维纳滤波和卡尔曼滤波
[PPT课件]现代信号处理-维纳和卡尔曼滤波
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2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解
2.2.2 维纳—霍夫方程
把k的取值代入(2.2.9)式， 得到：
当k=0时，h1rxx(0)+h2rxx(1)+…+hMrxx(M-1)=rxd(0) k=1时， h1rxx(1)+ h2rxx(0)+…+ hMrxx(M-2)= rxd(+1)
k=M-1时， h1rxx(M-1)+ h2rxx (M-2)+…+hMrxx(0)= rxd(M-1)
(2.2.10)
…
2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解
2.2.2 维纳—霍夫方程 定义 T T h h1, h2 ,, hM , Rxd rxd (0), rxd (1),, rxd (M 1),
rxx (0) rxx (0) Rxx r ( M 1) xx
2.1 引 言
为了得到不含噪声的信号 s(n) ，也称为期望信号， 系统的期望输出用 yd(n)表示，yd(n)应等于信号的真值
若滤波系统的单位脉冲响应为 h(n) （如图 2.1.2 所示）， s(n)；系统的实际输出用y(n)表示，y(n)是s(n)的逼近或
估计，用公式表示为yd(n)=s(n)， y(n) =
因此，维纳滤波器的传输函数H(z)的求解转化为 G(z)的求解。
x(n)
1 B( z)
(n )
G(z)
^ y(n)＝ s (n)
图 2.3.3 维纳滤波解题思路
2.3 离散维纳滤波器的Ｚ域解
2.3.1 非因果维纳滤波器的求解
假设待求维纳滤波器的单位脉冲响应为 ω(n)，期 望信号 d(n)=s(n) ，系统的输出信号 y(n)=s(n) ， g(n) 是 G(z)的逆Z变换， 如图2.3.3所示。
5-2 维纳滤波与卡尔曼滤波---IIR滤波器概论
复习1
基本原理
维纳滤波是如何从噪声观测中最优地估计源信号的 滤波器设计问题。
e(n) d (n) dˆ(n)
E{| e(n) |2} 维纳滤波可用在信号滤波、信号平滑、信号预测和 反卷积积滤波器。
p 1
Wiener-Hopf方程: w(l)rx (k l) rdx (k) k 0,1, 2,..., p 1 l 1 相关值: rx (k l) Ex(n l)x*(n k)
22
§6.3.1、非因果IIR维纳滤波器
2.设在噪声和混响的环境下观测信号x(n)为:
x(n) d(n) v(n)
其中v(n)是方差为1的白噪声,且与d(n)不相关.已知d(n) 是宽平稳的AR(1)过程,其自相关值为:
rd [4, 3.2, 2.56, 2.048]T
试求产生d(n)的最小均方估计的非因果维纳滤波器 H(z);
0.36 0.6 2 w(2) 0.36
w(0)
164
w(1)
w(2)
3 20 9
164
11
FIR维纳滤波器
复习1.一个离散时间信号d(n)和零均值单位方差白噪声v(n)混合产生观测
信号x(n)=d(n)+v(n)，且d(n)与v(n)统计独立，信号的自相关序列为具
有功率谱： rd (k) (0.6)|k| 。试设计一个二阶维纳滤波器来估计d(n)， 并计算最小均方误差。
计算机学院通信工程系
王洪金
1
作 业：下周一上课前交
1. 设观测信号x(n)为一高斯-马尔柯夫信号d(n)与其不 相关的白噪声v(n)的线性叠加。试设计非因果IIR平 滑滤波器从x(n)中估计d(n) 。已知d(n)和v(n)的自相 关函数分别为
讲维纳和卡尔曼滤波 kay的统计信号处理基础
讲维纳和卡尔曼滤波 kay的统计信号处理基础维纳和卡尔曼滤波是两种常用的统计信号处理方法。
维纳滤波是一种线性滤波方法，用于信号的恢复和优化，而卡尔曼滤波则是一种递推滤波方法，用于动态系统状态估计和预测。
