人教版初中数学八年级下册19.2.2
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19.2.2一次函数——待定系数法求一次函数解析式教案2022-2023学年人教版八年级下册数学
19.2.2 一次函数——待定系数法求一次函数解析式教案引言本教案旨在教授八年级下册数学课程中的一次函数待定系数法求解问题。
一次函数是初等数学中最基本的函数之一，待定系数法则是解决一次函数问题中常用的一种方法。
本教案将帮助学生掌握待定系数法的基本原理，并通过具体例题的讲解，引导学生能够独立解决一次函数问题，并运用所学知识解决实际生活中的问题。
目标•理解一次函数的概念及特征•掌握待定系数法求解一次函数的步骤和方法•能够独立解决一次函数相关问题•运用所学知识解决实际问题教学内容1.一次函数回顾2.待定系数法求一次函数解析式的步骤和方法3.实例分析与解题训练4.应用案例分析教学步骤一、一次函数回顾1.提问：什么是一次函数？2.引导学生回顾一次函数的定义和示例，并讨论函数的特征。
二、待定系数法求一次函数解析式的步骤和方法1.引入待定系数法的概念，解释其基本原理。
2.解释待定系数法的求解步骤：–步骤一：列方程–步骤二：解方程–步骤三：找到解析式3.用具体例子演示待定系数法的求解过程，并解释其中的关键步骤和技巧。
三、实例分析与解题训练1.展示一些具体的一次函数问题，并引导学生运用待定系数法解决这些问题。
2.让学生分组进行练习，相互交流并解答问题。
四、应用案例分析1.提供一些实际生活中的问题，要求学生运用所学知识解决这些问题。
2.引导学生思考如何用一次函数和待定系数法来建立模型和解决问题。
总结与反思通过本节课的学习，学生应该对一次函数的特点和待定系数法有较为全面的理解，并能够灵活运用待定系数法解决一次函数问题。
同时，学生应该能够将所学知识运用到实际生活中，解决与一次函数相关的问题。
希望学生们能够通过课后的复习和实践，进一步巩固所学内容，并提升自己的问题解决能力。
课后作业1.自选一个实际生活中的问题，并用一次函数和待定系数法解决。
2.阅读教材相关章节，复习一次函数的相关知识。
注意：以上内容仅供参考，老师可以根据班级实际情况和教学需要进行适当调整。
人教版八年级数学下19.2.2一次函数公开课教学设计
2.学生思考：让学生独立思考，尝试解决这个问题。
3.导入新课：通过这个问题，我们可以发现费用与行驶公里数之间存在一种线性关系。这种关系就是我们今天要学习的一次函数。
（二）讲授新知
在讲授新知环节，我将通过以下步骤帮助学生掌握一次函数的定义、图像特点及其性质。
1.一次函数的定义：介绍一次函数的一般形式y=kx+b（k≠0），解释k、b的几何意义。
-学生在教师的指导下，运用教育软件辅助学习，提高学习效率。
3.注重学生个体差异，实施有针对性的教学策略。
-教师根据学生的认知水平、学习兴趣等个体差异，设计不同难度的练习题，满足不同层次学生的需求。
-教师关注学生在学习过程中的困惑，及时给予指导和鼓励，帮助学生克服困难，提高自信心。
（三）情感态度与价值观
五、作业布置
为了巩固学生对一次函数知识的掌握，提高学生的应用能力和解决问题的能力，特此布置以下作业：
1.必做题：
-根据教材第19.2.2节的内容，完成课后练习题1、2、3。
-利用描点法绘制y=3x-2的图像，并分析其性质。
-在生活中找到一个一次函数的实际例子，并说明其k值和b值的实际意义。
2.选做题（至少选做2题）：
3.培养学生勇于探索、积极进取的精神品质。
-学生在面对数学问题时，敢于尝试，勇于探索，不怕困难，坚持不懈。
-学生在解决问题的过程中，体验成功的喜悦，激发积极进取的精神品质。
二、学情分析
八年级学生经过前期的数学学习，已经具备了一定的数学基础知识和技能，对函数的概念有了初步的认识。在此基础上，学生对一次函数的学习将面临以下挑战：
1.培养学生对数学的兴趣和热爱，树立正确的数学观念。
-学生在学习过程中，感受数学的简洁美、逻辑美，提高数学学习兴趣。
3.导入新课：通过这个问题，我们可以发现费用与行驶公里数之间存在一种线性关系。这种关系就是我们今天要学习的一次函数。
（二）讲授新知
在讲授新知环节，我将通过以下步骤帮助学生掌握一次函数的定义、图像特点及其性质。
1.一次函数的定义：介绍一次函数的一般形式y=kx+b（k≠0），解释k、b的几何意义。
-学生在教师的指导下，运用教育软件辅助学习，提高学习效率。
3.注重学生个体差异，实施有针对性的教学策略。
-教师根据学生的认知水平、学习兴趣等个体差异，设计不同难度的练习题，满足不同层次学生的需求。
-教师关注学生在学习过程中的困惑，及时给予指导和鼓励，帮助学生克服困难，提高自信心。
（三）情感态度与价值观
五、作业布置
为了巩固学生对一次函数知识的掌握，提高学生的应用能力和解决问题的能力，特此布置以下作业：
1.必做题：
-根据教材第19.2.2节的内容，完成课后练习题1、2、3。
-利用描点法绘制y=3x-2的图像，并分析其性质。
-在生活中找到一个一次函数的实际例子，并说明其k值和b值的实际意义。
2.选做题（至少选做2题）：
3.培养学生勇于探索、积极进取的精神品质。
-学生在面对数学问题时，敢于尝试，勇于探索，不怕困难，坚持不懈。
-学生在解决问题的过程中，体验成功的喜悦，激发积极进取的精神品质。
二、学情分析
八年级学生经过前期的数学学习，已经具备了一定的数学基础知识和技能，对函数的概念有了初步的认识。在此基础上，学生对一次函数的学习将面临以下挑战：
1.培养学生对数学的兴趣和热爱，树立正确的数学观念。
-学生在学习过程中，感受数学的简洁美、逻辑美，提高数学学习兴趣。
人教版八年级数学下册19.2.2一次函数的概念优秀教学案例
本节课的教学目标是通过实例让学生理解一次函数的概念，掌握一次函数的性质，并能运用一次函数解决实际问题。为了达到这个目标，我设计了以下教学步骤：
1.通过生活实例引入一次函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.引导学生通过观察、分析、归纳一次函数的性质，加深对一次函数的理解。
3.运用一次函数解决实际问题，提高学生的应用能力。
五、案例亮点
1.生活实例引入：通过生动的打车软件费用计算实例，将一次函数的概念与学生的生活实际紧密联系起来，增强了学生的学习兴趣，提高了学生的课堂参与度。
2.问题导向：本节课以问题为导向，引导学生主动探究一次函数的性质，激发了学生的求知欲和自主学习能力，培养了学生的批判性思维。
3.小组合作：通过小组合作讨论，学生不仅能够共享彼此的知识和经验，还能培养团队合作意识和沟通能力，提高了学习效果。
3.运用一次函数解决实际问题，提高学生的应用能力，培养学生的实践操作能力。
4.采用小组合作、讨论交流的形式，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的热爱，激发学生学习数学的兴趣，树立学生学习数学的自信心。
2.通过对一次函数的学习，使学生体会数学的严谨性、逻辑性，培养学生的求真精神。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性的问题，引导学生进行小组讨论，探究一次函数的性质。
