非线性卡尔曼滤波EKF与UKF

声 wk 是它的参数。非线性函数h反映了状
态变量 xk和观测变量 zk 的关系。
二、扩展卡尔曼滤波器
实际中我们显然不知道每一时刻噪声wk 和 vk 各自的值。 我们可以将它们假设为零，从而估计状态向 量和观测向量为：
x k f x k 1 , uk 1 , 0
和
zk
h x ,0
三、无损卡尔曼滤波器
计算sigma点
^ k 1 x k 1 x k 1 Pk 1
^
x k 1 Pk 1
^
时间更新
(k | k 1) f ( (k 1| k 1), k 1)
ˆ (k | k 1) W m (k | k 1) X i i
UKF通过引入确定样本的方法,用较少的样本
点来表示状态的分布,这些样本点能够准确地
捕获高斯随机变量的均值和协方差矩阵,当其
通过任意非线性函数时,函数输出值能够拟合
真实函数值,精度可以逼近3阶以上。
三、无损卡尔曼滤波器
UKF=Unscented Transform + Kalman Filter
即UKF可以看成是基于UT技术的卡尔曼滤波器。 在卡尔曼滤波算法中，对于一步预测方程，使 用UT变换来处理均值和协方差的非线性传递。
T PXX (k | k ) PXX (k | k 1) K (k )P ( k | k 1) K (k ) YY
四、Matlab仿真
系统方程：
25 x k 1 x k 0.5 x k 1 8cos 1.2 k 1 Q W 2 1 x k 1 x2 k Y k R V 20
三、无损卡尔曼滤波器
• UKF（Unscented Kalman Filter)，中文
释义是无损卡尔曼滤波、无迹卡尔曼滤波或 者去芳香卡尔曼滤波。 • 是无损变换(UT) 和标准Kalman滤波体系 的结合，通过无损变换使非线性系统方程适
用于线性假设下的标准Kalman滤波体系。
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三、无损卡尔曼滤波器
二、扩展卡尔曼滤波器
我们将卡尔曼滤波的公式换一种方式 表示，使其状态方程变为非线性随机差 分方程的形式：
xk f xk 1,uk 1, wk 1
观测方程为：
zk h xk , uk
二、扩展卡尔曼滤波器
• 随机变量 wk 和vk 仍代表过程激励噪声和观
测噪声。 • 状态方程中的非线性函数f将上一时刻k-1 的状态映射到当前时刻k的状态。 • 观测方程中的驱动函数 uk和零均值过程噪
谢谢！
状态
100 80 60 40 20 0
0
50 时间步长
100
150
四、Matlab仿真
由仿真结果可知，UKF有着更高的精度。
UKF是对非线性函数的概率密度分布进行近似，用
一系列确定样本来逼近状态的后验概率密度，而不 是对非线性函数进行近似，不需要求导计算 Jacobian矩阵。 UKF没有线性化忽略高阶项，因此非线性分布统计 量的计算精度较高。
k T k
H P H
k k
T k
x k x K k ( zk h x , 0 )
时刻的观测噪声协方差矩阵（注意下标k 表示 Rk 随时间变化）。
P k I Kk H k P H k 和V是k时刻的测量雅可比矩阵， Rk 是k
k

k
Vk RkV
T k
xk f xk 1 , uk 1 ,0



T T P A P A Q k k k 1 k k 1 k 1 k 1
Ak 是k时刻的过程雅可比矩阵 Qk 是中k时刻的过程激励噪声协方差矩阵。
二、扩展卡尔曼滤波器
• 扩展卡尔曼滤波器状态更新方程
Kk P H
k
非线性卡尔曼滤波器
——EKF与UKF
目录
前言
扩展 卡尔曼滤波
无损 卡尔曼滤波
Matlab仿真
一、前言
• 卡尔曼滤波（Kalman filtering）一种利用线性 系统状态方程，通过系统输入输出观测数据， 对系统状态进行最优估计的算法。 • 适用于线性、离散和有限维系统。
一、前言
• 实际应用中，非线性的现象是十分普遍的，此
i 0 2L
ˆ (k | k 1) Y (k | k 1) Y ˆ (k | k 1) R PYY k | k 1 Wi Y ( k | k 1) Y i i i 0
c
2L
T
K (k ) PXX (k | k 1) P 1YY (k | k 1) ˆ (k | k ) X ˆ (k | k 1) K (k )(Y (k ) Y ˆ (k | k 1)) X
三、无损卡尔曼滤波器
非线性系统模型为：
Y (k ) h( X (k )) (k ) X (k ) f ( X (k 1)) (k 1)
状态初始条件为：
ˆ (0 | 0) E[ X (0 | 0)] X ˆ (0 | 0)( X (0 | 0) X ˆ (0 | 0)T ] PXX (0 | 0) E[ X (0 | 0) X
时就需要采用非线性卡尔曼滤波技术。 • 目前，应用最为广泛的非线性卡尔曼滤波方法 是将非线性方程近似成线性方程，忽略非线性 部分，得到次优状态估计的非线性滤波。 • 扩展卡尔曼滤波器和无迹卡尔曼滤波器
二、扩展卡尔曼滤波器
• 将期望和方差线性化的卡尔曼滤波器称
作 扩 展 卡 尔 曼 滤 波 器 （ Extended Kalman Filter），简称EKF。
k

xk 是过程相对前一时刻k的后验估计。 其中，
二、扩展卡尔曼滤波器
以下给出了扩展卡尔曼滤波器的全部表
达式。 注意我们用 x k 替换 xk 了来表达先验概率 的意思，并且雅可比矩阵A,W,H,V也被加上 了下标，明了它们在不同的时刻具有变化的

值，每次需要被重复计算。
二、扩展卡尔曼滤波器
扩展卡尔曼滤波器时间更新方程
i 0 2L
(k | k 1) h( (k | k 1), k 1)
ˆ (k | k 1) W m (k | k 1) Y i i
i 0 2L
三、无损卡尔曼滤波器
测量更新
ˆ ( k | k 1)) (Y ( k | k 1) Y ˆ( k | k 1)) T ] PXY (k | k 1) Wi c [( i (k | k 1) X i
其中，Q=4，R=1，
W和N分别为互不相关的高斯白噪声
四、Matlab仿真
200 真实值 EKF估 计 值 UKF估 计 值
150
100
状态
50 0 -50 0
50 时间步长
100
150
四、Matlab仿真
200 180 160 140 120 EKF估 计 值 误 差 UKF估 计 值 误 差

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二、扩展卡尔曼滤波器
EKF应用于非线性状态估计系统中已经得到了
学术界认可并为人广泛使用，但这种方法存在 两个缺点： • 当强非线性时，Taylor展开式中被忽略的高 阶项带来大的误差，EKF算法可能发散；
• 由于EKF在线性化处理时需要用雅克比矩
阵，其繁琐的计算过程导致该方法实现相 对困难。