它们在信号处理、控制系统、雷达等多个领域都有广泛的应用。
维纳滤波（Wiener Filter）是由美国工程师诺尔伯特·维纳在上世纪四十年代提出的。
它的基本思想是通过最小化估计值与实际值之间的平方误差，来优化信号的恢复。
维纳滤波器是一个线性时不变系统，通过对输入信号进行加权平均来恢复原始信号。
维纳滤波器的权重函数是通过信号的功率谱密度和叠加信号的互功率谱密度来计算的。
当信号和噪声的功率谱密度已知时，维纳滤波器可以恢复出信号的最佳估计。
维纳滤波的数学模型可以表示为：\[ Y(k) = \sum_{n=0}^{N-1}h(n)X(k-n) + V(k) \]其中，Y(k)是输出信号，X(k)是输入信号，h(n)是维纳滤波器的冲激响应，V(k)是噪声。
维纳滤波器的关键是计算出冲激响应h(n)，一般通过信号和噪声的功率谱密度来求解。
维纳滤波器的优点是简单易实现，计算量小，且可以通过对输入信号进行适当的加权平均来降低噪声。
但是，维纳滤波器对噪声和信号的功率谱密度的估计要求较高，对于非线性系统和非高斯噪声的处理效果较差。
相对于维纳滤波器，卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种更为复杂和高级的滤波方法，它由美国数学家鲁道夫·卡尔曼在上世纪五十年代提出，并在航天和导航领域得到了广泛应用。
卡尔曼滤波器是一种递推滤波方法，适用于状态变量随时间演化的动态系统。
卡尔曼滤波的基本思想是通过对系统状态进行递推估计，同时考虑系统的测量值和预测值，并根据它们的权重对估计值进行修正。
卡尔曼滤波器使用线性动力学模型来描述系统的状态变化，并基于高斯分布的统计特性来推导出滤波器的数学公式。
卡尔曼滤波器的数学模型可以表示为：\[ X_{k+1} = AX_k +Bu_k + w_k \]和\[ Z_k = HX_k + v_k \]其中，X_k是系统的状态向量，A是状态转移矩阵，B是输入控制向量，u_k是输入信号，w_k是过程噪声，Z_k是系统的观测向量，H是观测转移矩阵，v_k是观测噪声。
维纳滤波器和卡尔曼滤波器
Rxx
(N
1)
Rxx (N 2)
Rxx (0) h(N 1)
Rxs
(N
1)
……………(7-16)
第16页，此课件共105页哦
简化形式：
RxxH=Rxs
(7-17)
式中，H＝[h(0) h(1) …h(N-1)]′，是待求的单位脉冲响应；
Rxs＝ Rxs (0), Rxs (1),Rxs (N 1)′，是互相关序列；
…………………..(7-14)
N 1
Rxs ( j) hopt (m)Rxx ( j m) m0
j 0,1,2,, N 1
(7-15)
第15页，此课件共105页哦
于是得到N个线性方程：
j0
j 1
j N 1
Rxs (0) h(0)Rxx (0) h(1)Rxx (1) h(N 1)Rxx (N 1) Rxs (1) h(0)Rxx (1) h(1)Rxx (0) h(N 1)Rxx (N 2)
E
e2 (n)
m in
E
(Байду номын сангаас(n)
N 1 m0
hopt
(m)
x(n
m))
2
N 1
N 1 N 1
E[s 2 (n) 2s(n) h(m)x(n m)
hopt (m)x(n m)hopt (r)x(n r)]
m0
m0 r0
N1
N 1
N 1
Rss (0) 2 hopt (m)Rxs (m) hopt (m) hopt (r)Rxx (m r)
若要进一步减小误差可以适当增加维纳滤波的阶数，但相应的计算量也会增加。
第22页，此课件共105页哦
维纳滤波和卡尔曼滤波
维纳滤波和卡尔曼滤波
哇塞！同学们，你们听说过维纳滤波和卡尔曼滤波吗？反正一开始我是完全不知道这俩是啥玩意儿。
就好像在一个神秘的科学王国里，突然冒出来两个奇怪的名字。