2.鼓励学生提出疑问，引导学生敢于挑战权威，培养学生的批判性思维。
3.教师巡回指导，及时解答学生在讨论过程中遇到的问题。
（四）总结归纳
1.让学生回顾本节课所学内容，总结一次函数的概念、性质和解法。
2.引导学生通过归纳总结，提高对一次函数的理解和记忆。
在教学过程中，我将注重启发式教学，引导学生主动探究，培养学生的动手操作能力和思维能力。同时，关注学生的个体差异，给予不同程度的学生适当的指导，使他们在课堂上都能有所收获。课后，及时进行教学反思，不断调整教学策略，以提高教学效果。
1.通过生活实例引入一次函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.引导学生通过观察、分析、归纳一次函数的性质，加深对一次函数的理解。
3.运用一次函数解决实际问题，提高学生的应用能力。
五、案例亮点
1.生活实例引入：通过生动的打车软件费用计算实例，将一次函数的概念与学生的生活实际紧密联系起来，增强了学生的学习兴趣，提高了学生的课堂参与度。
2.问题导向：本节课以问题为导向，引导学生主动探究一次函数的性质，激发了学生的求知欲和自主学习能力，培养了学生的批判性思维。
3.小组合作：通过小组合作讨论，学生不仅能够共享彼此的知识和经验，还能培养团队合作意识和沟通能力，提高了学习效果。
3.运用一次函数解决实际问题，提高学生的应用能力，培养学生的实践操作能力。
4.采用小组合作、讨论交流的形式，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的热爱，激发学生学习数学的兴趣，树立学生学习数学的自信心。
2.通过对一次函数的学习，使学生体会数学的严谨性、逻辑性，培养学生的求真精神。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性的问题，引导学生进行小组讨论，探究一次函数的性质。
2.鼓励学生提出疑问，引导学生敢于挑战权威，培养学生的批判性思维。
3.教师巡回指导，及时解答学生在讨论过程中遇到的问题。
（四）总结归纳
1.让学生回顾本节课所学内容，总结一次函数的概念、性质和解法。
2.引导学生通过归纳总结，提高对一次函数的理解和记忆。
在教学过程中，我将注重启发式教学，引导学生主动探究，培养学生的动手操作能力和思维能力。同时，关注学生的个体差异，给予不同程度的学生适当的指导，使他们在课堂上都能有所收获。课后，及时进行教学反思，不断调整教学策略，以提高教学效果。
19.2.2待定系数法求一次函数的解析式(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解待定系数法的原理：使学生掌握待定系数法的基本原理，了解为何可以通过待定系数法求解一次函数的解析式。
举例：讲解待定系数法时，以一次函数y=kx+b为例，解释如何通过设定待定系数k和b，利用已知条件求解出k和b的值，从而得到一次函数的解析式。
（2）掌握待定系数法的步骤：指导学生按照步骤进行求解，提高解题能力。
2.教学难点
（1）从实际问题中抽象出一次函数模型：对于部分学生来说，将实际问题转化为数学模型具有一定难度。
难点解析：教师需要引导学生分析题意，找出已知条件和未知量，从而建立一次函数模型。
（2）列出方程组：在求解过程中，列出正确的方程组是关键。
难点解析：教师可以通过示例，讲解如何根据已知条件列出方程组，并强调方程组中每个方程的含义。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对待定系数法的概念和求解过程的理解普遍较好。他们在分组讨论和实践活动中表现出较高的积极性，能够将所学知识应用到解决实际问题中。然而，我也注意到一些需要改进的地方。
首先，部分学生在构建方程组时，对于如何将已知条件转化为方程还存在一定的困扰。在今后的教学中，我需要更加注重引导学生分析题意，明确已知条件和未知量，以便他们能够更准确地构建方程组。
在课堂总结环节，学生们对于待定系数法的应用有了更加明确的认识。但我也意识到，对于一些基础较弱的学生，他们可能还需要更多的时间来消化和吸收所学知识。因此，我将在课后关注这部分学生的学习情况，提供有针对性的辅导，帮助他们弥补知识漏洞。
步骤包括：
①根据题意列出已知条件；
②设出待定系数，构建一次函数的一般形式；
③将已知条件代入，列出方程组；
④解方程组，求出待定系数的值；
1.教学重点
（1）理解待定系数法的原理：使学生掌握待定系数法的基本原理，了解为何可以通过待定系数法求解一次函数的解析式。
举例：讲解待定系数法时，以一次函数y=kx+b为例，解释如何通过设定待定系数k和b，利用已知条件求解出k和b的值，从而得到一次函数的解析式。
（2）掌握待定系数法的步骤：指导学生按照步骤进行求解，提高解题能力。
2.教学难点
（1）从实际问题中抽象出一次函数模型：对于部分学生来说，将实际问题转化为数学模型具有一定难度。
难点解析：教师需要引导学生分析题意，找出已知条件和未知量，从而建立一次函数模型。
（2）列出方程组：在求解过程中，列出正确的方程组是关键。
难点解析：教师可以通过示例，讲解如何根据已知条件列出方程组，并强调方程组中每个方程的含义。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对待定系数法的概念和求解过程的理解普遍较好。他们在分组讨论和实践活动中表现出较高的积极性，能够将所学知识应用到解决实际问题中。然而，我也注意到一些需要改进的地方。
首先，部分学生在构建方程组时，对于如何将已知条件转化为方程还存在一定的困扰。在今后的教学中，我需要更加注重引导学生分析题意，明确已知条件和未知量，以便他们能够更准确地构建方程组。
在课堂总结环节，学生们对于待定系数法的应用有了更加明确的认识。但我也意识到，对于一些基础较弱的学生，他们可能还需要更多的时间来消化和吸收所学知识。因此，我将在课后关注这部分学生的学习情况，提供有针对性的辅导，帮助他们弥补知识漏洞。
步骤包括：
①根据题意列出已知条件；
②设出待定系数，构建一次函数的一般形式；
③将已知条件代入，列出方程组；
④解方程组，求出待定系数的值；
人教版数学八年级下册19.2.2一次函数(第2课时)优秀教学案例
（二）问题导向
在教学过程中，我会提出一系列问题，引导学生思考和探究。例如：“一次函数的表达式是什么？它有什么特点？”“一次函数的图像是什么样子的？它与一次函数的性质有什么关系？”通过这些问题，激发学生的思维，培养学生的解决问题能力。
（三）小组合作
在学生掌握一次函数的性质后，我会组织学生进行小组合作，共同探讨一次函数在实际生活中的应用。每个小组可以选择一个实际问题，运用一次函数的知识进行解决。通过小组合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
3.小组合作的学习方式：在学生掌握一次函数的性质后，我组织了小组合作活动，让学生共同探讨一次函数在实际生活中的应用。这种小组合作的学习方式培养了学生的团队协作能力和沟通能力，使他们在讨论和解决问题中能够相互学习和共同进步。
