数值分析实验报告：拉格朗日插值法和牛顿插值法

实验一报告
拉格朗日插值法
一、实验目的
1、学习和掌握拉格朗日插值多项式
2、运用拉格朗日插值多项式进行计算
二、实验原理
根据x0,x1,…xn；y0,y1,…yn构造插值多项式其表达式为：
将插值点x代入上式，就可得到函数f(x)在点x处的函数值的近似值。

三、运行结果
四、代码
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
namespace ConsoleApplication3
{
class Program
{
static double lglr(double[] x, double[] y, double x1, int n) {
double result = 0.0;
for (int i = 0; i <n; i++)
{
double temp = y[i];
for (int j = 0; j < n; j++)
{
if (j == i)
continue;
temp = temp * (x1 - x[j]);
temp = temp / (x[i] - x[j]);
}
result = result + temp;
}
return result;
}
static void Main(string[] args)
{
double[] x;
double[] y;
Console.WriteLine("请输入插值点数：");
int length = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());
x = new double[length];
y = new double[length];
for (int i = 0; i < length; i++)
{
Console.Write("请输入第{0}个点的x值：", i + 1);
x[i] = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());
Console.Write("请输入第{0}个点的y值：", i + 1);
y[i] = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());
}
Console.WriteLine("请输入x1值：");
double x1 = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());
double result=lglr(x,y,x1,length);
Console.Write("插值计算结果为：{0}：", result);
Console.ReadLine();
}
牛顿插值法
一、实验目的
体会并了解牛顿插值法，用计算机插入x值，输出相应的y值。

二、实验原理
根据x0,x1,…x n；y0,y1,…y n构造插值多项式Nn(x)=f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)+…
+f(x0,x1,…xn)(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)牛顿差值公式中各项的系数就是函f(x)的各阶均差（差商）f(x0)，f(x0,x1)，f(x0,x1,…xn)，因此，在构造牛顿差值公式时，常常先把均差列成一个表，此表称为均差表。

三、运行结果
四、代码
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
namespace newton
{
class Program
{
static double chashang(int n, double[] x, double[] y) {
double f = 0;
double temp = 0;
for (int i = 0; i < n + 1; i++)
{
temp = y[i];
for (int j = 0; j < n + 1; j++)
if (i != j) temp /= (x[i] - x[j]);
f += temp;
}
return f;
}
static double niudun(double[] x, double[] y, double x1) {
double result = 0.0;
for (int i = 0; i < x.Length; i++)
{
double f = chashang(i, x, y);
double temp = 1.0;
for (int j = 0; j < i; j++)
{
temp = temp * (x1 - x[j]);
}
result = result + f * temp;
}
return result;
}
static void Main(string[] args)
{
double[] x;
double[] y;
Console.WriteLine("请输入插值点数：");
int length = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());
x = new double[length];
y = new double[length];
for (int i = 0; i < length; i++)
{
Console.Write("请输入第{0}个点的x值：", i + 1);
x[i] = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());
Console.Write("请输入第{0}个点的y值：", i + 1);
y[i] = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());
}
Console.WriteLine("请输入x1值：");
double x1 = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());
double result = niudun(x, y, x1);
Console.Write("插值计算结果为：{0}：", result);
Console.ReadLine();
}
}
}
五、分析
当插值多项式从n-1次增加到n次时，拉格朗日型插值必须重新计算所有的基本差值多项式；二对于牛顿插值，只需要表格再计算一个n阶均差，然后加上一项就可以了。

这样大大减少了计算量，特别在计算结构复杂的多项式的时候，当然本实验中的数据组很少，计算机的计算速度快慢不明显而难以比较两种方法的优劣。