维纳滤波，这名字听起来是不是有点像某个超级英雄的技能？可它不是用来拯救世界的，而是在信号处理的世界里大展身手呢！
有一次上科学课，老师讲起维纳滤波，我那叫一个懵啊！老师说它就像是一个超级聪明的小助手，能把那些乱糟糟的信号变得整整齐齐。
我就想，这难道是有魔法吗？比如说，我们听到的广播里有时候会有沙沙的杂音，维纳滤波就能把这些杂音去掉，让声音变得清晰又好听。
这难道不神奇吗？
再说卡尔曼滤波，它就像是一个预测大师。
比如说，我们预测明天会不会下雨，可能不太准。
但卡尔曼滤波就能根据一堆的数据和信息，更准确地预测出一些变化。
我问同桌：“你能明白这俩滤波是咋回事不？”同桌摇摇头说：“我也迷糊着呢！”
后来老师又举了个例子，说维纳滤波好比是个精心整理房间的小管家，把房间里乱七八糟的东西归置得井井有条；卡尔曼滤波呢，就像是个能提前知道你需要什么东西的小精灵，早早地就给你准备好。
哎呀，虽然听了老师这么多例子，我还是觉得这俩滤波有点难理解。
不过我想，只要我努力学习，总有一天能搞清楚它们的！
同学们，你们是不是也和我一样，对维纳滤波和卡尔曼滤波充满了好奇和探索的欲望呢？反正我是下定决心要把它们弄明白啦！。
第2章 维纳滤波和卡尔曼滤波
维纳 滤波器
相关函数
H(z)或h(n)
平稳
解析形式
卡尔曼 滤波器
前一个估 计值和最 近的观察
状态方程 量测方程
状态变量 估计值
平稳或 递推算法 非平稳
60 年代
2018年10月9日星期二
15:38:36
4
153
2.2 维纳滤波器的离散形式—时域解
§2.2 维纳滤波器的离散形式—时域解 2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法 考虑到系统的因果性，即h(n)=0，n<0 （2.2.2） 设期望信号为d(n)，计算误差和均方误差为 e(n)=d(n) －y(n)=s(n) －y(n) （2.2.３） （2.2.４）
15:38:36
24
153
2.2 维纳滤波器的离散形式—时域解
v2(n)是一个零均值的白噪声，它的自相关函数矩阵呈对角形，
且
2 rv2v2 (， 0) 2
因此，输出信号的自相关Ryy为
2018年10月9日星期二
15:38:36
25
153
2.2 维纳滤波器的离散形式—时域解
(3) 计算输出信号与期望信号的互相关函数矩阵。 由于两个信 号都是实信号，故 ryd(m)=E［y(n)d(n-m)］=E［y(n)x1(n-m)］ =E［(x(n)+v2(n))x1(n-m)］=E［x(n)x1(n-m)］ m=0, 1 根据图2.2.2系统H2(z)的输入与输出的关系, 有 x1(n)-b1x(n-1)=x(n) 这样 x1(n)=x(n)+b1x(n-1)
2018年10月9日星期二 15:38:的离散形式—时域解
% 滤波 y = filter(Wopt, 1, x); % 误差 En = d - y'; % 结果 figure, plot(n, d, 'r:', n, y, 'b-'); legend('维纳滤波信号真值','维纳滤波估计值'); title('期望信号 与滤波结果对比'); xlabel('观测点数');ylabel('信号幅度');figure, plot(n , En); title('维纳滤波误差曲线'); xlabel('观测点数');ylabel('误差幅度'); toc
第二章—维纳滤波和卡尔曼滤波
H
c
(z)
2
1 B(
z)
[
Ssx (z) B(z 1 )
]
• 计算步骤如下：
•
(1)对
S xx
(z)
进行谱分解（因式分解）
S
x
x
(
z)
2
B(
z)
B(
z
1
)
• (2)对 Ssx (z)
进行因果和逆因果分解
B(z 1 )
Ssx (z) B(z 1 )
[
Ssx (z B(z 1
) )
]
[
Ssx (z B(z 1
N
• 称y(n) 是 sˆ(n)的估计值。 h(n) 为估计器。这种滤波器