4.反思与评价的环节：在课程的最后，我让学生进行反思和评价，回顾自己在这节课中学到了什么，有什么收获和感悟。这种反思与评价的环节使学生能够总结经验，提高学习能力。同时，我也对学生的学习情况进行评价，注重培养学生的思维能力、创新能力和合作能力。
人教版数学八年级下册19.2是“人教版数学八年级下册19.2.2一次函数（第2课时）”，在上一课时中，学生已经初步了解了什么是一次函数，以及一次函数的表达式。本课时，我将引导学生深入学习一次函数的性质，包括单调性、截距等，并通过实例让学生理解一次函数在实际生活中的应用。
（二）讲授新知
在讲授新知环节，我会结合教材和教学资源，系统地讲解一次函数的性质，包括单调性、截距等。在讲解过程中，我会运用生动的例子和动画演示，帮助学生直观地理解一次函数的性质。同时，我会鼓励学生积极参与，提问和解答疑问，确保学生对一次函数的知识有深入的理解。
（三）学生小组讨论
在学生掌握一次函数的性质后，我会组织学生进行小组讨论。每个小组会选择一个实际问题，运用一次函数的知识进行解决。我会提供一些实际问题作为参考，如：“某商品原价为100元，打8折后的价格是多少？”，“某运动员跑步的速度是每分钟80米，他跑完1000米需要多少时间？”等。通过小组讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
在教学过程中，我会提出一系列问题，引导学生思考和探究。例如：“一次函数的表达式是什么？它有什么特点？”“一次函数的图像是什么样子的？它与一次函数的性质有什么关系？”通过这些问题，激发学生的思维，培养学生的解决问题能力。
（三）小组合作
在学生掌握一次函数的性质后，我会组织学生进行小组合作，共同探讨一次函数在实际生活中的应用。每个小组可以选择一个实际问题，运用一次函数的知识进行解决。通过小组合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
3.小组合作的学习方式：在学生掌握一次函数的性质后，我组织了小组合作活动，让学生共同探讨一次函数在实际生活中的应用。这种小组合作的学习方式培养了学生的团队协作能力和沟通能力，使他们在讨论和解决问题中能够相互学习和共同进步。
4.反思与评价的环节：在课程的最后，我让学生进行反思和评价，回顾自己在这节课中学到了什么，有什么收获和感悟。这种反思与评价的环节使学生能够总结经验，提高学习能力。同时，我也对学生的学习情况进行评价，注重培养学生的思维能力、创新能力和合作能力。
人教版数学八年级下册19.2是“人教版数学八年级下册19.2.2一次函数（第2课时）”，在上一课时中，学生已经初步了解了什么是一次函数，以及一次函数的表达式。本课时，我将引导学生深入学习一次函数的性质，包括单调性、截距等，并通过实例让学生理解一次函数在实际生活中的应用。
（二）讲授新知
在讲授新知环节，我会结合教材和教学资源，系统地讲解一次函数的性质，包括单调性、截距等。在讲解过程中，我会运用生动的例子和动画演示，帮助学生直观地理解一次函数的性质。同时，我会鼓励学生积极参与，提问和解答疑问，确保学生对一次函数的知识有深入的理解。
（三）学生小组讨论
在学生掌握一次函数的性质后，我会组织学生进行小组讨论。每个小组会选择一个实际问题，运用一次函数的知识进行解决。我会提供一些实际问题作为参考，如：“某商品原价为100元，打8折后的价格是多少？”，“某运动员跑步的速度是每分钟80米，他跑完1000米需要多少时间？”等。通过小组讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
人教版八年级数学下册19.2.2一次函数的图象与性质教学设计
（四）课堂练习，500字
为了巩固所学知识，我会安排一些课堂练习。这些练习将包括基础题、提高题和应用题，以适应不同学生的学习需求。我会要求学生在规定时间内完成练习，并在完成后进行小组内或全班性的交流。
我会挑选一些典型的错误或难题进行讲解，帮助学生澄清疑惑，并强调解题过程中的关键步骤和注意事项。通过这些练习，学生能够将理论知识与实践相结合，提高解题能力。
人教版八年级数学下册19.2.2一次函数的图象与性质教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
本节课主要让学生掌握一次函数的图象与性质。通过学习，学生应能够：
1.理解一次函数的定义，并能用数学符号表示一次函数。
2.学会通过描点法绘制一次函数的图象，并能够识别图象的基本特征。
3.掌握一次函数的性质，包括斜率k的正负对图象的影响，以及截距b的几何意义。
4.探究题：请同学们思考以下问题，下节课分享你们的发现：
（1）一次函数的图象是一条直线，那么斜率k和截距b对这条直线的位置有什么影响？
（2）如果两个一次函数的斜率相同，但截距不同，它们的图象会有什么关系？
作业要求：
1.请同学们认真完成作业，注意书写规范，保持作业整洁。
2.对于提高题和应用题，请同学们尽量用自己的语言描述解题过程，以加深对一次函数的理解。
（三）学生小组讨论，500字
在掌握了基本知识后，我会组织学生进行小组讨论。每个小组都会得到一个或几个实际问题，要求他们利用一次函数的知识来解决。例如，“一辆汽车以固定速度行驶，行驶时间和路程之间的关系是怎样的？请用一次函数来描述。”
在小组讨论过程中，我会鼓励学生积极参与，分享自己的想法，并倾听他人的意见。我会巡回指导，帮助解决学生在讨论中遇到的问题，确保每个学生都能理解和掌握一次函数的应用。
为了巩固所学知识，我会安排一些课堂练习。这些练习将包括基础题、提高题和应用题，以适应不同学生的学习需求。我会要求学生在规定时间内完成练习，并在完成后进行小组内或全班性的交流。
我会挑选一些典型的错误或难题进行讲解，帮助学生澄清疑惑，并强调解题过程中的关键步骤和注意事项。通过这些练习，学生能够将理论知识与实践相结合，提高解题能力。
人教版八年级数学下册19.2.2一次函数的图象与性质教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
本节课主要让学生掌握一次函数的图象与性质。通过学习，学生应能够：
1.理解一次函数的定义，并能用数学符号表示一次函数。
2.学会通过描点法绘制一次函数的图象，并能够识别图象的基本特征。
3.掌握一次函数的性质，包括斜率k的正负对图象的影响，以及截距b的几何意义。
4.探究题：请同学们思考以下问题，下节课分享你们的发现：
（1）一次函数的图象是一条直线，那么斜率k和截距b对这条直线的位置有什么影响？
（2）如果两个一次函数的斜率相同，但截距不同，它们的图象会有什么关系？
作业要求：
1.请同学们认真完成作业，注意书写规范，保持作业整洁。
2.对于提高题和应用题，请同学们尽量用自己的语言描述解题过程，以加深对一次函数的理解。
（三）学生小组讨论，500字
在掌握了基本知识后，我会组织学生进行小组讨论。每个小组都会得到一个或几个实际问题，要求他们利用一次函数的知识来解决。例如，“一辆汽车以固定速度行驶，行驶时间和路程之间的关系是怎样的？请用一次函数来描述。”
在小组讨论过程中，我会鼓励学生积极参与，分享自己的想法，并倾听他人的意见。我会巡回指导，帮助解决学生在讨论中遇到的问题，确保每个学生都能理解和掌握一次函数的应用。
19.2.2一次函数的概念课件2023-2024学年人教版八年级数学下册
一次函数.
