而且，随着观测次数的增加， 偶然误差的规律性表现得更加明显。
三角形 α+β+γ≠180° 闭合水准 ∑h≠0
测量误差(△) =真值（X）- 观测值（L）
2/39
2、测量误差的来源
测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观 测者的技术水平和感官鉴别能力的局限性及仪器本身 构造的不完善等原因，都可能导致测量误差的产生。
所以，测量误差主要来自以下三个方面： (1) 外界条件 主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清
频率
n
k n d
0. 138
0.046
0.097
0.032
0.069
0.023
0.065
0.022
0.055
0.018
0.039
0.012
0.023
0.008
0.009
0.003
0.005
0.002
0.5
0.166
个数 k
29 20 18 16 10 8 6 2 0 109
为负值
k
频率
n
0.134
第一个特性说明偶然误差的“有界性”。它说明偶 然误差的绝对值有个限值，若超过这个限值，说明观 测条件不正常或有粗差存在；第二个特性反映了偶然 误差的“密集性”，即越是靠近0″，误差分布越密集； 第三个特性反映了偶然误差的对称性，即在各个区间 内，正负误差个数相等或极为接近；第四个特性反映 了偶然误差的“抵偿性”，它可由第三特性导出，即 在大量的偶然误差中，正负误差有相互抵消的特征。 因此，当n无限增大时，偶然误差的算术平均值应趋于 零。
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再如，在水准测量时，当视准轴与水准管轴不平行 而产生夹角时，对水准尺的读数所产生的误差为
s i / ，它与水准仪至水准尺之间的距离S
成正比，所以这种误差按某种规律变化。
系统误差具有明显的规律性和累积性，对测量 结果的影响很大。但是由于系统误差的大小和符号 有一定的规律，所以可以采取措施加以消除或减少 其影响。
(2) 仪器条件 仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪 器的结构能满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来 误差。
(3) 观测者的自身条件 由于观测者感官鉴别能力所限以及技 术熟练程度不同，也会在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误 差。
1）系统误差
在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出 现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，这种误差称为 系统误差。系统误差一般具有累积性。
系统误差产生的主要原因之一，是由于仪器设备制造不 完善。例如，用一把名义长度为50m的钢尺去量距，经检定钢 尺的实际长度为50.005 m，则每量一尺，就带有+0.005 m的 误差(“+”表示在所量距离值中应加上)，丈量的尺段越多，所 产生的误差越大。所以这种误差与所丈量的距离成正比。
k
n d
0.045
0.092
0.031
0.083
0.028
0.074
0.025
0.046
0.015
0.037
0.012
0.028
0.009
0.009
0.003
0.000
0.000
0.503
0.168
10
k ◆在一定观测条件下，偶然误差 n d 的绝对值不会超过一定的限值
◆绝对值较小的误差比绝 对值较大的误差出现的概 率大；
本章的主要内容就是在观测值具有大量偶然误差 的情况下如何求得最接近观测对象真值的值及如何评 定其精度高低的方法。
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三、评定精度的标准
◆测量成果中都不可避免地 含有误差，在测量工作中， 是使用“精度”来判断观测 成果质量好坏的。所谓精度， 就是指误差分布的密集或离 散程度。误差分布密集，误 差就小，精度就高；反之， 误差分布离散，误差就大， 精度就低。
◆绝对值相等的正误 差和负误差出现的概 率相同；
◆偶然误差的数学 期望为零，即
E() 0,
lim [] 0 n n
正态分布曲线
e f ()
1
2
2
2
2
偶然误差具 有正态分布 的特性
-24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+2411
11
不可避免，无法消除，有互补性 Nhomakorabea7/39
◆粗差与多余观测
1、粗差：因读错、记错、测错造成的错误， 并非误差。
2、多余观测：观测某未知量时进行的多于 必要观测数外的观测。 多余观测为什么不多余？
（为什么要进行多余观测）
目的：发现错误，剔除粗差；
提高观测质量，进行精度评定。
8
二、偶然误差的统计特性
在某测区，等精度观测了217个三角形的 内角之和，得到217个三角形闭合差i(偶然 误差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差 i 进行分析。
第五章 测量误差的基本知识
本章重点： 1、偶然误差的特点 2、评定精度的指标 3、中误差的计算 4、误差传播定律
本章难点： 1、中误差的计算 2、误差传播定律
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一、概 述
1、误差的概念
从测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在
误差，比如： 1)对同一量多次观测，其观测值不相同。 2)观测值不等于理论值：
3
通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境三 个方面综合起来，称为观测条件。观测条件不理想 和不断变化，是产生测量误差的根本原因。
通常把观测条件相同的各次观测，称为等精度观测； 观测条件不同的各次观测，称为不等精度观测。
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3、测量误差的分类
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统 误差和偶然误差。
分析结果表明：当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。
9
误差的区间 个数 k
０“～３＂
30
３“～６＂
21
６“～９＂
15
９“～１２＂ 14
１２“～１
12
１５５“＂～１
8
１８８“＂～２
5
２１１“＂～２
2
２４４“＂～２
1
７ 总＂ 和
108
为正值
k
计算改正、观测方法、仪器检校
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2）偶然误差
在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果 单个误差出现的大小和符号均不一定(无规律)，则这 种误差称为偶然误差，又称为随机误差。例如，用经 纬仪测角时的照准误差，钢尺量距时的读数误差等， 都属于偶然误差。
偶然误差，就其个别值而言，在观测前我们确实 不能预知其出现的大小和符号。但若在一定的观测条 件下，对某量进行多次观测，误差列却呈现出一定的 规律性，称为统计规律。而且，随着观测次数的增加， 偶然误差的规律性表现得更加明显。
三角形 α+β+γ≠180° 闭合水准 ∑h≠0
测量误差(△) =真值（X）- 观测值（L）
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2、测量误差的来源
测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观 测者的技术水平和感官鉴别能力的局限性及仪器本身 构造的不完善等原因，都可能导致测量误差的产生。
所以，测量误差主要来自以下三个方面： (1) 外界条件 主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清
频率
n
k n d
0. 138
0.046
0.097
0.032
0.069
0.023
0.065
0.022
0.055
0.018
0.039
0.012
0.023
0.008
0.009
0.003
0.005
0.002
0.5
0.166
个数 k
29 20 18 16 10 8 6 2 0 109
为负值
k
频率
n
0.134
第一个特性说明偶然误差的“有界性”。它说明偶 然误差的绝对值有个限值，若超过这个限值，说明观 测条件不正常或有粗差存在；第二个特性反映了偶然 误差的“密集性”，即越是靠近0″，误差分布越密集； 第三个特性反映了偶然误差的对称性，即在各个区间 内，正负误差个数相等或极为接近；第四个特性反映 了偶然误差的“抵偿性”，它可由第三特性导出，即 在大量的偶然误差中，正负误差有相互抵消的特征。 因此，当n无限增大时，偶然误差的算术平均值应趋于 零。
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再如，在水准测量时，当视准轴与水准管轴不平行 而产生夹角时，对水准尺的读数所产生的误差为
s i / ，它与水准仪至水准尺之间的距离S
成正比，所以这种误差按某种规律变化。
系统误差具有明显的规律性和累积性，对测量 结果的影响很大。但是由于系统误差的大小和符号 有一定的规律，所以可以采取措施加以消除或减少 其影响。