称为最佳滤波器。
• 如果：s(n) 和 v(n) 的谱在频域上是分离的，容易设计一个
线性滤波器抑制噪声并提取信号。这是本科中经典数字信号 处理理论中详细讨论过的数字滤波器的设计问题。但是
• s(n) 和 v(n) 的谱有一部分相互重叠，则问题就要复杂的
E[e(n) x(n j)] 0
• 上式称为正交方程。（这是讲当用两个矢量正交时它们的 点乘等于零的关系，正交性原理可借用几何图形表示）
• 可见，满足正交性原理与满足最小均方误差的条件是等价
的。由图知，sˆ(n) 最满足最小均方误差的估计值。
• 正交方程表明，任何时刻的估计误差与用于估计的所有数 据（即滤波器的输入）正交。
• （2）
Ssx (z) B( z 1 )
[
Ssx (z B( z 1
) )
]
[
Ssx (z B( z 1
) )
]
0.36
(1 0.8z 1 )(1 0.8z)
维纳滤波与卡尔曼滤波
第二章 维纳滤波与卡尔曼滤波§2.1 引言信号处理的实际问题，常常是要解决在噪声中提取信号的问题，因此，我们需要寻找一种所谓有最佳线性过滤特性的滤波器。
这种滤波器当信号与噪声同时输入时，在输出端能将信号尽可能精确地重现出来，而噪声却受到最大抑制。
维纳(Wiener)滤波与卡尔曼(Kalman)滤波就是用来解决这样一类从噪声中提取信号问题的一种过滤(或滤波)方法。
实际上这种线性滤波问题，可以看成是一种估计问题或一种线性估计问题。
一个线性系统，如果它的单位样本响应为h (n )，当输入一个随机信号x (n )，且)()()(n n s n x υ+=(2.1)其中s (n )表示信号，)(n υ表示噪声，则输出y (n )为∑-=mm n x m h n y )()()((2.2)我们希望x (n )通过线性系统h (n )后得到的y (n )尽量接近于s (n )，因此称y (n )为s (n )的估计值，用)(ˆn s表示，即)(ˆ)(n sn y = (2.3)图2.1 维纳滤波器的输入—输出关系如图2.1所示。
这个线性系统)(⋅h 称为对于s (n )的一种估计器。
实际上，式(2.2)的卷积形式可以理解为从当前和过去的观察值x (n )，x (n -1)，x (n -2)…x (n -m )，…来估计信号的当前值)(ˆn s。
因此，用)(⋅h 进行过滤的问题可以看成是一个估计问题。
由于我们现在涉及的信号是随机信号，所以这样一种过滤问题实际上是一种统计估计问题。
一般，从当前的和过去的观察值x (n )，x (n -1)，x (n -2)，…估计当前的信号值)(ˆ)(n s n y =称为过滤或滤波；从过去的观察值，估计当前的或将来的信号值)0)((ˆ)(≥+=N N n sn y 称为预测或外推；从过去的观察值，估计过去的信号值)1)((ˆ)(>-=N N n sn y 称为平滑或插。
维纳滤波与卡尔曼滤波
FIR : IIR :
0 ~ M 1 ~ （非因果）； 0 ~ （因果）
11
定义
第 四 章 维 纳 滤 波 和 卡 尔 曼 滤 波
h1 h2 h hM rxx (0) rxx (0) Rxx r ( M 1) xx
8
4.2 维纳滤波器的离散形式—时域解
第 四 章 维 纳 滤 波 和 卡 尔 曼 滤 波
x ( n) s ( n) v ( n)
i
（加性干扰）
ˆ(n) h(i ) x(n i ) x(n) h(n) y ( n) s ˆ( n ) ] 均方误差： (n) E[e (n)] E[ s (n) s
第 四 章 维 纳 滤 波 和 卡 尔 曼 滤 波
例
设y(n)=x(n)+v2(n)，v2(n)是一白噪声，方差
σ22=0.1 。期望信号 x1(n) 的信号模型如图 (a) 所示， 其中白噪声 v1(n) 的方差 σ21=0.27 ，且 b0=0.8458 。
x(n)的信号模型如图（b）所示，b1=0.9458。假定