一次函数解析式的特点
1.结构上看：函数＝常数×自变量+一个常数
•2.解析式中自变量x的指数都是“1”. 3.比例系数k≠0.
4.常数项b:通常不为0,但也可以等于0.
辨别关系 一次函数和正比例函数有关系:
当b＝0时,y＝kx+b转化为y＝kx,所以说正比例函 数是一种特殊的一次函数.
一次函数
（1）当m为何值时，这个函数是一次函数?
解：依题意得 m－1≠0，
解得m≠1.
即m≠1时,这个函数是一次函数.
注意：利用定义求一次函数
解析式时，
必须保证：
（1）k ≠ 0；（2）自变量x的指数是“1”
典例解析
例1 已知函数y=(m－1)x+1－m2 （2）当m为何值时，这个函数是正比例函数?
解：依题意得 m－1≠0， 解得 m≠1，
(3)某城市的市内电话的月收费额 y(单位:元)包括月租费22 元和拨打电话 x min 的计时费(按0.1元/min收取)；
y=0.1x+22
(4)把一个长10 cm，宽5 cm的矩形的长减少 x cm，宽不变，矩 形面积 y（单位：cm2）随x的值而变化．
y=5（10-x) y=-5x+50 （0≤x≤10）
解 ：(1) 设 y＝k(x－3) 把 x＝4，y＝3 代入上式，得 3＝ k(4－3) 解得 k＝3，∴y＝3(x－3) ∴ y＝3x－9， y是x的一次函数． (2) 当x＝2.5时，y＝3×2.5 - 9＝ -1.5．
中考链接
已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．写出y与x之间 的函数关系式，并指出它是什么函数；
m=±1，
∴ m=－1.
即m=－1时,n为任意实数时,这个函数是一次函数.
一次函数解析式的特点
1.结构上看：函数＝常数×自变量+一个常数
•2.解析式中自变量x的指数都是“1”. 3.比例系数k≠0.
4.常数项b:通常不为0,但也可以等于0.
辨别关系 一次函数和正比例函数有关系:
当b＝0时,y＝kx+b转化为y＝kx,所以说正比例函 数是一种特殊的一次函数.
一次函数
（1）当m为何值时，这个函数是一次函数?
解：依题意得 m－1≠0，
解得m≠1.
即m≠1时,这个函数是一次函数.
注意：利用定义求一次函数
解析式时，
必须保证：
（1）k ≠ 0；（2）自变量x的指数是“1”
典例解析
例1 已知函数y=(m－1)x+1－m2 （2）当m为何值时，这个函数是正比例函数?
解：依题意得 m－1≠0， 解得 m≠1，
(3)某城市的市内电话的月收费额 y(单位:元)包括月租费22 元和拨打电话 x min 的计时费(按0.1元/min收取)；
y=0.1x+22
(4)把一个长10 cm，宽5 cm的矩形的长减少 x cm，宽不变，矩 形面积 y（单位：cm2）随x的值而变化．
y=5（10-x) y=-5x+50 （0≤x≤10）
解 ：(1) 设 y＝k(x－3) 把 x＝4，y＝3 代入上式，得 3＝ k(4－3) 解得 k＝3，∴y＝3(x－3) ∴ y＝3x－9， y是x的一次函数． (2) 当x＝2.5时，y＝3×2.5 - 9＝ -1.5．
中考链接
已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．写出y与x之间 的函数关系式，并指出它是什么函数；
m=±1，
∴ m=－1.
即m=－1时,n为任意实数时,这个函数是一次函数.
人教版数学八年级下册19.2.2一次函数说课稿
四、教学过程设计
（一）导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我将采用以下方式导入新课：
1.创设情境：通过展示一个与一次函数相关的实际情境，如“小明骑自行车去图书馆，速度和时间的关系”，让学生思考如何用数学模型来描述这种关系。
2.提出问题：在此基础上，提出问题：“如何表示速度和时间的关系？”引导学生回顾已学的线性方程知识，为新课的学习做好铺垫。
1.创设生活情境：通过引入实际生活中的问题，让学生感受到一次函数的实用性和趣味性，提高他们的学习兴趣。
2.互动教学：设计小组讨论、同桌交流等环节，鼓励学生主动参与，培养合作精神和沟通能力。
3.游戏化学习：设计一些与一次函数相关的数学游戏，让学生在轻松愉快的氛围中掌握知识。
4.成就激励：对学生在课堂上的表现给予积极的评价和鼓励，提高他们的自信心，激发学习动力。
在这个阶段，学生的学习习惯各异，一些学生习惯于被动接受知识，依赖教师的讲解，而较少主动思考和探索。同时，他们的合作学习能力有待提高，需要教师在教学中引导和培养。
（二）学习障碍
学生在学习本节课之前，应当具备以下前置知识或技能：
1.掌握线性方程的基本概念和解法。
2.能够绘制简单图形，如直线、点等。
3.理解函数的基本概念，知道函数是一种特殊的关系。
本节课的主要知识点包括：一次函数的定义、表达式、图像及性质。具体地，学生会学习到以下内容：
1.一次函数的定义：形如y=kx+b（k≠0）的函数，其中k和b是常数，称为一次函数。
2.一次函数的表达式：y=kx+b，其中k表示斜率，b表示截距。
3.一次函数的图像：一条直线。
4.一次函数的性质：斜率k的正负决定直线的斜率方向；截距b表示直线与y轴的交点。
（一）导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我将采用以下方式导入新课：
1.创设情境：通过展示一个与一次函数相关的实际情境，如“小明骑自行车去图书馆，速度和时间的关系”，让学生思考如何用数学模型来描述这种关系。
2.提出问题：在此基础上，提出问题：“如何表示速度和时间的关系？”引导学生回顾已学的线性方程知识，为新课的学习做好铺垫。
1.创设生活情境：通过引入实际生活中的问题，让学生感受到一次函数的实用性和趣味性，提高他们的学习兴趣。
2.互动教学：设计小组讨论、同桌交流等环节，鼓励学生主动参与，培养合作精神和沟通能力。
3.游戏化学习：设计一些与一次函数相关的数学游戏，让学生在轻松愉快的氛围中掌握知识。
4.成就激励：对学生在课堂上的表现给予积极的评价和鼓励，提高他们的自信心，激发学习动力。
在这个阶段，学生的学习习惯各异，一些学生习惯于被动接受知识，依赖教师的讲解，而较少主动思考和探索。同时，他们的合作学习能力有待提高，需要教师在教学中引导和培养。
（二）学习障碍
学生在学习本节课之前，应当具备以下前置知识或技能：
