(完整)2019年大连市高三一模理科数学

2019年大连市高三第一次模拟考试

数学（理科）参考答案与评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题

1. D

2. A

3. A

4. B

5. C

6. B

7. D

8. A

9. D 10. B 11. C 12. C 二、填空题

13. 8 14. 32 15. 1213 16. 253

44

n n - 三、解答题

17.解：

6

sinC 3

=

所以sin 1C =，2

C π

∠=，…………………………………………3分

所以

2BC ==

所以1

S 22

=

⨯⨯=…………………………………………6分 （Ⅱ）设DC x =，则2BD x

=，所以

(

)

2

2

2

2

2

2

26

x x +-

+-=

解得：x =

所以3BC DC ==12分

18. 解：（I ）估计第一车间生产时间小于75min 的工人人数为

6

2006020

⨯

=（人）…………………………………………………2分 估计第二车间生产时间小于75min 的工人人数为

400(0.0250.05)10300⨯+⨯=（人）………………………………4分 （II ）第一车间生产时间平均值约为

6027048010904

7820

x ⨯+⨯+⨯+⨯=

=第一车间（min ）……………………5分

第二车间生产时间平均值约为

600.25700.5800.2900.0570.5x =⨯+⨯+⨯+⨯=第二车间（min ）………6分

∵x x >第一车间第二车间，∴第二车间工人生产效率更高………………………8分

（III ）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于75min 的工人有6人，其中生产时间小于65min 的有2人，从中抽取3人，随机变量X 服从超几何分布， X 可取值为0，1，2，

03243

641

(0)205

C C P X C ====，………………………………………………9分 12243

6123

(1)205

C C P X C ====，……………………………………………10分 21243

641

(2)205

C C P X C ====………………………………………………11分 X

数学期望131

()012155

5

E X =⨯+⨯+⨯=………………………………12分

19. （I ）证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ，

,AB CE AB CE =，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE ， ∴△ADE 为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD 中，3

C ADE π

∠=∠=

，

23DAB ABC π∠=∠=

∴在等腰ADB ∆中，6

ADB ABD π

∠=∠=

∴2362

DBC πππ

∠=-=即BD BC ⊥，

∴BD AE ⊥，……………………………2分

翻折后可得：,OP AE OB AE ⊥⊥，又OP POB ⊂平面，OB POB ⊂平面，OP OB O =，AE POB ∴⊥平面，

PB POB ⊂平面，AE PB ∴⊥；……………4分 （II ）解：在平面POB 内作PQ OB ⊥，垂足为Q ，

AE POB ⊥平面，AE PQ ∴⊥， OB ⊂平面ABCE ,AE ⊂平面ABCE

AE OB O =

PQ ABCE ∴⊥平面，∴直线PB 与平面ABCE 夹角为4

PBQ π

∠=

，又OP OB =，

OP OB ∴⊥，

O

E

D

C B

A

P

O

E

C

B A

Q P

O

E

C

B

A

∴O 、Q 两点重合，即OP ABCE ⊥平面，……………6分

以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为

2P ， 1(,0,0)2E

，2C ，

∴1(,0,2PE =

，1

(2EC =， 设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =，

则110

PE n EC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩

，即1022

102

x z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩

，设x =1y =-，1z =，

∴1(3,1,1)n =-，…………………………………………………………8分 由题意得平面PAE 的一个法向量2(0,1,0)n =，………………………9分 设二面角A-EP-C 为α

，1212cos ||||1n n

n n α⋅-=

==⨯11分 易知二面角A-EP-C 为钝角，所以cos α=12分 20．解：（I ）法一：设(,)N x y ，000(,)(0)M x y x ≠， 11MB NB ⊥，22MB NB ⊥，

∴直线1NB ：0

033

x y x y +=-

+ ①………………………………1分 直线2NB ：0

033x y x y -=-

-

②………………………………2分 ⨯①②得

22

2

2099x y x y -=-，又

2200

1189

x y +=， 20

2222

018(1)9929

y y x x y -∴-==--，

整理得点N 的轨迹方程为：

22

199

2

y x +=（0x ≠）……………………6分 法二：设11(,)N x y ，000(,)(0)M x y x ≠，

11MB NB ⊥，22MB NB ⊥，