rxd (0) rxd (1) Rxd rxd ( M 1) rxx ( M 1) rxx (0) rxx ( M 2) rxx ( M 2) rxx (0) rxx (1)
12
第 四 章 维 纳 滤 波 和 卡 尔 曼 滤 波
* 2 * T h ( k ) r ( k ) ( h ) Rxd xd d
1 d2 ( Rdx )H Rxx Rdx
可以看出，均方误差与滤波器的单位脉冲响应是一个 二次函数关系。由于单位脉冲响应h(n) 为M维向量， 因此均方误差是一个超椭圆抛物形曲面，该曲面有极 小点存在。当滤波器工作于最佳状态时，均方误差取 得最小值。 16
维纳滤波和卡尔曼滤波
2.2 维纳滤波器旳离散形式－－时域解
维纳滤波器设计旳任务就是选择 h(n),使其输出信号 y(n) 与期望信号 d (n)误差旳均方值最小，实质是解维纳－霍夫方程。
2.2.1维纳滤波器时域求解旳措施
假设滤波系统 h(n)是一种线性时不变系统，它旳h(n)和输 入信号都是复函数，设
h(n) a(n) jb(n)
系统实际输出： y(n) 。 y(n) sˆ(n) 1
预测：已知过去旳观察值 x(n 1), x(n 2), , x(n m)，估计 目前及后来时刻旳信号值 sˆ(n N ) , N 0 。 滤波：已知目前和过去旳观察值 x(n), x(n 1), , x(n m) ，
估计目前旳信号sˆ(n) 。
卡尔曼滤波是20世纪60年代由卡尔曼提出旳。
2
维纳滤波和卡尔曼滤波比较：
共同点：都处理最佳线性滤波和预测问题，都以均方误差最 小为最优准则，平稳条件下它们得到旳稳态成果一致。 不同点： (1)维纳滤波根据 x(n), x(n 1), , x(n m) 估计信号旳目前值，
它旳解以系统旳系统函数H (z)或单位脉冲响应h(n)形式给出。
M 1
i0
h(i)x(n
i)
17
E
e(n)
2
E
d
(n)
2
M 1
k 0
h
(k
)E
x
(n
k)d
(n)
M 1
M 1 M 1
h(i)E x(n i)d (n) h(k)h(i)E[x*(n k)x(n i)]
i0
k0 i0
M 1
M 1(k
19
2.3离散维纳滤波旳Z域解
时域求解Wiener滤波器很困难，用Z域求解。又因为实际旳系统是因果旳，
实验五不同滤波器的比较
实验五不同滤波器的比较比较维纳滤波器、卡尔曼滤波器、匹配滤波器、自适应滤波器的异同一、维纳滤波器维纳滤波器是由数学家维纳提出的一种以最小平方为最优准则的线性滤波器。
在一定的约束条件下，其输出与一给定函数（通常称为期望输出）的差的平方达到最小，通过数学运算最终可变为一个托布利兹方程的求解问题。
维纳滤波是利用平稳随机过程的相关特性和频谱特性对混有噪声的信号进行滤波的方法。
设维纳滤波器的输入为含噪声的随机信号。
期望输出与实际输出之间的差值为误差，对该误差求均方，即为均方误差。
因此均方误差越小，噪声滤除效果就越好。
为使均方误差最小，关键在于求冲激响应。
如果能够满足维纳－霍夫方程，就可使维纳滤波器达到最佳。
根据维纳－霍夫方程，最佳维纳滤波器的冲激响应，完全由输入自相关函数以及输入与期望输出的互相关函数所决定。
维纳滤波器的优点是适应面较广，无论平稳随机过程是连续的还是离散的，是标量的还是向量的，都可应用。
对某些问题，还可求出滤波器传递函数的显式解，并进而采用由简单的物理元件组成的网络构成维纳滤波器。
维纳滤波器的缺点是，要求得到半无限时间区间内的全部观察数据的条件很难满足，同时它也不能用于噪声为非平稳的随机过程的情况，对于向量情况应用也不方便。
因此，维纳滤波在实际问题中应用不多。
实现维纳滤波的要求是：①输入过程是广义平稳的；②输入过程的统计特性是已知的。
根据其他最佳准则的滤波器亦有同样要求。
二、卡尔曼滤波器卡尔曼滤波是一种高效率的递归滤波器(自回归滤波器), 它能够从一系列的不完全及包含噪声的测量中，估计动态系统的状态。
状态估计是卡尔曼滤波的重要组成部分。