1.掌握线性方程的基本概念和解法。
2.能够绘制简单图形，如直线、点等。
3.理解函数的基本概念，知道函数是一种特殊的关系。
本节课的主要知识点包括：一次函数的定义、表达式、图像及性质。具体地，学生会学习到以下内容：
1.一次函数的定义：形如y=kx+b（k≠0）的函数，其中k和b是常数，称为一次函数。
2.一次函数的表达式：y=kx+b，其中k表示斜率，b表示截距。
3.一次函数的图像：一条直线。
4.一次函数的性质：斜率k的正负决定直线的斜率方向；截距b表示直线与y轴的交点。
人教版数学八年级下册19.2.2一次函数第1课时一次函数的定义教学设计
人教版数学八年级下册19.2.2一次函数第1课时一次函数的定义教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解一次函数的定义，掌握一次函数的标准形式y=kx+b，并能够识别其中的斜率k和截距b。
2.学会通过观察数据，判断两个变量之间是否具有一次函数关系，并能够用数学语言描述这种关系。
3.能够使用图形和解析式表示一次函数，通过图形观察和分析一次函数的性质，如斜率的正负、截距的意义、函数图像的走势等。
（2）根据课堂讲解的实例，自己设计一个一次函数的实际问题，并给出解题过程和答案。
2.选做题：
（1）课本第19.2.2节课后习题第4、5题，要求学生尝试解决较难的一次函数问题，提高解题能力。
（2）从生活中找一个应用一次函数的例子，分析其斜率和截距的物理意义，并撰写一篇短文，分享你的发现。
3.小组合作题：
2.练习题类型：包括选择题、填空题、解答题等，涵盖一次函数的定义、性质、图像等各个方面。
3.解答与反馈：学生完成后，教师及时批改并给予反馈，针对共性问题进行讲解，确保学生掌握本节课的知识点。
（五）总结归纳
1.教学活动：教师引导学生对本节课的一次函数定义、性质、图像等知识点进行总结。
2.归纳提升：学生用自己的语言总结一次函数的特点，形成知识体系，并进行适当的拓展提升。
5.实践应用，巩固知识：设计具有实际背景的问题，让学生运用一次函数的知识解决，巩固所学内容。
-设计意图：培养学生学以致用的能力，提高他们解决实际问题的信心。
6.归纳总结，拓展提升：引导学生对本节课的知识点进行归纳总结，形成知识体系，并进行适当的拓展提升。
-设计意图：帮助学生构建完整的知识结构，培养他们的逻辑思维和总结能力。
（三）学生小组讨论
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解一次函数的定义，掌握一次函数的标准形式y=kx+b，并能够识别其中的斜率k和截距b。
2.学会通过观察数据，判断两个变量之间是否具有一次函数关系，并能够用数学语言描述这种关系。
3.能够使用图形和解析式表示一次函数，通过图形观察和分析一次函数的性质，如斜率的正负、截距的意义、函数图像的走势等。
（2）根据课堂讲解的实例，自己设计一个一次函数的实际问题，并给出解题过程和答案。
2.选做题：
（1）课本第19.2.2节课后习题第4、5题，要求学生尝试解决较难的一次函数问题，提高解题能力。
（2）从生活中找一个应用一次函数的例子，分析其斜率和截距的物理意义，并撰写一篇短文，分享你的发现。
3.小组合作题：
2.练习题类型：包括选择题、填空题、解答题等，涵盖一次函数的定义、性质、图像等各个方面。
3.解答与反馈：学生完成后，教师及时批改并给予反馈，针对共性问题进行讲解，确保学生掌握本节课的知识点。
（五）总结归纳
1.教学活动：教师引导学生对本节课的一次函数定义、性质、图像等知识点进行总结。
2.归纳提升：学生用自己的语言总结一次函数的特点，形成知识体系，并进行适当的拓展提升。
5.实践应用，巩固知识：设计具有实际背景的问题，让学生运用一次函数的知识解决，巩固所学内容。
-设计意图：培养学生学以致用的能力，提高他们解决实际问题的信心。
6.归纳总结，拓展提升：引导学生对本节课的知识点进行归纳总结，形成知识体系，并进行适当的拓展提升。
-设计意图：帮助学生构建完整的知识结构，培养他们的逻辑思维和总结能力。
（三）学生小组讨论
人教版数学八年级下册第十九章19.2.2《含两个一次函数的应用》课件
例1 “黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg.如果一次
购买2 kg以上的种子，超过2 kg部分的种子价格打8
折.
(1购)填买写量/表kg. 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …
付款金额/元
…
(2)写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画 出
函数图象.
分析：付款金额与种子价格相关. 问题中种子价格不是固 定不变的，它与购买量有关. 设购买x kg种子，当 0≤x≤2时，种子价格为5元/kg;当x＞2时，其中有 2kg种子按5元/kg计价，其余的(x－2)kg(即超出2 kg 部分) 种子按4元/kg (即8折)计价,因此，写函数解析 式与画函数图象时，应对 0≤x≤2和x＞2分段讨论.
次性返还现金4元，则购买盒子所需要最少费用为
___2_9____元．
型号 单个盒子容量/升
单价/元
AB 23 56
合作探究
知识点 2 从图像中获取信息的应用
例3 游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池 换水清洗过程“排水——清洗——灌水”中 水量y(m3) 与时间t(min)之的函数图象． (1)根据图中提供的信息，求排水阶段和 清洗阶段游泳池中的水量y(m3)与时间 t(min)之间的函数关系式(不必写出t的 取值范围)； (2)问：排水、清洗各花多少时间？
y＝
___1_8_0_x___(x＝1，2，…，10)， ___1_8_0_x_＋__7_2_0__ (x>10，且x为整数).
3 【中考·黄石】一食堂需要购买盒子存放食物，盒子
有A，B两种型号，单个盒子的容量和价格如表．现
有15升食物需要存放且要求每个盒子要装满，由于A
型号盒子正做促销活动：购买三个及三个以上可一
人教版初中数学八年级下册《19.2.2一次函数的概念》
正比例函数： 一般地，形如y=kx（k是常数， k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例 系数.
根据实际问题写函数解析式的步骤
1：分清实际问题中的常量和变量； 2：找出自变量和因变量； 3：分析变量之间的函数关系式、写出函数解析式。
合作交流、探索新知
合作交流、探索新知
问题1 某登山队大本营所在地 的气温为5 ℃，海拔每升高1 km 气温 下降6 ℃．登山队员由大本营向上登 高x km 时，他们所处位置的气温是 y ℃． 试用函数解析式表示 y 与 x 的关 系．
（4） y 2 x
x （5） y = 2 -1
课堂练习
1、下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正 比例函数？
x -3 2 （ 8） y = . （x- 4）； （6）y = -13 ； （7）y = 2 2 x
课堂练习
2、函数 y 2 x m3 2 是一次函数，求m的值。
课堂练习
3、函数 y (k 2) x k 是一次函数，求k的取值范围。
课堂练习
练习2 请写出若干个变量 y 与 x 之间的函数解析 式，让同桌判断是否是一次函数；如果是，请说出其一 次项系数与常数项．
课堂练习
请同学们用自己组织语言给同桌讲一次函数的 概念。并自己写出两个函数解析式个同桌判断是否 是一次函数。
课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？还有什么疑惑？
课后作业
一般地，形如y =kx +b（k，b 为常数，k ≠0）的函 数叫一次函数． 思考 当b=0 时，y=kx+b是什么函数？
合作交流、探索新知
一般地，形如y =kx +b（k，b 为常数，k ≠0）的函 数叫一次函数． 思考 当b=0 时，y=kx+b是什么函数？ 当b=0时，y=kx+b为 y=kx，正比例函数是 特殊的一次函数.
根据实际问题写函数解析式的步骤
1：分清实际问题中的常量和变量； 2：找出自变量和因变量； 3：分析变量之间的函数关系式、写出函数解析式。
合作交流、探索新知
合作交流、探索新知
问题1 某登山队大本营所在地 的气温为5 ℃，海拔每升高1 km 气温 下降6 ℃．登山队员由大本营向上登 高x km 时，他们所处位置的气温是 y ℃． 试用函数解析式表示 y 与 x 的关 系．
（4） y 2 x
x （5） y = 2 -1
课堂练习
1、下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正 比例函数？
x -3 2 （ 8） y = . （x- 4）； （6）y = -13 ； （7）y = 2 2 x
课堂练习
2、函数 y 2 x m3 2 是一次函数，求m的值。
课堂练习
3、函数 y (k 2) x k 是一次函数，求k的取值范围。
课堂练习
练习2 请写出若干个变量 y 与 x 之间的函数解析 式，让同桌判断是否是一次函数；如果是，请说出其一 次项系数与常数项．
课堂练习
请同学们用自己组织语言给同桌讲一次函数的 概念。并自己写出两个函数解析式个同桌判断是否 是一次函数。
课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？还有什么疑惑？
课后作业
一般地，形如y =kx +b（k，b 为常数，k ≠0）的函 数叫一次函数． 思考 当b=0 时，y=kx+b是什么函数？
合作交流、探索新知
一般地，形如y =kx +b（k，b 为常数，k ≠0）的函 数叫一次函数． 思考 当b=0 时，y=kx+b是什么函数？ 当b=0时，y=kx+b为 y=kx，正比例函数是 特殊的一次函数.
人教版八年级数学下册19.2.2 一次函数(第3课时)
（1）设：设一次函数的一般形式 y=kx+b(k≠0) ；
（2）列：把图象上的点 x1, y1 ，x2 , y2 代入一次
函数的解析式，组成_二__元__一__次__方程组； （3）解：解二元一次方程组得k,b； （4）还原：把k,b的值代入一次函数的解析式.
探究新知 整理归纳：从两方面说明：
把点（3，5）与（-3，-13）分别代入，得：3k3kb b5,13.
解方程组得:
k b
3, 4.
∴这个一次函数的解析式为 y=3x-4.
探究新知
考点 2 已知一点利用待定系数法求一次函数的解析式 若一次函数的图象经过点 A(2,0)且与直线y=-x+3平行，求其
解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0) .
解：设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).
∵一次函数y=kx+b的图象过点（0，2），
∴b=2.
∵一次函数的图象与x轴的交点是( 2 ，0)，则
1 2 2 2, 解得k=1或-1.
k
2
故此一次函数的解析式为y=x+2或y=-x+2.
巩固练习
正比例函数y=k1x与一次函数y=k2x+b的图象如图所示，它们的
5. 如图，直线l是一次函数y=kx+b的图y 象，填空:
(1)b=___2___,k=____23__; (2)当x=30时，y=__-_1_8__; (3)当y=30时，x=__-_4_2__.
y
l 4•
3•
2•
1•
•• •••
O 12 345x
x
课堂检测
能力提升题
若一直线与另一直线y=-3x+2交于y轴同一点，且过（2，-6）， 你能求出这条直线的解析式吗？
（2）列：把图象上的点 x1, y1 ，x2 , y2 代入一次
函数的解析式，组成_二__元__一__次__方程组； （3）解：解二元一次方程组得k,b； （4）还原：把k,b的值代入一次函数的解析式.
探究新知 整理归纳：从两方面说明：
把点（3，5）与（-3，-13）分别代入，得：3k3kb b5,13.
解方程组得:
k b
3, 4.
∴这个一次函数的解析式为 y=3x-4.
探究新知
考点 2 已知一点利用待定系数法求一次函数的解析式 若一次函数的图象经过点 A(2,0)且与直线y=-x+3平行，求其
解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0) .
解：设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).
∵一次函数y=kx+b的图象过点（0，2），
∴b=2.
∵一次函数的图象与x轴的交点是( 2 ，0)，则
1 2 2 2, 解得k=1或-1.
k
2
故此一次函数的解析式为y=x+2或y=-x+2.