一般来说，根据观测数据对随机量进行定量推断就是估计问题，特别是对动态行为的状态估计，它能实现实时运行状态的估计和预测功能。
最常用的是最小二乘估计，线性最小方差估计、最小方差估计、递推最小二乘估计等。
卡尔曼提出的递推最优估计理论，采用状态空间描述法，在算法采用递推形式，卡尔曼滤波能处理多维和非平稳的随机过程。
卡尔曼滤波与维纳滤波在信号处理中的应用研究
卡尔曼滤波与维纳滤波在信号处理中的应用研究
卡尔曼滤波是一种线性的、递归的滤波算法，它能够对信号的状态进行估计和预测。
卡尔曼滤波是基于贝叶斯估计理论的一种优化方法，它不仅可以有效地消除噪声和偏差，还可以根据已有的历史数据对信号进行预测。
卡尔曼滤波广泛应用于航空航天、控制理论、信号处理等领域，是一种非常有效的信号处理算法。
维纳滤波是一种信号处理中最常用的滤波算法之一，它能够根据现有数据对信号进行优化处理，消除噪声和干扰，实现信号的恢复和重建。
维纳滤波利用了信号和噪声的统计特性，根据信号的功率谱和噪声的功率谱来进行滤波处理。
维纳滤波不仅可以用于图像处理、语音处理等多种信号处理领域，还可以应用于雷达信号处理、无线通信等工程实践中。
在实际应用中，卡尔曼滤波和维纳滤波通常结合使用，以获得更为准确和可靠的信号处理效果。
如在雷达信号处理中，利用卡尔曼滤波进行预测和估计，再经过维纳滤波进行优化处理，可以有效地消除噪声和干扰，获得高质量的信号信息。
在图像处理中，卡尔曼滤波和维纳滤波也可以结合使用，以实现图像的优化重建和增强。
总的来说，卡尔曼滤波和维纳滤波在信号处理中的应用非常广泛，可以有效地消除噪声和干扰，提高信号和数据的质量和可靠性，对于工程实践和科学研究都具有重要意义。
第二章 维纳滤波与卡尔曼滤波
k0
xs (k ) h0 pt * xx (k )
又称互相关定理
共128页 12
解Wiener-Hopf 方程 存在的问题及解决的思路
存在的问题： 1。假设设计的是因果系统，由于存在 k>0的约 束条件，卷积定理（双边Z变换）不能用。 2。实际物理系统为因果系统。 解决思路： 1。设计一个非因果性系统（滤波器）。 2。用有限长的因果序列h(n)来逼近hopt(n).实 质为设计FIR型滤波器。
s (k ) g opt (k ) 0
共128页
k
31
s (k ) g opt (k ) 2
k
Gopt ( z )
1
2
s ( z )
s ( z ) B( z )
32
G( z ) 1 H opt ( z ) 2 B( z )
共128页 5
2.2 维纳滤波器的离散形式(I) —— 时域解
ˆ(n) h(m) x(n m) y(n) s
m
h(n)=0
当n<0， 因果系统
ˆ(n) h(m) x(n m) y ( n) s
m 0
ˆ(n) hi xi 为表示简单，记：s
共128页
i 1
Es(n) (n m) 0
xs (m) Ex(n)s(n m) Es(n) (n) s(n m) Es(n)s(n m) ss (m) xx ( z ) ss ( z ) ( z )
X ( z ) B( z )W ( z )
1 W ( z) X ( z) B( z ) 则维纳滤波器的设计变为：
维纳滤波和卡尔曼滤波的联系与区别
随机信号或随机过程(random process)是普遍存在的。
一方面，任何确定性信号经过测量后往往就会引入随机性误差而使该信号随机化；另一方面，任何信号本身都存在随机干扰，通常把对信号或系统功能起干扰作用的随机信号称之为噪声。
噪声按功率谱密度划分可以分为白噪声（white noise ）和色噪声（color noise ），我们把均值为0的白噪声叫纯随机信号（pure random signal ）。
因此，任何其它随机信号都可看成是纯随机信号与确定性信号并存的混合随机信号或简称为随机信号。
要区别干扰（interference ）和噪声( noise)两种事实和两个概念。
非目标信号（nonobjective signal ）都可叫干扰。