巩固练习
正比例函数y=k1x与一次函数y=k2x+b的图象如图所示，它们的
5. 如图，直线l是一次函数y=kx+b的图y 象，填空:
(1)b=___2___,k=____23__; (2)当x=30时，y=__-_1_8__; (3)当y=30时，x=__-_4_2__.
y
l 4•
3•
2•
1•
•• •••
O 12 345x
x
课堂检测
能力提升题
若一直线与另一直线y=-3x+2交于y轴同一点，且过（2，-6）， 你能求出这条直线的解析式吗？
人教版数学八年级下册19.2.2《一次函数》说课稿2
人教版数学八年级下册19.2.2《一次函数》说课稿2一. 教材分析《一次函数》是人民教育出版社出版的初中数学八年级下册第19.2.2节的内容。
本节课的主要内容是让学生了解一次函数的定义、性质以及一次函数图象与系数的关系。
通过学习本节课，使学生能运用一次函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了小学数学的基本知识，具备了一定的逻辑思维能力和运算能力。
但对于一次函数的定义、性质以及一次函数图象与系数的关系可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要结合学生的实际情况，循序渐进地引导学生理解和掌握一次函数的相关知识。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生了解一次函数的定义、性质，学会绘制一次函数图象，掌握一次函数图象与系数的关系。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生独立思考、合作交流的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学素养，使学生感受数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：一次函数的定义、性质，一次函数图象与系数的关系。
2.教学难点：一次函数图象与系数的关系的推导和理解。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组讨论法等。
2.教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔、教学卡片等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过生活中的实际例子，引出一次函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.知识讲解：讲解一次函数的定义、性质，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，发现一次函数图象与系数的关系。
3.案例分析：分析具体的一次函数案例，使学生进一步理解和掌握一次函数的相关知识。
4.实践操作：让学生动手绘制一次函数图象，巩固所学知识。
5.小组讨论：学生进行小组讨论，分享学习心得，互相学习，共同进步。
6.总结提升：对本节课的主要内容进行总结，强化学生对一次函数的理解和记忆。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁、明了，能够突出一次函数的重点知识。
人教版数学八年级下册19.2.2求一次函数的解析式课件
∵图象过点_(2_，__5_), _(_1_，__3)
因为一次函数的一般形式
∴
2 k +b ＝ 5 1 k+b ＝ 3
是y你=kx能+b归（k纳≠0）出，：要求
出一次函数的解析式，关
求一次函数解析式
键是要确定 k 和 b 的值.
解得 k＝_2__ b＝__1_
的基本步骤吗？
因为图象过（2，5）
把k=1，b=2 代入 y = kx+b 中，
k的值
一个条件
确定一次函数的解析式y=kx+b,需求哪个值？需 要几个条件？
K、b的值 两个条件
总结：在确定函数解析式时，要求几个系数 就需要知道几个条件。
整理归纳
No
从数到形
Imag
函数解 选取 析式： y=kx+b (k≠0) 求出
满足条件 画出
的两点： (x1,y1)与 (x2,y2) 选取
两点法——两点确定一条直线
解析式的方法,叫做待定系数法. 新人教版 • 八年 级 《 数 学 ( 下) 》
两点法——两点确定一条直线
例：已知一次函数的图象经过点(3,5) 与点（－4，－9）.求这个一次函数的
解析式． 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b. 设
∵ 图象过点（3，5）与 点（-4，-9）
得一次函数解析式为__y__＝__2_x_+_1_.
与（1，3）两点， 所以这两点的坐标必
适合解析式
解题的基本步骤: 1、已知一次函数y=kx+b，当x=1时，y=5，且它的图象与x轴交点的横坐标是6，求这个一次函数的解析式．
函数解析式：y=kx+b(k≠0)
人教版八年级下册19.2.2一次函数(教案)
4.一次函数的解析式：根据图像上的点或给定的斜率和截距，求一次函数的解析式；
5.一次函数的实际应用：解决实际问题，如行程问题、利润问题等。
二、核心素养目标
1.理解一次函数的定义、图像、性质，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养；
2.学会根据一次函数的图像或实际问题求解解析式，提高问题解决和数学建模的核心素养；
在讲授一次函数图像时，我采用了图形和实际操作相结合的方式，让学生通过画图来观察斜率和截距对图像的影响。从学生的反馈来看，这种方法比较有效，他们能够通过动手实践来加深对知识点的理解。不过，我也注意到有些学生在图像的绘制上还不够精确，这需要在今后的教学中继续加强指导。
小组讨论环节，我鼓励学生们提出问题，并尝试自己解决问题。我观察到他们在讨论中能够相互启发，共同进步。但我也发现，有些小组在讨论时可能会偏离主题，需要我在旁边适时引导，确保讨论的方向和深度。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一次函数的基本概念、图像、性质以及它在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
5.一次函数的实际应用：解决实际问题，如行程问题、利润问题等。
二、核心素养目标
1.理解一次函数的定义、图像、性质，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养；
2.学会根据一次函数的图像或实际问题求解解析式，提高问题解决和数学建模的核心素养；
在讲授一次函数图像时，我采用了图形和实际操作相结合的方式，让学生通过画图来观察斜率和截距对图像的影响。从学生的反馈来看，这种方法比较有效，他们能够通过动手实践来加深对知识点的理解。不过，我也注意到有些学生在图像的绘制上还不够精确，这需要在今后的教学中继续加强指导。
小组讨论环节，我鼓励学生们提出问题，并尝试自己解决问题。我观察到他们在讨论中能够相互启发，共同进步。但我也发现，有些小组在讨论时可能会偏离主题，需要我在旁边适时引导，确保讨论的方向和深度。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一次函数的基本概念、图像、性质以及它在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
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19.2.2 一次函数(2)
栏目索引
解析 (1)∵18<m恒成立, ∴前面10吨生活用水每吨收费1.5元,后面8吨生活用水每吨收费2元, ∴应缴纳的水费为10×1.5+(18-10)×2=31(元). (2)①当0≤x≤10时,y=1.5x; ②当10<x≤m时,y=10×1.5+(x-10)×2=2x-5; ③当x>m时,y=10×1.5+(m-10)×2+(x-m)×3=3x-m-5,
达式. (3)从已知条件出发,通过数学建模,得出一次函数表达式.
19.2.2 一次函数(2)
栏目索引
题型三 利用一次函数解决实际问题 例3 (2018湖南邵阳模拟)虽然近几年无锡市政府加大了对太湖水的治
污力度,但由于大规模、高强度的经济活动和日益增加的污染负荷,部
分太湖水域水质恶化,富营养化的问题不断加剧.为了节约水资源,我市
1.5x(0 x 10),
∴y=2x 5(10 x m),
3x m 5(x m).
(3)∵20≤m≤50, ∴当用水量为40吨时有两种可能的收费方式, ①当40≤m≤50时,此时x=40≤m,
19.2.2 一次函数(2)
故缴纳的水费为2×40-5=75元,符合题意; ②当10≤m<40时,此时x=40>m, 故缴纳的水费为3x-m-5=(115-m)元, 则70≤115-m≤90, 解得25≤m≤45, ∴此状况下25≤m<40. 综上所述,可知m的取值范围为25≤m≤50.
19.2.2 一次函数(2)
栏目索引
题型一 一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积问题 例1 已知一次函数y=kx+b的图象经过点(3,-3),且与直线y=4x-3的交点 在x轴上. (1)求一次函数的解析式; (2)此函数的图象经过哪几个象限? (3)求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积.
19.2.2 一次函数(2)
函数的增减性,所以必须分y随x增大而增大和y随x增大而减小这两种情 况讨论,分别求出相应的函数解析式.
19.2.2 一次函数(2)
栏目索引
知识点一 一次函数解析式的确定 1.一次函数y=kx+b的图象如图19-2-2-2-1所示,则k、b的值分别为 ( )
A.k=- 1 ,b=1
2
C.k= 1 ,b=1
3.(2017浙江绍兴中考)某市规定了每月用水18立方米以内(含18立方米)
和用水18立方米以上两种不同的收费标准.该市的用户每月应交水费y
(元)是用水量x(立方米)的函数,其图象如图19-2-2-2-3所示.(8分)
(1)若每月用水量为18立方米,则应交水费多少元?
(2)求当x>18时,y关于x的函数表达式.若小敏家某月交水费81元,则小敏
19.2.2 一次函数(2)
栏目索引
初中数学（人教版）
八年级 下册
第十九章 一次函数
19.2.2 一次函数(2)
栏目索引
知识点一 一次函数解析式的确定
名称 待定系数法
定义
应用步骤
先设待求函数关系式(其中含 设:设函数关系式为y=kx+b(k
有未知系数),再根据条件列 ≠0);代:将已知点的坐标代入
45, 75,
解得 bk
3, 9,
∴y=3x-9(x>18).
将y=81代入函数表达式得3x-9=81,解得x=30.
故小敏家这个月的用水量为30立方米.
19.2.2 一次函数(2)
栏目索引
电力公司为了鼓励市民节约用电,采取按月用电量分段收费的方法, 已知某用户每月应缴电费y(元)与用电量x(度)的函数图象是一条折线 (如图),根据图象解答下列问题. (1)分别写出当0≤x≤100和x>100时,y与x之间的函数解析式; (2)根据函数解析式,说明电力公司采取的收费标准; (3)若该用户某月用电62度,则应缴费多少元?若该用户某月缴费105元, 则该用户该月用了多少度电?
故选B.
19.2.2 一次函数(2)
知识点二 一次函数的应用
栏目索引
2.李大爷要围一个矩形菜园,菜园的一边是足够长的墙,用篱笆围成的另 外三边总长应恰好为24米,要围成的菜园为矩形ABCD,如图19-2-2-2-2 所示.设BC边的长为x米,AB边的长为y米,则y与x之间的函数关系式是 ()
A.y=-2x+24(0<x<12) C.y=2x-24(0<x<12)
制定了一套节水的管理措施,其中对居民生活用水收费做出如下规定:
月用水量(吨)
单价(元/吨)
不大于10吨的部分
1.5
大于10吨不大于m吨的部分(20≤m≤50)
2
大于m吨的部分
3
19.2.2 一次函数(2)
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(1)若某用户六月份用水量为18吨,求其应缴纳的水费; (2)记该用户六月份用水量为x吨,缴纳水费为y元,试求出y与x的函数关 系式; (3)若该用户六月份用水量为40吨,缴纳水费y元的取值范围为70≤y≤9 0,试求m的取值范围. 分析 (1)由题表知月用水量为18吨时,缴纳的水费包括两部分:10吨以 内和超过10吨不大于m吨的部分(20≤m≤50); (2)利用月用水量的不同阶段的收费标准列出函数关系式即可; (3)将x=40代入(2)中求得函数的解析式,根据缴纳水费y元的取值范围为 70≤y≤90列出关于m的不等式,求解即可.
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易错点 考虑问题不周导致漏解
例 已知一次函数中自变量x的取值范围为-2≤x≤6,相应的函数值的 取值范围为-11≤y≤9,求此函数的解析式. 正解 设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),
由题意,得
2k b 6k b 9
b 2,
3k
b
4,
k
解得
b
2 3
2,
,
故直线l的表达式为y=-2 x+2.
3
点拨 利用待定系数法求一次函数的解析式时,一定要有两个独立的条 件,如两个点的坐标,或x与y的两对对应值等.
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知识点二 一次函数的应用 一次函数的应用就是把实际问题抽象成数学问题,建立一次函数模
出方程(组),求出未知系数,从 所设关系式中,得到关于k、b
而得到所求结果的方法,叫做 的方程(组);
待定系数法
解:解方程(组)求得系数的值;
写:将k、b的值代回关系式中
并写出关系式
图示
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例1 (2018福建厦门一模)如图19-2-2-2-1,在平面直角坐标系中,直线l经 过第一、二、四象限,点A(0,m)在直线l上. (1)在图中标出点A; (2)若m=2,且l过点(-3,4),求直线l的表达式.
的常见题型,解此类问题的关键是求出直线与x轴,y轴的交点坐标,从而
确定所求直角三角形的两条直角边的长.
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题型二 借助于函数图象求解析式
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例2 对某市甲、乙两商场的员工工资与销售量进行调查分析,图19-2-
2-2-3中的l1、l2分别表示甲、乙两商场每月付给员工的工资y1(元)、y2 (元)与销售商品的件数x(件)的关系.
图19-2-2-2-3 (1)根据图象分别求出y1、y2与x的函数关系式; (2)根据图象直接回答:哪个商场付给员工的工资多一些.
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解析 (1)设y1与x的函数关系式为y1=k1x(k1≠0),将(40,600)代入,得600=4 0k1,解得k1=15,故y1与x的函数关系式为y1=15x(x≥0且x为整数). 设y2与x的函数关系式为y2=k2x+400(k2≠0),将(40,600)代入,得600=40k2+4 00,解得k2=5,故y2与x的函数关系式为y2=5x+400(x≥0且x为整数). (2)根据图象可知, 当销售件数大于40时,甲商场付给员工的工资多一些; 当销售件数小于40时,乙商场付给员工的工资多一些; 当销售件数等于40时,甲商场与乙商场付给员工的工资一样多. 点拨 一次函数表达式的确定通常有以下几种情况: (1)通过分析数量(等量)关系得出一次函数表达式. (2)利用函数图象,根据直线上两点的坐标确定k,b的值,求出一次函数表
型,通过一次函数解决实际问题. 温馨提示 在实际问题中,当自变量的取值范围受到一定限制时,函数y =kx+b(k≠0)的图象就不再是一条直线,要根据实际情况进行分析,其图 象可能是射线、线段或折线等等.
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例2 某校为了实施“大课间”活动,计划购买篮球、排球共60个,跳绳 120根,已知一个篮球70元,一个排球50元,一根跳绳10元.设购买篮球x个, 购买篮球、排球和跳绳的总费用为y元. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)若购买上述体育用品的总费用为4 700元,则篮球、排球各买多少个? 分析 (1)根据“总费用=购买篮球的费用+购买排球的费用+购买跳绳 的费用”即可求出结果;(2)把y=4 700代入(1)中求出的解析式就可以求 出购买篮球的个数,从而求出购买排球的个数.
2
B.k=-2,b=1 D.k=2,b=1
图19-2-2-2-1
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答案
B
由题图可知该一次函数的图象经过点(0,1), 12 ,0
,
将这两点坐标代入该一次函数的解析式得10b12, k b,
解得 bk
2, 1.
11,