干扰可以是确定信号，如国内的50Hz 工频干扰。
干扰也可以是噪声，纯随机信号（白噪声）加上一个直流成分（确定性信号），就成了最简单的混合随机信号。
医学数字信号处理的目的是要提取包含在随机信号中的确定成分，并探求它与生理、病理过程的关系，为医学决策提供一定的依据。
例如从自发脑电中提取诱发脑电信号，就是把自发脑电看成是干扰信号，从中提取出需要的信息成分。
因此我们需要寻找一种最佳线性滤波器，当信号和干扰以及随机噪声同时输入该滤波器时，在输出端能将信号尽可能精确地表现出来。
维纳滤波和卡尔曼滤波就是用来解决这样一类问题的方法：从噪声中提取出有用的信号。
实际上，这种线性滤波方法也被看成是一种估计问题或者线性预测问题。
由当前时刻的观测值和过去时刻的观测值、、…的估计值。
用当前的和过去的观测值来估计当前的信号称为滤波；用过去的观测值来估计当前的或将来的信号，N ，称为预测；用过去的观测值来估计过去的信号，N ，称为平滑或者内插。
本章将讨论滤波和预测问题。
维纳滤波和卡尔曼滤波都是解决线性滤波和预测问题的方法，并且都是以均方误差最小为准则的，在平稳条件下两者的稳态结果是一致的。
但是它们解决问题的方法有很大区别。
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E
e(n)
2
E
s
sˆ
2
最小
3、本章讨论的主要内容
主要内容：维纳滤波器（FIR维纳滤波器和 IIR维纳滤波器）、维纳预测器、卡尔曼滤 波。
分析思路：在均方误差最小的前提下，求得
系统的单位脉冲响应h(n)或传递函数H(z)，
进而计算滤波器的最小均方误差 E[| e(n) |2 ]min
min
s
e s sˆ
w1x1 0
w2x2
x1
sˆ
x2
正交性原理的重要意义：提供了一个数学方法，用以判 断线性滤波系统是否工作于最佳状态。
2、 维纳—霍夫方程
E[x*(n k)eopt (n)] 0, k 0,1, 2,...
E
x(n
k)
d (n)
hopt,i x(n
i)
*
0
i0
将输入信号分配进去， 得到
（2.2.22）式可以写成矩阵形式， 即
对上式求逆，得到
Rxd Rxxh
h hopt Rxx1Rxd
➢ 这里涉及到计算相关矩阵和逆矩阵，计算量可能较大。
FIR维纳滤波器的估计误差的均方值
假定所研究的信号都是零均值的，滤波器为FIR型，长度
等于M，
E[|
e(n)
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
2.1 引言 2.2 离散维纳滤波器的时域解 2.3 离散维纳滤波器的z域解 2.4 维纳预测 2.5 卡尔曼(Kalman)滤波
2.1 引 言
最优滤波 维纳滤波和卡尔曼滤波简介 本章讨论的主要内容
1、最优滤波
信号处理的目的是从噪声中提取信号，得到不受 干扰影响的真正信号。采用的处理系统称为滤波 器。
e(n)
j
e(n) bk
e* (n)
j
e* (n) bk
e(n)
又
e(n) s(n) y(n) s(n) hk x(n k) k 0
s(n) a(k) jb(k) x(n k) k 0
e(n) x(n k) ak e(n) jx(n k) bk e*(n) x*(n k) ak e*(n) jx*(n k) bk
最优准则： ➢最大输出信噪比准则－>匹配滤波器 ➢最小均方误差准则 E[| e(n) |2 ]min ➢误差绝对值的期望值最小 E[| e(n) |]min ➢误差绝对值的三次或高次幂的期望值最小 E[| e(n) |k ]min
Wiener滤波器的一般结构
x(n)=s(n)+v(n)
y(n) sˆ(n) h(m)x(n m)
将上述4式代入得
k J n k E[| e(n) |2] 2E[x*(n k)e(n)]
正交性原理：
k J n 0 E[x*(n k)eopt (n)] 0, k 0,1, 2,...
➢ 分析：上式说明，若使滤波器的均方误差达到最小，则误差 信号与输入信号正交，这就是通常所说的正交性原理。
J n J n 0
hk
E[| e(n) |2 ] j E[| e(n) |2] 0 k=0, 1, 2, …
ak
bk
记梯度算子为
k
ak
j
bk
k=0, 1, 2, …
Eene* n Eene* n
k J n
ak
j
bk
上式展开为
k E[|
e(n)
|2 ]
E
e(n)
ak
e* (n)
e* (n) ak
M 1
rxd (k) h(i)rxx (k i) i0
k=0, 1, 2, …,M-1
(2.2.21)
把k的取值代入(2.2.21)式， 得到
当k=0时，h0rxx(0)+h1rxx(-1)+…+hM-1rxx(-M+1)=rxd (0) 当k=1时，h0rxx(1)+ h1rxx(0)+…+ hM-1rxx(-M+2)= rxd (1) 当k=M-1时，h0rxx(M-1)+ h1rxx (M-2)+…+hM-1rxx(0)= rxd (M-1)
(2.2.22)
…
定义
h0
h
h1 M
hM 1
rxd (0)
Rxd
rxd (1) M
rxd (M 1)
rxx
(0)Leabharlann Rxxrxx (1)
M
rxx (M 1)
rxx (1) L
rxx (M
1)
rxx (0) L rxx (M 2)
M
M
rxx (M 2) rxx (0)
E
e(n)
2
hopt
(n)
E
e(n)
2
min
2.2 离散维纳滤波器的时域解
正交性原理 维纳—霍夫方程 FIR维纳滤波器的时域解
1、 维纳滤波器时域求解的方法
因果维纳滤波器的输出y(n) ：
y(n) sˆ(n) x(n) h(n) hk x(n k) n=0,1, 2, … k 0
滤波器的分类： ➢ 线性滤波器、非线性滤波器； ➢ FIR滤波器、IIR滤波器； ➢ 时域滤波器、频域滤波器；
s(n)
x(n)
y(n)
h(n)
v(n) 图 2.1.1 信号处理的一般模型
x(n)=s(n)+v(n)
y(n) sˆ(n) x(n) h(n) h(m)x(n m)
m
e(n) s(n) y(n) s(n) sˆ(n)
设期望信号为d(n)，误差信号e(n)及其均方值E［|e(n)|2］分别为
e(n)=d(n)-y(n)=s(n)-y(n)
代价函数为 J (n) E[| e(n) |2 ] E[e(n)e*(n)]
h(k) ak jbk , k 0,1, 2,...
要使均方误差为最小，须满足
min J (n) hk
rdx (k)
h* opt ,i
rxx (i k)
i0
k=0, 1, 2, …
➢ 维纳-霍夫（Wiener－Hopf）方程：
rxd (k ) hopt,irxx (k i) i0
k=0, 1, 2, …
3、FIR维纳滤波器的时域解
FIR维纳滤波器的维纳-霍夫方程
当h(n)是一个长度为M的因果序列时，FIR维纳滤波器的维 纳-霍夫方程表述为
m
e(n) s(n) y(n) E[| e(n) |2 ]min
2、维纳滤波和卡尔曼滤波简介
维纳(Wiener)滤波与卡尔曼(Kalman)滤波以估计的 结果与信号真值之间的误差的均方值最小作为最 优准则。
假设信号的真值与估计值间的误差为：
e(n) s(n) sˆ(n)
均方误差最小即误差的平方的统计平均值最小：